Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 4
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1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten,
der Satz von Bayes (Fortsetzung)
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Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Wiederholung)
Satz 1.17. (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Es sei
1
Ω=
≤ k ≤ n.
n
[
k =1
k
B
eine disjunkte Zerlegung mit p (Bk )
Dann gilt für beliebiges A
( )=
p A
n
X
k =1
∈A
>0
für
:
( k ) · pBk (A).
p B
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Simpson-Paradoxon
Frauen
Bewerbungen
Männer
zugelassen
Bewerbungen
zugelassen
Fach 1
900
720 (80 %)
200
180 (90 %)
Fach 2
100
20 (20 %)
800
240 (30 %)
Summe
1000
740 (74 %)
1000
420 (42 %)
0, 74
= 0, 9 · 0, 8 + 0, 1 · 0, 2
und
0, 42
= 0, 2 · 0, 9 + 0, 8 · 0, 3
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Satz von Bayes
Satz 1.19. (Satz von Bayes)
Es sei
1
Ω=
≤ k ≤ n.
n
[
k =1
k
B
Ist A
eine disjunkte Zerlegung mit p (Bk )
∈A
A (Bk ) =
p
beliebig mit p (A)
> 0,
>0
für
so gilt
p (Bk ∩ A)
( k ∩ A)
= n
.
X
p (A)
p (Bk ) · pB (A)
k
k =1
p B
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Beispiel 1.20: Labortest
In der BRD waren 1975 etwa 0, 5% der Bevölkerung an Tbc
erkrankt. Man weiÿ aufgrund langjähriger Erfahrung, dass durch
eine spezielle Tbc-Röntgenuntersuchung 90 % der Kranken und
99% der Gesunden richtig diagnostiziert werden.
1. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine als krank
diagnostizierte Person wirklich an Tbc erkrankt ist?
2. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine als gesund
diagnostizierte Person wirklich gesund ist?
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Beispiel 1.20: Labortest (Fortsetzung)
K :=die
Person ist krank, K :=die Person ist gesund,
N :=der
Test ist negativ (m.a.W. die Person ist als gesund
diagnostiziert), N :=der Test ist positiv
( ) = 0, 005
p (K ) = 0, 995
p K
K (N ) = 0 , 9
pK (N ) = 0, 1
p
K (N ) = 0, 99.
p (N ) = 0, 01.
K
p
1. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine als krank
diagnostizierte Person wirklich an Tbc erkrankt ist? pN (K )
=?
2. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine als gesund
diagnostizierte Person wirklich gesund ist? pN (K )
=?
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Stochastische Unabhängigkeit
Denition 1.21.
Zwei Ereignisse A und B heiÿen (stochastisch) unabhängig,
wenn gilt
( ∩ B ) = p (A) · p (B ),
p A
andernfalls heiÿen sie abhängig.
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Beispiel 1.21: Ziegenproblem
Situation:
•
3 Türen, dahinter 1 Auto und 2 Ziegen
•
Kandidat wählt eine Türe
•
Eingri des Moderators: Dieser önet eine der nicht-gewählten
Türen, hinter der kein Auto steht
•
Kandidat darf Wahl ändern
Frage:
Ist die Änderung der Entscheidung sinnvoll?
Aus Symmetriegründen können wir uns auf den Fall beschränken,
dass der Kandidat Türe 1 wählt und der Quizmaster Türe 3 önet.
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Beispiel 1.21: Ziegenproblem
Für i
A
= 1, 2, 3
sei
i :=Auto bendet sich hinter Tür i ; p (Ai )
i :=Kandidat wählt Tür i ; p (Ki ) =
Qi :=Quizmaster öet Tür i K
1
3
=
1
3
Die Ereignisse Ai und Kj sind stochastisch unabhängig, daher
( i ∩ Kj ) = p (Ai ) · p (Kj ) =
p A
1
3
·
1
3
=
1
9 für alle
, = 1, 2, 3.
i j
Zudem
(
p Q3
| A1 ∩ K1 ) = 21 ,
(
p Q3
| A2 ∩ K1 ) = 1,
(
p K1
∩ Q3 ∩ A3 ) = 0.
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Lemma 1.23
1 Mit
A B
2 Ist
( ) > 0,
,
sind auch A, B̄ und Ā, B̄ stochastisch unabhängig.
p B
,
A B
so gilt:
stochastisch unabhängig
⇔ p (A | B ) = p (A).
Beispiel 1.24
Experiment: Würfeln mit 2 Würfeln
A:
Erster Würfel zeigt gerade Zahl.
B:
Zweiter Würfel zeigt ungerade Zahl.
C:
Augensumme ist gerade.
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Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
Denition 1.20 (Fortsetzung)
Drei Ereignisse A, B und C heiÿen stochastisch unabhängig,
wenn je zwei der Ereignisse unabhängig sind, und wenn gilt:
( ∩ B ∩ C ) = p (A) · p (B ) · p (C ).
p A
n
Ereignisse A1 , . . . , An (mit n
unabhängig, wenn je n
−1
≥ 2)
heiÿen (stochastisch)
der Ereignisse stochastisch
unabhängig sind, und wenn zudem gilt

p
n
\
j =1

Aj  =
n
Y
j =1
( j ).
p A
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Literaturvorschläge
Peter Hartmann: Mathematik für Informatiker, Springer
Vieweg, 2012.
Sachs, Lothar; Hedderich, Jürgen: Angewandte Statistik.
Methodensammlung mit R.,
Springer Spektrum, 2015.
Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in
die faszinierende Welt des Zufalls,
Springer Spektrum, 2013.
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