Moderne Theoretische Physik II (Quantenmechanik II)

Moderne Theoretische Physik II (Quantenmechanik II)
Institut für Theoretische Teilchenphysik
Prof. Dr. M. Steinhauser, Dr. L. Mihaila
http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/∼luminita/TheoE1213
WS 12/13 – Blatt 12
Abgabe: 25.01.2013
Besprechung: 29.01.2013
(*) Aufgabe 1 (6P): Zweizustandssystem im äußeren Potential.
Ein Zweizustandssystem im zeitlich harmonischen äußeren Potential wird durch folgenden HamiltonOperator beschrieben
H = H0 + V (t) ,
wobei H0 der ungestörte Hamilton-Operator bezeichnet:
H0 |1i = E1 |1i ,
H0 |2i = E2 |2i ,
mit E2 > E1 .
Der Störoperator im Raum der ungestörten Eigenzustände {|1i, |2i} ist gegeben durch
0
eiωt
.
V (t) = λ
e−iωt 0
(a) Lösen Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung i~∂|Ψ(t)i/∂t = H|Ψ(t)i für die Anfangsbedingung |Ψ(t = 0)i = |1i. Dabei erhalten Sie ein System von gekoppelten Differentialgleichungen für die
Koeffizienten cn (t) = hn|Ψ(t)i, n = 1, 2, das exakt gelöst werden kann.
(b) Benutzen Sie nun Störungstheorie in niederster, nicht-trivialer Ordnung, um die Koeffizienten
cn (t), n = 1, 2, zu berechnen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung von Aufgabenteil
(a) für kleine Werte von λ. Betrachten Sie dabei folgende Fälle separat:
(i) ω ≈ ω21 mit ω21 = (E2 − E1 )~;
(ii) ω ≫ ω21 bzw. ω ≪ ω21 .
Aufgabe 2: Hamilton-Operator des freien Strahlungsfeldes
Der Hamilton-Operator des freien Strahlungsfeldes in einem endlichen Volumen V ist gegeben durch
!
Z
~2
ε0 c2
E
2
3
~
Hrad =
+B
d r
2
c2
V ε0 c2 X 1 ~˙
2
2
~
~
|A~ (t)| + |k × A~k (t)|
,
(1)
=
2
c2 k
~k
~ r , t) = P~ A
~ (t)ei~k·~r definiert sind. Zeigen
~~ (t) durch die Fourier-Reihe des Vektorpotentials A(~
wobei A
k ~k
k
Sie, dass Gl. (1) in folgender Form geschrieben werden kann
X
1
†
,
Hrad =
~ck ~a~ ~a~k,λ +
k,λ
2
~k,λ
wobei ~k den Wellenvektor und λ die Polarization bezeichnet. Das Vektorpotentials ist dabei gegen
durch (mit ωk = kc)
r
X
~
~
⋆ −i(~k·~
r−ωk t)
~ r , t) =
,
e
a~k,λ ~ε~k,λ ei(k·~r−ωk t) + a~† ~ε~k,λ
A(~
k,λ
2kcV ε0
~k,λ
1
wobei a~k,λ und a~† die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren sind. Es gilt
k,λ
[a~k,λ , a~† ′ ′ ] = δ~k,~k ′ δλ,λ′ ,
k ,λ
[a~k,λ , a~k ′ ,λ′ ] = 0 ,
und [a~† , a~† ′
k,λ
k ,λ′
] = 0.
Hinweis: O.B.d.A. kann man Polarisationsvektoren wählen, so dass gilt ~ε~k,λ = ~ε−~k,λ .
(*) Aufgabe 3(4P): Kommutatorrelationen
~ und den Ortsoperator ~r
Überprüfen Sie die Kommutatorrelation für den Drehimpulsoperator L
~ 2 , [L
~ 2 , ~r ] ] = 2~2 {L
~ 2 , ~r } .
[L
~ 2 , xi ], wobei xi eine Komponente des Ortsoperators bezeichBerechnen Sie dazu die Kommutatoren [L
net.
2