11. Bandstruktur

11.1
11. Bandstruktur
Warum lohnt es sich energetisch, wenn Atome Bindungen miteinander eingehen ?
Was bestimmt die Bildung von Molekülen, bzw. von grossen Ensembles von Atomen, d.h.
Festkörpern?
Was passiert mit den scharfen Energieniveaus von Atomen in Festkörpern?
Wie sieht die elektronische Struktur von Festkörpern aus? (Lichtabsorption zeigt keine
scharfen Linien mehr)
11.1Die chemische Bindung
Festkörper: komplexe Struktur, aus Atomen zusammengesetzt
Verschiedene Atome haben eine verschiedene elektronische Struktur, verschiedene Schalen
sind besetzt, Wellenfunktionen haben verschiedene räumliche Ausdehnung
Für chemische Bindung müssen sich die Atome „berühren“, d.h. ihre Wellenfunktionen
müssen überlappen
Es gibt verschiedene Bindungstypen: kovalente Bindung, metallische Bindung, ionische
Bindung, Wasserstoff-Brücken-Bindung, van-der-Waals Bindung
Wir konzentrieren uns hier auf die kovalente Bindung, die für die meisten Halbleiter der
wichtigste Bindungstyp ist.
Kovalente Bindung
Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn ist entscheidend
Zunächst Konzentration auf zweiatomiges Molekül: wie entsteht eine stabile Bindung, d.h. es
ist für das Molekül energetisch günstiger in einer Bindung aufzutreten statt als zwei getrennte
Atome.
Hamilton-Operator für das zweiatomige Molekül: H = 2 2
Ze 2
Z'e 2
ZZ'e 2
+
2m
4 0 rA 4 0 rB 4 0 R
11.2
rA (rB): Abstand des Elektrons zum Atom A (B)
R: Abstand zwischen den Atomen
Molekulare Wellenfunktion ist Lösung folgender Schrödinger-Gleichung: H mol = E mol
Exakte Lösung ist nicht möglich, daher folgende Näherung:
Molekulare Wellenfunktion kann als Linearkombination der Zustände der beiden separierten
(isolierten) Atome angenähert werden:
Ansatz: mol = c A A + c B B
A , B : Wellenfunktionen der beiden isolierten Atome A und B (seien bekannt)
Erwartungswert für die Grundzustandsenergie kann wie folgt geschrieben werden:
* H d r
* d r
3
E=
3
Man kann allgemein zeigen, dass diese Energie minimal wird, falls die richtige
Wellenfunktion ist. Für jede andere Wellenfunktion wird die Energie grösser. Je besser die
ansatzweise bestimmte Wellenfunktion mit der tatsächlichen Wellenfunktion übereinstimmt,
desto besser wird die Grundzustandsenergie durch obige Formel beschrieben.
Abkürzungen:
Überlappintegral: S = A * B d 3 r ,
H AA = A * H A d 3 r , H AB = A * H B d 3 r
Damit erhält man folgenden Ausdruck für die Energie E:
c A2 H AA + c B2 H BB + 2c A c B H AB
E'=
c A2 + c B2 + 2c A c B S
minimale Energie bedeutet optimale Wellenfunktion, d.h. optimiere die Variablen cA und cB
dies bedeutet mathematisch:
E'
E'
=0=
c A
c B
Man erhält folgende Gleichungen:
c A ( H AA E') + c B ( H AB E' S ) = 0
c A ( H AB E' S ) + c B ( H BB E') = 0
Lösung ergibt sich durch Null-Setzen der Determinante der Koeffizientenmatrix:
(H AA E')(H BB E') ( H AB E' S )
2
=0
Betrachte Molekül, das aus zwei identischen Atomen besteht: H AA = H BB
Lösung: E ± E ± '=
H AA ± H AB
1± S
Atome seien unendlich weit voneinander entfernt: Wellenfunktion überlappen überhaupt
nicht, d.h. S=0, HAB=0 -> E ± '= H AA , d.h. atomare Wellenfunktionen
11.3
Beide Atome seien am gleichen Platz, d.h. S=1 -> E ± '=
H AA ± H AB
2
(Minuszeichen liefert 0/0)
Überlapp der Wellenfunktionen führt zu einer Aufspaltung der Energieniveaus, d.h. ein
höherliegendes und ein tieferliegendes Niveau
Bindender Zustand (bonding)
Antibindender Zustand (anti-binding)
11.4
Molekül: Elektronen besetzen den tieferliegenden Zustand, d.h. Energiegewinn, entspricht
der molekularen Bindungsenergie, Bildung einer kovalenten Bindung
Nur teilweise gefüllte Orbitale, die weniger als zwei Elektronen enthalten, können an einer
kovalenten Bindung teilnehmen
Pauli-Prinzip: jeder Zustand kann zwei Elektronen (spin up und spin down) aufnehmen
(deswegen gibt es ein stabiles H2-Molekül aber kein He2 Molekül)
Bindendes Orbital: mol = A + B , erhöhte Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den
Atomen
Antibindendes Orbital: mol = A B , Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Atomen
genau Null, d.h. Energieverlust verglichen mit den freien Atomen
Atomorbitale sind gerichtet (p und d, s ist isotrop wegen l=0), d.h. kovalente Bindung ist
gerichtet
Kovalente Bindung ist sehr stark, siehe Diamant, Si, Ge
Ionische Bindung
Bindungspartner sind nicht identisch, Ladung wird von einem Atom zum anderen
verschoben, d.h. starke Coulomb-Kräfte
Beispiel: NaCl, NaI, KrBr
Bindungspartner aus 1.ter und 7.ter Hauptgruppe
Metallische Bindung
Extremfall, bei dem sich die Elektronen bei den Ionenzentren anhäufen
Elektronen haben weit ausgedehnte Wellenfunktionen (im Gegensatz zur kovalenten
Bindung)
11.5
d.h. viele Nachbarn nehmen an einer Bindung teil, Valenzelektronen sind im Kristall
ausgeschmiert, Bindung ist nicht gerichtet (im Gegensatz zur kovalenten Bindung)
Kristallstruktur ist dadurch bestimmt, dass der Raum optimal ausgefüllt wird
11.2Bloch’sches Theorem
Ziel: Grundsätzliche Symmetrie-Eigenschaften eines periodischen Systems
Betrachte Kristall, der aus einem periodischen Gitter von fest gebundenen Atomen besteht
2 2
Schrödinger-Gleichung: H (r) = + V ( r ) (r) = E (r)
2m
Periodisches Potential: V ( r ) = V ( r + rn ) mit rn = n1a1 + n 2 a2 + n 3 a3
a1, a2 , a3 : Gittervektoren
rn : willkürlicher Translationsvektor des dreidimensionalen Gitters
Potential ist periodisch, d.h. es kann in eine Fourierreihe entwickelt werden
V ( r ) = VG e iGr
G
G werden auch als reziproke Gittervektoren bezeichnet.
Für die Wellenfunktionen: ( r ) = Ck e ik r
k
Setze die Fourierentwicklungen für das Potential und für die Wellenfunktion in die
Schrödingergleichung ein:
2k 2
2m
k
Ck e ik r + Ck 'VG e i( k ' +G )r = E Ck e ik r
k ',G
k
2 2
k
ik r
e
2m E Ck + VG Ck G = 0
k
G
Beziehung muss für alle Ortsvektoren r gültig sein
Ausdruck in der Klammer, der nicht von r abhängt, muss verschwinden für jedes k
Umschreiben:
11.6
2k 2
E Ck + VG Ck G = 0
2m
G
(entspricht Darstellung der Schrödinger-Gleichung im reziproken Raum)
Entwicklungskoeffizienten Ck von ( r ) sind gekoppelt, falls sich ihre k um einen
reziproken Gittervektor G unterscheiden
D.h. Ck ist gekoppelt an Ck G , Ck G ' , Ck G ''
Betrachte N Einheitszellen
man erhält N unabhängige Gleichungen, wobei jede Gleichung einem k -Vektor des
reziproken Gitters entspricht
Jede Lösung kann durch eine Superposition ebener Wellen dargestellt
werden, die ebenen
Wellen unterscheiden sich nur um einen reziproken Gittervektor G
Eigenwerte
E der Schrödingergleichung werden durch die Vektoren k gekennzeichnet, d.h.
E = E( k )
Ergibt für die Wellenfunktion:
k ( r ) = Ck G e i( k G )r = Ck G eiGr e ik r = uk ( r )e ik r
G
G
Funktion uk ( r ) ist eine Fourierreihe über reziproke Gittervektoren G , d.h. sie hat dieselbe
Periodizität wie das zugrunde liegende Gitter:
uk ( r ) = uk ( r + rn )
Grundaussage des Bloch’schen Theorems: Die Lösung der Ein-ElektronenSchrödingergleichung in einem periodischen Potential beliebiger Amplitude ist eine
modulierte ebene Welle
k ( r ) = uk ( r )e ik r
mit der Modulationsfunktion uk ( r ) = uk ( r + rn )
Die Wellenfunktionen k ( r ) heissen Bloch-Wellen oder Bloch-Zustände
11.7
Weiter gilt: k ( r ) = k +G ( r ) , d.h. Periodizität im k-Raum für die Wellenfunktion
Schrödinger-Gleichung:
H k = E( k ) k
H k +G = E( k + G) k +G
mit Translationsinvarianz der Wellenfunktion im k-Raum folgt:
E( k ) = E( k + G)
Energieeigenwerte E( k ) sind eine periodische Funktion der Quantenzahlen k
11.8
Es zeigt sich, dass diese k -periodischen Energiebänder zur Bandstruktur führen, d.h. zur
Beschreibung der elektronischen Struktur eines Festkörpers mit einer periodischen
Anordnung aus Atomen.
11.3Die Näherung fast freier Elektronen
Betrachte ein periodisches Potential mit sehr kleiner Amplitude
Zunächst sei die Potentialamplitude gleich Null, dann werde sie langsam „eingeschaltet“
Freie Elektronen: E =
2k 2
2m
Extremfall: V = 0 -> VG = 0 für alle G
Dennoch muss das Energiespektrum den allgemeinen Symmetriebedingungen für periodische
Potentiale genügen, d.h. das Bloch-Theorem gilt
d.h. das Energiespektrum ist auf eine endliche Zahl von k -Werten beschränkt
die 1. Periode nennt man die 1. Brillouin-Zone: k a
a
wenn man die Funktion E( k ) dort kennt, dann kennt man sie durch periodische Fortsetzung
im gesamten k-Raum
Verschiebe Energieparabeln (=Energiedispersion des freien Elektrons) im k-Raum.
2
2 k + G
E( k ) = E( k + G) =
2m
2k 2
Die Energiedispersion des freien Elektrons E( k ) =
wird jeweils um einen reziproken
2m
2
Gittervektor G = n
verschoben
a
a: Gitterperiode
Es genügt die erste Periode, d.h. die erste Brillouinzone zu betrachten
11.9
Diese wird definiert durch die Schnittpunkte benachbarter Parabeln
An den Rändern der Brillouinzone, d.h. bei k = ± gibt es Entartungen, d.h. es gibt zwei
a
gleiche Energien, die zu verschiedenen Parabeln und damit zu verschiedenem k gehören.
Freies Elektron: Wellenfunktionen sind ebene Wellen
Welche Zustände/Wellenfunktionen überlagern sich an den Zonengrenzen?
e iGx / 2
e
und
G
i( G )x
2
=e
i
G
x
2
(Rechnung in einer Dimension)
konstruiere neue Wellenfunktionen durch Überlagerung/Superposition
+ e
e
i
G
x
2
i
G
x
2
+e
e
i
i
G
x
2
G
x
2
cos x
a
sin x
a
Wahrscheinlichkeitsdichten: + = + * + cos 2 x
x
, = * sin 2 a
a
Elektron im Zustand + : Ladungsträgerdichte hat ein Maximum an der Stelle der positiven
Ionenrümpfe, d.h. mehr Bindungsenergie, d.h. bindender Zustand, Energie reduziert relativ
zum freien Elektron (bei diesem k-Wert)
Elektron im Zustand : Ladungsträgerdichte hat ein Maximum zwischen den Atomen, d.h.
höhere Energie im Vergleich zum freien Elektron (bei gleichem k-Wert)
Endliche Potentialamplitude: Aufspaltung der Energieniveaus
Abweichung vom Bild freier Elektronen (parabolische Energiedispersion) ist am Zonenrand
am grössten, sonst ändert sich nicht viel
Am Zonenrand bildet sich eine Bandlücke
Quantitativ: E = E + E = 2VG , Bandlücke ist zweimal Fourierkoeffizient des Potentials
Verallgemeinerung: es gibt erlaubte Energiebereiche, sogenannte Energiebänder, und
verbotene Bereiche, sogenannte Energielücken
11.10
Dieses Bild funktioniert auch bei allgemeinen Festkörpern, nur das die Dispersion der Bänder
dann sehr stark von derjenigen des freien Elektrons abweichen
Es gibt Näherungen für den Fall sehr tief liegender Elektronen (tight binding) und sehr
schwach gebundener Elektronen (quasi-freies Elektronengas)
11.11
Im Zwischenbereich gibt es keine Näherung und das Ergebnis muss mit komplexen
numerischen Rechnungen gefunden werden
11.4Die Zustandsdichte
dN
3
1 2m 2
dE
E
Zustandsdichte des freien Elektronengases: D(E) =
V = 2 2 2 Herleitung über E( k ) Beziehung, konstante Energie entspricht Kugeloberfläche im k-Raum
Jetzt: E( k ) ist eine komplizierte Funktion, d.h. Fläche konstanter Energie ist im Allgemeinen
keine Kugeloberfläche mehr
Zustandsdichte durch Integration über eine Energieschale E( k ), E( k ) + dE im k-Raum
{
dZ =
}
V E +dE dk
(2 ) 3 E
V
(2 ) 3
die
Dichte
der
Zustände
im
k-Raum,
bzw.
ist Volumen eines
(2 ) 3
V
Zustands im k-Raum
Volumenelement dk im k-Raum
Dabei ist
aufgeteilt in Flächenelement dSE auf der Energiefläche und Komponente senkrecht zu
dieser Fläche: dk = dSE dk Umschreiben des Energie-Differentials: dE = gradk E dk Zustandsdichte pro Volumen: D(E)dE =
dSE
1
dE
3
(2 ) E ( k )= konst grad E( k )
k
Spin-Entartung: jeder Zustand kann mit zwei Elektronen besetzt werden.
Zustandsdichte D(E) wird dort besonders gross, wo gradk E verschwindet, d.h. wo die
Energieflächen im k-Raum flach sind
Diese Punkte nennt man van-Hove Singularitäten.
12.1
12. Transport von Elektronen
Transport von elektrischer Ladung ist ein zeitabhängiger Prozess
Im Prinzip muss die zeitabhängige Schrödingergleichung gelöst werden
Bisher: Berechnung elektronischer Zustände mit zeitunabhängige Schrödingergleichung
Jetzt: Verhalten von Elektronen in einem Band unter Einfluss eines elektrischen Feldes
Einfachster Fall: stationärer Zustand, d.h. elektrisches Feld ist unabhängig von der Zeit, aber
es fliesst ein Strom
12.1 Drude Modell
Lange bevor eine Theorie zur Beschreibung von Festkörpern vorlag, hatte Drude bereits eine
Vorstellung für den Transport von Elektronen durch einen Festkörper entwickelt.
Betrachte die Bewegungsgleichung eines klassischen Teilchens unter dem Einfluss eines
elektrischen Feldes:
mv˙ +
m
v D = e E ,
mit Reibungsterm
m
vD
v D = v v therm , Driftgeschwindigkeit, gerichtet aufgrund des angelegten elektrischen Feldes,
Differenz zwischen tatsächlicher Geschwindigkeit und der zufälligen thermischen
Geschwindigkeit
Abschalten des elektrischen Feldes: Geschwindigkeit relaxiert zurück zur thermischen
Geschwindigkeit, daher Relaxationszeit Stationärer Fall: v˙ = 0 , ->
e vD = E
m
e 2n Stromdichte in Feldrichtung: j = env D = neμE = E
m
n: Volumendichte aller freien Elektronen
μ: Beweglichkeit, definiert als Faktor zwischen Driftgeschwindigkeit und äusserer Feldstärke
damit ergibt sich für die elektrische Leitfähigkeit
j e 2n
= =
m
E
und für die Beweglichkeit
μ=
e
m
Einfache Modellvorstellung:
-
alle Elektronen tragen zum Strom bei (Pauli-Prinzip verbietet dies für Elektronen weit
unterhalb der Fermi-Energie)
12.2
-
die Streuzeit beschreibt die Zeit, die ein Teilchen typischerweise zwischen zwei
Steuereignissen durchläuft, in diesem Fall zwischen zwei Ionen des Kristallgitters,
d.h. die mittlere freie Weglänge ist von der Grössenordnung der Gitterperiode (BlochTheorem sagt, dass an einem periodischen Gitter nicht gestreut wird)
12.2 Hall –Effekt
Betrachte einen Quader mit Stromfluss entlang einer Symmetrieachse und einem Magnetfeld,
das senkrecht dazu angelegt wird:
j: Stromdichte in x-Richtung
B: Magnetfeld in y-Richtung
b: Dicke des Quaders in z-Richtung
UH: Hallspannung senkrecht zur
Stromrichtung und senkrecht zum Magnetfeld
Ohne Magnetfeld gibt es keine Hallspannung UH. Die Elektronen, die sich aufgrund des
angelegten elektrischen Feldes in x-Richtung bewegen, spüren eine Lorentzkraft:
FL = e v B
Aufgrund dieser Kraft bewegen sich die Ladungen zu einer Grenzfläche in z-Richtung, die
Ladungen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen verbleiben auf der gegenüberliegenden
Grenzfläche. Dadurch entsteht ein elektrisches Feld und damit eine Kraft:
Fel = e E
Im Gleichgewicht kompensieren sich diese beiden Kräfte: Fel = FL
Es entsteht eine elektrische Spannung in z-Richtung:
U z = U Hall = E z b = By v x b
Stromdichte in x-Richtung: j x = n e v x = E x
Hall-Spannung: U Hall = By b j
E x = By b x
n e
n e
d.h. Messung der Ladungsdichte wird möglich
12.3 Bewegung von Elektronen in Bändern
Bewegung eines freien Elektrons mit Impuls p kann durch eine unendlich ausgedehnte ebene
Welle beschrieben werden
Unschärferelation: genau bestimmter Impuls verbietet einen genau bestimmten Ort
12.3
Beschreibe Elektron im Festkörper durch eine ähnliche Welle, Elektron sei mehr oder
weniger lokalisiert
Beschreibe Lokalisierung durch ein Wellenpaket, lineare Überlagerung von ebenen Wellen
k
k mit Wellenvektor im Intervall k ,k + 2
2
k+
(x,t) k
2
a(k)e [
i kx (k )t ]
dk
k
k
2
(k) ist durch Dispersionsrelation bestimmt
Wellenpaket dehnt sich aus mit der Zeit und propagiert
Zentrum des Wellenpakets bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit
(k)
k
Kristall: Elektronen werden durch Bloch-Wellen beschrieben
Elektronen in Kristallen werden durch Wellenpakete von Blochwellen beschrieben
( k ) 1 =
E( k )
Definiere Gruppengeschwindigkeit: v =
k
k
Hier beschreibt E( k ) die Dispersion der Energiebänder in einem Festkörper
Anlegen eines elektrischen Feldes im Zeitraum t bedeutet Energiezuwachs E = eEvt
Wobei v die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets ist
˙
k = eEt , bzw. k = eE
Es folgt: E = E( k ) k = vk ,
k
E: Energie, E : elektrisches Feld
Dies gilt für Elektronen in Festkörpern, so lange die angelegten elektrischen Felder klein sind
gegen die atomaren Felder
12.4
Schreibe nun die semiklassische Bewegungsgleichung für Kristallelektronen in Anwesenheit
eines elektrischen Feldes:
v˙ i =
1
1 d
2E ˙
1
2E
E(
k
)
=
=
eE
k
j
2 i j k ik j
dt k
j k ik j
( )
j
1
Analoge klassische Gleichung für Punktladung im elektrischen Feld: v˙ =
eE
m
( )
1 1 2E
Vergleich liefert: Tensor der effektiven Masse
=
m * ij 2 k ik j
Bandstruktur E( k ) liefert einen Ausdruck, der äquivalent ist zur klassischen Masse
Betrachte Bandstruktur an einem Extremum:
2
E( k ) = E 0 ±
k x2 + k y2 + k z2 )
(
2m *
In der Nähe eines solchen Punktes ist die effektive Masse Näherung besonders nützlich, weil
man die Elektron wie freie Teilchen mit einer modifizierten Masse beschreiben kann
Effektive Masse kann positiv oder negativ sein
Sobald man ein Band hat, dessen Dispersion näherungsweise parabolisch ist (d.h. in der Nähe
eines Maximums oder Minimums), dann ist der Ansatz einer effektiven Masse sinnvoll. Für
die Bewegung des Elektrons bzw. für dessen Reaktion auf ein elektrisches Feld können dann
die klassischen Bewegungsgleichungen benutzt werden, wobei lediglich die Masse des freien
Elektrons durch die effektive Bandmasse ersetzt wird.
Was bedeutet ein negativer Wert für die effektive Masse? Die Elektronen bewegen sich bei
einem angelegten elektrischen Feld entgegen der Bewegungsrichtung für freie Elektronen.
12.5
12.4 Ströme in Bändern: Elektronen und Löcher
Elektronen haben verschiedene k-Vektoren (auch Elektronen an der Fermi-Fläche). Wie
tragen Elektronen mit verschiedenen k-Vektoren zum Strom bei?
Stromdichte allgemein: j = env
Betrachte Volumenelement dk um k , berechne Teilchenstromdichte der Elektronen aus
diesem Volumenelement
dk
1 dj n = v( k )
= 3 k E( k )dk
3
8 (2 )
Zustandsdichte im k -Raum ist
V
, d.h. (Volumen eines Zustands im k-Raum)-1
3
(2 )
Spin-entartete Zustände werden doppelt gezählt
Betrachte die Elektronen in einem ganz gefüllten Band, welchen Beitrag liefern sie zur
elektrischen Stromdichte?
e
j = 3 k E( k )dk
8 1.BZ
Band ist gefüllt -> Integral erstreckt sich über die 1. Brillouin Zone
k E( k )dk
Damit gibt es für jede Geschwindigkeit v( k ) =
12.6
Auch einen Beitrag von v(k ) .
Aufgrund von Symmetrie-Eigenschaften des Gitters (Kristallstrukturen mit
Inversionssymmetrie, oder genauer aufgrund der beiden Spin-Zustände) gilt
E( k ) = E( k )
1
1
Damit gilt: v(k ) = k E( k ) = k E( k ) = v( k )
Das bedeutet, dass die Stromdichte, die von einem gefüllten Band getragen wird, identisch
verschwindet
j (volles Band) = 0
˙
k = eE
teilweise gefülltes Band: elektrisches Feld E wirkt entsprechend
d.h. Zustände werden im Band so umverteilt, dass sie nicht mehr symmetrisch um k = 0
angeordnet sind. Deswegen ist der Strom verschieden von Null:
j (teilweise gefülltes Band) 0
Integral erstreckt sich nur über besetzte Zustände und nicht über die gesamte Brillouin-Zone:
e
e
e
+e
j = 3 v( k )dk = 3 v( k )dk 3 v( k )dk = 3 v( k )dk
8 k besetzt
8 1. BZ
8 k leer
8 k leer
=0
Formal: Strom, der durch die besetzten Zustände getragen wird ist identisch zu Strom, der
von positiv geladenen Teilchen getragen wird. Die unbesetzten Zustände werden diesen
neuen positiv geladenen Teilchen zugewiesen. Man nennt diese neuen Quasi-Teilchen
Löcher.
Deren Bewegungsgleichung ist ähnlich derjenigen für Elektronen, nur mit umgekehrtem
Vorzeichen für die Ladung
Löcher verhalten sich bzgl. elektrischen Feldern wie positiv geladene Teilchen
Betrachte fast ganz gefülltes Band mit wenigen unbesetzten Zuständen ganz oben
Thermodynamisches Gleichgewicht: Elektronen besetzen untere Bandzustände, Löcher findet
man an der Oberkante des Bandes.
Betrachte Band-Maximum: Banddispersion für Löcher
2k 2
E( k ) = E 0 2 mh *
mh * ist die effektive Masse der Löcher an der Bandoberkante, d.h. mh * < 0
Betrachte Loch unter Einfluss eines elektrischen Feldes:
˙
1 d e 1
v˙ =
k E( k ) = k =
E
dt
mh *
mh *
12.7
˙
Hier bezeichnen k E( k ) und k die unbesetzten elektronische Zustände
Bewegungsgleichung ist diejenige eines positiv geladenen Teilchens mit einer positiven
effektiven Masse
Falls zwischen oberstem besetzten Zustand und unterstem unbesetztem Zustand eine
Bandlücke existiert, so muss es sich um einen Isolator handeln, da volle Bändern keinen
Strom leiten können
Behauptung gilt streng nur bei T=0.
Thermische Anregungen bei endlicher Temperatur T>0 führen zu wenigen zusätzlichen
besetzten Zuständen im ursprünglich leeren Band, d.h. Stromfluss wird möglich
Umgekehrt gibt es jetzt im ursprünglich voll besetzten Band leere Zustände (Löcher), die
ebenfalls Strom tragen können
Bei T 0 wird der Strom sowohl durch Elektronen wie durch Löcher getragen
Dieses Verhaltern ist typisch für Isolatoren und Halbleiter
Leitfähigkeit hängt hauptsächlich von den thermisch angeregten Ladungsträgern ab, d.h. von
der Grösse der Bandlücke relativ zur thermischen Energie kT.
Metalle: teilweise gefülltes Band, d.h. Zahl der Ladungsträger hängt praktisch nicht von der
Temperatur ab
12.5 Fermi-Kugel im elektrischen Feld
Damit ein elektrischer Strom fliesst, müssen die Elektronen durch ein elektrisches Feld
beschleunigt werden können
Stationärer Zustand bildet sich aus bei konstantem elektrischem Feld
Im thermodynamischen Gleichgewicht wird die Verteilung der Zustände durch die FermiDirac-Verteilung beschrieben:
1
f 0 E( k ) = E ( k )E / kT
(
F)
e
+1
[
]
Ausserhalb des Gleichgewichts, d.h. wenn ein elektrisches Feld angelegt ist, wird sich eine
neue Verteilung einstellen:
f f ( r , k ,t)
Durch das elektrische Feld wird die Verteilung aus dem Gleichgewicht in den stationären
Zustand gebracht. Nachdem das Feld abgeschaltet wurde, relaxiert die Verteilung durch
Stoesse (z.B. Gitterschwingungen, Gitterdefekte) wieder zurück zum Gleichgewicht
Relaxationszeit Lösung über Boltzmann-Transport Gleichung im elektrischen Feld, Näherung für kleine
elektrische Felder:
e f ( k ) = f 0 k + (k ) E 12.8
12.9
Stationäre Verteilung ist eine verschobene Fermi-Verteilung
Nach Auschalten des elektrischen Feldes verschiebt sich die Fermi-Verteilung wieder zurück
zum Ursprung, die Zeitkonstante ist durch die Relaxationszeit gegeben, d.h. durch die
charakteristischen Streuprozesse durch Gitterschwingungen und durch Defekte
e
Es zeigt sich, dass die Verschiebung der Fermi-Kugel k = E sehr klein ist gegenüber
dem Fermiwellenvektor, kF , k << k F
Wie beim Drude-Modell ist die Relaxationszeit mit Streuprozessen verknüpft. Allerdings ist
die Interpretation eine völlig andere. Während beim klassischen Drude-Modell die Zeit die
Zeit zwischen zwei Streuereignissen beschreibt, so ist im quantenmechanischen Fall die
Zeit für die Relaxation der Fermi-Kugel zurück zum thermodynamischen Gleichgewicht.
12.6 Elektrische Leitfähigkeit von Metallen
Betrachte den Beitrag von Elektronenin einem Volumen dk zur Teilchenstromdichte,
Besetzungswahrscheinlichkeit sei f ( k )
1
Teilchenstromdichte: j n = 3 v( k ) f ( k ) dk Integration im k-Raum
8 1.BZ
Elektrische Stromdichte für elektrisches Feld in x-Richtung:
e
j = 3 v( k ) f ( k ) dk
8 1.BZ
e ( k )
e
f = 3 v( k ) f 0 ( k ) +
E x 0 dk
8 1.BZ
k x f e (k) f e (k)
E = f 0 (k ) +
Ex
Mit f ( k ) = f 0 ( k ) + k x k Isotropes Medium und kubisches Gitter: j y = 0 = j z für elektrisches Feld in x-Richtung
Integral über gesamte BZ, f 0 ( k ) hat Inversionszentrum um k = 0
-> v x f 0 ( k ) dk x = 0
Weiter gilt:
f 0 f 0 E f 0
=
=
v x
k x E k x E
Damit folgt für elektrische Stromdichte:
f
e2
j = 3 E x v2x ( k ) 0 dk
8
E
1.BZ
spezifische Leitfähigkeit: =
f
j x e2
=
v2x ( k ) 0 dk
3 E x 8 1.BZ
E
Breite der Fermi-Verteilung hat eine Breite von ca. 4 kT
12.10
(
Ausserdem ist f 0 inversionssymmetrisch um den Punkt E F , f 0 (E F ) = 1 2
)
f 0
( E EF )
E
dE
dE
dk = dSE dk = dSE = dSE
v( k )
k E
Diese Ergebnisse eingesetzt in Ausdruck für die Leitfähigkeit mit dE = k E dk :
e2
v2
= 3 dSE dE x ( k ) (E E F )
8 v( k )
e2
v2
= 3 dSE x ( k )
8 E = E F
v( k )
Im allgemeinen Fall ändern sich v( k ) und ( k ) über die Fermifläche
Näherung für einen mittleren Wert:
v 2x ( k ) gemittelt über die Fermi-Fläche
v( k ) E
F
Spezialfall: Fermi-Kugel, d.h. freie Elektronen mit einer konstanten effektiven Masse
1 2
v
3
2
v
(
k
x ) v( k )
v 2x =
= v(E F ) (E F )
EF
1
3
Ergebnis: die elektrische Leitfähigkeit einesMetalls kann ausgedrückt werden als
Oberflächenintegral über die Fermi-Fläche E( k ) = E F im k-Raum
ist eine Funktion von v(E F ) sowie (E F )
Diese Überlegungen zeigen, dass nur Elektronen in der Nähe der Fermifläche relevant sind
für den Stromtransport in Metallen. Dies entspricht den Forderungen des Pauli-Prinzips.
Elektronen tief unter der Fermi-Energie werden durch die Verschiebung der Fermi-Kugel
nicht beeinflusst
12.11
Einfachster Fall:
-
Leitungsband eines Metalls
-
kT << EF
-
konstante effektive Masse m*
-> v(E F ) =
dS
E
k F
m*
= 2 4 kF2
E = EF
kT<<EF
->
n=
2
4 3
k F
3
8 3
->
kF3 = 3 2 n
Damit ergibt sich folgender Ausdruck für die Leitfähigkeit:
=
e 2 (E F )n
m*
Beweglichkeit: μ =
e
(E F )
m*
Diese Ausdrücke sind formal äquivalent zum Drude Modell. Allerdings ist die Interpretation
eine gänzlich Andere.
Sowohl im Drude-Modell als auch bei der qm Rechnung hängt die Leitfähigkeit von der
Gesamtzahl der Ladungsträger n ab.
Qm: dies kommt von der Integration im k-Raum
Drude: alle Ladungsträger nehmen am Transport teil
Die Ähnlichkeit der mathematischen Ausdrücke erklärt, warum man mit dem Drude Modell
so weit kommt.
Halbleiter: Ladungsträgerdichte n hängt stark von der Temperatur ab
Metalle: Ladungsträgerdichte praktisch temperaturunabhängig, aber Beweglichkeit μ bzw.
Relaxationszeit (E F ) stark temperaturabhängig, wichtigste Streumechanismen sind
Phononen und Defekte.
12.12
Annahme: Phononenstreuung und Streuung an Defekten sind voneinander unabhängig
Gesamte Streuwahrscheinlichkeit ist Summe der beiden individuellen Streuraten
1
1
1
=
+
ges Phononen Defekt
Streuung an Defekten hängt nicht von der Temperatur ab, d.h. Defekt ist eine Konstante, die
von den Verunreinigungen des Kristalls abhängt
Phononen: Gitterschwingungen hängen stark von der Temperatur ab
Phononen-Frequenzen enthalten Informationen über die elastischen Eigenschaften des
Materials
Gesamtwiderstand: Metall (T) = Phonon (T) + Defekte
13.1
13. Halbleiter
Im Kapitel über Bandstruktur haben wir gelernt, dass nur ein teilweise gefülltes
elektronisches Band zum elektrischen Strom eintragen kann. Total gefüllte oder total leere
Bänder tragen nicht zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Ein Material, das nur komplett gefüllt
oder leere Bänder aufweist ist ein Isolator. Falls jedoch der Bandabstand zwischen der oberen
kante des höchsten gefüllten Bandes (=Valenzbad) und der unteren Kante des tiefsten leeren
Bandes (=Leitungsband) nicht zu gross ist (z.B. 1eV ), so hat die endliche Breite der FermiVerteilung 4kT , bei mittleren und hohen Temperaturen Konsequenzen für die Besetzung
der Bänder.
Bei endlichen Temperaturen werden einige Elektronen am oberen Rand des Valenzbandes
angeregt in die untersten Zustände des Leitungsbandes. Die thermisch angeregten Elektronen
13.2
und Löcher können einen elektrischen Strom tragen. In diesem Fall spricht man von einem
Halbleiter. Die Leitfähigkeit eines Halbleiters kann daher mit höherer Temperatur sehr stark
zunehmen. Die Leitfähigkeit kann durch gezielte Zugabe von Verunreinigungen ebenfalls
sehr stark modifiziert werden. Dies nennt man Dotierung. Die Abstimmbarkeit der
elektrischen Leitfähigkeit von Halbleitern ist die Voraussetzung für die Entwicklung der
modernen Mikroelektronik.
13.1 Eigenschaften der wichtigsten Halbleiter
Der Halbleiter, aus dem der erste Transistor 1948 bei den Bell Telephone Laboratories
hergestellt wurde, war aus Ge. Nahezu die gesamte Mikroelektronik basiert auf Si. Beinahe
alle optischen Komponenten aus Halbleiter, z.B, der Halbleiter-Laser in jedem CD-Spieler,
werden aus III-V Halbleiter hergestellt. Dies sind Verbindungen aus der III und V
Hauptgruppe des Periodensystems, z.B. In P, GaAs, Al Sb etc. Si und Ge kristallisieren in
der Diamantstruktur. Aufgrund der Mischung von s- und p-Orbitalen entsteht eine
tetraedrische Bindung, die sogenannten sp3-Orbitale. Für Atomabstände nahe beim
Gleichgewicht gibt es eine Aufspaltung in bindende und anti-bindende Orbitale. Die
bindenden Orbitale bilden das Valenzband, die anti-bindenden das Leitungsband. Da alle 4 sund p-Elektronen das Valenzband komplett füllen, erhält man ein leeres Leitungsband. Als
Ergebnis davon ist Diamant ein Isolator, während Si und Ge kleinere Bandlücken aufweisen
und deswegen Halbleiter sind. Temperatur-Abhängigkeit der Bandlücke Eg: Mit
zunehmender Temperatur nimmt die Gitter-Konstante aufgrund der thermischen Ausdehnung
zu. Daher nimmt die Aufspaltung zwischen bindenden und anti-bindenden Zuständen ab und
die Bandlücke wird kleiner. Eine genaue Beschreibung dieses Effekts muss auch
phononische (Gitterschwingungen) Beiträge berücksichtigen.
Die Bandstrukturen der wichtigsten Halbleiter sind im Detail berechnet und in Experimenten
bestimmt worden.
13.3
Obwohl Si und Ge dieselbe Gittersymmetrie aufweisen, d.h. fcc (face centered cubic) mit 2atomiger Basis=Diamantstruktur, sind ihre E(k) -Beziehungen, d.h. ihre Bandstrukturen, sehr
verschieden. Beide Halbleiter haben eine indirekte Energielücke. Dies bedeutet, dass der
minimale Abstand zwischen Leitungs- und Valenzband sich zwischen Zuständen mit
verschiedenen k-Vektoren befindet.
Valenzband-Maximum bei k = [0,0,0] , -Punkt
Leitungsband-Minimum entlang k = [111] für Ge und entlang k = [100] für Si
E(k) in der parabolischen Näherung, d.h. nur Terme bis k2.
Flächen konstanter Energie sind Ellipsoide um die [111] bzw. [100] Richtungen
k 2k 2 k 2 E(k) = x y + z 2ml 2mt
mt*: transversale effektive Masse
ml*:longitudinale effektive Masse
13.4
Si
Ge
mt*/m
0.19
0.082
ml*/m
0.98
1.57
Dabei ist der Energie-Ursprung am Leitungsband-Minimum gewählt. III-V-Halbleiter haben
meistens eine direkte Bandlücke im Gegensatz zu Si und Ge.
Valenzband-Maximum und
Leitungsband-Minimum liegen beide am -Punkt, d.h. bei k = (000) . Ebenso gibt es 3
Valenzbänder, leichte und schwere Löcher, sowie das Spin-abgespaltene Band.
Ausnahme: GaP und AlSb haben ebenfalls indirekte Bandlücken.
Ebenso kann man Elemente aus der II. und VI.-Hauptgruppe kombinieren, um sogenannte IIVI-Halbleiter herzustellen, z.B. ZnO, CdS, CdTe. In dieser Gruppe von Halbleitern ist der
ionische Charakter der Bindung stärker.
Eg (300k)
eV
1.43
1.35
0.18
GaAs
InP
InSb
ml*/m
mlh*/m
m*hh/m
0.07
0.073
0.015
0.12
0.078
0.021
0.68
0.4
0.39
lh= light hole
hh= heavy hole
13.2 Ladungsträgerdichte in intrinsischen Halbleitern
Elektrische Leitfähigkeit: = e ( nμn + pμ p )
n: Elektronendichte
p: Löcherdichte
n: Beweglichkeit der Elektronen
p: Beweglichkeit der Löcher
13.5
Vernachlässigung der Energie- bzw. k -Abhängigkeit von n und p. Normalerweise genügt
es die Ladungsträger im parabolischen Teil der Bänder zu berücksichtigen, wo die effektive
Masse-Näherung gültig ist, d.h. me und mp sind konstant. Da die Driftgeschwindigkeit v und
die elektrische Ladung von Löchern und Elektronen verschiedene Vorzeichen haben tragen
beide Typen von Ladungsträgern mit demselben Vorzeichen zu bei.
Metalle: nahezu Temperatur-unabhängig
Halbleiter: sehr stark Temperatur-abhängig
da Ladungsträger über die Bandlücke Eg thermisch angeregt werden müssen.
n und p hängen stark von der Temperatur ab über die Fermi-Verteilung.
Intrinsische Halbleiter: freie Elektronen und Löcher können nur durch Anregungen vom
Valenzband ins Leitungsband entstehen.
Wie in jedem Festkörper muss die Besetzung der Energieniveaus in Halbleitern der FermiStatistik genügen.
n=
D (E) f (E,T)dE
L
EL
p=
EV
D
V
(E)[1 f (E,T)] dE
DL Zustandsdichten in Leitungs- und Valenzband
DV Die obigen Integrale sollten sich nur über die Bänder erstrecken. Da die Fermi-Funktion
jedoch sehr schnell abfällt, können die Grenzen bis ± ausgedehnt werden.
Parabolische Näherung (m*=const)
DL (E) =
(2me * ) 3 / 2
2 2 3
E E c für E>Ec
DV (E) =
(2mh * ) 3 / 2
2 2 3
E V E für E<EV
Die Zustandsdichte im verbotenen Bereich EV<E<EL ist natürlich null.
Intrinsischer Halbleiter: alle freien Elektronen im Leitungsband kommen aus Zuständen im
Valenzband. n = p
Konzentration von freien Elektronen und Löchern ist dieselbe.
Für me*= mh* gilt DL=DV
13.6
EF muss in der Mitte zwischen den beiden Bändern liegen.
DL DV EF verschiebt sich hin zu einem Band, so dass n=p gültig bleibt
Breite der Fermi-Funktion 2kT50meV bei 300K << Eg1eV
Fermi-Funktion kann durch die Boltzmann-Funktion angenähert werden für E>EL und E<EV
E EF
>> 1 kT
E EF 1
exp << 1
E EF kT exp
+1
kT Ladungsträgerdichte: n =
Substitution: X L =
n=
(2me *)
2 2 3
3/2
( kT )
(2me *)
2 E EL
,
kT
2
3
e E F / kT
E E L eE / kT dE
EL
X L eX L dX L =
0
3 / 2 (E E )/ kT
L
F
e
3/2
0
1
2
2me * kT 3 / 2 ( E L E F )/ kT
X L eX L dX L = 2
e
2
h
NL
eff
2m h * kT 3 / 2 (EV E F )/ kT
analog: p = 2
e
2
h
NV
eff
effektive Zustandsdichten: N V , N L
eff
eff
Verteilungsfunktion für translatorische Bewegung in 3D
Kleine Konzentrationen von Ladungsträgern können durch die Boltzmann-Gleichung
beschrieben werden. Formal kann das Leitungsband als Potentialtopf betrachtet werden, in
dem die Fermi-Energie tief unterhalb (>>kT) des Bodens des Potentialtopfes liegt.
NLeff, NVeff sogenannte effektive Zustandsdichten.
Interpretation: das gesamte Leitungsband wird charakterisiert durch ein einziges
Energieniveau EL mit der Zustandsdichte NLeff , die explizit von der Temperatur abhängt.
Gleiches gilt für das Valenzband, mit dem Energieniveau Ev und der effektiven
Zustandsdichte NVeff .
Besetzungsdichten n und p beider Bänder sind durch den Boltzmann-Faktor bestimmt. Dabei
wird die Energie von EF aus gemessen. Diese Näherung, die bei Halbleitern oft gilt, nennt
man die Näherung der Nicht-Entartung. Grosse Ladungsträgerdichten können in Halbleitern
durch Dotierung, d.h. Zugabe von grossen Mengen von Störatomen erzielt werden. In
diesem Fall gilt obige Näherung nicht mehr und man spricht von entarteten Halbleitern.
13.7
Mit den Ausdrücken für n und p findet man:
n p= N
L
eff
V
N e ff e
E g / kT
kT 3 * *
= 4
me mh
2 2 (
)
3 / 2 E / kT
g
e
Falls ein Halbleiter bestimmt ist durch seine
Bandlücke sowie seine effektiven Massen me* und
mn*, so gilt für die Elektronen- und LöcherKonzentrationen als Funktion der Temperatur eine
Art Massenwirkungsgesetz.
Die zusätzliche Bedingung n=p für intrinsische Halbleiter liefert:
n i = pi = N L eff N V eff e
kT 3 / 2 * *
= 2
me mh
2 2 (
)
E g / 2kT
3 / 4 E / 2kT
g
e
Das Fermi-Niveau stellt sich genau so ein, dass bei einer bestimmten Temperatur
Ladungsneutralität gilt.
n = p = N L eff eE L / kT e E F / kT = N V eff e EV / kT eE F / kT
e 2E F / kT =
EF =
N V eff (EV +E L )/ kT
e
N L eff
E V + E L kT
E + EL 3
*
*
+
ln( N V eff /N L eff ) = V
+ kT ln mh /me
2
4
2
2
(
)
Falls die beiden effektiven Massen bzw. effektiven Zustandsdichte gleich sind, so liegt das
Ferminiveau für einen intrinsischen Halbleiter genau in der Mitte der Energielücke für alle
Temperaturen. Falls die effektiven Zustandsdichten in Leitungs- und Valenzband jedoch
verschieden sind, so liegt die Fermi-Energie asymetrisch bzgl. der Bandkanten EL und EV.
Ausserdem zeigt die Position des Fermi-Niveaus eine schwache Temperatur-Abhängigkeit.
13.8
13.3 Dotierung von Halbleitern
Si hat bei 300 K eine intrinsische Ladungsträgerkonzentration von
ni=1.5 ·1010cm-3
Dieser Wert ist extrem gering und führt zu sehr kleinen Strömen. Höhere Konzentrationen
können durch Dotierung erzeugt werden. Dies bedeutet die Zugabe von elektrisch aktiven
Störstellen in den Halbleiter. Die meisten Halbleiter können nicht mit genügender Reinheit
als Einkristalle hergestellt werden, dass man intrinsische Leitfähigkeit bei Raumtemperatur
beobachten kann. Unbeabsichtigte Dotierung führt bei 300 K zu Ladungsträgerdichten von
ungefähr 1015 cm3 (bei GaAs oder Si) verglichen mit intrinsischen Konzentration im Bereich
von ni 5 ·107 cm3
Elektrisch aktive Störstellen in einem Halbleiter erhöhen die Konzentration entweder der
freien Elektronen oder der freien Löcher, indem Elektronen aus Leitungsband abgegeben
werden oder vom Valenzband aufgenommen werden. Diese Störstellen nennt man Donator
oder Akzeptor.
Ein Donator entsteht in Si, indem ein 4-wertiges Si-Atom durch ein 5-wertiges Atom ersetzt
wird, z.B. P,As,Sb. Die elektronische Struktur der äussersten Schale dieser Atome ist s2p3
statt s2p2 wie bei Si. Um sich der tetraedrischen Bindung der sp3 Hypridisierung anzupassen
sind nur die 4 s2p2-Elektronen des 5-wertigen Donators notwendig. Das zusätzliche Elektron
ist schwach an den positiv geladenen Donator gebunden, der ein Si-Atom ersetzt hat.
13.9
Ein 5-wertiger Donator kann in guter Näherung als positiv geladener Kern dargestellt
werden, an den ein Elektron gebunden ist. Das Elektron kann losgelöst werden und sich dann
"frei" durchs Gitter bewegen. Durch Ionisation wird das Elektron von der Störstelle ins
Leitungsband angeregt. Der Donator kann als wasserstoffartiges Zentrum beschrieben
werden, bei dem die Coulomb-Anziehung zwischen Zentrum und Valenz-Elektron durch die
Anwesenheit der Elektronen des Si in der Nähe abgeschirmt wird.
Abschirmung: abgeschätzt durch die Dielektrizitätskonstante von Si: E(Si)=11.7
Wasserstoff-Energieniveaus: E n =
H
mee 4
1
2
2
2( 4 0 ) n
n=l Niveau Ionisierungsenergie= 13.6 eV
P Donator in Si:
1) me= freie Elektronenmasse ersetzen durch die effektive Masse me*= 0.3 me eines Elektrons
im Leitungsband.
2) Die Elektrizitätskonstante des Vacuums 0 ersetzen durch (Si)o
En
P in Si
=
me * e 4 1
2
2
2( 4 0 ) n
Damit ergibt sich die Ionisierungsenergie des Donators zu 13.6eV (me*/me)/2~30meV
Germanium: Ge=15.8, me*=0.12me (Ec-ED) ~6 meV
Im Wasserstoff-Modell findet man für den Bohr'schen Radius
r = 0
h2
me e 2
oder für den Donator
rD = 0
h2
me *e 2
13.10
1
~ 3 nm , d.h. das an den Donator gebundene
0.2
Elektron überstreicht bei seiner Bahn viele Gitterkonstanten. Dies rechtfertigt im Nachhinein
das Konzept einer räumlich verschmierten Dielektrizitätskonstante.
Für Si führt dies zu rD ~ 0.05 nm12 Donator Akzeptor
Falls ein 3-wertiges Atom (B,Al,Ga) im Gitter eines 4-wertigen Elements (Si,Ge) eingebaut
wird, so gelten alle Überlegungen entsprechend.
Bildung eines sp3-Hybrids=Akzeptor nimmt Elektronen aus dem Valenzband auf
=> ein Loch wird zurückgelassen.
Akzeptor-Ionisierungsenergie:
Elektron wird vom Valenzband ins Akzeptor-Niveau angehoben
=> "geladene" Akzeptoren sind negativ geladen.
Wasserstoff-Modell: Energie, um das Loch vom Akzeptor zu trennen.
kleinste heute kontrollierbare Störstellenkonzentrationen ~1012cm-3
Ge: ni(300K) ~ 2.4 ·1013cm-3
Si: ni(300K) ~1.5 ·1010cm-3
13.4 Ladungsträgerdichte in dotierten Halbleitern
dotierte Halbleiter
-> Elektron thermisch angeregt aus Valenzband
-> Elektron im Leitungsband aus Donatorzustand
äquivalent für Loch im Valenzband
nicht entartete Halbleiter
n p = N L eff N V eff e
E g / kT
Massenwirkungsgesetz gilt auch im Fall der Dotierung, wo die Position der Fermi-Energie EF
zunächst nicht auftaucht.
Position von EF: bestimmt durch Neutralitätsbedingung alle Ladungen müssen
berücksichtigt werden, auch diejenigen der ionisierten Störstellen
ND/A: Dichte aller verfügbaren Donatoren/Akzeptoren
N0D/A: Dichte aller neutralen Donatoren/Akzeptoren
N+D/N-A: Dichte aller ionisierten Donatoren/Akzeptoren
homogene Halbleiter: n+N-A=p+ND+, Ladungsneutralität
13.11
ND=ND0+ND+
NA=NA0+NAtypische Störstellen-Konfigurationen: 10131017cm-3 Bohr'sche Bahnen
benachbarter Donatoren oder Akzeptoren
überlappen nicht
Besetzung der Donatoren mit Elektronen (nD) ist durch folgende Verteilung bestimmt:
n D = N D = N D [1+ e(E D E F )/ kT ]
0
1
[
Analog für Akzeptoren: n A = N A = N A 1+ e( E F E A ) kT
0
]
1
Hier: Beschränkung auf den Fall, wo entweder Donatoren oder Akzeptoren vorliegen.
1) Tiefe Temperaturen:
4 ( N D /N L e ff )e E d / kT >> 1,
Ed=EL-ED
n N D N L eff eE d / 2kT
eine grosse Zahl der Donatoren ist nicht ionisiert, d.h. behält das Valenz-Elektron.
Ausfrieren von Ladungsträgern
Vgl. mit dem Fall intrinsischer Halbleiter:
n i = pi = N L eff N V eff e
d.h.
E g / 2kT
statt effektive Zustandsdichte im Valenzband NVeff jetzt Donatordichte ND
statt Bandlücke Eg jetzt Donatorbindungsenergie Ed
In diesem Tieftemperatur-Bereich hängt die Elektronenkonzentration exponentiell von der
Temperatur ab, wie bei einem intrinsischen Halbleiter. Die grosse Bandlücke Eg ist jedoch
durch die viel kleinere Donatorverbindungsenergie ersetzt. Man braucht also viel geringere
Temperaturen, um eine bestimmte Dichte an freien Elektronen zu erzeugen.
2) Hohe Temperaturen
4
N D e E d / 2kT
<< 1
N L eff
n N D = const
13.12
Die Konzentration der Donator-Elektronen im Leitungsband hat den maximal möglichen
Wert erreicht, wenn alle Donatoren ionisiert sind. In dieser Näherung hat man die Elektronen,
die direkt aus dem Valenzband angeregt werden, vernachlässigt.
3) Sehr hohe Temperaturen
In diesem Fall ist die Zahl der aus dem Valenzband angeregten Elektronen so gross, dass sie
berücksichtigt werden muss und unter Umständen sogar die Zahl der Donator-Elektronen
übersteigt. In diesem Bereich verhält sich ein n-dotierter Halbleiter wie ein intrinsischer
Halbleiter. Man spricht vom intrinsischen Gebiet der Ladungsträger-Konzentration. die
Position der Fermi-Energie als Funktion der Temperaturen kann ähnlich wie im Fall
intrinsischer Halbleiter diskutiert werden. Bei tiefen Temperaturen, wo die Donatoren
anfangen auszufrieren, wird die Valenzband-Kante durch das Donator-Niveau ersetzt. Bei
hohen Temperaturen gibt es sowieso einen Übergang zum Fall intrinsischer Halbleiter. für ndotiertes Silizium erstreckt sich der Sättigungsbereich für eine p-Konzentration von
3x1014cm-3 von 45 K bis 500 K. Dies bedeutet, dass bei Raumtemperatur alle Donatoren
ionisiert sind. In der Realität wird es immer eine Restkonzentration von Akzeptoren geben,
die die Dichte freier Elektronen im Leitungsband reduziert. Sämtliche hier angestellten
Überlegungen für n-typ Halbleiter gelten natürlich analog für p-typ Halbleiter.
13.13
13.5 Der p-n Übergang
Die moderne Festkörperphysik hängt eng mit der Entwicklung von Halbleiter-Bauelementen
zusammen. Die Funktionsweise der meisten Halbleiter-Bauelemente beruht auf Phänomenen,
die mit Inhomogenitäten in Halbleitern zusammenhängt. Inhomogene Konzentrationen von
Donatoren und Akzeptoren führen zu unerwarteten Leitfähigkeitsphänomenen, die eine
zentrale Bedeutung für das Design und die Herstellung von Halbleiter-Bauelementen haben.
Hier werden wir uns auf die Diskussion des p-n Übergangs beschränken. Ein p-n Übergang
besteht aus einem Halbleiter, z.B. Si, der auf einer Seite p- und auf der anderen Seite ndotiert ist. Im Idealfall erfolgt der Übergang von n- zu p-Dotierung innerhalb einer abrupten
Stufe. "Abrupt" muss hier noch näher definiert werden, d.h. welche Längenskala ist hier
relevant.
13.14
13.5.1 p-n Übergang im thermischen Gleichgewicht
Zunächst betrachten wir zwei getrennte Halbleiter, die jeweils n-bzw. p-dotiert sind. Dies
bedeutet, dass das Fermi-Niveau in den beiden Bereichen bei verschiedenen Energien
innerhalb der Bandlücke liegt.
Bringt man die beiden Kristallhälften zusammen, so muss der gesamte Festkörper im
thermodynamischen Gleichgewicht das Fermi-Niveau überall an derselben Energie haben.
13.15
Dies bedeutet notwendigerweise, dass sich die entsprechenden Bandkanten der beiden
Kristallhälften relativ zueinander verschieben müssen. Dies führt im Bereich des p-n
Übergangs zu einer Bandverbiegung. In dieser semi-klassischen Beschreibung wird die
Situation innerhalb des Übergangsgebiets durch ein ortsabhängiges Potential V (x)
beschrieben. Dieses Potential ändert sich wenig im Bereich einer Gitterkonstante. Nach der
Poisson-Gleichung entspricht das Potential V(x) einer Raumladung (x) mit
2V (x)
(x)
=
2
x
0
Tief im Kristall, weit weg vom Übergangsbereich, befindet sich das Fermi-Niveau im pdotierten Bereich nahe bei den Akzeptor-Zuständen und im n-dotierten Bereich nahe bei den
Donator-Zuständen. Die Bandverbiegung im Übergangsbereich führt dazu, dass Akzeptoren
im p-Gebiet unterhalb des Fermi-Niveaus zu liegen kommen und deswegen von Elektronen
besetzt werden. Umgekehrt werden die Donatoren im n-Gebiet über das Fermi-Niveau
angehoben, so dass sie entvölkert werden und damit positiv geladen sind.
Die Raumladung besteht aus ionisierten Akzeptoren und Donatoren, die im Raum fest sind.
dies führt zu einem geladenen Doppel-Schicht-System über den Sprung im Dotierprofil.
Tiefe Temperaturen
=> Ausfrieren der Ladungsträger
=> Raumladungszone kommt zustande, weil die Ladung der räumlich festen Donatoren und
Akzeptoren in der Nähe des Dotierungs-Übergangs nicht mehr durch die beweglichen
Elektronen und Löcher des Leitungs- und Valenzbandes kompensiert wird.
Ausserhalb der Raumlandungszone:
13.16
Donatoren (ND+ falls geladen) und Akzeptoren (NA) sind kompensiert durch gleich grosse
Elektronen (nn) und Löcher (pp) Konzentrationen.
nn: Elektronen im n-Gebiet
) Majoritäts-
pp: Löcher im p-Gebiet
)Ladungsträger
Elektronen und Löcher sind frei beweglich.
=> Elektronen können in p-Gebiete diffundieren
=> Löcher
können in n-Gebiete diffundieren
=> Minoritäts-Ladungsträger, np, pn
Majoritäts-Ladungsträger:
nn = N
L
pp = N
V
eff
e
eff
e
E L n E F
kT
E F EV p
kT
ausserdem n i = n n pn = N
2
V
eff
N
L
eff
e
E L n EV n
kT
VD: Diffusionspannung
=> Unterschied zwischen Minimum und Maximum von V(x)
eVD = (E V E V ) = kT ln
n
mit pn = N
V
eff
e
p
pp nn
ni2
E F EV n
kT
n2
n p
p
N V eff und i = n n = n = V e
p p n n p p n n p p N eff
E Ln EVn
kT
tiefe Temperaturen - > Ausfrieren der Ladungsträger -> /eVD/~Eg
Ströme
Offensichtlich gibt es über einen p-n Übergang hinweg Potentialgradienten und damit
elektrische Felder, in denen sich die freien Ladungen bewegen.
Im stationären Zustand werden diese Diff-Ströme genau durch Diffusions-Ströme
kompensiert.
Diffusion:
p n
jdiff=jndiff+jpdiff = e Dn
DP
x
x Drift:
jDrift =jnDrift+jpDrift=e(nμn+pμp)Ex
jdiff+jDrift=0
13.17
=->Beiträge für Elektronen und Löcher müssen sich je separat aufheben
Dn
n
V (x)
V
= nμn
mit E x = x
x
x
Innerhalb der Raumladungszone gilt:
Leitungsband ~ELP-eV(x)
E P eV (x) E F
n(x) = N L eff exp L
kT
n
e V
= n
kT x
x
Dn =
kT
μn
e
Einstein-Beziehung: Diffusionskonstante <-> Beweglichkeit
Für Löcher gilt eine analoge Beziehung. In der Realität sind p-n Übergänge nicht abrupt. Die
genaue Form der Raumladungsdichte (x) hängt vom Wechselspiel der Drift- und
Diffusionsströme ab. Für den Fall des abrupten Übergangs können näherungsweise Lösungen
im so genannten Schottky-Modell erhalten werden.
Ladungsträgerdichten:
(x > 0) = e(N D+ n + p)
(x < 0) = e(N A + n p)
13.18
Ausserhalb des Übergangsbereichs gilt
0 für x < d p
eN A für d p < x < 0
(x) = eN D für 0 < x < dn
0 für x > d
n
Jetzt kann die Poisson-Gleichung integriert werden:
eN
d 2V (x)
D für 0 < x < dn
2
dx
0
e
Ex = N D (dn x)
el. Feld
0
eN
V (x) = Vn () D (dn x) 2
Potential
20
Vn ()
Ausserhalb Raumladungszone: V (x) = V p ()
für x > dn
für x < d p
dn räumliche Ausdehnung der Raumladungszone in die n-bzw. p-Gebiete
dp Ladungsneutralität: NDdn=NAdp
V(x) ist stetig bei x=0:
(
)
e
N D dn 2 + N A d p 2 = Vn () V p () = VD
2 0
dn =
20VD N A /N D
e NA + ND
(kleinere Dotierdichte dominiert)
20VD N D /N A
dp =
e NA + ND
VD: typisch von der Grössenordnung Eg ~/eV
ND, NA: typisch 1014-1018 cm-3
=dn, dp ist typisch 103-101 nm
elektrisches Feld: E~104-106V/m
13.5.2 Elektrische Gleichrichtung in einem p-n Übergang
Anlegen einer zeitunabhängigen externen Spannung U
=> Aufhebung des thermodynamischen Gleichgewichts
=> es entsteht ein stationärer Zustand nahe beim thermodynamischen Gleichgewicht
13.19
Da in der Raumladungszone
die freien Ladungsträger
verarmt sind, bietet dieses
Gebiet den grössten
elektrischen Widerstand der
Gesamtstruktur.
Die angelegte Spannung U fällt
fast vollständig über dem
Gebiet der Raumladungszone
ab. Die Bandstruktur
ausserhalb der
Raumladungszone ändert sich
demnach nicht bei angelegter
externer Spannung.
Vn () V p () = VD U
U>0: Potential auf der p-Seite
wird gegenüber der n-Seite
angehoben.
Die Grösse der
Raumladungszone wird durch
die externe Spannung
verändert.
VD VD U
dn (U) = dn (U = 0) 1 U /VD
d p (U) = d p (U = 0) 1 U /VD
Für eine externe Spannung U 0 kompensieren sich Drift- und Diffusionströme nicht mehr.
Es gibt folgende Beiträge zur Gesamt-Stromdichte:
1. Drift-Ströme der Minoritätsladungsträger aus dem p-Gebiet (Elektronen sind in der
Minderheit) ins n-Gebiet verursacht durch die Diffusionsspannung VD.
Die Minoritäts-Ladungsträger werden thermisch angeregt. Deswegen heisst der
entsprechende Strom Erzeugungsstrom InEr
genügend dünne Raumladungszone + genügend kleine
Rekombinationsrate
=> jedes Elektron aus dem p-Gebiet, dass in der
Raumladungszone landet, wird ins n-Gebiet gezogen
(von + nach -).
Dieser Effekt ist weitgehend unabhängig von der Grösse
der Diffusions-Spannung und daher auch weitgehend unabhängig von der externen
Spannung.
13.20
2. Diffusionsstrom von Elektronen aus dem n-Gebiet (dort sind de Elektronen in der
Mehrheit) ins p-Gebiet. Dieser Strom heisst Rekombinations-Strom InRe k und verhält sich
völlig anders.
=> Elektronen müssen die Potentialbarriere VD überwinden.
Anteil der Elektronen, die die Barriere durch
thermische Anregung überwinden können
~ e -e(VD -U)/kT
=> InRe k hängt stark von der externen Spannung
U ab.
Analoge Drift- und Diffusionsbeiträge gibt es
natürlich auch für Löcher.
Insgesamt:
InRe k (U = 0) InEr (U 0)
InRe k e -e(VD -U)/kT
InRe k = InEre eU / kT
Itotal = In = InRe k InEr
= InEr (e eU / kT 1)
Inklusive Löcher: I(U) = (InEr + I pEr )(e eU / kT 1)
13.21
Das thermodynamische Gleichgewicht wird hauptsächlich durch die Veränderung der
Diffusions-Ströme zerstört. Der Einfluss der externen Spannung U auf die Drift-Ströme kann
in guter Näherung vernachlässigt werden.
Innerhalb dieser so genannten Diffusions-Strom-Näherung genügt es, den Einfluss der
Spannung U auf die Diffusions-Ströme zu betrachten. Falls eine externe Spannung an den p-n
Übergang angelegt ist, so sind die Fermi-Niveaus auf den beiden Seiten ausserhalb der
Raumladungszone verschieden (kein thermodynamisches Gleichgewicht mehr). Die beiden
Fermi-Niveaus unterscheiden sich genau um die angelegte Spannung. In der
Raumladungszone selbst, die nicht länger im thermischen Gleichgewicht ist, kann ein echtes
Fermi-Niveau nicht mehr definiert werden.
In den Randbereichen ausserhalb der Raumladungszone spricht man dann von quasi-FermiNiveaus.