¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Schätzen und Testen

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2011/2012
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. N. Gaffke, Dr. B. Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Schätzen und Testen
Blatt 4*
25. Eine Messung der Gesprächsdauern von 20 gleichartigen Telefongesprächen
hat folgende Werte ergeben (Dauer in Minuten):
14.86 1.96 3.72 7.54 3.73 0.22 8.52 29.89 0.18 4.95
2.43 0.76 13.35 0.27 7.79 5.06 4.56 8.20 2.97 32.30
Die Gesprächsdauern werden als Werte von unabhängigen und identisch exponentialverteilten Zufallsvariablen mit dem Parameter λ angesehen. Berechnen
Sie die Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter λ.
26. Der folgende Datensatz zeigt die mittleren Aktienkurse von 20 Unternehmen
im Jahr 2006:
100.0
107.5
107.0
123.0
110.0
122.5
130.0
102.0
105.0 98.0 90.0
102.0 103.0 99.8
79.0 101.0 100.5
85.0 92.0 99.7
Als Modell wird angenommen, dass die Aktienkurse der einzelnen Unternehmen unabhängig und identisch normalverteilt sind: X1 , . . . , X20 ∼ N (µ, σ).
(a) Schätzen Sie den Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 .
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit: P (X̄ = µ).
(c) Angenommen, die Varianz sei bekannt und betrage σ 2 = 80. Berechnen
Sie das 95%-Konfidenzintervall für µ.
(d) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für µ für den Fall, dass σ 2
unbekannt ist.
27. Als alternatives Modell zu den Daten aus Aufgabe 24 vom Blatt 3 (Veränderung der Aktienkurse) nehmen wir das Normalverteilungsmodell: Die 15 Werte
sind Werte von u.i.v. N (µ; σ)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , X15 .
(a) Berechnen Sie das 90%-Konfidenzintervall für µ.
(b) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für σ.
(c) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für σ 2 .
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28. Die von einer Maschine für einen bestimmten Arbeitsvorgang benötigte Zeit
sei eine Zufallsvariable X mit Werten in M = [0, 1], für deren Dichtefunktion
die Gestalt fϑ (x) = ϑ + 2(1 − ϑ)x für alle x ∈ [0, 1] unterstellt wird, wobei
ϑ ∈ [0; 2] ein Parameter ist. Wir betrachten das zugehörige statistische Modell
mit n u.i.v.Zufallsvariablen: X1 , . . . , Xn ∼ Pϑ,X .
(a) Berechnen Sie E(Xi ) und E(Xi2 ).
(b) Zeigen Sie , dass die beiden Schätzer
ϑb[1] = 4 −
6
n
Pn
Xi
ϑb[2] = 3 −
6
n
Pn
Xi2
i=1
i=1
erwartungstreu für ϑ sind.
(c) Finden Sie Zahlen α und β, so dass der Schätzer
ϑb[3] =
1
n
Pn
i=1 [αXi
+ βXi2 ]
erwartungstreu für ϑ ist.
29. Um den Zusammenhang zwischen dem Einstiegsgehalt (xi ) und dem Gehalt
nach 10 Jahren (yi ) bei einer Berufsgruppe zu untersuchen, wurden bei einer
Stichprobenerhebung folgende 20 Wertepaare (jährliches Gehalt in 1000 e)
ermittelt. Die x1 , . . . , x20 werden als Werte von u.i.v. (reellen) Zufallsvariablen
X1 , . . . , X20 aufgefasst, die y1 , . . . , y20 als Werte von u.i.v. (reellen) Zufallsvariablen Y1 , . . . , Y20 , wobei nicht angenommen wird, dass Xi und Yi unabhängig
sind.
xi
yi
xi
yi
30.6
38.9
24.3
35.1
23.5
15.1
35.5
52.5
29.8
39.7
32.4
42.8
25.3
41.9
30.8
56.1
15.5
42.1
37.0
33.9
26.5
27.6
30.6
49.0
29.4
41.4
35.4
43.8
26.7
44.6
24.6
54.1
32.9
46.5
32.3
59.1
26.2
69.4
25.5
58.3
Verwenden Sie das Normalverteilungsmodell
D1 , . . . , D20 u.i.v.∼ N (µd , σd ) für die Differenzen di = yi − xi und berechnen
Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Gehaltszuwachs nach 10 Jahren.
Hinweis: x = 28.745, s2x = 25.9637, y = 44.595, s2y = 145.7373 und
sd = 12.4531.
* Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/SuT ws1112.html
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