Mathematik III - Fachrichtung Mathematik

TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
Prof. K. Eppler
1
Wintersemester 15/16
Mathematik III
15. Übung (1. - 5. 2. 2016)
53. Die Zufallsgrößen X und Y nehmen die Werte 1, 2 und 3 an. Dabei seien die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P (X = 1) = 0.5 , P (X = 2) = 0.3 , P (Y = 1) = 0.7 , P (Y = 2) = 0.2 ,
P (X = 1, Y = 1) = 0.35 , P (X = 2, Y = 2) = 0.06 , P (X = 3, Y = 1) = 0.2 .
a) Man stelle die Verteilungstabelle von (X, Y ) auf.
b) Sind X und Y unabhängig?
c) Man bestimme E(X), E(Y ), var(X), var(Y ).
d) Wie lauten die Einzelwahrscheinlichkeiten der Zufallsgrößen Z1 = X + 3Y und Z2 = X 2 − Y ?
54. Die zweidimensionale diskrete Zufallsgröße (X, Y ) besitzt folgende Verteilung:
X
−1
0
Man bestimme
1
Y
−1
0
1
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
0
1
8
(a) die Randverteilung von X,
(b) die Randverteilung von Y ,
(c) die bedingten Wahrscheinlichkeiten von X unter der Bedingung {Y = k}, k = −1, 0, 1,
(d) die bedingten Wahrscheinlichkeiten von Y unter der Bedingung {X = k}, k = −1, 0, 1,
(e) E(X), E(Y ),
(f) var(X), var(Y ),
(g) den Korrelationskoeffizienten ̺(X, Y ).
(h) Sind X und Y unkorreliert?
(i) Sind X und Y unabhängig?
55. Die zweidimensionale Zufallsgröße (X, Y ) besitze die Wahrscheinlichkeitsdichte
−1 (t1 − 3)2 (t2 + 2)2
1
exp
+
(−∞ < t1 , t2 < ∞).
f(X,Y ) (t1 , t2 ) =
16π
2
4
16
Man bestimme
a) die Wahrscheinlichkeitsdichten fX , fY ,
b) die Erwartungswerte E(X), E(Y ),
c) die Varianzen var(X), var(Y ),
d) die Kovarianz b(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] und den Korrelationskoeffizienten ̺(X, Y ).
TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
2
56. Es sei X eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße. Mittels des Grenzwertsatzes
von Poisson ermittle man näherungsweise
(a) P (X = 5), P (X = 50) für n = 100 und p = 0.05 ,
(b) P (X < 1), P (X = 10), P (X = 1) für n = 50 und p = 0.02 ,
(c) P (X = 0), P (X = 1), P (X > 1) für n = 30 und p = 0.001 .
57. Mit Xn wird die Anzahl der in einer Serie von n unabhängigen Würfen mit einem Würfel auftretenden
Würfe mit der Augenzahl „Sechs“ bezeichnet.
(a) Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt Xn ?
(b) Für ein beliebiges ε > 0 ermittle man
Xn 1 − ≥ε .
lim P n→∞
n
6
(c) Für ε = 0.01
man eine Mindestanzahl n0 von unabhängigen Würfen, so dass
bestimme
P Xnn − 61 < 0.01 ≥ 0.5 gilt, sowohl mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung als auch
mittles des zentralen Grenzwertsatzes (in der Form des Satzes von Moivre–Laplace).
Als Angebot zur Ergebniskontrolle für Aufgaben, die möglicherweise durch die Tutoren nicht besprochen werden konnten, sind auf der folgenden Seite Resultate für Übungen zur Stochastik aufgelistet.
3
TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
31. (a) Sie ist eine männliche Person, die raucht oder nicht im Studentenwohnheim wohnt.
(b) Alle männlichen Teilnehmer der Vorlesung wohnen im Studentenwohnheim und sind Nichtraucher.
(c) Alle rauchenden Teilnehmer der Vorlesung wohnen im Studentenwohnheim.
(d) Alle männlichen Teilnehmer der Vorlesung rauchen, und alle weiblichen sind Nichtraucher. –
Nein.
a) 0.0084
32.
b) 0.0001
d) 0.1655
c) 1.684 · 10−6
e) 0.0032.
33. 0.149
34.
1
4
35. Falsch
36.
a) 0.612;
b) 0.997.
37. (a) 0.3077
(b) 0.25
10p
;
9+p
38.
a)
39.
a) 0.65;
40.
a) für p ≥
41.
a) 0.2045;
b)
(c) 0.0769
(e) 0.00230
2p
.
1+p
b) 0.05;
1
6
(d) 0.3077
c) 0.33;
im Schreibtisch suchen,
b) 0.7955;
b) für p ≥
d) 0.9429;
2
7
e)
0.61.
im Schreibtisch suchen.
c) 0.956.
42. (a) 0.9984

0
−∞ < x ≤ 1




1 <x≤ 2
 0.80
0.96 für
2 <x≤ 3
(b) FX (x) =


0.992
3 <x≤ 4



1
4 <x< ∞
(c) E(X) = 1.248, var(X) = 0.2985.
43.
a) a = 21 , b =
44. (a) 0.0282
45.(a) 0.0821
1
π
b) fX (x) =
(b) 0.9718
(b) 0.2052
1 1
π 1+x2
(c) 0.0001
(c) 0.2565
(−∞ < x < ∞).
(d) 0.1493
(d) 0.2424
(e) 0.2668
(f) 0.189.
(e) 0.9580.
46. Aufgabe 2.10
a) E(Xn ) == 15n,
D 2 (Xn ) = 25n, b) P (X ≤ 14400) ≈ 0.83398,
c) n ≤ 699
(f) 0.00237.