Musterlösung zu den Logik-Übungen: Vorlesung vom 18.10.2011

Vorlesung vom 18.10.2011
Musterlösung zu den Logik-Übungen:
Lösen Sie in Partnerarbeit die folgende Aufgabe unter Verwendung der Gesetze und
Schlussregeln der Logik bzw. von Wahrheitstafeln.
1. Aufgabe:
Wenn keine Klausur geschrieben wird, sind die Studenten glücklich. Wenn die Studenten glücklich sind, fühlt sich der Dozent wohl. Wenn sich aber der Dozent wohl
fühlt, dann hat er keine Lust, Vorlesung zu halten. Wird aber keine Klausur geschrieben, dann hat er Lust, Vorlesung zu halten. Also wird eine Klausur geschrieben.
a) Formalisieren Sie den vorliegenden Text und untersuchen Sie, ob ein korrekter
Schluß vorliegt (Ähnlichkeiten mit lebenden Personen sind „rein zufällig“):
Lösung:
Wir definieren als Aussagen:
K : „Es wird eine Klausur geschrieben.“
G : „Die Studenten sind glücklich.“
W : „Der Dozent fühlt sich wohl.“
L : „Der Dozent hat Lust, Vorlesung zu halten.“
K  G 
G  W 

W  L 
K  L 
K
Es ergibt sich folgende Schlussfigur:
Pramissen
Konklusion
Zunächst gilt für die 4. Prämisse folgende logische Äquivalenz:
K  L  L  K (Kontrapositionsgesetz). Also erhalten wir folgende logisch
äquivalente Schlussfigur:
(P1) K  G
(P2) G  W
(P3) W  L
(P4) L  K
(K)
K
Wendet man jetzt nacheinander den modus barbara und zuletzt die Regel des indirekten Beweises (Form 1) an, dann erhält man stufenweise:
(P1) K  G
(P2) G  W
(K1) K  W
(K1) K  W
,
(P3) W  L
(K2) K  L
(K2) K  L
,
(P4) L  K
(K3) K  K
Also ist der angegebene Schluss logisch korrekt!!
sowie
(K3) K  K
(K)
K
.
Musterlösung zur Logik-Übung
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b) Ersetzen Sie den letzten Satz durch: „Also sind die Studenten nicht glücklich.“ Untersuchen Sie nun abermals, ob korrekt geschlossen wurde.
Lösung:
Mit den zuvor in Teil (a) eingeführten Aussagenvariablen geht es jetzt um den Nachweis, ob folgende Schlussfigur logisch korrekt ist:
K  G 
G  W 

W  L 
K  L 
G
Pramissen
Konklusion
Wir „vermuten“, die folgende logische Aussage ist keine(!) Tautologie:
K  G   G  W   W
 L   K  L   G
Zum Nachweis dessen müssen wir eine Wahrheitsbelegung der Einzelaussagen finden können, welche am Ende die Implikation zwischen den Prämissen und der angegebenen Konklusion im Rahmen der Wahrheitstabelle falsch werden lässt. Wir
arbeiten dabei mit den Werten „1“ für „wahr“ und „0“ für „falsch“. Hier die schrittweise(!) aufgebaute Zeile innerhalb der Wahrheitstabelle:
K
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(K)
K  G
GW
W  L
K  L
G
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1 1
1 1
1
1
0
G
W
L
Vorgabe:
1
1
1 1
1 1 1
1
1
0
1
1
1 1
1 1 1
1 1
1
0
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
0
1
1
0
1 1
1 1 1
1 1 1
1 0
0
1
1
0
1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 0
0
1
1
1
0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 0
0
1
1
1
0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 0
0
Musterlösung zur Logik-Übung
Seite 3
Wir haben also eine Wahrheitsbelegung für die 4 Aussagen K, G, W und L gefunden, so dass in der entsprechenden Zeile innerhalb der Wahrheitstabelle die Prämissen als „1“ – d.h. als „wahr“ – und die Konklusion als „0“ belegt sind und somit keine(!) Tautologie vorliegt.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösen Sie in Partnerarbeit die folgende Aufgabe unter Verwendung der Gesetze der
Aussagen- und der Prädikatenlogik.
2. Aufgabe:
Im folgenden sei M der Individuenbereich der Mathematikstudenten an der TU Berlin.
Außerdem seien die folgenden Aussageformen gegeben:
L(x) : „x ist laut während der Vorlesung“, Z(x) : „x kann gut zuhören“, A(x,y) : „x
kann mit y gut zusammen arbeiten“.
a) Wandeln Sie die folgenden Aussagen in eine umgangssprachliche Formulierung
um:
(i) xM : ( L(x)   Z(x)) , (ii) xM : ( L(x)   Z(x) ) ,
(iii) ( xM :  L(x) )  ( xM : Z(x) ) , (iv) xM yM :  A(x,y).
Lösung:
(i) „Für alle Mathematikstudenten an der TU Berlin gilt: Sie sind laut während der
Vorlesung oder sie können nicht gut zuhören.“
Oder freier:
„Alle Mathematikstudenten an der TU Berlin sind laut während der Vorlesung
oder können nicht gut zuhören.“
(ii) „Es gibt einen Mathematikstudenten an der TU Berlin, für den gilt: Wenn er laut
ist während der Vorlesung, kann er nicht gut zuhören.“
Oder freier:
„Mindestens ein Mathematikstudent an der TU Berlin kann nicht gut zuhören,
wenn er laut ist während der Vorlesung.“
(iii) „Wenn alle Mathematikstudenten der TU Berlin während der Vorlesung nicht laut
sind, dann kann (mindestens) ein Mathematikstudent der TU Berlin gut zuhören.“
(iv) „Es gibt (mindestens) einen Mathematikstudenten x an der TU Berlin, der mit
allen (anderen) Mathematikstudenten y an der TU Berlin nicht gut zusammen
arbeiten kann.“
Oder freier:
„Mindestens ein Mathematikstudent an der TU Berlin kann mit allen (anderen)
Mathematikstudenten an der TU Berlin nicht gut zusammen arbeiten.““
Musterlösung zur Logik-Übung
Seite 4
b) Negieren Sie die Aussagen in (a) , und zwar sowohl formal als auch umgangssprachlich.
Lösung:
(i)  {xM : ( L(x)   Z(x))}  xM : ( L(x)   Z(x))
 xM : L(x)   Z(x)  xM : L(x)  Z(x)
Sprachlich:
„Es gibt (mindestens) einen Mathematikstudenten der TU Berlin, der nicht laut ist
während der Vorlesung und gut zuhören kann.”
(ii)  {xM : ( L(x)   Z(x))}
 xM : ( L(x)   Z(x))
 xM : ( L(x)   Z(x))  xM : L(x)   Z(x)
 xM : L(x)  Z(x)
Sprachlich:
„Alle Mathematikstudenten der TU Berlin sind laut während der Vorlesung und
können (dennoch) gut zuhören.”
(iii)  {( xM :  L(x) )  ( xM : Z(x))}   {( xM :  L(x) )  ( xM :
Z(x))}
 (xM :  L(x))  ( xM : Z(x))
 (xM :  L(x))  ( xM : Z(x))
Sprachlich:
„Alle Mathematikstudenten der TU Berlin sind während der Vorlesung nicht laut
und (alle Mathematikstudenten) können (dennoch) nicht gut zuhören.“
(iv)  {xM yM :  A(x,y)}  xM yM :  A(x,y)}  xM yM :
A(x,y)}
Sprachlich:
„ Zu jedem Mathematikstudenten der TU Berlin gibt es (mindestens) einen anderen Mathematikstudenten an der TU Berlin, mit dem dieser (erste Student) gut
zusammen arbeiten kann.“
Oder etwas freier:
„ Jeder Mathematikstudent der TU Berlin findet (mindestens) einen (weiteren) Mathematikstudenten an der TU Berlin, mit dem er gut zusammen arbeiten kann.“