α G sin H = A cos H = G tan A =

Übung 00
MERKE
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
B
1.
c
a
A

a)
a = 3,7 cm / c = 5,9 cm
b)
a = 10,1 cm / b = 7,8 cm
c)
b = 11,1 cm / c = 17,0 cm
d)
b = 29,3 cm / a = 21,7 cm
b
C
berechne jeweils den Winkel 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
Berechne jeweils a und danach b:
a)
α = 35° / c = 7,0 cm
b) c = 6,0 cm / β = 68°
c)
c = 5,72 cm / γ = 21°
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.
Eine Leiter mit der Länge l = 7,20 m lehnt an einer Hauswand. Die Leiter bildet mit der
Hauswand oben einen Winkel von 20°. Wie groß ist der waagerechte Abstand des unteren
Leiterendes von der Hauswand?
4.
Ein stabiles Brett soll für eine Laderampe mit der
Höhe h = 1,60 m hergestellt werden. Dabei soll der
Neigungswinkel α höchstens 27° betragen .Wie lang
muss das Brett sein?
Übung 00
5.
Gegeben
b = 12 cm, c = 25 cm
Gesucht
a ,  ,  , Dreiecksfläche
ERGEBNISSE
1.
  38,83 ,
  52,32 ,
  49, 23 ,
  36,52
2.
a)
a  4, 01 cm , b  5, 73 cm
b)
a  16, 01 cm , b  14,85 cm
c)
a  14,90 cm , b  15,96 cm
3.
a  2, 46 m
4.
c  3,52 m
5.
a  27, 73 cm ,   25, 64 ,   90    64,36
A
g h
 .......  150 cm 2
2
Übung 01
MERKE
1.
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
Berechne jeweils zuerst β und danach γ:
a)
a = 13,7 cm / c = 5,9 cm
b)
a = 14,1 cm / b = 7,8 cm
c)
a = 21,0 cm / c = 17,0 cm
d)
a = 29,3 cm / b = 25,6 cm
------------------------------------------------------------------------------------------------2.
Berechne jeweils a und danach b:
a)
α = 35° / c = 6,7 cm
b) c = 6,7 cm / β = 78°
c) c = 6,7 cm / γ = 11°
------------------------------------------------------------------------------------------------d)
Zeichne ein Dreieck mit α = 90°, γ = 45° und b = 6,7 cm. [Skizze genügt].
Bestimme a und c und β.
e)
Zeichne ein Dreieck mit β = 47°, γ = 90° und c = 6,7 cm. [Skizze genügt].
Bestimme a und b und α.
3.
Eine Leiter mit der Länge l = 5,40 m lehnt an einer Hauswand. Die Leiter bildet mit der
Hauswand oben einen Winkel von 20° (bzw. 25° / 30°). Wie groß ist jeweils der waagerechte
Abstand des unteren Leiterendes von der Hauswand?
4.
Ein stabiles Brett soll für eine Laderampe mit der
Höhe h = 1,60 m hergestellt werden. Dabei soll der
Neigungswinkel α höchstens 35° betragen .Wie lang
muss das Brett sein?
Übung 01
LÖSUNGEN
1.
a) cos  
c
a
   64, 49    90    25,51
b) sin  
b
a
   33,58    90    56, 41
c)   35,95    54, 05
d)   60,89    29,11
2.
a)
b)
c)
d)
a
 sin 
c
 a  c  sin   3,84 cm
b
 cos 
c
 b  c  cos   5, 48 cm
b
 tan 
c
 b  c  tan   31,52 cm
c
 cos 
a
 a
c
 32, 22 cm
cos 
c
 tan 
a
 a
c
 34, 47 cm
tan 
c
 sin 
b
 b
c
 35,11 cm
sin 
45°
a=?
b = 6,7 cm
c
 tan 45  c  b  tan 45  6, 7 cm
b
a  6, 7  6, 7  9, 47 cm und
2
e)
C
2
  90  45  45
a=?
b=?
47°
A
3.
a
 sin 
l
 a  l  sin   1,84 m / 2, 28 m / 2, 70 m
4.
h
 sin 
c
 c
h
 2, 79 m
sin 
B
c=?
C
a
 cos 47  a  4,57 cm
c
b
 sin 47  b  4,90 cm
c
A
c = 6,7 cm
20°
l
a=?
B
Übung 02
MERKE
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
1.
Eine Seilbahn überwindet auf einer Teilstrecke
von 250m Länge eine Höhendifferenz von 180m.
Auf einer zweiten Teilstrecke von 124m beträgt
die Höhendifferenz 78m. Wie groß sind die
beiden Steigungswinkel?
2.
Ein Sendemast soll mit 4 Seilen von je 40m Länge gehalten werden. Der
Neigungswinkel  der Seite soll 55° betragen. In welcher Höhe müssen die
Seile befestigt werden?
3.
Berechne die fehlenden Größen im Dreieck:
Bestimme  und
.
4.
Bestimme  und
:
5.
Berechne die fehlenden Größen b und c:
6.
Berechne die fehlenden Größen a und b:
7.
Der Schatten eines 4,50m hohen Baumes ist 6m lang. Wie hoch steht die Sonne, d.h. unter
welchem Winkel treffen die Strahlen den Boden? Mache eine Skizze.
Übung 02
LÖSUNGEN
h
a
1  35, 75
 
 2  32,17
1.
tan  
2.
h
 sin 
c
 h  c  sin   32, 76 m
3.
tan  
a
c
  52, 61
 
   90    37,39
4.
tan  
a
b
  56,31
 
   90    33, 69
5.
b
 tan 
a
 b  a  tan   12,96 cm
a
 cos 
c
 c
a
 14, 08 cm
cos 
c
 tan 
a
 a
c
 33,91 cm
tan 
c
 sin 
b
 b
c
 36,57 cm
sin 
6.
7.
tan  
h
a
| tan
1
  36,87
h=4,5m
a=6m
α
ZUSATZAUFGABEN FÜR SCHNELLE RECHNER
Übung 03
sin  G
H
MERKE
cos  A
H
Steigung 
tan  G
A
Gegenkathe
 tan 
Ankathete
G
α
A
BEISPIEL 1:
16% Steigung = 16m auf 100m =
16m
 0,16  tan   0,16    9, 09
100m
1. Wie groß ist der Steigungswinkel α einer Straße, wenn die Steigung
a) 3,5%
b) 5%
BEISPIEL 2:
oder c) 12%
beträgt?
Steigungswinkel α = 10° → tan10° = 0,176 =
17, 6m
 17, 6% Steigung
100m
2. Wie groß ist die Steigung in % einer Eisenbahnlinie, wenn der Steigungswinkel α folgende
Werte hat:
a) 0,7°
b) 1,4°
c) 2,1°
3. Unter welchem Höhenwinkel sieht man aus einer waagerechten Entfernung von 1,5 km
a)
das Ulmer Münster (Höhe h = 160m) ?
die Cheopspyramide (Höhe h = 137m) ?
b)
4. In welcher waagerechten Entfernung erscheint unter einem Höhenwinkel von 12°
a)
die Turmspitze vom Straßburger Münster (h = 143m) ?
die Spitze des Eifelturmes (h = 300m) ?
b)
5. Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, wird der Winkel gemessen, unter dem die
Turmspitze aus einer waagerechten Entfernung von 230m erscheint. Man misst α = 27°. Der
Beobachtungspunkt (Augenhöhe) liegt 1,80m höher als der Fußpunkt des Turmes. Wie hoch ist
der Turm?
C
6. Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, wird
der Winkel α = 52,3° und die Strecke AB = 30m
gemessen. Wie breit ist der Fluss?
7.

A

b
a


c
a  4, 2cm c  7,9cm  ,  , b  ?
8.

Fluss
a
c
B
a
b
c

b  5,5cm c  3,1cm  ,  , a  ?
9. Eine Zahnradbahn besitzt eine Steigung von 21%. Sie legt eine (schräge) Fahrstrecke von 4km
zurück. Wie groß ist die Höhendifferenz?
Übung 03
LÖSUNGEN
3,5
 0, 035    2 ebenso   2,86 und   6,84
100
1.
tan  
2.
tan 0, 7  0, 0122 
3.
tan  
1, 22
 1, 22% ebenso 2, 44% und
100
3, 67%
h 160

 0,10666...    6, 09
a 1500
ebenso   5, 22
4.
h
 tan 
e
e
h = 160 m
α=?
a = 1500 m
(kreuzweise multiplizieren)
h
143

 672, 76 m
tan  tan 12
h = 143 m
ebenso e = 1411,39 m
α = 12°
e=?
5.
h
 tan 
e
 h  e  tan   117,19 m
H  h  a  118,99 m
h
a  Augenhöhe
H=?
α = 27°
6.
a
a
 tan 
c
a  c  tan   30  tan 52,3  38,8 m
7.
sin  
a
c
   32,11    90    57,89
b  c 2  a 2  6, 69 cm
8.
a  b 2  c 2  6,31 m
tan  
9.
b
c
   60,59    90    29, 41
Steigungswinkel
tan   0, 21    11,86
h
 sin  (!)  h  s  sin   822 m
s
e = 230 m
Übung 04
sin  G
H
cos  A
H
1.
Gegeben:
α = 37°, x = 12 cm
Bestimme:
y und z und γ .
2.
tan  G
A
Steigung  tan 
Steigung = 18%
Bestimme α.
3.
α = 8°
Bestimme die Steigung in %.
Wie groß ist h ?
4.
Bestimme den Neigungswinkel α.
5.
Bestimme α.
6.
Ein Mann, dessen Augenhöhe 1,80m beträgt, sieht einen Baum im Abstand von 25,80m unter
dem Höhenwinkel α = 24°. Wie hoch ist der Baum?
7.
Eine Frau sieht einen Kirchturm, der 92m hoch ist unter einem Höhenwinkel von α = 32°.
Wie weit ist sie vom Kirchturm entfernt, wenn ihre Augenhöhe 1,65m beträgt?
1.
Ein Mann steht auf einem Balkon mit der Höhe h =
8m und sieht den Fuß eines Baumes unter einem
Tiefenwinkel von β = 17° und die Spitze des
Baumes unter einem Höhenwinkel von α = 23°. Wie
hoch ist der Baum? Finde selbstständig einen
Rechenweg.
9.
Wiederhole die Rechnung für β = 10°,
α = 17° und h = 6m.
Übung 04
LÖSUNGEN
1.
y
 tan 
x
y  x  tan   9, 04 cm

z  x 2  y 2  15, 02 cm oder
x
 cos 
y
 z
x
 15, 02 cm
cos 
  90    53
18
 0,18    10, 2
100
2.
tan  
3.
tan 8  0,1405 
4.
cos  
5.
sin

2

14, 05
 14, 05% und
100
h
 sin 
s
 h  167 m
5
   33,55
6
4


 53,13    106, 26
5
2
h
6.
h
 tan 
a
 h  11, 48 m
H  h  1,80 m  13, 28 m
7.
8.
a = 25,8 m
1,80 m
h  92 m  1, 65 m  90,35 m
h
 tan 
a
 a
h
 144,59 m
tan 
h
 tan 
a
 a
h
 26,16 m
tan 
x
 tan 
a
Wiederholung
H  16, 4 m
x
 x  a  tan   11,1 m
H  h  x  19,1 m
9.
α = 24°
α = 23°
β = 17°
h=8m
a=?
h
Übung 05
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
Steigung  tan 
1.
a) gegeben:
a = 34,5 m
α = 14,2°
gesucht: b
b) gegeben:
b = 42,7 m
α = 25,6°
gesucht: c
c) gegeben:
c = 117,3 m
α = 7,4°
gesucht: a
d) gegeben:
b = 74,3 m
c = 126,7 m
gesucht: α
2.
Ein Baum erscheint in 22m waagerechter Entfernung unter dem Höhenwinkel
α = 27,8°. Wie hoch ist der Baum?
3.
Von einem Turm aus (h = 62 m) sieht man ein Auto unter dem Senkungswinkel
α = 12,7°. Wie weit (Luftlinie) ist das Auto vom Beobachter entfernt?
4.
Ein Abhang hat auf einer schrägen Strecke von s = 170 m die Neigung α = 3,8°. Wie
hoch ist der Abhang?
5.
Eine Leiter mit der Länge l = 9,5 m lehnt an einer Wand. Ihr Fuß ist a = 2,7 m von der
Wand entfernt. Wie groß ist ihr Neigungswinkel?
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,1 km lang und hat ein Gefälle von 40%. Wie
groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Fenster aus, das sich h = 9 m über dem Boden befindet, erscheint der Fuß
eines Fabrikschornsteines unter dem Senkungswinkel α = 16,2°, die Spitze erscheint unter dem Höhenwinkel β = 47°. Wie hoch ist der Schornstein?
***
8.
Messwerte: α = 12,3° und β = 24,7°, s = 117m.
Bestimme die Höhe h.
Rechne mit zwei Unbekannten:
oder verwende eine FORMEL
(siehe Epochenheft).
x und h
Übung 05
LÖSUNGEN
1.
2.
a)
a
 tan 
b
 b  136,34 m
b)
b
 cos 
c
 c  47,35 m
c)
a
 sin 
c
 a  15,11 m
d)
cos  
h
 tan 
a
b
 0,5864    54,10
c
 h  11, 60 m
α
3.
h
 sin 
c
 c
h
 282, 02 m
sin 
c
h
α
4.
h
 sin 
c
5.
cos  
 h  11, 27 m
a
l
   73, 49
l
α
a
6.
tan   0, 40    21,80
h
 sin 
s
7.
 h  1151 m
(siehe Blatt 4)
h1
a
 tan 
 a  30,98 m
 tan 
 h 2  33, 22 m
h2
a
H  h 1  h 2  42, 22 m
8.
HERLEITUNG DER FORMEL SIEHE EPOCHENHEFT
h
s
 1
1 



 tan  tan  

117


1
1



 tan 12,3 tan 24, 7 
 48,50 m
Auto
Übung 06
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
Steigung  tan 
1.
a) gegeben:
b = 11,2 m
α = 27°
gesucht: a
b) gegeben:
a = 7,2 m
α = 18°
gesucht: b
c) gegeben:
b = 250 m
a = 40 m
gesucht: α
d) gegeben:
b = 78,3 m
α = 52,7°
gesucht: c
2.
Gegeben: a = 8m, b = 5m,
Berechne α, β, und die Strecke x.
3.
Ein Abhang hat auf einer Länge von s = 170 m die Steigung 15%. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie hoch ist der Abhang?
4.
Eine Dach hat die Form eines gleichschenkligen Dreieckes. Die Sparren sind 6,5m lang, die
Basis vom Dach ist 8m breit. Wie hoch ist das Dach? Welchen Neigungswinkel besitzt es?
5.
Von einem Fenster aus, das sich h = 10 m über dem Boden befindet, erscheint der Fuß eines
Fabrikschornsteines unter dem Senkungswinkel α = 18,2°, die Spitze erscheint unter dem Höhenwinkel β = 37°. Wie hoch ist der Schornstein?
***
6.
Vom Turm aus mit der Höhe h = 26m
erscheint ein Fluss unter dem Sehwinkel
α = 14,2°. Der Turm ist vom Flussufer
b  5m entfernt. Bestimme die Breite
des Flusses.
7.
Von einem Turm aus (h = 50 m)
erscheinen die beiden Ufer eines
Flusses unter dem Tiefenwinkeln
  24,1 und   63, 2 . Wie
breit ist der Fluss?
Übung 06
LÖSUNGEN
1.
a)
a  b  tan   5, 7 m
b)
b
c)
tan  
d)
c
a
 22,16 m
tan 
a
b
   9, 09
b
 129, 21 m
cos 
  57,99
  32, 01
2.
x  a 2  b 2  9, 43 m
3.
tan   0,15    8,53  h  s  sin   25, 22 m
4.
h  6,52  42  5,12 m
5.
(siehe Blatt 4)
tan  
5,12
   52
4
h1
 30, 415  h2  a  tan   22,92 m
tan 
H  h 1  h2  32,92 m
a
* * *
6.
7.
tan  
b 5

   10,89
h 26
      25, 09
a
 tan 
h
 a  h  tan   12,17 m  x  a  b  7,17 m
h
 tan 
a
 a
h
 111, 77 m
tan 
h
 tan 
b
 b
h
 25, 25 m
tan 
x  a  b  86,51 m
Übung 07
sin  G
H
cos  A
H
1.
2.
α = 25° , b = 12m
Steigung  tan 
gesucht: a, c und β
gesucht: α, β und z
x = 11m, y = 15m
3.
4.
tan  G
A
a = 2,6 m, α = 22°
gesucht: h und c
Eine Leiter von 6m Länge lehnt an einer Hauswand und hat von der Wand einen Abstand von
1,5m. Welchen Winkel bildet die Leiter mit dem Erdboden?
5.
Ein Auto fährt eine Straße mit der Steigung 14% hinauf. Welchen Höhenunterschied hat das
Auto nach 5km Fahrstrecke überwunden?
6.
Der Schatten eines 8m hohen Baumes ist 11,2m lang. Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen den Erdboden?
7.
Unter welchem Sehwinkel α schaut der Betrachter auf das
Gemälde in der Münchener PINAKOTHEK?
8.
LEONARDOS Mona
Lisa
sitzt auf dem Schiefen Turm zu Pisa. Sie staunt und schweigt,
der Turm ist ja um 4,6° geneigt, sie schaut aus 55 m Höh herunter und lächelt nicht gerade munter, während sie darüber nachdenkt, wie weit sie von der Vertikale weghängt. So lächelt sie
ewig und findet es nicht, weil’s ihr an TrigonometrieKenntnissen fehlt.
9.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 32° bekommen. Die Stufen sind 15cm hoch. Be-
rechne die Stufenbreite.
10.
Im Deutschen Museum hängt ein 60 m langes Pendel. Jeden Tag wird es 140cm waagerecht
ausgelenkt. Berechne den Auslenkwinkel α und die maximale Hubhöhe des Pendel-Schwerpunkts.
Übung 07
LÖSUNGEN
1.
a  5,59 m
c  13, 24 m
  65
2.
  53, 75
  36, 25
z  18, 60 m
3.
c  6,94 m
h  6, 43 m
4.
cos  
5.
tan   0,14    7,97  h  693, 2 m
6.
tan  
7.
tan  2 
3, 6  0, 6
  2  51
3, 4
tan  1 
0, 6
  1  10     2   1  41
3, 4
8.
1,5
   75,52
6
h
s
   35,53
PISA
x
 tan 
h
α = 4,6°
 x  4, 42 m
h = 55 m
x
h = 15 cm
9.
x
TREPPE
h
 tan 
x
 x  24 cm
x
α
10.
PENDEL
1, 4
sin  
   1,337
60
y  60  cos 
y
60 m
 x  60  y  0, 016 m  16 cm
1,4 m
x
Übung 08
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
Steigung  tan 
1.
a)
gegeben:
α = 14,2° ,
a = 43,5m
gesucht: b
b)
gegeben:
α = 25,6° ,
b = 42,7m
gesucht: c
c)
gegeben:
α = 7,4° ,
c = 117,3m
gesucht: a
d)
gegeben:
b = 74,3m ,
c = 126,7m
gesucht: α
2.
Ein Baum erscheint aus 22m Entfernung unter einem Höhenwinkel von α = 27,8°. Wie hoch
ist der Baum?
3.
Von einem Turm aus (h = 62m) sieht man ein Auto unter dem Senkungswinkel β = 12,7°.
Wie weit (Luftlinie) ist das Auto entfernt?
4.
Ein Abhang hat auf einer Streckenlänge von s = 170m eine Neigung von α = 3,8°. Wie hoch
ist der Abhang?
5.
Eine Leiter mit der Länge l = 9,50m lehnt an einer Wand. Ihr Fuß ist a = 2,70m von der Wand
entfernt. Wie groß ist der Neigungswinkel der Leiter?
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,7km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 45%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Fenster aus, das h = 9m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Fabrikschornsteines unter dem Senkungswinkel α = 16,2°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel
β = 47°. Wie hoch ist der Schornstein? (siehe Blatt 4)
8.
Wie breit ist ein Satteldach, wenn dessen Höhe h =
4,5 m und der Neigungswinkel α = 38° beträgt?
Wie lang müssen die Dachsparren sein, wenn diese
1,20m überstehen sollen?
9.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 10m und
die Länge der Grundseite a = 6,4m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt? (siehe Zeichnung)
10.
Bei einem Nachtflug über dem Bodensee leuchtet man von der
Spitze eines Zeppelins mit einem Richtungsscheinwerfer senkrecht nach unten. Der Lichtfleck auf dem Wasser erscheint vom
80m entfernten Heck des Zeppelins unter dem Tiefenwinkel α =
81,4°. In welcher Höhe fliegt der Zeppelin?
Übung 08
LÖSUNGEN
1.
a) b = 171,91 m
2.
h  11, 60 m
3.
l  282, 02 m
4.
h  11, 27 m
5.
  73, 49
6.
tan  
h1
a
d) α = 54,09°
45
   24, 23
100
h
 sin 
s
7.
b) c = 47,34 m c) a = 15,11 m
 h  s  sin   1518 m
 tan 
h2
 a  .....
a
 tan 
 h 2  .....
H  h 1  h 2  42, 22 m
c
8.
h
HALBES DACH
α
h
 tan 
x
x
 x  5, 76 m  b  2  x  11,52 m
c  x 2  h 2  7,31 m  Sparrenlänge  8,51 m
9.
PYRAMIDE
d  a 2  a 2  6, 42  6, 42  9, 05 m
x
d
 4,525 m
2
d
a
a
h
h
h
tan   
   65, 65
x 4,525
α
x
10.
ZEPPELIN
a
h
a
α
h
 tan 
a
 h  529m
a
Übung 09
sin  G
H
cos  A
H
tan  G
A
Steigung  tan 
1.
a)
gegeben:
α = 24° ,
a = 43,5m
gesucht: b
b)
gegeben:
α = 25° ,
b = 42,7m
gesucht: c
c)
gegeben:
α = 18° ,
c = 28m
gesucht: a
d)
gegeben:
b = 7,4m ,
c = 12,6m
gesucht: a
2.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 38° bekommen. Die Stufen sind 30cm tief. Berechne die Stufenhöhe.
3.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 4,2km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 35%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
4.
Von einem Turm aus (Höhe h = 62m) erscheinen die beiden Ufer eines Sees unter den Senkungswinkeln α = 17° und β = 21°. Wie breit ist der See?
5.
Von einem Fenster aus, das h = 9m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Baumes
unter dem Senkungswinkel α = 18°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 12°. Wie hoch
ist der Baum? (siehe Blatt 4)
6.
Wie hoch ist ein Satteldach, wenn dessen Breite b =
8,4 m und der Neigungswinkel α = 38° beträgt? Wie
lang müssen die Dachsparren sein, wenn diese 1,3m
überstehen sollen?
7.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h =
12m und die Länge der Grundseite a = 8,2m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt? (siehe Zeichnung)
8.
DER JAKOBSTAB
Der Jakobstab ist ein einfaches Gerät zum Messen von Winkeln. Er ist um 1300 erfunden
worden und war im Mittelalter ein viel gebrauchter Winkelmesser in Astronomie, Seefahrt
und Landvermessung. Er besteht aus einem Längsstab mit Skala (siehe Abbildung). Auf diesem lässt sich ein dazu senkrechter Querstab bekannter Länge verschieben. Man peilt das Ziel
von einem Ende des Längsstabs aus so an, dass es genau zwischen den Enden des Querstabes
liegt. Beschreibe, wie man damit die Größe eines Winkels findet, und wende die Methoden an
auf die Messwerte: Länge des Querstabs 30 cm, Abstand des Querstabs vom Auge 1,42m.
Bestimme den Winkel α, der am Punkt A gemessen wird.
(Satz des Pythagoras)
Übung 09
9.
ZUSATZFRAGE FÜR FEINSCHMECKER
Wie lang ist die Strecke FG, wenn folgende Werte gemessen werden: α = 12° bei A, β = 20°
bei B und die Strecke AB = HI = 35m?
LÖSUNGEN
d) a  c ²  b ²  10, 20 m
1.
a) b = 97,70 m b) c = 47,11 m c) a = 8,65 m
2.
h = 23,44 cm
3.
  19, 29  h  1387 m
4.
x  202,8 m  161,5 m  41,3 m
5.
a  27, 7 m  h  5,89 m  9, 00 m  14,89 m
6.
h  3, 28 m  c  5,32 m  1,30 m  6, 62 m
7.
d  a ²  a ²  11, 6 m  tan  
8.
  12, 06
9.
SCHWER FG = 18,21 m, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
12
   64, 2
5,8
Übung 10 a
TEST A, leicht
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
Steigung = tan α
Bitte jede Aufgabe mit ANSATZ und
nachvollziehbarem RECHENWEG aufschreiben.
Bitte auf gute FORM achten.
1.
gegeben:
α = 35° ,
b = 20m
gesucht: a
2.
gegeben:
α = 28° ,
b = 73m
gesucht: c
3.
gegeben:
α = 41° ,
c = 121m
gesucht: a
4.
gegeben:
a = 79m ,
c = 233m
gesucht: α
5.
Ein Baum, der 20m hoch ist, wird unter dem Höhenwinkel 34° gesehen. Wie groß ist der
waagerechte Abstand zum Baum?
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 31%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Turm aus (Höhe h = 72m) erscheinen die beiden Ufer eines Flusses unter den
Senkungswinkeln α = 31° und β = 54°. Wie
breit ist der See?
8.
Von einem Fenster aus, das h = 8m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 17,2°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 47,3°. Wie
hoch ist der Turm? Mache eine geeignete Skizze.
9.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen Höhe h = 6m und
dessen Neigungswinkel α = 35° beträgt? Wie lang
müssen die Dachsparren (Balken) sein, wenn diese
1,8m überstehen sollen?
10.
In einem RECHTECK (siehe Skizze)
sind folgende Größen gegeben:
d = 10 cm , a = 4,5 cm
Bestimme β , b und den Flächeninhalt A.
d
a
β
b
Übung 10 a
TEST A, leicht
Lösungen A
1.
a
= tan α
b
→ a = b ⋅ tan α = 20 ⋅ tan 35° = 14, 00 m
2.
b
= cos α
c
→ c=
3.
a
= sin α
c
→ a = c ⋅ sin α = 121⋅ sin 41° = 79,38 m
4.
sin α =
5.
h
= tan α
a
6.
tan α = 31% =
7.
b
73
=
= 82, 68 m
cos α cos 28°
a 79
=
= 0,35426 | sin −1
c 233
→ a=
2P
α = 19,82°
h
20
=
= 29, 65 m
tan α tan 34°
31
= 0,31 | tan −1
100
h
= sin α
s
→ h = s ⋅ sin α = 2500 ⋅ sin17, 22° = 740, 2 m
h
= tan α
a
→ a=
h
72
=
= 119,83 cm
tan α tan 31°
h
= tan β
b
→ b=
h
72
=
= 52,31 cm
tan β tan 54°
→ a=
h2
= tan β
a
→ h2 = a ⋅ tan β = 25,84 ⋅ tan 47,3° = 28, 01 m
→ a=
sin β =
3P
3P
h
6
=
= 8,57 m → b = 2a = 17,14 m
tan α tan 35°
c = h² + a ² + 1,8 = 6² + 8,57² + 1,8 = 10, 46 + 1,8 = 12, 26 m
10.
2P
h1
8
=
= 25,84 m
tan α tan17, 2°
h1
= tan α
a
h
= tan α
a
2P
α = 17, 22°
H = h1 + h2 = 8 + 28, 01 = 36, 01 m
9.
2P
2P
x = a − b = 119,83 − 52,31 = 67,52 m
8.
2P
3P
a 4,5
=
= 0, 45 | sin −1 → β = 26, 74°
d 10
b = d ² − a ² = 10² − 4,5² = 8,93 cm
A = a ⋅ b = 4,5 ⋅ 8,93 ≈ 40,19 cm²
3P
24P
Übung 10 b
TEST B, leicht
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
Steigung = tan α
Bitte jede Aufgabe mit ANSATZ und
nachvollziehbarem RECHENWEG aufschreiben.
Bitte auf gute FORM achten.
1.
gegeben:
α = 27° ,
a = 17m
gesucht: b
2.
gegeben:
α = 54° ,
a = 29m
gesucht: c
3.
gegeben:
a = 50m ,
b = 37m
gesucht: α
4.
gegeben:
α = 42° ,
c = 117m
gesucht: b
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 36° bekommen. Die Stufen sind 22cm hoch. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Von einem Turm aus (Höhe h = 83m) erscheinen
die beiden Ufer eines Flusses unter den Senkungswinkeln α = 25° und β = 47°. Wie breit ist der See?
7.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen
Höhe h = 7m und dessen Neigungswinkel
α = 44° beträgt? Wie lang müssen die
Dachsparren (Balken) sein, wenn diese
1,2m überstehen sollen?
8.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 39%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
9.
Von einem Fenster aus, das h = 7,5m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 19,3°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 43,5°. Wie
hoch ist der Turm? Mache eine geeignete Skizze.
10.
In einem RECHTECK (siehe Skizze)
sind folgende Größen gegeben:
d = 12 cm , b = 8,5 cm
Bestimme β , a und den Flächeninhalt A.
d
a
β
b
Übung 10 b
TEST B, leicht
Lösungen B
1.
a
= tan α
b
→ b=
a
17
=
= 33,36 m
tan α tan 27°
2P
2.
a
= sin α
c
→ c=
a
29
=
= 35,85 m
sin α sin 54°
2P
3.
tan α =
4.
b
= cos α
c
→ b = c ⋅ cos α = 117 ⋅ cos 42° = 86,95 m
5.
h
= tan α
a
→ a=
h
22
=
= 30, 28 cm
tan α tan 36°
6.
h
= tan α
a
→ a=
h
83
=
= 177,99 m
tan α tan 25°
h
= tan β
b
→ b=
h
83
=
= 77, 40 cm
tan β tan 47°
a 50
=
= 1,35135 | tan −1 → α = 53,50°
b 37
x = a − b = 177,99 − 77, 40 = 100,59 m
7.
h
= tan α
a
→ a=
tan α = 39% =
h
= sin α
s
9.
39
= 0,39 | tan −1
100
3P
→ α = 21,31°
→ h = s ⋅ sin α = 3500 ⋅ sin 21,31° = 1271, 7 m
2P
7,5
h1
=
= 21, 41 m
tan α tan19,3°
2P
h1
= tan α
a
→ a=
h2
= tan β
a
→ h2 = a ⋅ tan β = 21, 41 ⋅ tan 43,5° = 20,32 m
cos β =
2P
h
6
=
= 7, 25 m → b = 2a = 14,50 m
tan α tan 44°
H = h1 + h2 = 7,5 + 20,32 = 27,82 m
10.
2P
3P
c = h² + a ² + 1, 2 = 7² + 7, 25² + 1, 2 = 10, 08 + 1, 2 = 11, 28 m
8.
2P
b 8,5
=
= 0, 7083 | cos −1
d 12
3P
→ β = 44,9°
b = d ² − b² = 10² − 8,5² = 8, 47 cm
A = a ⋅ b = 8,5 ⋅ 8, 47 ≈ 72 cm ²
3P
24P
Übung 10 a
TEST A, normal
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
Steigung = tan α
Bitte jede Aufgabe mit ANSATZ und
nachvollziehbarem RECHENWEG aufschreiben.
Bitte auf gute FORM achten.
1.
gegeben:
α = 35° ,
b = 20m
gesucht: a
2.
gegeben:
α = 28° ,
b = 73m
gesucht: c
3.
gegeben:
α = 41° ,
c = 121m
gesucht: a
4.
gegeben:
a = 79m ,
c = 233m
gesucht: α
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 34° bekommen. Die Stufen sind 20cm hoch. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 31%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Turm aus (Höhe h = 72m) erscheinen die beiden Ufer eines Sees unter den Senkungswinkeln α = 31° und β = 54°. Wie breit ist der See?
8.
Von einem Fenster aus, das h = 8m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 17,2°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 47,3°. Wie
hoch ist der Turm?
9.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen Höhe h = 6m und
dessen Neigungswinkel α = 35° beträgt? Wie lang
müssen die Dachsparren (Balken) sein, wenn diese
1,8m überstehen sollen?
10.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 7m und die
Länge der Grundseite a = 5m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt?
(siehe Zeichnung)
11.
Freiwillig:
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 12m und die Länge der Grundseite
a = 10m bekannt. Wie lang ist eine schräge Pyramidenkante?
Übung 10 a
TEST A, normal
Lösungen A
1.
a
= tan α
b
→ a = b ⋅ tan α = 20 ⋅ tan 35° = 14, 00 m
2.
b
= cos α
c
→ c=
3.
a
= sin α
c
→ a = c ⋅ sin α = 121⋅ sin 41° = 79,38 m
4.
sin α =
5.
h
= tan α
a
6.
tan α = 31% =
7.
b
73
=
= 82, 68 m
cos α cos 28°
a 79
=
= 0,35426 | sin −1
c 233
→ a=
2P
2P
2P
→ α = 19,82°
2P
h
20
=
= 29, 65 m
tan α tan 34°
31
= 0,31 | tan −1
100
2P
→ α = 17, 22°
h
= sin α
s
→ h = s ⋅ sin α = 2500 ⋅ sin17, 22° = 740, 2 m
h
= tan α
a
→ a=
h
72
=
= 119,83 cm
tan α tan 31°
h
= tan β
b
→ b=
h
72
=
= 52,31 cm
tan β tan 54°
2P
x = a − b = 119,83 − 52,31 = 67,52 m
8.
3P
h1
8
=
= 25,84 m
tan α tan17, 2°
h1
= tan α
a
→ a=
h2
= tan β
a
→ h2 = a ⋅ tan β = 25,84 ⋅ tan 47,3° = 28, 01 m
H = h1 + h2 = 8 + 28, 01 = 36, 01 m
9.
10.
h
= tan α
a
→ a=
3P
h
6
=
= 8,57 m → b = 2a = 17,14 m
tan α tan 35°
c = h² + a ² + 1,8 = 6² + 8,57² + 1,8 = 10, 46 + 1,8 = 12, 26 m
3P
h
→ α = 63, 2°
3,535
3P
d = a ² + a ² = 7, 07 m → tan α =
Summe
11.
s = h 2 + x 2 = 122 + 7, 07 2 ≈ 13,93 m
24P
2P
Übung 10 b
TEST B, normal
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
Steigung = tan α
Bitte jede Aufgabe mit ANSATZ und
nachvollziehbarem RECHENWEG aufschreiben.
Bitte auf gute FORM achten.
1.
gegeben:
α = 27° ,
a = 17m
gesucht: b
2.
gegeben:
α = 54° ,
a = 29m
gesucht: c
3.
gegeben:
a = 50m ,
b = 37m
gesucht: α
4.
gegeben:
α = 42° ,
c = 117m
gesucht: b
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 36° bekommen. Die Stufen sind 22cm hoch. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Von einem Turm aus (Höhe h = 83m) erscheinen die beiden Ufer eines Sees unter den Senkungswinkeln α = 25° und β = 47°. Wie breit ist der See?
7.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen Höhe h = 7m
und dessen Neigungswinkel α = 44° beträgt? Wie
lang müssen die Dachsparren (Balken) sein, wenn
diese 1,2m überstehen sollen?
8.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 39%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
9.
Von einem Fenster aus, das h = 7,5m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 19,3°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 43,5°. Wie
hoch ist der Turm?
10.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 9m und die Länge
der Grundseite a = 6m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt?
(siehe Zeichnung)
11.
Freiwillig:
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 12m und die Länge der Grundseite
a = 10m bekannt. Wie lang ist eine schräge Pyramidenkante?
Übung 10 b
TEST B, normal
Lösungen B
1.
a
= tan α
b
→ b=
a
17
=
= 33,36 m
tan α tan 27°
2P
2.
a
= sin α
c
→ c=
a
29
=
= 35,85 m
sin α sin 54°
2P
3.
tan α =
4.
b
= cos α
c
→ b = c ⋅ cos α = 117 ⋅ cos 42° = 86,95 m
5.
h
= tan α
a
→ a=
h
22
=
= 30, 28 cm
tan α tan 36°
6.
h
= tan α
a
→ a=
h
83
=
= 177,99 m
tan α tan 25°
h
= tan β
b
→ b=
h
83
=
= 77, 40 cm
tan β tan 47°
a 50
=
= 1,35135 | tan −1 → α = 53,50°
b 37
2P
2P
2P
x = a − b = 177,99 − 77, 40 = 100,59 m
7.
h
= tan α
a
→ a=
3P
h
6
=
= 7, 25 m → b = 2a = 14,50 m
tan α tan 44°
c = h² + a ² + 1, 2 = 7² + 7, 25² + 1, 2 = 10, 08 + 1, 2 = 11, 28 m
8.
tan α = 39% =
h
= sin α
s
9.
39
= 0,39 | tan −1
100
3P
→ α = 21,31°
→ h = s ⋅ sin α = 3500 ⋅ sin 21,31° = 1271, 7 m
2P
7,5
h1
=
= 21, 41 m
tan α tan19,3°
2P
h1
= tan α
a
→ a=
h2
= tan β
a
→ h2 = a ⋅ tan β = 21, 41 ⋅ tan 43,5° = 20,32 m
H = h1 + h2 = 7,5 + 20,32 = 27,82 m
10.
d = a ² + a ² = 8, 48 m → tan α =
3P
h
4, 24
→ α ≈ 64, 77°
3P
Summe
11.
s = h 2 + x 2 = 122 + 7, 07 2 ≈ 13,93 m
24P
2P
Übung 10 c
TEST C, erweitert
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
1.
gegeben:
α = 42° ,
a = 33m
gesucht: b
2.
gegeben:
α = 29° ,
b = 53m
gesucht: c
3.
gegeben:
α = 34° ,
c = 121m
gesucht: a
4.
gegeben:
b = 51m ,
c = 260m
gesucht: α
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 42° bekommen. Die Stufen sind 20cm hoch. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 4,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 37%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Turm aus (Höhe h = 72m) erscheinen die beiden Ufer eines Sees unter den Senkungswinkeln α = 27° und β = 62°. Wie breit ist der See?
8.
Von einem Fenster aus, das h = 11m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 19°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 48°. Wie hoch
ist der Turm?
9.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen Höhe h = 4,50m
und dessen Neigungswinkel α = 36° beträgt? Wie
lang müssen die Dachsparren (Balken) sein, wenn
diese 1,5m überstehen sollen?
10.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 6m und die
Länge der Grundseite a = 4m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt?
(siehe Zeichnung)
11.
Freiwillig:
Steigung = tan α
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 11m und die Länge der Grundseite a =
8m bekannt. Wie lang ist eine schräge Pyramidenkante?
Übung 10 c
TEST C, erweitert
Realschulprüfung Mathematik Pflichtbereich
Aufgabe P 1:
Für nebenstehende Figur gilt:
AB = 10,8 cm
BC = 4,5 cm
α = 54,2°
Berechnen Sie die Länge AS .
Aufgabe P 2:
Vom rechtwinkligen Dreieck ADC
sind gegeben:
AC = 10, 0 cm
BC = 6, 0 cm
Der Winkel ACD wird von w halbiert. Berechnen Sie die Länge von w.
Aufgabe P 3:
Lösen Sie das Gleichungssystem:
(1)
2 x − 12 y = 6
(2)
3 x + 34 y = 21
Übung 10 c
TEST C, erweitert
Lösungen C
1.
a
= tan α
b
→ b=
a
tan α
→ b = 36, 65 m
2.
b
= cos α
c
→ c=
b
cos α
→ c = 60, 60 m
3.
a
= sin α
c
→ a = c ⋅ sin α
4.
cos α =
5.
h
= tan α
t
6.
tan α =
7.
8.
b
c
→ a = 67, 66 m
→ cos α = 0,19615... → α = 78, 69°
→ t=
h
tan α
→ t = 22, 21 m
37
= 0,37 → α = 20,304..
100
h
= sin α
c
→ h = c ⋅ sin α
h
= tan α
a
→ a=
h
tan α
→ a = 141,30 m
h
= tan β
b
→ b=
h
tan β
→ b = 38, 28 m
h
= tan α
a
→ a=
h
tan α
→ a = 31,946... m
h2
= tan β
a
→ h = 1561,5 m
→ h2 = a ⋅ tan β
x = a − b = ........ = 103, 02 m
→ h2 = 35, 48 m
H = h1 + h2 = ....... = 46, 48 m
9.
10.
h
= tan α
x
→ x=
h
tan α
→ b = 2 ⋅ x = 12,39 m
h
= sin α
c
→ c=
h
sin α
→ c = 7, 66 m → l = c + 1,5 m = 9,16 m
d = a2 + a2
tan α =
11.
h
x
→ d = 32 = 5, 66 m → x = d2 = 2,82 m
→ α = 64, 76°
d = a2 + a2
→ d = 128 = 11,31 m → x = d2 = 5, 66 m
s = h 2 + x 2 = 121 + 32 = 153 = 12,37 m
Übung 10 c
TEST C, erweitert
D
C
P1
S
x
A
Lösungsweg:
y
4,5 cm
10,8 cm
B
α2
α1
α1 → α 2 → x (aus ABD) → y (aus ASD)
AS = y ≈ 7, 4cm
C
P2
10 cm
A
Lösungsweg:
w
E
h
6 cm
D
α (aus ABC ) → h (aus ADC ) → γ = 90° − α →
h
= cos γ2
w
→ w=
w = 5,9cm
P3
2 x − 12 y = 6 | ⋅2
3 x + 34 y = 21 | ⋅4
4 x − y = 12 | ⋅3
12 x + 3 y = 84
24 x = 120 → x = 5 →
y =8
h
cos γ2
B
γ
2
→ w
Übung 10 d
TEST D, erweitert
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
1.
gegeben:
a = 14m ,
c = 25m
gesucht: b
2.
gegeben:
b = 17m ,
c = 100m
gesucht: β
3.
gegeben:
a = 24m ,
β = 33°
gesucht: c
4.
Von einem Turm aus (h = 70m) erblickt man ein Auto unter dem Tiefenwinkel α = 8,5°. Wie
weit ist das Auto (Luftlinie) vom Beobachter entfernt?
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 35° bekommen. Die Stufen sollen 30cm hoch
sein. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,8km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 36%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Von einem Turm aus (Höhe h = 83m) erscheinen die beiden Ufer eines Sees unter den Senkungswinkeln α = 34° und β = 44°. Wie breit ist der See?
8.
Wie breit ist ein Satteldach, dessen Höhe h = 6m
und dessen Neigungswinkel α = 38° beträgt? Wie
lang müssen die Dachsparren (Balken) sein, wenn
diese 1,5m überstehen sollen?
9.
Von einem Fenster aus, das h = 12,5m über dem Boden liegt, erscheint der Fuß eines Turmes
unter dem Senkungswinkel α = 21,3°, die Spitze unter dem Erhebungswinkel β = 42,5°. Wie
hoch ist der Turm?
10.
Von einer quadratischen Pyramide sind die Höhe h = 11m und die
Länge der Grundseite a = 5m bekannt.
Wie stark ist eine Pyramidenkante gegen die Grundfläche geneigt?
(siehe Zeichnung)
11.
Freiwillig:
Steigung = tan α
Von einer quadratischen Pyramide sind die schräge Kantelänge s = 11m und die Länge der
Grundseite a = 10m bekannt. Wie groß ist die Pyramidenhöhe ?
Übung 10 d
TEST D, erweitert
Realschulprüfung Mathematik Pflichtbereich
Aufgabe P 1:
Für nebenstehende Figur gilt:
AB = 10,8 cm
BC = 4,5 cm
α = 54,2°
Berechnen Sie die Länge AS .
Aufgabe P 2:
Vom rechtwinkligen Dreieck ADC
sind gegeben:
AC = 10, 0 cm
BC = 6, 0 cm
Der Winkel ACD wird von w halbiert. Berechnen Sie die Länge von w.
Aufgabe P 3:
Lösen Sie das Gleichungssystem:
(1)
2 x − 12 y = 6
(2)
3 x + 34 y = 21
Übung 10 d
TEST D, erweitert
Lösungen D
1.
a = c ² − b ² = 25² − 14² = 429 = 20, 71 m
2.
sin β =
3.
a
= cos β
c
→ c=
a
24
=
= 28, 62 m
cos β cos33°
4.
h
= sin α
c
→ c=
h
70
=
= 473, 6 m
sin α sin 8,5°
5.
h
= tan α
t
→ t=
h
30
=
= 42,84 m
tan α tan 35°
6.
tan α = 0,36 → α = 19,8°
7.
8.
9.
b 17
=
→ β = 9, 79°
c 100
h
= sin α
s
→ h = s ⋅ sin α = 2800 ⋅ sin19,8° = 948, 4 m
h
= tan α
a
→ a=
h
83
=
→ a = 123, 05 m
tan α tan 34°
h
= tan β
b
→ b=
h
83
=
→ b = 85,95 m
tan β tan 44°
h
= tan α
x
→ x=
h
6
=
= 7, 68 → b = 2 ⋅ x = 15,35 m
tan α tan 38°
h
= sin α
c
→ c=
h
6
=
→ c = 9, 75 m → l = c + 1,5 m = 11, 25 m
sin α sin 38°
h
= tan α
a
→ a=
h
12,5
=
→ a = 32, 06 m
tan α tan 21,3°
h2
= tan β
a
→ h2 = a ⋅ tan β = 32, 06 ⋅ tan 42,5 → h2 = 29,38 m
H = h1 + h2 = ....... = 41,88 m
10.
d = a2 + a2
tan α =
11.
→ d = 50 = 7, 07 m → x =
d
2
= 3,54 m
h
11
=
→ α = 72,16°
x 3,54
d = a2 + a2
x = a − b = ........ = 37,10 m
→ d = 200 = 14,14 m → x = d2 = 7, 07 m
h = s 2 − x 2 = 11² − 7, 07² = 70, 01 = 8, 43 m
Übung 10 d
TEST D, erweitert
D
C
P1
S
x
A
Lösungsweg:
y
4,5 cm
10,8 cm
B
α2
α1
α1 → α 2 → x (aus ABD) → y (aus ASD)
AS = y ≈ 7, 4cm
C
P2
10 cm
A
Lösungsweg:
w
E
h
6 cm
D
α (aus ABC ) → h (aus ADC ) → γ = 90° − α →
h
= cos γ2
w
→ w=
w = 5,9cm
P3
2 x − 12 y = 6 | ⋅2
3 x + 34 y = 21 | ⋅4
4 x − y = 12 | ⋅3
12 x + 3 y = 84
24 x = 120 → x = 5 →
y =8
h
cos γ2
B
γ
2
→ w
Übung 11
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
1.
gegeben:
b = 12m ,
c = 21m
gesucht: a
2.
gegeben:
b = 17m ,
c = 100m
gesucht: α
3.
gegeben:
a = 24m ,
β = 33°
gesucht: b
4.
Von einem Turm aus (h = 68m) erblickt man ein Auto unter dem Tiefenwinkel α = 6,5°. Wie
weit ist das Auto (Luftlinie) vom Beobachter entfernt?
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 35° bekommen. Die Stufen sollen 40cm tief sein.
Berechne die Höhe einer Stufe.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,2km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 37%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Wie lang ist die Diagonale in einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 8cm und b = 15cm?
Steigung = tan α
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 1,4km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 43%.
Wie lang erscheint die Rohrleitung auf einer Landkarte mit dem Maßstab 1:10 000?
9.
Die Kugel auf einem Kirchturm wird unter dem Sehwinkel α = 1,2° erblickt, der untere Rand
der Kugel unter dem Höhenwinkel β = 37,3°. Wie
hoch ist die Kirchturmspitze, wenn der Kugeldurchmesser d = 1,3m beträgt?
10.
Von einem Turm aus, der 24m vom Ufer eines
Flusses waagerecht entfernt ist, erscheinen die
beiden Ufer unter den Senkungswinkeln α = 16,3°
und β = 43,2°. Wie breit ist der Fluss?
(11.) Welchen Winkel bilden beim Oktaeder zwei benachbarte Flächen miteinander? Berechne zunächst die Raumdiagonale, wenn die Kantenlänge
a = 1m beträgt.
12.
Berechne den Durchmesser der Sonne, wenn man
ihn von der Erde aus unter einem Sehwinkel von
α = 0,5167° sieht und die Entfernung Sonne-Erde
150 Millionen Kilometer beträgt.
Übung 11
LÖSUNGEN
1.
a = 17, 23 m
2.
α = 80, 21°
3.
b = 15, 58 m
4.
l = 600, 7 m
5.
h = 28, 0 cm
6.
tan α = 37% = 0,37 → α = 20,304°
h = 1,11 km
7.
d = 82 + 152 = 17 cm
8.
tan α = 43% = 0, 43 → α = 23, 27°
a = 1286 m 12,86 cm auf der Karte
9.
a = 62, 06 m
h = 37, 61 m
10.
h = 22, 54 m
x = 77, 07 m
b = 53, 07 m
11.
Diagonale D = 2 bei Kantenlänge a = 1.
tan
12.
α
2
=
2
1
2
1
2
= 2 →
d ≈ 1,35 Mio km
α
2
= 54, 735° → α = 109, 47°
Übung 11 extra
sin =
G
H
cos =
A
H
tan =
G
A
Steigung = tan α
A
α
1.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel, die
c
b
Höhe hc sowie den Flächeninhalt des Dreiecks
hc
ABC, wenn b = 4, 7 cm und α = 38° bekannt sind.
B
a
C
C
2.
Berechne die Längen der Seiten a und b, wenn be-
a
kannt sind c = 6, 6 cm, ha = 3, 7 cm und hc = 4,1 cm.
b
hc
ha
c
A
3.
B
D
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel sowie
C
den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks
γ
ABC, wenn b = 5,8 cm und α = 58° bekannt sind.
a
b
h
α
β
A
B
c
C
4.
Ein Altstadthaus hat einen Giebel mit h = 3,2 m,
γ2
AB = c = 10 m und γ 2 = 65, 43° . Berechne die bei-
h
den Neigungswinkel des Daches.
α
A
5.
β
B
D
D
Bestimme den Rechenausdruck für den Flächenin-
C
γ
halt des Parallelogramms A in Abhängigkeit von a,
b und γ .
b
h
A
B
a
Übung 11 extra
LÖSUNGEN
1.
β = 52°
2.
A=
c = 5,96 cm
c ⋅ hc
= 13,53 cm² ebenso
2
β = 34,12°
3.
a = 3, 67 cm
DB = c1 = 6, 05 cm
α = β = 58° → γ = 64°
a ⋅ ha
2
→ a=
A = 8, 62 cm²
2A
= 7,31 cm
ha
AD = c2 = 0,55 cm
a = b = 5,8 cm
b = 4,14 cm
hc = 4,92 cm
c ⋅ hc
= 15,13 cm²
2
c = 6,15 cm
A=
4.
β = 24,57°
α = 46,85°
5.
sin γ =
h
b
A=
hc = 2,89 cm
→ h = b ⋅ sin γ
→
A = a ⋅ h = a ⋅ b ⋅ sin γ
Weitere Aufgaben:
D
6.
C
Ein Parallelogramm ABCD mit den Seiten a = 5cm
und b = 4 cm hat den Flächeninhalt A = 16,8 cm².
Wie groß sind die Winkel α und β ?
Ergebnisse: h = 3,36cm
7.
α = 57,14°
b
h
β = 122,86°
Im Rechteck ABCD gilt: α = 44° und h = 2,5 cm .
β
α
A
B
a
C
D
Berechne die Länge der Diagonale.
d
Ergebnis: d = 5 cm
A
h
α
a
b
B
Übung 12 (TEST A)
sin = G
H
cos = A
H
tan = G
A
1.
gegeben:
a = 14m ,
c = 25m
gesucht: b
2.
gegeben:
b = 17m ,
c = 100m
gesucht: β
3.
gegeben:
a = 24m ,
β = 33°
gesucht: c
4.
Von einem Turm aus (h = 70m) erblickt man ein Auto unter dem Tiefenwinkel α = 8,5°. Wie
weit ist das Auto (Luftlinie) vom Beobachter entfernt?
5.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 35° bekommen. Die Stufen sollen 30cm hoch
sein. Berechne die Tiefe einer Stufe.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,8km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 36%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
7.
Wie lang ist die Diagonale in einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 18cm und b = 12cm?
Steigung = tan α
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.
Die Kugel auf einem Kirchturm wird unter dem Sehwinkel α = 0,9° erblickt, der untere Rand der Kugel unter dem Höhenwinkel β = 32°. Wie hoch ist die Kirchturmspitze, wenn der Kugeldurchmesser d = 0,8m beträgt?
9.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 1,9km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 40%. Wie lang erscheint die Rohrleitung (waagerecht) auf einer Landkarte mit dem Maßstab 1:10 000?
10.
Von einem Turm aus, der 14m vom Ufer eines Flusses
waagerecht entfernt steht, erscheinen die beiden Ufer
unter den Senkungswinkeln α = 15° und β = 34°. Wie
breit ist der Fluss?
Zusatzaufgaben:
11.
Jemand will sich ein maßstabgetreues Modell der ägyptischen
Cheops-Pyramide herstellen. Für die quadratische Grundfläche
wählt er die Basislänge a = 8cm, für die schräge Kantenlänge s =
7,6cm. Welche Höhe h ergibt sich für die Pyramide?
12.
Bestimme β. Wähle dazu als Kantenlänge a = 2cm.
M bedeutet „Mitte“ (siehe Skizze).
Übung 12 (TEST A)
LÖSUNGEN
Übung 12
TEST B
G
sin = H
cos = HA
tan = GA
1.
gegeben:
c = 14m ,
b = 7,5m
gesucht: a
2.
gegeben:
a = 13m ,
c = 82m
gesucht: β
3.
gegeben:
b = 24m ,
β = 29°
gesucht: c
4.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 37° bekommen. Die Stufen sollen 32cm hoch
sein. Berechne die Tiefe einer Stufe.
5.
Von einem Turm aus (h = 75m) erblickt man ein Auto unter dem Tiefenwinkel α = 10,5°. Wie
weit ist das Auto (Luftlinie) vom Beobachter entfernt?
6.
Wie lang ist die Diagonale in einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 14cm und b = 7cm?
7.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,4km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 38%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
Steigung = tanα
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.
Die Kugel auf einem Kirchturm wird unter dem Sehwinkel α = 1,3° erblickt, der untere Rand der Kugel unter dem Höhenwinkel β = 36°. Wie hoch ist die Kirchturmspitze, wenn der Kugeldurchmesser d = 0,9m beträgt?
9.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,5km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 42%. Wie lang erscheint die Rohrleitung (waagerecht) auf einer Landkarte mit dem Maßstab 1:10 000?
10.
Von einem Turm aus, der 22m vom Ufer eines Flusses
waagerecht entfernt steht, erscheinen die beiden Ufer
unter den Senkungswinkeln α = 17° und β = 26°. Wie
breit ist der Fluss?
Zusatzaufgaben:
11.
Jemand will sich ein maßstabgetreues Modell der ägyptischen
Cheops-Pyramide herstellen. Für die quadratische Grundfläche
wählt er die Basislänge a = 24cm, für die schräge Kantenlänge s =
22,8cm. Welche Höhe h ergibt sich für die Pyramide?
12.
Bestimme β. Wähle dazu als Kantenlänge a = 4cm.
M bedeutet „Mitte“ (siehe Skizze).
Übung 13
G
sin = H
cos = HA
tan = GA
1.
gegeben:
b = 12m ,
c = 21m
gesucht: a
2.
gegeben:
b = 17m ,
c = 100m
gesucht: β
3.
gegeben:
a = 24m ,
β = 33°
gesucht: c
4.
Eine Treppe soll einen Neigungswinkel von 28° bekommen. Die Stufen sollen 30cm hoch
sein. Berechne die Tiefe einer Stufe.
5.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 3,7km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 40%.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes ist 2,4km (Hypotenuse) lang und hat ein Gefälle von 35%.
Wie lang erscheint die Rohrleitung (waagerecht) auf einer Landkarte mit dem Maßstab
1:5 000? [d.h. 1cm entspricht 5000cm = 50m.]
Steigung = tanα
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.
Von einem Turm aus, der 28m vom Ufer eines Flusses waagerecht entfernt ist, erscheinen die beiden Ufer unter den Senkungswinkeln α = 17° und β = 42°. Wie breit ist der Fluss?
8.
bekannt:
Standlinie
Augenhöhe
Höhenwinkel
s = 70m
a = 1,7m
α = 15° und β = 28°
Berechne die Kirchturmhöhe H, verwende dazu die Hilfsgröße x.
9.
5 mm dicke Regentropfen fallen mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 8 m/sec senkrecht zur Erde [1 m/sec = 3,6 km/h]. Unter welchem
Winkel α klatschen sie auf die Fensterscheiben eines mit 79,2 km/h
fahrenden Zuges? [Der Klatschwinkel wäre α = 0°, wenn der Zug stehen würde.]
10.
Ein Tischtennisball von 4cm Durchmesser rollt in einen Trichter mit einem Öffnungswinkel
von α = 50°. Wie weit sind Trichterspitze und Ballmitte voneinander entfernt?
Übung 13
Lösungen
Übung 14
Aufgaben zum Sinus-Satz:
a
sin β sin γ
= b = c = 2r oder sin α =
=
a
c
b
sin α sin β sin γ
1.
Gegeben: a = 44m, α = 49°, β = 60°
gesucht:
b
2.
Gegeben: c = 72m, α = 37°, β = 51°
gesucht:
a
3.
Gegeben: b = 68m, α = 58°, β = 46°
gesucht:
c
4.
Gegeben: s = 117m, α = 32° und β = 121°
Berechne die Strecken x und y.
5.
6.
Breite des Daches s = 10,5m, Basiswinkel α = 35°
und β = 46°. Berechne die Höhe h.
Gegeben: a = 35m, α = 42°, b = 51m
Gesucht: β
Hinweis: Wende den Sinussatz
rückwärts an.
7.
Gegeben: a = 75m, α = 28°, b =
120m
Gesucht: c
Hinweis: Wende den Sinussatz
zweimal an.
8. Von einem 70m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter
dem Höhenwinkel 45° und ihr Spiegelbild im See unter dem
Tiefenwinkel 50°. Wie hoch schwebt die Wolke über dem
See?
Übung 14
Lösungen
a ⋅ sin β
= 50, 49 m
sin α
1.
b
a
=
sin β sin α
2.
γ = 180° − α − β = 92° →
a
c
=
sin α sin γ
→ a=
c ⋅ sin α
= 43,36 m
sin γ
3.
γ = 180° − α − β = 76° →
c
b
=
sin γ sin β
→ c=
b ⋅ sin γ
= 91, 72 m
sin β
4.
γ = 180° − α − β = 27° →
x
s
=
sin β sin γ
→ x=
s ⋅ sin β
= 220,9 m
sin γ
→ b=
ebenso : y = 136,56 m
5.
γ = 99° →
x
s
=
sin β sin γ
h
= sin α
x
6.
sin β sin α
=
b
a
→ sin β =
→ x=
s ⋅ sin β
= 7, 65 m
sin γ
→ h = x ⋅ sin α = 4,39 m
b ⋅ sin α
a
| sin −1
β = 77,17°
7.
8.
sin β sin α
=
b
a
→ sin β =
b ⋅ sin α
a
c
a
=
sin γ sin α
→ c = 155, 46 m
→ β = 48, 69° und → γ = 103,31°
180° − 100° = 80°
50° + 45° = 95°
h
h
= sin 50° → c =
= 91,38 m
c
sin 50°
γ = 5°
x
c
=
→ x = 1044,5 m
sin 95° sin 5°
H
= sin 50° → H = 800,1 m
x
Übung 15
Aufgaben zum Sinus-Satz:
a
sin β sin γ
= b = c = 2r oder sin α =
=
a
c
b
sin α sin β sin γ
1.
Gegeben: s = 92m, α = 41° und β = 131°
Berechne die Strecke y.
2.
3.
4.
5.
Gegeben: c = 16m, a = 12,5m, α = 37°,
bestimme β.
a = 80m, b= 131m, α = 15,3°.
Bestimme c.
Breite des Daches s = 9,7m, Basiswinkel α = 35°
und β = 54°. Berechne die Höhe h.
Messwerte:
α = 51,216°, β = 28,783°, s = 243,5m. Bestimme die Länge der Strecke BP.
6.
Messwerte:
a = 246,8m, b = 412,6m und β = 35,683°.
Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Übung 15
7.
Berghöhenbestimmung:
s = 651m, α = 62°, β = 73°, Höhenwinkel wird am
Punkt B: δ = 37°.
8.
Blickt man von einem 120 m über dem Riffelsee (bei Zermatt/Schweiz) gelegenen Punkt in
den See, so sieht man das Spiegelbild des Matterhorns unter einem Tiefenwinkel α = 11,8°.
Die Spitze des Matterhorns erblickt man unter
einem Höhenwinkel β = 10,25°. Wieviel m liegt
der Gipfel des Matterhorns über dem Riffelsee?
9.
Von einem 82m hohen Turm aus sieht man eine
Wolke unter dem Höhenwinkel 40° und ihr Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel 48°. Wie hoch
schwebt die Wolke über dem See?
10.
Eine 5m lange Leiter steht an einer Hauswand, der Neigungswinkel beträgt α = 67°. Wie hoch reicht die Leiter?
Welchen Abstand hat die Leiter von der Wand?
11.
Ein Freiballon mit dem Durchmesser d = 20m wird
unter einem Sehwinkel von α = 0,4° beobachtet. Wie
weit ist der Beobachter vom Mittelpunkt des Ballons
entfernt?
Übung 15
Lösungen:
1.
y
sin α
=
s
sin γ
2.
sin γ
c
=
sin α
a
sin γ =
3.
sin β
b
=
sin α
a
β = 25,6°
4.
γ = 91°
5.
BP = 192,7m
6.
PQ = 587,1m
7.
h = 612,55m
8.
c = 586,80m
9.
γ = 8°,
c = 110,34m
10.
h = 4,60m,
a = 1,95m
11.
e = 2864,8m
(rechne mit dem halben Winkel)
y = 433,69m
c ⋅sin α
a
x = 7,85m
γ = 139,1°
12.
Die Querschnittsfläche eines
Deiches hat die Abmessungen wie die nebenstehnede
Figur. Wie breit ist die
Deichsohle?
Wie
groß
ist
die
Querschnittsfläche?
(Lösg.: A = 88,37m²)
13.
Von einem 58m hohen Leuchtturm erblickt man ein Segelboot
unter dem Tiefenwinkel α =
4,2°. Wie weit ist das Boot von
dem Turm (waagerecht) entfernt?
(Lösg.: a = 789,8m)
β = 92,62°
c
sin γ
=
a
sin α
c = 198,5m
h = 4,50m
d = 8144,16m
weitere Aufgaben:
γ = 50,38°
h = 1665,4m
α + β = 88°
x = 792,34m
H = 588,8m
Übung 16
Aufgaben zum Sinus-Satz:
a
sin β sin γ
= b = c = 2r oder sin α =
=
a
c
b
sin α sin β sin γ
1.
Gemessen: s = 832,4m, α = 45,8° und β = 55,6°
Berechne die Strecken x und y.
2.
Gegeben: a = 87m, b = 54m, α = 62°,
bestimme x.
3.
Gemessen: s = 429,4m, α = 57,3°, β = 81,5°, δ = 34,1°.
Bestimme die Höhe des Berges.
4.
Wie lang ist der Regattakurs?
5.
Basislänge s = 9m, Basiswinkel α = 40° und β = 60°.
Wie hoch ist das Dach?
Wie groß ist die Dreiecksfläche?
6.
HÖHENMESSUNG
s = 671m
α = 47,29°
β = 59°
ρ = 26,57°
Bestimme die Höhe h.
Übung 16
7.
FLUSSBREITE
Messwerte: α = 24,8°, β = 60,3°, Turmhöhe h = 25m
Wie breit ist der Fluss?
8.
TRAPEZFLÄCHE gesucht
α =32°, β = 47°, a = 18m, h = 5m, A = ?
9.
KÜRZESTER WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum
Bach (B) laufen, dort Wasser holen und
dann seinen Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 12m, b = 30m, c = 8m
Bestimme x und y und den Winkel α.
Verwende zwei Gleichungen mit zwei
Unbekannten.
10.
TREPPENNEIGUNG
Eine Treppe wird aus Steinquadern gebaut, so dass
die Stufen 15cm hoch und 25cm tief sind. Welche
Neigung α erhält das Treppengeländer?
11.
VERSCHIEDENE SEHWINKEL
Vor dir liegen eine Kugel und eine Kreisscheibe, beide vom Radius r = 0,5m. Die Entfernung
Auge-Mittelpunkt beträgt jeweils 1m.
Unter welchem Sehwinkel erscheint die Kugel?
Unter welchem Sehwinkel erscheint die Kreisscheibe, wenn du senkrecht darauf schaust?
a)
b)
LÖSUNGEN:
1.
x = 700,6m
y = 608,7m
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
β
→ γ
→ x = 98,12m
h = 436,52m
s = 6,89km
h = 5,08m
A = 22,88m²
x = 1772,96m
h = 1302,76m
x = 39,85m
x = 4,66m, y = 8,00m, a = 5,34m, A = 58,35m²
x
y
= 128
9.
x + y = 30 und
10.
11.a)
11.b)
x = 18m, y = 12m, α = 33,69°
α = 30,96°
α = 60°
β = 53,13°
Übung 17
Aufgaben zum Sinus-Satz:
a
sin β sin γ
= b = c = 2r oder sin α =
=
a
c
b
sin α sin β sin γ
1.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Gemessen: s = 11m, α = 73° und β = 97°
Berechne die Strecke x.
2.
Gegeben: a = 81m, b = 52m, α = 60°,
bestimme x.
3.
BERGHÖHENBESTIMMUNG
s = 400m, α = 54°, β = 79°, δ = 34°.
Bestimme die Höhe des Berges.
4.
TRAPEZFLÄCHE
h = 4m, c = 5m, α = 32°, β = 48°, A =?
5.
DACHFLÄCHE
Basislänge s = 8m, Basiswinkel α = 45° und β = 60°.
Wie hoch ist das Dach?
Wie groß ist die Dreiecksfläche?
6.
HÖHENMESSUNG
s = AB = 410m
α = 15°
β = 62°
γ = 44°
Bestimme die Höhe h.
Übung 17
7.
KÜRZESTER WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum
Bach (B) laufen, dort Wasser holen und
dann seinen Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 36m, b = 140m, c = 27m
Bestimme x und y und den Winkel α.
Verwende zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
8.
GEFAHRENKREIS
Riffe und Sandbänke sind
für Schiffe sehr gefährlich.
Eine einfache Möglichkeit
sie zu umschiffen, besteht
darin, das Schiff auf einem
Kreisbogen darum herum zu
leiten:
Vom Schiff S aus visiert
man zwei Uferpunkte A und
B an und steuert das Schiff
so, dass der Winkel ASB = γ
immer denselben Wert hat.
(Peripheriewinkelsatz)
Die Entfernung AB beträgt
6,5km, der Winkel ist γ =
24,5°. Wie groß ist der Radius des Kreises?
9.
Zerlege den Buchstaben „E“ und mache daraus ein Quadrat.
10.
Ein
altes
Strich-und-PunktProblem, das sehr einfach ausschaut, jedoch ungewöhnlich listig
ist. Ohne den Bleistift abzusetzen,
sind vier gerade Linien zu ziehen,
die alle neun Punkte miteinander
verbinden.
LÖSUNGEN:
1.
x = 60,58m
2.
3.
x = 93,33m
h = 362m
4.
a = 15m,
5.
h = 5,07m, A = 20,28m²
A = 40m²
6.
h = 674m
7.
x + y = 140 und
α = 24,23°
8.
s
sin γ = 2 r
x
36
=
y
27
→ r = 7,8km
→ x = 80m, y = 60m
Übung 18
Aufgaben zum Sinus-Satz:
a
sin β sin γ
= b = c = 2r oder sin α =
=
a
c
b
sin α sin β sin γ
1.
BERGHÖHENBESTIMMUNG
s = 400m, α = 54°, β = 79°, δ = 34°.
Bestimme die Höhe des Berges.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 3,5m, c = 4m, α = 27°,
β = 50°, A =?
A = a +2 c ⋅ h
3.
DACHFLÄCHE
Basislänge s = 10m, Basiswinkel α = 45° und β = 60°.
Wie hoch ist das Dach?
Wie groß ist die Dreiecksfläche?
4.
HÖHENMESSUNG
s = AB = 510m
α = 17°
β = 60°
γ = 46°
Bestimme die Höhe h.
5.
KÜRZESTER WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 35m, b = 200m, c = 15m
Bestimme x und y und den Winkel α.
Verwende zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
6.
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 340m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:10000 ist das Rohr 7,5cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
Übung 18
7.
Von einem Hochhaus (h = 67,8m) aus, das 43,8m entfernt von einem See steht, erscheinen die
beiden Ufer unter dem Sehwinkel α = 12,78°. Wie breit ist der See? Mache eine Skizze.
8.
GEFAHRENKREIS
Riffe und Sandbänke sind
für Schiffe sehr gefährlich.
Eine einfache Möglichkeit
sie zu umschiffen, besteht
darin, das Schiff auf einem
Kreisbogen darum herum zu
leiten:
Vom Schiff S aus visiert
man zwei Uferpunkte A und
B an und steuert das Schiff
so, dass der Winkel ASB = γ
immer denselben Wert hat.
(Peripheriewinkelsatz)
Die Entfernung AB beträgt
8km, der Winkel ist γ =
18,5°. Wie groß ist der Radius des Kreises?
9.
GLEICHSCHENKLIGES TRAPEZ
h = 4,5m, a = 18m, c = 10m
Bestimme den Basiswinkel α.
10.
TRAPEZZERLEGUNG
Wie kann das nebenstehende Trapez in vier
geich große und gleich geformte Flächen
zerlegt werden?
LÖSUNGEN:
1.
h = 362m
2.
A = 31,16m²
3.
h = 6,34m
4.
1034,2m
5.
6.
7.
A = 31,7m²
x + y = 200 und 35 = 15 → x = 140m y = 60m → α = 14°
1:10000 d.h.1cm entspricht 100m → a = 750m, h = 340m, Steigung = 45,3%, c = 823,5m
x
y
8.
x = 25,53m
9.
s = 2r → r = 12,6km
sin γ
x = 4m, α = 48,37°
Übung 19
Aufgaben zum Sinus-Satz und Cosinus-Satz:
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α
sin α sin β sin γ
1.
BERGHÖHENBESTIMMUNG
s = 800m, α = 54°, β = 79°, δ = 34°.
Bestimme die Höhe des Berges.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 5,5m, c = 6m, α = 27°,
β = 50°, A =?
A = a +2 c ⋅ h
3.
DACHFLÄCHE
Basislänge s = 12m, Basiswinkel α = 45° und β = 62°.
Wie hoch ist das Dach?
Wie groß ist die Dreiecksfläche?
4.
KOSINUSSATZ
Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Bäumen?
5.
SYMMETRIE
Seitenlängen des Rechteckes: a = 6m, b = 4m
Bestimme den Winkel α. (M bedeutet Mitte)
6.
HÖHENMESSUNG
s = AB = 590m
α = 16°
β = 62°
γ = 48°
Bestimme die Höhe h.
Übung 19
7.
KÜRZESTER WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 50m, b = 360m, c = 40m
Bestimme x und y und den Winkel α.
Verwende zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
8.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 450m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:5000 ist das Rohr 8cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
9.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll ein Tunnel
gebaut werden, wobei die Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen (siehe Skizze). Vom
Punkt A aus erkennt man die Bergspitze
C unter dem Winkel α = 31° mit b = AC
= 118 m und vom Punkt B aus unter
dem Winkel β = 42°mit a = BC=160m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wieviel
% Gefälle hat er?
Hinweis: Bestimme zunächst den Winkel ACB = γ.
10.
SECHSECKZERLEGUNG
Wie kann man das regelmäßige Sechseck in 12
gleiche Vierecke zerlegen?
LÖSUNGEN:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
h = 724,3m
A = 75,38m²
h = 7,83m,
A = 47m²
x = 31,51m
α = 36,87°
h = 1303m
x = 200m, y = 160m, α =14,03°
a = 8·50m = 400m, tanα = 1,125 = 112,5%,
c = 602,1m
γ = 107°, AB = x = 224,86m, β1 = ABC = 30,12°, β2 = 11,88°, Gefälle = 21%, h = 47,3 m
12 Rauten
Übung 20
Aufgaben zum Sinus-Satz und Cosinus-Satz:
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
SEEDURCHMESSER
b = 170m
c = 141m
α = 23,7°
Bestimme x.
Bestimme den Winkel γ, anschließend β.
2.
DACHSTUHL
Breite: s = 10m
Sparrenlängen: x = 8,5m und y = 6,4m
Bestimme die beiden Basiswinkel.
Bestimme die Höhe h.
Bestimme die Fläche des Dreieckes.
3.
TRAPEZFLÄCHE
h = 5,5m, a = 12m, c =3m, A =?
c
( A = a+
2 ⋅h)
Bestimme α, wenn die Böschungslänge (links) 8m beträgt.
Bestimme auch β und die andere Böschungslänge.
4.
BERGHÖHENBESTIMMUNG
s = 780m, α = 56°, β = 74°, δ = 31°.
Bestimme die Höhe des Berges.
5.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 8m, y = 5m, z = 4m.
Bestimme den Winkel α.
Hinweis: Bestimme zunächst die Längen der
Diagonalen, dann den Winkel.
6.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 340m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:5000 ist das Rohr 12cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
Übung 20
7.
KÜRZESTER WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach (B)
laufen, dort Wasser holen und dann seinen Weg zum
Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 80m, b = 180m, c = 40m
Bestimme x und y und den Winkel α.
Verwende zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
8.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll ein Tunnel gebaut werden, wobei die Ausgangspunkte A
und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen (siehe Skizze). Vom Punkt A aus erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 34° mit b = AC = 218 m und vom
Punkt B aus unter dem Winkel β = 41°mit a
= BC=280m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen
den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wieviel % Gefälle hat er?
Hinweis: Bestimme zunächst den Winkel ACB = γ.
9.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s = 25m.
Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α = 17°. Der
Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem Winkel β = 24°.
Wie hoch ist der Turm?
Hinweis: Verwende den Sinussatz.
10.
KÖPFCHEN MUSS MAN HABEN
Ein gleichseitiges Dreieck mit 1m Seitenlänge soll durch
Streichhölzer (Länge 5cm) in lauter gleichseitige gleich große
Teildreiecke zerlegt werden. Jedes Dreieck wird genau durch 3
Hölzchen begrenzt. Wie viele Hölzchen sind erforderlich?
11.
Ein Araber vererbt an seine 4 Söhne 39 Kamele. Der erste soll die Hälfte, der zweite ein Viertel, der dritte ein Achtel und der vierte ein Zehntel bekommen. Die Söhne wissen nicht, wie
sie die Kamele teilen sollen. Da kommt ein Freund vorbei und leiht ihnen sein Kamel. Nun
können die Kamele gerecht geteilt werden: Die Söhne bekommen 20, 10, 5 und 4, zusammen
39 Kamele. Der Freund nimmt sein Kamel wieder mit und alle sind zufrieden. – Wo ist der
Trick?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x = 69,89m,
γ = 54,19°,
β = 102,11°
9.
γ = 49°, h = 13,47m
α = 39,44°,
β = 57,53°
h = 5,40m,
A = 27m²
A = 41,25m²,
α = 43,43°
β = 59,88°
d = 6,36m
b = 978,77m
h = 588,1m
a = 6,403m,
b = 8,944m,
c = 9,434m
α ≈ 40,67°
a = 12·50m = 600m,
c = 689,6m,
Gefälle (Tangens) = 56,67%
x = 120m,
y = 60m,
α = 33,69°
γ = 105°, AB = x = 396,89m, h = 61,79m, Gefälle (Tangens) = 15,76%
Übung 21
Aufgaben zum Sinus-Satz und Cosinus-Satz:
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
FLÄCHENBERECHNUNG
c = 17m, b = 24m, α = 29°, AΔ = ?
(Benutze die Formel.)
(LÖSG. AΔ = 98,9m²)
2.
SEEDURCHMESSER
b = 98m
c = 140m
α = 22°
Bestimme x.
Bestimme den Winkel β.
(LÖSG: x = 61,34m, β = 36,76°)
3.
DACHSTUHL
Breite: s = 12m
Sparrenlängen: x = 9m und y = 7m
Bestimme α.
Bestimme die Dreicksfläche A.
(LÖSG: α = 35,43°, A = 31,3m²)
4.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 510m
α1 = 27°, α2 = 70°
β1 = 76°, β2 = 40°
Bestimme PQ = x.
(LÖSG: a = 348,86m, b = 507,87m, x = 347,1m)
5.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 7m, y = 4m, z = 3m.
Bestimme den Winkel α.
Hinweis: Bestimme zunächst die Längen der
Diagonalen, dann den Winkel. (LÖSG: α ≈ 37°)
Übung 21
6.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 370m. Auf einer Landkarte mit dem
Maßstab 1:8000 ist das Rohr 8,5cm lang (waagerecht).
Wie lang ist die Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %? (LÖSG: a = 680m, c =
774,1m, 54,4%)
7.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die Länge
PQ = x bestimmen zu können, misst man von einer waagerechten Standlinie AB = s =500m auf dem Bergrücken
die Horizontalwinkel α1 = 55°, α2 = 37°, β1 = 69° und β2
= 72°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
(LÖSG. x ≈ 768m, δ = APQ ≈ 40,9°)
8.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s = 28m.
Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α = 15°. Der
Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem Winkel β = 26°.
Wie hoch ist der Turm?
Hinweis: Verwende den Sinussatz.
(LÖSG: h = 16,26m)
9.
DREIZEHN STÜHLE
In einem Zimmer mit einem quadratischen Grundriss sollen
dreizehn Stühle so gestellt werden, dass an jeder Wand die
gleiche Anzahl von Stühlen steht.
Wie geht das?
10.
DIE GRUNDSTÜCKSTEILUNG
»Also«, sagte der Notar zu den vier Erben,
»das ist die Ausgangssituation. Ein quadratisches Grundstück und vier Bäume. In der
Mitte, wo die vier Streichholzköpfchen
beisammenliegen, befindet sich eine Quelle, zu der jeder einen Zugang haben soll.
Außerdem soll jeder von Ihnen ein gleich
großes, deckungsgleiches Teilgrundstück
bekommen.«
»Ja, geht das überhaupt?«, wollte einer der
Erben wissen.
»Ihre Tante sagte, es geht«, antwortete der
Notar, »Gott habe sie selig! Wenn Sie nicht
wissen wie, verfällt das Erbe übrigens zugunsten der Gesellschaft für Streichholzrätselkunde.«
Übung 22
Aufgaben zum Sinus-Satz und Cosinus-Satz:
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
FLÄCHENBERECHNUNG
c = 15m, b = 21m, α = 33°, AΔ = ?
(Benutze die Formel.)
(LÖSG. AΔ = 85,78m²)
2.
SEEDURCHMESSER
b = 82m
c = 130m
α = 24°
Bestimme x.
Bestimme den Winkel β.
(LÖSG: x = 64,4m, β = 31,19°)
3.
DACHSTUHL
Breite: s = 9m
Sparrenlängen: x = 7m und y = 6m
Bestimme die Basiswinkel α. und β.
Bestimme die Dreiecksfläche A.
Wie groß ist der Umkreisradius?
(LÖSG: α = 41,75°, β = 50,98°, A = 20,98m², r = 4,5m)
4.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 340m
α1 = 29°, α2 = 72°
β1 = 75°, β2 = 38°
Bestimme PQ = x.
(LÖSG: a = 222,76m, b = 338,47m, x = 232,2m)
5.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 5m, y = 4m, z = 3m.
Bestimme den Winkel α.
Hinweis: Bestimme zunächst die Längen der
Diagonalen, dann den Winkel. (LÖSG: α ≈ 48°)
Übung 22
6.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen
Höhenunterschied von h = 410m. Auf einer Landkarte
mit dem Maßstab 1:5000 ist das Rohr 14cm lang
(waagerecht). Wie lang ist die Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
(LÖSG: a = 700m, c = 811,23m, ≈ 58,6%)
7.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =617m auf dem
Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 54°, α2 = 39°,
β1 = 71° und β2 = 68°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
(LÖSG. x ≈ 954m, δ = APQ ≈ 38,8°)
8.
NOCH EIN TUNNEL
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter
dem Winkel α = 36° mit b = AC =
254 m und vom Punkt B aus unter
dem Winkel β = 40°mit a =
BC=290m.
Berechne den Höhenunterschied
zwischen den beiden TunnelEisgängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er
geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat er?
Hinweis: Bestimme zunächst den Winkel ACB = γ.
(LÖSG: x = 429,25m, h = 37,11m, Gefälle ≈ 8,7%)
9.
Von einem 70m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter dem Höhenwinkel α = 45° und ihr Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 50°. Wie
hoch schwebt die Wolke über dem See?
(LÖSG: x = 1044,5m, h = 800,1m)
Übung 22
10.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
38m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α =
17°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem Winkel
β = 25°.
Wie hoch ist der Turm?
Hinweis: Verwende den Sinussatz.
(LÖSG: h = 21,61m)
11.
TRAPEZFLÄCHE
h = 4m, c = 5m, α = 32°, β = 48°, ATrapez = ?
(LÖSG: A ≈ 40m²)
12.
DAS TEPPICHPUZZLE
Man hat einen Teppich von der Größe 10 mal 10 und einen Teppichrest von der Größe 8 mal 1. Der linke Teppich soll mit einem einzigen Schnitt (gerade, krumm oder
Zickzack) so in zwei Teile zerschnitten werden, dass er zusammen mit dem Teppichrest die Fläche 12 mal 9 bedecken kann.
Wie muss der Schnitt gemacht werden? Am besten geht es, wenn man sich die Teppiche auf kariertes Papier maßstabgetreu aufzeichnet.
Übung 23
Test A
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DREIECKSFLÄCHE
c = 16m, b = 22m, α = 34°:
Berechne die Dreiecksfläche.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 4m, c = 6m, α = 34°, β = 49°,:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 85m
c = 135m
α = 27°
Bestimme x.
4.
DACHSTUHL
Breite: s = 9,8m
Sparrenlängen: x = 7,5m und y = 6,5m
Bestimme die Basiswinkel α. und β.
Bestimme die Dreiecksfläche A.
5.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
34m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 16°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 24°.
Wie hoch ist der Turm?
Übung 23
6.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 365m
α1 = 29°, α2 = 72°
β1 = 75°, β2 = 38°
Bestimme PQ = x.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 6m, y = 3m, z = 4m.
Bestimme den Winkel α.
8.
Von einem 78m hohen Turm aus sieht man eine
Wolke unter dem Höhenwinkel α = 46° und ihr
Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 52°.
Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?
9. TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =817m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 54°, α2
= 40°, β1 = 70° und β2 = 68°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
10.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 450m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:5000 ist das Rohr 16cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
ZUSATZAUFGABEN gibt es beim Lehrer.
Übung 23
ZUSATZAUFGABEN
11.
TUNNEL MIT GEFÄLLE
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 38° mit b =
AC = 230 m und vom Punkt B aus
unter dem Winkel β = 41°mit a =
BC=280m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat
er?
12.
DER KÜRZESTE WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 48m, b = 32m, c = 120m
Bestimme x und y und den Winkel α.
13.
UMKREIS
Bekannt sind r = 5m, c = 8m und α = 42°.
Bestimme b.
14.
TURMHÖHE
s = 51m, α = 37°, β = 46°
Bestimme h.
15.
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt c = 6cm. M bedeutet Seitenmitte.
Bestimme alle Winkel im Dreieck ABC. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreieckes. Welcher Bruchteil der Quadratfläche wird durch die Dreiecksfläche bedeckt?
Übung 23
Lösungen:
1.
AΔ = 12 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α = 98, 42 m²
2.
ATr =
3.
x ² = 85² + 135² − 2 ⋅ 85 ⋅135 ⋅ cos 27° = 5001, 4 |
4.
cos α =
a+c
15, 41 + 6
⋅h =
⋅ 4 = 42,82 m²
2
2
7,5² + 9,8² − 6,5²
2 ⋅ 7,5 ⋅ 9,8
→ x = 70, 72 m
→ α = 41,53°
→ β = 49,91°
Sinussatz:
AΔ = 12 ⋅ x ⋅ s ⋅ sin α = 24,37 m²
5.
α ′ = 90° + α = 106°
h
s
=
sin β sin γ
6.
γ = 180° − 106° − 24° = 50°
→ h = 18, 05 m
γ 1 = 70° → Sinussatz → b = 239,14 m
γ 2 = 76° → Sinussatz → b = 363,36 m
δ = 43° → Cosinussatz → x = 249, 2 m
7.
a = 3² + 4² = 5
cos α =
8.
b = 3² + 6² = 45 ≈ 6, 7
45 + 52 − 25
= 0, 7442 → α ≈ 41,9°
2 ⋅ 45 ⋅ 52
δ = 180° − 2β = 76°
h
= sin β
c
→ c=
γ = 180° − α − β − δ = 6°
h
78
=
= 98,98 m
sin β sin 52°
x = 937, 7 m ( Sinussatz )
9.
c = 4² + 6² = 52 ≈ 7, 2
h = x ⋅ sin β = 738,9 m
γ 1 = 56° → Sinussatz → z = 926, 05 m
γ 2 = 72° → Sinussatz → y = 796, 49 m
α = α1 + α 2 = 94°
x ² = z ² + y ² − 2 ⋅ z ⋅ y ⋅ cos α = 1594868 → x = 1262,9 m
sin δ =
10.
y ⋅ sin α 796, 49 ⋅ sin 94°
=
→ δ = 38,99°
x
1262,9
a = 16 ⋅ 50m = 800 m → s = a ² + h ² = 917,9 m
Gefälle =
450
= 0,5625 = 56, 25%
800
Übung 23
Test A
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DREIECKSFLÄCHE
c = 16m, b = 22m, α = 34°:
Berechne die Dreiecksfläche.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 4m, c = 6m, α = 34°, β = 49°,:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 85m
c = 135m
α = 27°
Bestimme x.
4.
DACHSTUHL
Breite: s = 9,8m
Sparrenlängen: x = 7,5m und y = 6,5m
Bestimme die Basiswinkel α. und β.
Bestimme die Dreiecksfläche A.
5.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
34m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 16°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 24°.
Wie hoch ist der Turm?
Übung 23
6.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 365m
α1 = 29°, α2 = 72°
β1 = 75°, β2 = 38°
Bestimme PQ = x.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 6m, y = 3m, z = 4m.
Bestimme den Winkel α.
8.
Von einem 78m hohen Turm aus sieht man eine
Wolke unter dem Höhenwinkel α = 46° und ihr
Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 52°.
Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?
9. TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =817m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 54°, α2
= 40°, β1 = 70° und β2 = 68°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
10.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 450m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:5000 ist das Rohr 16cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
ZUSATZAUFGABEN gibt es beim Lehrer.
Übung 23
Lösungen A:
1.
AΔ = 12 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α = 12 ⋅ 22 ⋅16 ⋅ sin 34° = 98, 42 m²
2.
x=
h
4
=
= 5,93 m ebenso
tan α tan 34°
ATr =
y=
2P
4
= 3, 48 m → a = c + x + y = 15, 41 m
tan 49°
a+c
15, 41 + 6
⋅h =
⋅ 4 = 42,82 m²
2
2
4P
3.
x ² = 85² + 135² − 2 ⋅ 85 ⋅135 ⋅ cos 27° = 5001, 4 |
4.
cos α =
7,5² + 9,8² − 6,5²
2 ⋅ 7,5 ⋅ 9,8
→ x = 70, 72 m
→ α = 41,53°
→ β = 49,91°
Sinussatz:
AΔ = 12 ⋅ x ⋅ s ⋅ sin α = 12 ⋅ 7,5 ⋅ 9,8 ⋅ sin 41,53° = 24,37 m²
5.
α ′ = 90° + α = 106°
h
s
=
sin β sin γ
6.
2P
4P
γ = 180° − 106° − 24° = 50°
→ h=
34 ⋅ sin 24°
= 18, 05 m
sin 50°
3P
γ 1 = 70° → Sinussatz → b = 239,14 m
γ 2 = 76° → Sinussatz → b = 363,36 m
δ = 43° → Cosinussatz → x = 249, 2 m
7.
a = 3² + 4² = 5
cos α =
8.
h
= sin β
c
9.
c = 4² + 6² = 52 ≈ 7, 2
45 + 52 − 25
= 0, 7442 → α ≈ 41,9°
2 ⋅ 45 ⋅ 52
δ = 180° − 2β = 76°
x=
b = 3² + 6² = 45 ≈ 6, 7
6P
→ c=
4P
γ = 180° − α − β − δ = 6°
h
78
=
= 98,98 m
sin β sin 52°
98,98 ⋅ sin 98°
= 937, 70 m
sin 6°
h = x ⋅ sin β = 937, 7 ⋅ sin 52° = 738,9 m
6P
γ 1 = 56° → Sinussatz → z = 926, 05 m
γ 2 = 72° → Sinussatz → y = 796, 49 m
α = α1 + α 2 = 94°
x ² = z ² + y ² − 2 ⋅ z ⋅ y ⋅ cos α = 1594868 → x = 1262,9 m
sin δ =
10.
y ⋅ sin α 796, 49 ⋅ sin 94°
=
→ δ = 38,99°
x
1262,9
a = 16 ⋅ 50m = 800 m → s = a ² + h ² = 917,9 m
6P
Gefälle =
450
= 0,5625 = 56, 25% 3P
800
Übung 23
LÖSUNG der ZUSATZAUFGABEN
11.
γ = 180° − α − β = 101°
s = 394,81 m (Cosinussatz)
h = 42, 09 m
Gefälle = 10, 7%
6P
12.
x + y = 120
x
y
=
→ x = 1,5 y → 2,5 y = 120 →
48 32
y = 48 m
x = 72 m
tan α =
b
y
→ α = 33, 69°
4P
13.
c
= 2r → γ = 53,13°
sin γ
β = 84,87° → b = 9,96 m
4P
14.
h = 141 m (Sinussatz)
4P
15.
α = 45° β = 63, 43° γ = 71,57°
ADr = 12 cm² und
AQu = 36 cm² → Bruchteil = 1/ 3 = 33%
4P
Übung 23
Test B
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DREIECKSFLÄCHE
b = 26m, c = 17m, α = 28°:
Berechne die Dreiecksfläche.
2.
DEICH
h = 4,5m, c = 5m, α = 52°, β = 29°:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 96m
c = 134m
α = 29°
Bestimme x.
4.
DACHSTUHL
Breite: s = 10,2m
Sparrenlängen: x = 8,5m und y = 6,2m
Bestimme die Basiswinkel α. und β.
Bestimme die Dreiecksfläche A.
5.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
37m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 18°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 25°.
Wie hoch ist der Turm?
Übung 23
6.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 340m
α1 = 31°, α2 = 72°
β1 = 69°, β2 = 38°
Bestimme PQ = x.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 9m, y = 3m, z = 4m.
Bestimme den Winkel α.
8.
Von einem 80m hohen Turm aus sieht man eine
Wolke unter dem Höhenwinkel α = 47° und ihr
Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 53°.
Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?
9. TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =927m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 54°, α2
= 40°, β1 = 70° und β2 = 68°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
10.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 415m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:8000 ist das Rohr 15cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
ZUSATZAUFGABEN gibt es beim Lehrer.
Übung 23
ZUSATZAUFGABEN
11.
TUNNEL MIT GEFÄLLE
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 38° mit b =
AC = 230 m und vom Punkt B aus
unter dem Winkel β = 41°mit a =
BC=280m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat
er?
12.
DER KÜRZESTE WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 48m, b = 32m, c = 120m
Bestimme x und y und den Winkel α.
13.
UMKREIS
Bekannt sind r = 5m, c = 8m und α = 42°.
Bestimme b.
14.
TURMHÖHE
s = 51m, α = 37°, β = 46°
Bestimme h.
15.
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt c = 6cm. M bedeutet Seitenmitte.
Bestimme alle Winkel im Dreieck ABC. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreieckes. Welcher Bruchteil der Quadratfläche wird durch die Dreiecksfläche bedeckt?
Übung 23
Test B
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DREIECKSFLÄCHE
b = 26m, c = 17m, α = 28°:
Berechne die Dreiecksfläche.
2.
DEICH
h = 4,5m, c = 5m, α = 52°, β = 29°:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 96m
c = 134m
α = 29°
Bestimme x.
4.
DACHSTUHL
Breite: s = 10,2m
Sparrenlängen: x = 8,5m und y = 6,2m
Bestimme die Basiswinkel α. und β.
Bestimme die Dreiecksfläche A.
5.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
37m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 18°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 25°.
Wie hoch ist der Turm?
Übung 23
6.
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Messwerte:
s = 340m
α1 = 31°, α2 = 72°
β1 = 69°, β2 = 38°
Bestimme PQ = x.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 9m, y = 3m, z = 4m.
Bestimme den Winkel α.
8.
Von einem 80m hohen Turm aus sieht man eine
Wolke unter dem Höhenwinkel α = 47° und ihr
Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 53°.
Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?
9. TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =927m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 54°, α2
= 40°, β1 = 70° und β2 = 68°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
10.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 415m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:8000 ist das Rohr 15cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist ihr Gefälle in %?
ZUSATZAUFGABEN gibt es beim Lehrer.
Übung 23
ZUSATZAUFGABEN
11.
TUNNEL MIT GEFÄLLE
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 38° mit b =
AC = 230 m und vom Punkt B aus
unter dem Winkel β = 41°mit a =
BC=280m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat
er?
12.
DER KÜRZESTE WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 48m, b = 32m, c = 120m
Bestimme x und y und den Winkel α.
13.
UMKREIS
Bekannt sind r = 5m, c = 8m und α = 42°.
Bestimme b.
14.
TURMHÖHE
s = 51m, α = 37°, β = 46°
Bestimme h.
15.
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt c = 6cm. M bedeutet Seitenmitte.
Bestimme alle Winkel im Dreieck ABC. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreieckes. Welcher Bruchteil der Quadratfläche wird durch die Dreiecksfläche bedeckt?
Übung 23
Lösungen B:
1.
AΔ = 12 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin 28° = 12 ⋅ 26 ⋅17 ⋅ sin 28° = 103, 75 m²
2.
x=
h
4,5
=
= 3,52 m ebenso
tan α tan 52°
ATr =
y=
2P
4,5
= 8,11 m → a = c + x + y = 16, 63 m
tan 29°
a+c
16, 63 + 5
⋅h =
⋅ 4,5 = 48, 68 m²
2
2
4P
3.
x ² = 96² + 134² − 2 ⋅ 96 ⋅134 ⋅ cos 29° = 4669, 78 |
4.
cos α =
8,5² + 10, 2² − 6, 2²
2 ⋅ 8,5 ⋅10, 2
→ x = 68,34 m
→ α = 37,35°
→ β = 56, 27°
Sinussatz:
AΔ = 12 ⋅ x ⋅ s ⋅ sin α = 26,30 m²
5.
α ′ = 90° + α = 108°
h
s
=
sin β sin γ
6.
2P
4P
γ = 180° − 108° − 25° = 47°
→ h=
37 ⋅ sin 25°
= 21,38 m
sin 47°
3P
γ 1 = 80° → Sinussatz → b = 322,31 m
γ 2 = 70° → Sinussatz → b = 222, 76 m
δ = 41° → Cosinussatz → x = 212, 44 m
7.
a = 3² + 4² = 5
cos α =
8.
h
= sin β
c
9.
b = 3² + 9² = 90 ≈ 9, 49
c = 4² + 9² = 97 ≈ 9,85
90 + 97 − 25
= 0,8669 → α ≈ 29,9°
2 ⋅ 90 ⋅ 97
δ = 180° − 2β = 74°
x=
6P
→ c=
4P
γ = 180° − α − β − δ = 6°
h
80
=
= 100,17 m
sin β sin 53°
100,17 ⋅ sin100°
= 943, 75 m
sin 6°
h = x ⋅ sin β = 753, 7 m
6P
γ 1 = 56° → Sinussatz → z = 1050, 73 m
γ 2 = 72° → Sinussatz → y = 903, 73 m
α = α1 + α 2 = 94°
x ² = z ² + y ² − 2 ⋅ z ⋅ y ⋅ cos α = → x = 1432,9 m
sin δ =
10.
y ⋅ sin α 903, 73 ⋅ sin 94°
=
→ δ = 38,99°
x
1432,9
a = 15 ⋅ 80m = 1200 m → s = a ² + h² = 1269, 7 m
6P
Gefälle =
415
= 0,3458 = 34,58 % 3P
1200
Übung 24
WÜRFEL
Die Kantenlänge des Würfels ist jeweils a = 1 LE (Längeneinheiten).
Berechne jeweils die Längen der Diagonalen und die von ihnen eingeschlossenen Winkel.
M bedeutet Kantenmitte.
A
B
C
D
QUADER
a = 4 LE, b = 3 LE, c = 3 LE
Bestimme den Winkel α.
E
Übung 24
LÖSUNGEN:
Übung 25
WÜRFEL
Die Kantenlänge des Würfels ist jeweils a = 1 LE (Längeneinheit).
Berechne jeweils den Winkel α mit Hilfe eines geeigneten Dreiecks.
M bedeutet Kantenmitte.
A
B
QUADER
a = 6 LE, b = 4 LE, c = 3 LE
Bestimme den Winkel α.
C
D
PYRAMIDE
a = 8cm
s =12cm
Bestimme die Winkel α, β und δ.
Wie groß ist das Volumen?
E (schwer)
F
Übung 26
Test A
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DACHSTUHL
Breite: s = 10m
Sparrenlängen: x = 8,5m und y = 7m
Bestimme alle Winkel.
Bestimme die Höhe vom Dach.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 5m, c = 3m, α = 24°, β = 50°,:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 145m
c = 95m
α = 24°
Bestimme x.
Bestimme die Fläche vom Dreieck.
4.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
36m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 16°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 22°.
Wie hoch ist der Turm?
5.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 480m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:7500 ist das Rohr 16cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist der Neigungswinkel? Wie groß ist ihr
Gefälle in %?
Übung 26
6.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =750m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 55° , β1
= 70° und α2 = 40°, β2 = 67°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 10m, y = 8m, z = 6m.
Bestimme den Winkel α.
8.
WOLKENHÖHE
Von einem 68m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter
dem Höhenwinkel α = 46° und ihr Spiegelbild im See unter
dem Tiefenwinkel β = 53°. Wie hoch schwebt die Wolke über
dem See?
9.
UMKREIS
Bekannt sind r = 6m, c = 9m und α = 32°.
Bestimme die Fläche des Dreiecks.
10.
PYRAMIDE
a = 7m
s =10m
Bestimme die Winkel α, β und δ.
Wie groß ist das Volumen?
ZUSATZAUFGABEN beim Lehrer.
Übung 26
ZUSATZAUFGABEN A
11.
TUNNEL MIT GEFÄLLE
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 38° mit b =
AC = 230 m und vom Punkt B aus
unter dem Winkel β = 41°mit a =
BC=280m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat
er?
12.
DER KÜRZESTE WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 50m, b = 30m, c = 240m
Bestimme x und y.
Wie lang ist der Weg von A über B nach C?
13.
WÜRFEL
Wähle die Kantenlänge a = 2.
Bestimme die Winkel α und β.
14.
PYRAMIDE IM WÜRFEL
Bestimme α und β.
Wähle a = 6cm. Welchen Bruchteil des Würfelvolumens nimmt das Pyramidenvolumen
ein?
Übung 26
Test B
b² + c² − a ²
a
= b = c = 2r und a ² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α oder cos α =
2bc
sin α sin β sin γ
1.
DACHSTUHL
Breite: s = 12m
Sparrenlängen: x = 8,5m und y = 7m
Bestimme alle Winkel.
Bestimme die Höhe vom Dach.
2.
TRAPEZFLÄCHE
h = 4m, c = 5,2m, α = 24°, β = 50°,:
Berechne die Trapezfläche.
3.
SEEDURCHMESSER
b = 132m
c = 112m
α = 25°
Bestimme x.
Bestimme die Fläche vom Dreieck.
4.
SCHATTENWURF
Ein Turm wirft einen Schatten mit der Länge AB = s =
28m. Der Abhang besitzt einen Neigungswinkel von α
= 17°. Der Sonnenstrahl trifft den Abhang unter dem
Winkel β = 24°.
Wie hoch ist der Turm?
5.
ROHRLEITUNG
Die Rohrleitung eines Kraftwerkes besitzt einen Höhenunterschied von h = 520m. Auf einer
Landkarte mit dem Maßstab 1:8000 ist das Rohr 15cm lang (waagerecht). Wie lang ist die
Rohrleitung in Wirklichkeit (Hypotenuse)? Wie groß ist der Neigungswinkel? Wie groß ist ihr
Gefälle in %?
Übung 26
6.
TUNNELBAU
Durch einen Bergrücken soll von P nach Q ein waagerechter Eisenbahntunnel gebaut werden. Um die
Länge PQ = x bestimmen zu können, misst man von
einer waagerechten Standlinie AB = s =970m auf
dem Bergrücken die Horizontalwinkel α1 = 45° , β1
= 72° und α2 = 41°, β2 = 69°.
Berechne die Länge PQ = x des Tunnels.
Berechne auch den Richtungswinkel APQ = δ.
7.
Ein Quader hat folgende Kantenlängen:
x = 8m, y = 6m, z = 4,5m.
Bestimme den Winkel α.
8.
WOLKENHÖHE
Von einem 87m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter
dem Höhenwinkel α = 43° und ihr Spiegelbild im See unter
dem Tiefenwinkel β = 49°. Wie hoch schwebt die Wolke über
dem See?
9.
UMKREIS
Bekannt sind r = 6m, c = 8m und α = 35°.
Bestimme die Fläche des Dreiecks.
10.
PYRAMIDE
a = 8m
s =11m
Bestimme die Winkel α, β und δ.
Wie groß ist das Volumen?
ZUSATZAUFGABEN beim Lehrer.
Übung 26
ZUSATZAUFGABEN B
11.
TUNNEL MIT GEFÄLLE
Durch einen Bergrücken soll ein
Tunnel gebaut werden, wobei die
Ausgangspunkte A und B unterschiedliche Meereshöhen besitzen
(siehe Skizze). Vom Punkt A aus
erkennt man die Bergspitze C unter dem Winkel α = 38° mit b =
AC = 460 m und vom Punkt B aus
unter dem Winkel β = 41°mit a =
BC=560m.
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Tunneleingängen.
Wie lang wird der Tunnel, wenn er geradlinig von A nach B führt und wie viel % Gefälle hat
er?
12.
DER KÜRZESTE WEG
Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach
(B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen
Weg zum Haus C fortsetzen.
Dabei will er den kürzesten Weg wählen.
Folgende Werte sind bekannt:
a = 50m, b = 30m, c = 160m
Bestimme x und y.
Wie lang ist der Weg von A über B nach C?
13.
WÜRFEL
Wähle die Kantenlänge a = 2.
Bestimme die Winkel α und β.
14.
PYRAMIDE IM WÜRFEL
Bestimme α und β.
Wähle a = 6cm. Welchen Bruchteil des Würfelvolumens nimmt das Pyramidenvolumen
ein?