BRST-Kohomologie abelscher Eichtheorien

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Physikalisch-Astronomische Fakultät
Theoretisch-Physikalisches Institut
AG Quantenfeldtheorie
Studienarbeit
BRST-Kohomologie abelscher
Eichtheorien
Autor: Tim Richardt
Betreuer: Dr. rer. nat. Ulrich Theis
Abgabetermin: 24. März 2009
Zusammenfassung
Die konsistente Quantisierung von Eichtheorien erfordet einen Mechanismus, um unphysikalische Freiheitsgrade auszusondern, welche die kovariante Formulierung der Theorien erleichtern. Ein solcher Mechanismus ist der BRST-Formalismus, der hier vorgestellt
und im Anschluss auf zwei abelsche Eichtheorien, das freie Kalb–Ramond-Feld sowie
das massive Vektorboson in Stückelberg-Formulierung, angewendet wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Elemente der klassischen Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
2 Das massive Vektorfeld
2.1 Dynamik und Quantisierung des Stückelberg-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 BRST-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Anwendung auf den Stückelberg-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
8
3 Das Kalb–Ramond-Feld
3.1 Dynamik und Quantisierung des Kalb–Ramond-Feldes . . . . . . . . . . . . . .
3.2 BRST-Kohomologie des Kalb–Ramond-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
14
A Exemplarische Rechnungen
A.1 Bewegungsgleichung der Stückelberg-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Kommutatorregeln für Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
18
1
1 EINFÜHRUNG
1 Einführung
Die relativistische Quantenfeldtheorie verbindet kovariante klassische Feldtheorien mit der Quantenmechanik um Elementarteilchen und deren Wechselwirkungen zu beschreiben. Klassische
Feldtheorien werden unter Verwendung redundanter Freiheitsgrade formuliert, welche die Quantisierung behindern. Die BRST-Methode [1, 7] zur Aussonderung dieser unphysikalischen Freiheitsgrade wird hier für zwei abelsche Eichtheorien vorgestellt.
Dazu wird zunächst, anhand der klassischen Feldtheorie und kanonischen Quantisierung, kurz
auf die mathematischen und physikalischen Grundlagen eingegangen. Darauf folgend wird, am
Beispiel des massiven Vektorfeldes in Stückelberg-Formulierung [5], der BRST-Formalismus an
sich und die Anwendung auf die Stückelberg-Theorie erläutert. Im dritten Teil wird das freie
Kalb–Ramond-Feld untersucht, welches eine Rolle in der String-Theorie spielt.
1.1 Elemente der klassischen Feldtheorie
Zur Beschreibung der Dynamik von Feldern und ihren Wechselwirkungen benutzt man den Formalismus der klassischen Feldtheorie. Dabei wird eine Feldkonfiguration durch ein Polynom
der Felder ϕi , ihrer Ableitungen und der Raumzeitkoordinaten beschrieben – der Lagrangedichte L(ϕi (x), ∂µ ϕi (x), x) mit ∂µ ϕi (x) = ∂ϕi (x)/∂xµ . Da eine explizite Abhängigkeit der Lagrangedichte von Raumzeitkoordinaten die Poincaré-Invarianz bricht, wird diese im Folgenden
vernachlässigt. In der gesamten Arbeit wird auf einer vierdimensionalen flachen Raumzeit mit
η = diag(+, −, −, −) gerechnet.
Mit Hilfe der Lagrangedichte lässt sich die Wirkung des Systems bestimmen
S[ϕi ] =
Z
d4 x L(ϕi (x), ∂µ ϕi (x)).
(1.1)
Nach dem Hamiltonschen Prinzip wird für physikalische Systeme die Wirkung lokal minimiert.
Betrachten wir nun Variationen δϕi (x) der Felder, die an den Rändern des Integrationsgebietes
verschwinden
Z
S[ϕi + δϕi ] = d4 x L(ϕi (x) + δϕi (x), ∂µ ϕi (x) + ∂µ δϕi (x))
und entwickeln in Potenzen von δϕi (x), so folgt
X
∂L
∂L
+ O(δϕ2i )
+ ∂µ δϕi (x)
δϕi
S[ϕi + δϕi ] = S[ϕi ] + d x
∂ϕi
∂(∂µ ϕi )
i
Z
X
∂L
∂L
4
≃ S[ϕi ] + d x
δϕi
− ∂µ
+O(δϕ2i ).
∂ϕi
∂(∂µ ϕi )
i
|
{z
}
Z
4
:=δS/δϕi (x)
(1.2)
2
1 EINFÜHRUNG
Im letzten Schritt zu Gleichung (1.2) wurde partiell integriert, wodurch ein Divergenzterm entsteht. Dieser ist aber Null, da mit Hilfe des Satzes von Stokes der Term an den Rändern des
Integrationsgebietes R4 ausgewertet wird und die Variationen dort Verschwinden.
Ist S lokal minimal, so muss für hinreichend kleine Variationen die Wirkung konstant sein. Die
mathematische Formulierung des Hamiltonschen Prinzips könnte also lauten
δS[ϕi ] := S[ϕi + δϕi ] − S[ϕi ] ≈ 0.
(1.3)
Mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt dann unter Verwendung von Gleichung
(1.2) für beliebige Variationen, dass für physikalische Felder ϕi
∂L
∂L
− ∂µ
≈0
(1.4)
∂ϕi
∂(∂µ ϕi )
gilt. Diese Gleichungen sind die bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen für die Felder ϕi . Kurz
schreibt man
δS
≈ 0,
(1.5)
δϕi (x)
in Worten: die Variationsableitung der Wirkung δS/δϕi (x) verschwindet für physikalische Felder.
Durch die Gleichungen (1.4) respektive (1.5) sind Bewegungsgleichungen für die Felder gegeben,
wodurch ihre Dynamik bestimmt ist.
Ein Vorteil der Beschreibung des Systems durch eine Lagrangedichte ist, dass Symmetrien einfach
abzulesen sind und in Verbindung mit Erhaltungsgrößen gebracht werden können. Eine Aussage
darüber macht das Noether-Theorem, welches hier ohne Beweis für eine vierdimensionale flache
Raumzeit zitiert wird.
Satz 1 (Noether-Theorem) Ist die Langrangedichte unter einer Transformation mit infinitesimalem ω
xµ → xµ + ωαµ (x)
ϕi (x) → ϕi (x) + ωβi (x)
invariant, so ist
J µ (x) =
X
i
∂L
[αµ (x)∂µ ϕi (x) − βi (x)] − Lαµ
∂(∂µ ϕi (x))
ein erhaltener Strom. Die dazugehörige Ladung
Z
Q(t) := d3 x J 0 (x, t)
(1.6)
(1.7)
ist dann eine zeitlich erhaltene Größe, d.h.
dQ(t)
= 0.
(1.8)
dt
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Lagrangedichte gehört also ein erhaltener Strom und
eine zeitlich total erhaltene Ladung. Auch umgekehrt gehört zu jedem erhaltenen Strom und erhaltener Ladung eine kontinuierliche Symmetrie der Lagrangedichte.
1 EINFÜHRUNG
3
1.2 Kanonische Quantisierung
Die klassische Feldtheorie allein genügt nicht zur Beschreibung von Quanteneffekten. Als Zugang
zur Quantenfeldtheorie wird hier die kanonische Quantisierung, die wesentlich an den HamiltonFormalismus der klassischen Mechanik angelehnt ist, beschrieben.
Ausgehend von der gegebenen Lagrangedichte eines Systems definiert man zu jedem Feld ϕi (x)
einen kanonisch konjugierten Impuls
Πi (x) :=
∂L
.
∂(∂0 ϕi (x))
(1.9)
Mit diesem kanonisch konjugierten Impuls lässt sich die Hamiltondichte des Systems durch eine
Legendre-Transformation gewinnen
H(Πi , ϕi ) = Πi ∂0 ϕi − L(ϕi , ∂µ ϕi ),
(1.10)
wobei die rechte Seite der Gleichung in Abhängigkeit der Variablen Πi und ϕi betrachtet wird. Die
Felder und kanonisch konjugierten Impulse werden nun als Operatoren auf einem Hilbertraum mit
kontinuierlichem Index xµ aufgefasst und mit Kommutatorrelationen
[ϕi (t, x), Πj (t, y)] = iδij δ 3 (x − y),
[ϕi (t, x), ϕj (t, y)] = 0 = [Πi (t, x), Πj (t, y)]
(1.11)
versehen. Im Falle fermionischer Felder benutzt man anstatt des Kommutators einen Antikommutator, um eine positiv definite Hamiltonfunktion zu erhalten. Für Vektor- und Tensorfelder treten
des Weiteren der Anzahl der Indizes entsprechend viele Metrik-Faktoren in den Kommutatorrelationen auf (siehe dazu z.B. Abschnitt 2.1 oder 3.1).
Problematisch ist diese Art der Quantisierung für Feldsysteme, die unter gewissen Eichtransformationen symmetrisch sind. Hier werden die Kommutatorrelationen verletzt, insofern man keine
Eichfixierung vornimmt. Wie man derartige Feldtheorien dennoch konsistent eichinvariant quantisiert wird am Beispiel zweier Konfigurationen in den Abschnitten 2 und 3 erläutert.
4
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
2 Das massive Vektorfeld
Im Standardmodell der Teilchenphysik existieren massive Vektorfelder in Form von W - und ZBosonen, deren Masse durch den Higgs-Mechanismus ensteht. Im Falle abelscher Eichgruppen
bietet der Stückelberg-Mechanismus eine alternative Methode um Vektorfelder mit einer Masse
zu versehen.
Zur Beschreibung des elektromagnetischen Potentials benutzt man das Vektorfeld Aµ , welches
in vier Dimensionen zwei physikalische Freiheitsgrade besitzt. Die zwei redundanten Freiheitsgrade erleichtern die Formulierung der Theorie, erschweren aber die Quantisierung, indem sie
nichtphysikalische Zustände erzeugen, die ausgesondert werden müssen.
Eine ähnliche Prozedur wird bei der Formulierung einer manifest eichinvarianten Theorie der
massiven Vektorfelder vorgenommen. Nach Stückelberg [5] erweitert man die Theorie mit Hilfe
eines reellwertigen Skalarfeldes um einen Freiheitsgrad und sichert dadurch die Eichinvarianz,
die sich als essentielles Werkzeug zur konsistenten Quantisierung der Feldtheorie erweist.
Zunächst wird auf die Eigenschaften Stückelbergs Feldtheorie eingegangen. Im Anschluss wird
das allgemeine Konzept der BRST-Quantisierung für abelsche Eichtheorien vorgestellt und nachfolgend auf die Stückelberg-Wirkung angewendet.
2.1 Dynamik und Quantisierung des Stückelberg-Feldes
Die Stückelberg-Wirkung ist durch
S[Aµ , Φ] = S0 + Sef ,
Z
S0 [Aµ , Φ] = d4 x − 41 Fµν F µν + 12 (mAµ − ∂µ Φ)(mAµ − ∂ µ Φ) ,
Z
Sef [Aµ , Φ] = − d4 x 21 (∂ µ Aµ + mΦ)2 bzw.
L(A, Φ) = − 14 Fµν F µν + 12 m2 Aµ Aµ − 21 ∂µ Aµ ∂ν Aν + 12 ∂ µ Φ∂µ Φ + 21 m2 Φ2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
gegeben. Die Feldstärke F ist als äußere Ableitung des Vektorfeldes definiert, also
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(2.5)
S0 ist invariant unter Eichtransformationen δAµ = ∂µ λ und δΦ = mλ. Der Term Sef bricht indes
die Eichinvarianz, wird daher als Eichfixierungsterm bezeichnet, dessen Bedeutung später ersichtlich werden wird. Die Felder genügen den Bewegungsgleichungen (exemplarische Rechnung im
Anhang A.1)
δS
= ( + m2 )Aµ (x) ≈ 0,
δAµ (x)
δS
= −( + m2 )Φ(x) ≈ 0.
δΦ(x)
(2.6)
(2.7)
5
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
Diese Bewegungsgleichungen sind entkoppelt, da der Eichfixierungsterm (2.3) die Mischterme
von Aµ und Φ aus (2.2) heraushebt. Die Lösungen sind nun durch eine Überlagerung von ebenen
2
2
0
Wellen
p darstellbar, wobei sowohl für Aµ als auch Φ die Dispersionsrelation k = m , also k =
± k2 + m2 gilt.
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x Aµ (x) =
a
(k)e
+
a
(k)e
(2.8)
0
µ
µ
(2π)3 2k 0
k >0
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x (2.9)
ϕ
(k)e
+
ϕ(k)e
Φ(x) =
0
(2π)3 2k 0
k >0
Mit Hilfe der kanonisch konjugierten Impulse
∂L
= −∂ 0 Aµ (x)
∂(∂0 Aµ (x))
∂L
ΠΦ (x) =
= ∂ 0 Φ(x)
∂(∂0 Φ(x))
ΠµA (x) =
(2.10)
(2.11)
kann man nun durch Forderung der Kommutatorrelationen
3
[Aµ (t, x), ΠA
ν (t, y)] = iηµν δ (x − y),
[Aµ (t, x), Aν (t, y)] = 0 =
A
[ΠA
ν (t, x), Πν (t, y)] ,
[Φ(t, x), ΠΦ (t, y)] = iδ 3 (x − y),
(2.12)
(2.13)
(2.14)
[Φ(t, x), Φ(t, y)] = 0 = [ΠΦ (t, x), ΠΦ (t, y)] ,
(2.15)
quantisieren und die Vertauschungsregeln der Leiteroperatoren berechnen (exemplarische Rechnung siehe Anhang A.2)
[aµ (k), a†ν (k′ )] = −ηµν 2k 0 (2π)3 δ 3 (k − k′ ),
′
[aµ (k), aν (k )] = 0
= [a†µ (k), a†ν (k′ )] ,
0
3 3
′
[ϕ(k), ϕ† (k′ )] = 2k (2π) δ (k − k ),
′
†
†
′
[ϕ(k), ϕ(k )] = 0 = [ϕ (k), ϕ (k )] .
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Per Definition generieren die Impulsoperatoren Pµ eine Translation
[iPµ , Aν (x)] = ∂µ Aν (x),
woraus die Kommutatorbeziehungen der Fockraum-Operatoren sich einfach zu [Pµ , a†ν (k)] =
kµ a†ν (k), [Pµ , ϕ† (k)] = kµ ϕ† (k), [Pµ , aν (k)] = −kµ aν (k) und [Pµ , ϕ(k)] = −kµ ϕ(k) errechnen. a†µ (k) und ϕ† (k) erzeugen also Zustände mit dem Impuls k, während aµ (k) und ϕ(k)
Zustände mit dem Impuls k vernichten. Die Erzeuger fügen dem System Energie hinzu, während
die Vernichter sie subtrahieren. Das erste Problem ist darin illustriert, dass fünf unabhängige
Einteilchen-Zustände existieren, a†µ (k)|0i und ϕ† (k)|0i, allerdings nur drei physikalische Freiheitsgrade relevant sein sollten. Zudem besitzt der Zustand
Z
Z
d3 k
†
f (k)a0 (k)|0i, hf |f i = −η00 d3 k |f (k)|2 < 0
|f i =
2k 0 (2π)3
6
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
ein negatives Normquadrat, wodurch die Wahrscheinlichkeitsinterpretation fehlschlägt. Das Nullsetzen der a†0 -Moden würde den Kommutatorrelationen aus Gl. (2.16) widersprechen. Es bedarf
also einer Strategie, diese unphysikalischen Zustände aus dem bestehenden Fockraum F auszusondern um eine konsistent quantisierte Theorie zu erhalten.
2.2 BRST-Formalismus
Zur Quantisierung von Eichtheorien erweist sich der BRST-Formalismus als besonders nutzbringend. Dieser Formalismus wurde von Becchi, Rouet, Stora [1] und unabhängig von Tyutin [7]
entwickelt. Das Ziel ist es, durch Aussonderung der unphysikalischen Zustände, ein positiv definites Skalarprodukt innerhalb der Fockraum-Zustände zu erhalten.
Man verlangt die Existenz eines hermiteschen Operators Q = Q† und nennt alle Zustände |f i ∈
N = {|gi ∈ F : Q|gi = 0} eichinvariant (auch BRST-invariant) — warum wird im Folgenden
erkennbar.
Satz 2 Für |f1 i, |f2 i ∈ N und |gi ∈ F gilt
hf1 |(|f2 i + Q|gi) = hf1 |f2 i.
Beweis. Aus der Linearität folgt hf1 |(|f2 i + Q|gi) = hf1 |f2 i + hf1 |Qgi und wegen der Hermitizität gilt hf1 |Qgi = hQf1 |gi = 0.
Aufgrund der Invarianz des Skalarproduktes unter einer Verschiebung eines Zustandes um einen
Q-exakten können wir auch keine Unterscheidung in der Messung zwischen ihnen treffen. Naheliegend ist also derartig verschobene Zustände zu N = ker Q zu zählen, was nur durch die
Forderung
Q2 = 0,
also durch die Nilpotenz von Q, gewährleistet wird. Fordern wir noch die BRST-Invarianz des
Vakuums Q|0i = 0, gelangen wir zu einer Zerlegung der Zustände aus N in Äquivalenzklassen
|f i ∼ |f i + Q|gi (|f i ∈ N , |gi ∈ F ), in denen die Q|gi ∈ N selbst nur Repräsentanten des
Nullvektors sind. Der Hilbertraum der physikalischen Zustände lässt sich nun als Quotientenraum
Hphys = ker Q/ im Q = N/QF
(2.20)
definieren. Dies ist ein typisches Kohomologie-Problem. Näheres zu Homologie- und Kohomologiegruppen findet man z.B. in [4] S. 93ff. Die Eigenschaft eines Zustandes, gemäß der Definition
physikalisch zu sein, sollte sich durch die Zeitentwicklung, generiert durch den Hamiltonoperator,
nicht ändern, also
Qe−iHt |f i = 0,
|f i ∈ Hphys .
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
7
Die Sicherung dieses Sachverhaltes verlangt
[Q, H] = 0,
(2.21)
womit Q eine zeitliche Erhaltungsgröße ist und damit eine globale Symmetrie generiert. Der
BRST-Operator Q wird daher auch oft als BRST-Ladung bezeichnet. In seiner Wirkung auf Felder
stellen wir ihn durch einen Operator s gemäß
(
[Q, A(x)] für |A| = 0
isA(x) =
(2.22)
{Q, A(x)} für |A| = 1
dar, wobei |A| die Graduierung im Grassmann-Sinne bezeichnet (siehe dazu zum Beispiel [4] S.
38ff). Mit der zusätzlichen Forderung, dass
(sA)∗ = (−)|A| sA∗ ,
(2.23)
werden die Eigenschaften im folgenden Satz gesichert.
Satz 3 Der Operator s definiert durch Gl. (2.22) besitzt die Eigenschaften
(1)
(2)
(3)
(4)
s(λA + µB) = λsA + µsB mit λ, µ Zahlen
s(AB) = s(A)B + (−)|A| AsB
[s, ∂µ ] = 0
s2 A = 0
Beweis. (1) Die Linearität von s ergibt sich aus der Liniearität des Kommutators bzw. Antikommutators in der Definitionsgleichung (2.22).
(2) Wenn |B| = 0, dann ist im Falle |A| = 0 is(AB) = [Q, AB] = QAB −ABQ = [Q, A] B +
AQB − ABQ = [Q, A] B + A [Q, B] = is(A)B + iAsB. Im Falle |A| = 1 ist is(AB) =
{Q, AB} = QAB + ABQ = {Q, A} B − AQB + ABQ = {Q, A} B − A [Q, B] = is(A)B −
iAsB. Analog für |B| = 1.
(3) Die Ableitung ist ein Grenzwert der Differenz zweier Felder, die an verschiedenen Raumzeitpunkten ausgewertet werden. Da s ein linearer Operator ist, kommutiert er mit der Ableitung.
(4) Im Falle |A| = 0 folgt s2 A = − {Q, [Q, A]} = −Q2 A + QAQ − QAQ + AQ2 = 0, da Q
ebenso nilpotent ist. Analog für |A| = 1.
Wir deklarieren die Wirkung von s auf die Felder als eine Eichtransformation, im Falle des Stückelberg-Feldes sAµ (x) = ∂µ C(x), sΦ(x) = mC(x) und sC(x) = 0, wobei als Eichparameter
ein Geistfeld (auch Geist) eingeführt wird. Dieser Geist besitzt die entgegengesetzte Graduierung
des transformierten Feldes. Des Weiteren trägt der Geist eine Geistzahl gh C = 1, was in Analogie
der Formengrade der Differentialformen gesehen werden kann. Die äußere Ableitung erhöht den
Formengrad um eins, der s-Operator erhöht die Geistzahl um eins, weshalb dementsprechend die
Felder Aµ und Φ die Geistzahl Null tragen. Für Geistzahlen von Produkten aus Feldoperatoren
8
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
gilt gh(AB) = gh A + gh B. Ziel ist es nun, den Eichfixierungsterm Gl. (2.3) mit Hilfe des
Geistfeldes zu implementieren.
Von der Wirkung verlangen wir gh S = 0 als auch BRST-Invarianz sS = 0, weswegen wir die
Eichfixierung in Form eines fermionischen Terms isΨ addieren. Damit erste Bedingung an S
erfüllt ist benötigt man zusätzliche Felder mit negativer Geistzahl, sogenannte Antigeister. Man
führt systematisch zu jedem Geist C einen Antigeist C̄ mit |C̄| = |C| und gh C̄ = − gh C
ein. Der Eichfixierungsterm (siehe unten) unterliegt einer BRST-Invarianz bei Transformation der
Antigeister
sC̄ = iB,
sB = 0.
(2.24)
Das i wurde eingeführt, damit B ein reelles Feld ist, denn es gilt mit Eigenschaft (3) aus obigem
Satz
(sC̄)∗ = −sC̄ = −iB = (iB)∗ ,
da C̄ ebenso reell ist. Der fermionische Fixierungsterm wird meist in der Form
Z
isΨ = is d4 x C̄ f − 21 B
Z
= d4 x −B f − 21 B − iC̄sf
(2.25)
(2.26)
angesetzt, wobei f eine bosonische Funktion der Felder ist. Wie man an Gl. (2.26) erkennt besitzt
B keine eigene Dynamik, da keine Ableitungen von B auftreten. Man nennt ein solches Feld
daher ein Hilfsfeld.
2.3 Anwendung auf den Stückelberg-Fall
Gemäß des Abschnitts 2.2 führen wir zu jedem Eichparameter einen Geist und Antigeist ein. An
Feld
Aµ
Φ
C
C̄
B
|·|
0
0
1
1
0
gh ·
0
0
1
−1
0
s·
∂µ C
mC
0
iB
0
{Q, ·]
i∂µ C
imC
0
−B
0
Tabelle 1: Eichfelder und Geister der Stückelberg-Wirkung mit ihren Eigenschaften bezüglich der Wirkung von s und Q ({Q, A] = QA − (−)|A| AQ)
dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass Geist und Antigeist Skalarfelder sind, daher keinen Spin
tragen, andererseits fermionisch sind und damit das Spin-Statistik-Theorem verletzen. Daher können sie keine physikalischen Teilchen repräsentieren, was der Grund für ihre Namen ist. Um eine
9
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
massive Klein–Gordon-Gleichung für alle Felder zu erhalten wählt man das Eichfixierungsfermion als
Z
(2.27)
Ψ = d4 x C̄ ∂µ Aµ + mΦ + 12 B ,
Z
isΨ = d4 x −B ∂µ Aµ + mΦ + 21 B − iC̄ C + m2 C .
(2.28)
Betrachtet man nun die Bewegungsgleichung von B der gesamten Wirkung S = S0 + isΨ, so
findet man
δS
= − ∂µ Aµ + mΦ + 21 B − 12 B ≈ 0.
δB(x)
(2.29)
Dieser rein algebraische Ausdruck für B untermalt die Charakteristik von B als ein Hilfsfeld.
Setzt man (2.29) in (2.28) ein, so erhält man
Z
(2.30)
isΨ = d4 x − 12 (∂µ Aµ + mΦ)2 − iC̄( + m2 )C .
Das Fermion aus Gl. (2.30) entspricht gerade dem Eichfixierungsterm (2.3) mit dem Zusatz, dass
ein dynamischer Term für Geist und Antigeist hinzukommt. Die gesamte Wirkung lässt sich nun
schreiben als
Z
S[Aµ , Φ, C, C̄] = d4 x 12 Aµ ( + m2 )Aµ − 12 Φ( + m2 )Φ − iC̄( + m2 )C .
(2.31)
Jedes Feld genügt jetzt also einer massiven Klein–Gordon-Gleichung, womit eine Entwicklung in
ebene Wellen wie in den Gleichungen (2.8) und (2.9) auch für die Geister
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x
C(x) =
c
(k)e
+
c(k)e
und
(2.32)
(2π)3 2k 0
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x
c̄
(k)e
+
c̄(k)e
(2.33)
C̄(x) =
(2π)3 2k 0
möglich ist. Die Kommutatoren der Fockraum-Operatoren lassen sich nun über die in Tab. 1
gegebenen Kommutatoren ermitteln. Aus den Relationen
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x
[Q, Aµ (x)] =
[Q,
a
(k)]
e
+
[Q,
a
(k)]
e
und
µ
µ
(2π)3 2k 0
(2.34)
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x
−kµ c (k)e
+ kµ c(k)e
i∂µ C(x) =
(2π)3 2k 0
folgt durch Vergleich
[Q, aµ (k)] = kµ c(k)
und
[Q, a†µ (k)] = −kµ c† (k).
(2.35)
10
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
In analoger Weise erhält man für die anderen Relationen
[Q, ϕ(k)] = imc(k),
[Q, ϕ† (k)] = imc† (k),
{Q, c(k)} = 0,
{Q, c† (k)} = 0,
µ
{Q, c̄(k)} = −ik aµ (k) + mϕ(k),
†
{Q, c̄ (k)} =
(2.36)
(2.37)
ik µ a†µ (k)
†
+ mϕ (k).
(2.38)
Um der inneren Struktur der Fockraum-Operatoren näher zu kommen, führt man nun eine Zerlegung der vier Erzeuger a†µ (k) nach Vektoren lµ = 12 (kµ + k̄µ ), ¯lµ = 12 (kµ − k̄µ ) und εiµ (i = 1, 2)
durch, wobei k̄ µ = (k0 , −k), k µ = (k0 , k) bedeutet. Für die Vektoren εiµ gilt
εiµ εµj = δji ,
εiµ k µ = 0 = εiµ k̄ µ .
(2.39)
Es folgen daraus die Beziehungen
lµ ¯lµ = 0,
l2 = m2 + k2 ,
¯l2 = −k2 ,
lµ εµi = 0 = ¯lµ εµi
kµ = lµ + ¯lµ .
(2.40)
Aus der Zerlegung
a†µ (k) = a†l (k)lµ + a†l̄ (k)¯lµ + a†i (k)εiµ
(2.41)
folgen weitere Kommutatorrelationen, die ab jetzt nur für die Erzeugeroperatoren angegeben werden,
[Q, a†l (k)] = −c† (k) = [Q, a†l̄ (k)] ,
(2.42)
[Q, a†i (k)] = 0,
(2.43)
{Q, c̄† (k)} = i(m2 + k2 )a†l (k) − ik2 a†l̄ (k) + mϕ† (k).
(2.44)
Nun kreiert man aus a†l , a†l̄ und ϕ† drei neue unabhängige Operatoren
d† (k) = i(m2 + k2 )a†l (k) − ik2 a†l̄ (k) + mϕ† (k),
(2.45)
e† (k) = −i(m2 + k2 )a†l (k) + ik2 a†l̄ (k) + mϕ† (k),
(2.46)
f † (k) = i(m2 + k2 )a†l (k) + ik2 a†l̄ (k) − mϕ† (k),
(2.47)
welche die Kommutatorrelationen
[Q, d† (k)] = 0,
[Q, e† (k)] = 2im2 c† ,
[Q, f † (k)] = −2i(m2 + k2 )c† (k)
(2.48)
erfüllen. Aus e† und f † bilden wir zwei neue unabhängige Operatoren
m2
f † (k) und
m2 + k2
m2
†
d¯† (k) = e† (k) − 2
2 f (k) mit
m +k
[Q, d¯† (k)] = 4im2 c† (k),
a†3 (k) = e† (k) +
[Q, a†3 (k)] = 0.
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
11
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
Prinzipiell hätte diese erneute Zerlegung in den Gleichungen (2.46) und (2.47) schon einfließen
können, was allerdings weitaus unübersichtlichere Gleichungen zur Folge hätte. Man besitzt nun
einen Satz von sieben Erzeugern und dazu wohldefinierte Vertauschungsrelationen mit Q, welche
in Tab. 2 zusammengefasst sind.
Operator
(i = 1, 2)
a†3
c†
c̄†
d†
d¯†
a†i
|·|
0
0
1
1
0
0
[Q, ·}
0
0
0
d†
0
4im2 c†
Tabelle 2: Fockraum-Operatoren des quantisierten Stückelberg-Feldes
Um eine Darstellung für Q zu finden betrachtet man zunächst Einteilchenzustände. Der Grundzustand ist BRST-invariant, wodurch man zum Beispiel
Qc̄† (k)|0i = {Q, c̄† (k)} |0i = d† (k)|0i
(2.53)
erhält. Auf beliebige Vielteilchenzustände f (a†i , a†3 , c̄† , c† , d¯† , d† )|0i, wobei f ein Polynom in seinen Argumenten ist, wirkt der BRST-Operator also gemäß der Kommutatorbeziehungen wie
∂
∂
Q = 4imc† (k) ¯†
.
+ d† (k) †
∂c̄ (k)
∂ d (k)
(2.54)
Satz 4 (Basic Lemma) Es sei Q = ai ∂/∂bi ein nilpotenter Operator und f (ai , bi )|0i ein Hilbertraumzustand, wobei f ein Polynom in ai und bi ist. Dann gilt
Qf (ai , bi )|0i = 0
⇐⇒
f (ai , bi ) = f (0, 0) + Qg(ai , bi ).
(2.55)
Beweis. Zum Beweis betrachten wir zunächst den Antikommutator von Q mit R = bi ∂/∂ai
∂
∂
+ bi i =: N.
i
∂a
∂b
Der Operator N zählt die Anzahl der ai und bi , die in f enthalten sind. Der Raum der Polynome
f zerfällt nun in die direkte Summe aus Unterräumen mit Polynomen fn , für welche N fn = nfn
P
gilt. Damit kann man jedes Polynom also als Summe der fn darstellen f = n fn . Des Weiteren
beachte man, dass Q mit N kommutiert
{Q, R} = ai
[Q, N ] = [Q, {Q, R}] = − 12 [R, {Q, Q}] = − [R, Q2 ] = 0.
Qf = 0 bedeutet, dass Qfn = 0 für jedes n, da die fn linear unabhängig sind, woraus folgt:
X
X1
X1
X1
f=
fn = f0 +
N f = f0 +
{Q, R} fn = f0 + Q
Rfn .
n
n
n
n
n>0
n>0
n>0
| {z }
:=g
12
2 DAS MASSIVE VEKTORFELD
Nach letztem Satz sind also nur Zustände, die von
f (a†i , a†3 , c̄† , c† , d¯† , d† )c̄† =c† =d¯† =d† =0
(2.56)
erzeugt werden BRST-invariant.
Das Ergebnis ist damit, dass nur die drei Operatoren a†i , a†3 physikalische Zustände erzeugen.
An Gleichung (2.41) erkennt man das a†i die Entwicklungskomponenten der Basisvektoren transversal zur Ausbreitungsrichtung sind. Sie erzeugen also transversale Moden. Der Operator a†3 ,
definiert in Gleichung (2.49), ist eine Linearkombination der longitudinalen Entwicklungskomponenten sowie ϕ† , erzeugt also eine longitudinale Mode. d¯† - und c̄† -Moden werden ausgesondert,
da sie nicht geschlossen in Q liegen, d.h. sie werden nicht von Q vernichtet. Gleichsam werden
die d† - und c† -Moden ausgesondert, allerdings weil sie bereits Q-exakt sind, d.h. durch Q erzeugt
werden.
3 DAS KALB–RAMOND-FELD
13
3 Das Kalb–Ramond-Feld
Die Kopplung eines geladenen Teilchens der Ladung q an ein elektromagnetisches Potential ist
gegeben durch das Integral über die Weltlinie des Teilchens [3]
Z
dxµ
Sint = −q dτ
Aµ .
dτ
In Analogie dazu erhält man die Ankopplung eines Strings als Integral über seine Weltfläche [8]
Z
Z
∂xµ ∂xν
Bµν ,
Sint = − dτ dσ
∂τ ∂σ
mit einer 2-Form Bµν = −Bνµ . Diese Form nimmt die Rolle des fundamentalen Feldes der
freien Kalb–Ramond-Theorie ein. In Analogie zur Elektrodynamik kann man nun eine Feldstärke
als äußere Ableitung von Bµν definieren
Hµν̺ := ∂µ Bν̺ + ∂ν B̺µ + ∂̺ Bµν .
(3.1)
Die Feldstärke Hµνρ ist antisymmetrisch bezüglich jeweils einem Indexpaar und damit symmetrisch unter zyklischer Vertauschung der Indizes, da hierzu stets zwei primitive Permutationen
benötigt werden, kurz
Hµν̺ = Hν̺µ = H̺µν .
(3.2)
Des Weiteren unterliegt die Feldstärke einer Eichsymmetrie. Betrachtet man die Transformation
′ =B
von Bµν zu Bµν
µν + ∂[µ λν] (hier ist A[µ Bν] = Aµ Bν − Aν Bµ ), so erhält man
′
Hµν̺
= Hµν̺ + ∂µ ∂[ν λ̺] + ∂ν ∂[̺ λµ] + ∂̺ ∂[µ λν]
= Hµν̺ + ∂[µ ∂ν] λ̺ + ∂[̺ ∂µ] λν + ∂[ν ∂̺] λµ
= Hµν̺ .
(3.3)
′
In der Sprache der Formen ist dies klar, da Hµν̺ die äußere Ableitung von Bµν ist und Bµν
lediglich durch Addition einer äußeren Ableitung einer 1-Form entsteht. Da die äußere Ableitung
′
aber nilpotent ist, gilt Hµν̺
= Hµν̺ . Diese Eichsymmetrie bezeichnet man nun aber als reduzibel,
da das Eichfeld λµ wieder einer Eichsymmetrie unterliegt. Addition von ∂µ ε zu λµ liefert
∂[µ λν] + ∂[µ ∂ν] ε = ∂[µ λν] ,
(3.4)
was in der Formensprache der Addition der äußeren Ableitung einer 0-Form zur 1-Form λµ entspricht. Aufgrund der Nilpotenz der äußeren Ableitung ist das Eichfeld also invariant unter einer
solchen Transformation.
Das Kalb–Ramond-Feld besitzt in vier Dimensionen lediglich einen physikalischen Freiheitsgrad.
Aufgrund der Antisymmetrie verbleiben zunächst sechs unabhängige Komponenten. Drei davon
können durch eine Eichtransformation verändert werden, sind also physikalisch irrelevant. Zwei
weitere Freiheitsgrade sollten durch die Dispersionsrelation fixiert werden (siehe unten).
14
3 DAS KALB–RAMOND-FELD
3.1 Dynamik und Quantisierung des Kalb–Ramond-Feldes
Die Dynamik des Kalb–Ramond-Feldes wird durch die Wirkung
Z
1
Hµν̺ H µν̺ + 21 ∂ µ Bµν ∂̺ B ̺ν
S = d4 x L mit L = − 12
(3.5)
bestimmt. Der erste Summand der Lagrangedichte beinhaltet nur Feldstärken, spiegelt also die
Symmetrien des Feldes wieder, während der zweite Term die Eichinvarianz der Wirkung bricht.
Dieser Eichfixierungsterm wird allerdings benötigt um kanonisch zu quantisieren. Das fundaµ ν 4
mentale Feld Bµν genügt, unter der Verwendung von δB µν (x)/δB ̺σ (y) = δ[̺
δσ] δ (x − y), der
Bewegungsgleichung
δS
= B µν ≈ 0,
δBµν
(3.6)
womit Lösungen Bµν sich im Impulsraum durch Überlagerung ebener Wellen mit der Dispersionsrelation
k 2 = 0,
bzw.
k02 − k2 = 0
(3.7)
darstellen lassen
Bµν (x) =
Z
d3 k †
ik·x
−ik·x
b
(k)e
+
b
(k)e
.
µν
(2π)3 2k 0 µν
(3.8)
Wie in Abschnitt 2.1 kann man nun mit Hilfe des kanonisch konjugierten Impulses
Πµν (x) =
∂L
= −∂ 0 B µν
∂(∂0 Bµν )
(3.9)
und der Forderung des Kommutators
[Bµν (t, x), Π̺σ (t, y)] = iηµ[̺ ησ]ν δ 3 (x − y)
(3.10)
quantisieren. Für die Entwicklungskoeffizienten in Gl. (3.9) erhält man die Kommutatoren
[bµν (k), b†̺σ (k′ )] = −2k 0 (2π)3 ηµ[̺ ησ]ν δ(k − k′),
(3.11)
[b†µν (k), b†̺σ (k′ )] = 0 = [bµν (k), b̺σ (k′ )] .
(3.12)
3.2 BRST-Kohomologie des Kalb–Ramond-Feldes
Im Folgenden wird analog zu Abschnitt 2.2 verfahren. Zunächst wird zu jeder Eichsymmetrie ein
reelles Geistfeld eingeführt. Dabei wird auch die reduzible Eichtransformation berücksichtigt.
Daher folgt (A[µ Bν] = Aµ Bν − Aν Bµ )
sBµν = ∂[µ Cν] ,
sCµ = i∂µ D,
sD = 0
(3.13)
15
3 DAS KALB–RAMOND-FELD
mit gh Bµν = 0, gh Cµ = 1 und gh D = 2. Zu diesen Geistern kreiert man nun entsprechende Antifelder C̄µ , D̄ mit negativer Geistzahl, d.h. gh C̄µ = −1 und gh D̄ = −2. Um die Eichfixierung
nach dem Prinzip aus Gl. (2.25) zu implementieren, nutzt man erneut die BRST-Transformationen
der Antigeister
sC̄µ = iFµ ,
sFµ = 0,
sD̄ = F,
sF = 0,
(3.14)
worin Fµ und F Hilfsfelder ohne eigene Dynamik sind. Um auch die Eichfixierung für Cµ und
C̄µ anzufügen, bedarf es zweier weiterer reeller Felder E mit gh E = 0 bosonisch und P mit
gh P = 1 fermionisch, sowie
sE = P,
sP = 0,
(3.15)
wobei P den Charakter eines Hilfsfeldes besitzt.
Feld
Bµν
Cµ
C̄µ
Fµ
D
D̄
E
P
F
|·|
0
1
1
0
0
0
0
1
1
gh ·
0
1
−1
0
2
−2
0
1
−1
s·
∂[µ Cν]
i∂µ D
iFµ
0
0
F
P
0
0
{Q, ·]
i∂[µ Cν]
−∂µ D
−Fµ
0
0
iF
iP
0
0
Tabelle 3: Eichfelder und Geister der Kalb–Ramond-Wirkung mit ihren Eigenschaften bezüglich der Wirkung von s und Q ({Q, A] = QA − (−)|A| AQ)
Mit diesem Satz von Feldern kann man nach Vorbild aus Gleichung (2.26) den Eichfixierungsterm
aus Gleichung (3.5) konstruieren
Ψ = −C̄ ν (∂ ̺ B̺µ + 12 Fν ) − iD̄(∂ µ Cµ + 21 P ) − iE(∂ µ C̄µ − 12 F ).
Die gesamte Wirkung lässt sich nun schreiben als
Z
1
Hµν̺ H µν̺ + isΨ).
S = d4 x (− 12
(3.16)
(3.17)
Die algebraischen Beziehungen zur Fixierung der Hilfsfelder resultieren aus den Bewegungsgleichungen der Hilfsfelder selbst
δS
= ∂ µ Cµ + P ≈ 0,
δF
δS
= ∂ µ C̄µ − F ≈ 0,
δP
δS
= −(∂ ̺ B̺ν − 21 Fν − ∂ν E) ≈ 0.
δF ν
(3.18)
(3.19)
(3.20)
16
3 DAS KALB–RAMOND-FELD
Damit gelangt man zur finalen Form des Eichfixierungspolynoms
isΨ ≃ − 12 B µν ∂µ ∂ ̺ B̺ν + 21 EE + D̄D + iC̄ µ Cµ ,
(3.21)
bzw. zur vollständigen Lagrangedichte, die die Dynamik des quantisierten freien Kalb–RamondFeldes festlegt
L = 41 B µν Bµν + 21 EE + D̄D + iC̄ µ Cµ .
(3.22)
Jedes Feld erfüllt jetzt eine masselose Klein–Gordon-Gleichung, deshalb können Lösungen durch
Superposition ebener Wellen konstruiert werden
Z
d3 k
Cµ (x) =
(c† (k)eik·x + cµ (k)e−ik·x ),
(2π)3 2k 0 µ
Z
d3 k
(c̄† (k)eik·x + c̄µ (k)e−ik·x ),
C̄µ (x) =
(2π)3 2k 0 µ
Z
d3 k
D(x) =
(d† (k)eik·x + d(k)e−ik·x ),
(2π)3 2k 0
Z
d3 k
−ik·x
¯
D̄(x) =
(d¯† (k)eik·x + d(k)e
),
(2π)3 2k 0
Z
d3 k
(e† (k)eik·x + e(k)eik·x ).
E(x) =
(2π)3 2k 0
Um eine konkrete Form des BRST-Operators Q zu berechnen, interessieren die Kommutatorrelation von Q mit den Leiteroperatoren (Fockraum-Operatoren). Die Bestimmung dieser Beziehungen ist technisch unkompliziert, allerdings recht umfangreich, weshalb im Folgenden nur
ausgewählte Zwischenergebnisse offeriert werden.
Die Leiteroperatoren werden zunächst in Komponenten der vier linear unabhängigen Vektoren
k µ = (k 0 , k), k̄ µ = (k 0 , −k) und εµi (i = 1, 2) sowie deren antisymmetrisierte Produkte mit den
Relationen aus Gleichung (2.39) zerlegt.
b†µν (k) = b†ij (k)εi[µ εjν] + b†ki (k)k[µ εiν] + b†k̄i (k)k̄[µ εiν] + b†k̄k (k)k̄[µ kν]
c†µ (k) = c†i (k)εiµ + c†k (k)kµ + c†k̄ (k)k̄µ
c̄†µ (k) =
c̄†i (k)εiµ
+
c̄†k (k)kµ
+
(3.23)
(3.24)
c̄†k̄ (k)k̄µ
(3.25)
Die Kommutatorrelationen für die Fockraum-Operatoren folgen direkt aus der Wirkung von s auf
die Felder (siehe dazu die Gleichungen (2.34))
[Q, b†µν (k)] = −k[µ c†ν] (k),
{Q, c†µ (k)} = −ikµ d† (k),
†
[Q, d (k)] = 0,
[Q, e† (k)] = k µ c†µ ,
{Q, c̄†µ (k)} = −ikµ e† (k) + ik ̺ b†̺µ (k),
[Q, d¯† (k)] = −k µ c̄† (k).
µ
(3.26)
(3.27)
(3.28)
17
3 DAS KALB–RAMOND-FELD
Aus diesen Beziehungen folgt für die nun 17 unabhängigen Entwicklungskomponenten
[Q, b†ij (k)] = 0,
[Q, d† (k)] = 0,
[Q, b†k̄k (k)] = −c†k̄ (k),
[Q, d¯† (k)] = −2k2 c̄†k̄ (k),
[Q, b†ki (k)] = −c†i (k),
[Q, e† (k)] = 2k2 c†k̄ (k),
[Q, b†k̄i (k)] = 0,
{Q, c†i (k)} = 0,
{Q, c̄†i (k)} = 2ik2 b†k̄i (k),
{Q, c†k̄ (k)} = 0,
{Q, c̄†k̄ (k)} = 0,
{Q, c†k (k)} = −id† (k),
{Q, c̄†k (k)} = 2ik2 b†k̄k − ie† (k).
Um die Kohomologiestruktur zu verdeutlichen, ersetzt man die bosonischen Operatoren b†k̄k (k)
und e† (k) durch Linearkombinationen zweier weiterer Operatoren
f † (k) = 2k2 b†k̄k (k) − e† (k),
(3.29)
g † (k) = 2k2 b†k̄k (k) + e† (k),
(3.30)
die nun den verständlicheren Relationen
[Q, g † (k)] = 4k2 c†k̄
[Q, f † (k)] = 0,
genügen. Wie schon im Stückelberg-Fall motiviert, gelangt man zum Kohomologieoperator indem die Wirkung von Q auf Einteilchenzustände betrachtet wird. Die Verallgemeinerung auf
Vielteilchenzustände liefert
Q = 4k2 c†k̄ (k)
−
∂
∂g † (k)
+ if † (k)
∂
2k2 c̄†k̄ (k) ¯†
∂ d (k)
+
∂
∂c̄†k (k)
2ik2 b†k̄i (k)
− c†i (k)
∂
∂
∂b†ki (k)
− id† (k)
∂
∂c†k (k)
(3.31)
∂c̄†i (k)
Die einzigen BRST-invarianten Zustände werden also von b†ij (k)-Moden erzeugt. Dies entspricht
einem Freiheitsgrad, da gemäß der Entwicklung aus Gleichung (3.23) b†ij (k) = −b†ji (k) :=
εij b† (k) gilt. Dies stimmt mit den Überlegungen überein, die zu Beginn des Kapitels gemacht
wurden. Da eine Eichtransformation δBµν = ∂[µ λν] im Fockraum δb†µν (k) = ik[µ λ†ν] (k) entspricht, erkennt man an Gleichung (3.23), dass die drei Komponenten b†ki (k) und b†k̄k (k) beliebig
transformiert werden können und deshalb keine physikalischen Zustände erzeugen. Die zwei weiteren Freiheitsgrade b†k̄i (k) werden durch die Dispersionsrelation fixiert und tragen deshalb nicht
zum physikalischen Hilbertraum bei. Des Weiteren beobachtet man, dass Zustände, erzeugt durch
c†µ (k) und c̄†µ (k), sowohl Q-exakte Bestandteile als auch Q-geschlossene enthalten.
18
A EXEMPLARISCHE RECHNUNGEN
A Exemplarische Rechnungen
A.1 Bewegungsgleichung der Stückelberg-Felder
Ausgehend von der Lagrangedichte (2.4) lassen sich über das Hamiltonsche Prinzip (siehe Abschnitt 1) die Bewegungsgleichungen berechnen.
Z
h
δS[Aµ , Φ] = d4 x − 21 Fµν δF µν + (mAµ − ∂µ Φ)(mδAµ − ∂ µ δΦ)
i
− (∂ µ Aµ + mΦ)(∂ ν δAν + mδΦ)
Z
h
= d4 x (∂ ν Fνµ + m2 Aµ − m∂µ Φ)δAµ − (∂ µ Aµ + mΦ)∂ ν δAν
i
− (mAµ − ∂µ Φ)∂ µ δΦ + (−m∂ µ Aµ − m2 Φ)δΦ
Jetzt werden die Terme mit Faktoren ∂ ν δAν und ∂ µ δΦ partiell Integriert und beachtet, dass Divergenzterme aufgrund der Variationsfaktoren verschwinden
Z
= d4 x (Aµ + m2 Aµ )δAµ − (Φ + m2 Φ)δΦ .
Nach dem Hamiltonschen Prinzip muss die Variation der Wirkung für physikalische Felder verschwinden. Nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung müssen dann die Terme
( + m2 )Aµ ,
−( + m2 )Φ
verschwinden, da die Variationen δAµ und δΦ klein, aber beliebig, gewählt werden dürfen. Die
resultierenden Gleichungen sind gerade die Bewegungsgleichungen der Felder.
A.2 Kommutatorregeln für Leiteroperatoren
Hier wird die Bestimmung der Kommutatorregeln der Leiteroperatoren am Beispiel des Skalarfeldes Φ erläutert. Die postulierte Relation formuliert sich in Fockraum-Operatoren wie folgt:
iδ 3 (x − y) = [Φ(t, x), ΠΦ (t, y)]
Z
Z
d3 k
d3 k′
=
×
(2π)3 2k 0
(2π)3 2k ′0
′
′
× [ϕ† (k)eik·x + ϕ(k)e−ik·x , ik ′0 ϕ† (k′ )eik ·y − ik ′0 ϕ(k′ )e−ik ·y ] 0 0
y =x =t
Z
Z
3
′
3
d k
d k
ik ′0 [ϕ† (k), ϕ† (k′ )] eik·x+ik·y
=
(2π)3 2k 0
(2π)3 2k ′0
′
′
+ [ϕ† (k), ϕ(k′ )] eik·x−ik ·y + [ϕ(k), ϕ† (k′ )] e−ik·x+ik ·y
′
+ [ϕ(k), ϕ(k′ )] e−ik·x−ik ·y 0 0 .
x =y =t
19
A EXEMPLARISCHE RECHNUNGEN
R d3 k
0 −ik·(x−y) |
Benutzt man nun die Darstellung der δ-Distribution iδ 3 (x−y) = (2π)
3 2k 0 2ik e
x0 =y 0 ,
dann erkennt man, dass die geforderten Beziehungen für Φ und ΠΦ realisiert sind, wenn
[ϕ(k), ϕ(k′ )] = 0 = [ϕ† (k), ϕ† (k′ )] ,
gilt.
[ϕ† (k), ϕ(k′ )] = −2k 0 (2π)3 δ 3 (k − k′)
20
Literatur
Literatur
[1] B ECCHI , C., A. ROUET und A. S TORA. Commun. Math. Phys. 42 (1975), 127; Ann. Phys.
98 (1976), 287.
[2] D RAGON , N ORBERT: BRS Symmetry and Cohomology, 1996. preprint hep-th/9602163v1.
[3] JACKSON , J OHN DAVID: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Berlin, 4. Auflage, 2006.
S. 675.
[4] NAKAHARA , M IKIO: Geometry, Topology and Physics. Taylor and Francis Group, 2. Auflage, 2003.
[5] S T ÜCKELBERG , E RNST. Helv. Phys. Acta 11 (1938), 299.
[6] T HEIS , U LRICH: Yang–Mills–Theories and the Standard Model, 2006.
[7] T YUTIN , I. V.: Gauge invariance in field theory and statistical mechanics. Lebedev preprint
FIAN, n039 (1975).
[8]
ZWIEBACH ,
S. 309.
BARTON: A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004.