Formelsammlung Wechselstrom

Formelsammlung Wechselstrom
1. Grundlagen und Definitionen
Der arithmetische Mittelwert, Gleichwert
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
t =T
1
u=
T
∫ u (t ) ⋅ dt
ZR =
t =0
∧
∧
∧
u
u //
u⊥
∧
1
T
t =T
∫ u (t ) ⋅ dt
∧
t =0
1
T
t =T
∫ u(t )² ⋅ dt =
=R
XR =
=0
∧
i
i
∧
∧
1
YR = ∧ =
u R
1
GR = ∧ =
u R
i
U= ² +U~ ²
t =0
∧
i //
BR =
i⊥
=0
∧
u
ϕ = 90° (Spg. vor Strom)
Die Induktivität
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
Scheitelfaktor
^
ks =
RR =
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
Effektivwert U
U = U Eff =
=R
i
Gleichrichtwert
u Gl = u (t ) =
Jens Reichle
ϕ =0
Der Ohmsche Widerstand
ZL =
u
U
∧
∧
∧
u
u //
u⊥
∧
=ωL
RL =
∧
i
=0
XL =
∧
i
=ωL
i
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
2. Sinusgrößen
Kreisfrequenz
∧
∧
i
i //
1
YL = ∧ =
u ωL
2π
ω = 2πf =
T
Arithmetischer Mittelwert einer sinusförmigen Spannung
GL =
∧
∧
BL =
=0
i⊥
u
Die Kapazität
1
ωL
=−
∧
u
ϕ = −90° (Spg. hinter Strom)
_
u=0
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
Effektivwert einer sinusförmigen Spannung
∧
1
U=
2
∧
⋅ u ≈ 0,707 ⋅ u
dϕ
E=−
ds
∧
u = 2 ⋅U
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Z=
∧
u⊥
RC =
∧
=0
XC =
i
=−
∧
i
1
ωC
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
YC =
u
∧
u //
1
ZC = ∧ =
i ωC
Scheinwiderstand, Impedanz
∧
∧
u
∧
∧
i
i //
= ωC
∧
GC =
u
∧
∧
∧
=0
BC =
u
i⊥
∧
=ωC
u
i
Wirkwiderstand, Resistanz
∧
R=
Leistung
u //
= Z ⋅ cos ϕ ui
∧
Leistungsmomentanwert, Leistungsschwingung
p = u ⋅i
i
Blindwiderstand, Reaktanz
Leistungsschwingung bei sinusförmigen Strömen
∧
X =
u⊥
= Z ⋅ sin ϕ ui
∧
i
Z
X
ϕ
Wirkleistung, Mittelwert der Leistungsschwingung bei Sinus W
P = U ⋅ I ⋅ cos(ϕ u − ϕ i ) = S ⋅ cos ϕ = S ⋅ cos ϕ ui
Widerstandsdreieck
R
Z ² = R² + X ²
Scheinleistung, allgemein in VA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Scheinleitwert, Admittanz
∧
Y=
i
∧
u
=
1
Z
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ = S ⋅ sin ϕ
Leistungsfaktor
λ=
∧
i //
∧
= Y ⋅ cos ϕ ui
S ² = P² + Q²
Blindleitwert, Suszeptanz
∧
B=
∧
P
S
Leistungsdreieck
u
i⊥
S =U ⋅I
Blindleistung in var
Wirkleitwert, Konduktanz
G=
p = P − S ⋅ cos(2ωt + ϕ u + ϕ i )
Leistungsfaktor
= −Y ⋅ sin ϕ ui
u
Leitwertdreieck
Y ² = G ² + B²
Y
B
ϕ
P
cos ϕ =
S
tan ϕ =
G
Q
P
S
Q
ϕ
P
3. Die komplexe Rechnung
Darstellung
j ² = −1
Komplexer Stromteiler
I1 Y1 Z 2
=
=
I2 Y 2 Z1
R-Form, Gauß’sche Zahlenebene
A = a r + j ⋅ a i = Re( A) + j ⋅ Im( A)
P-Form, Polarkoordinaten
A = A⋅e
jα
4. komplexes Rechnen in der Wechselstromlehre
Komplexer Spannungsteiler
= A∠α
Ua
Z2
=
U e Z1 + Z 2
Eulersche Formel
e jα = cos α + j ⋅ sin α
Dreieck-Stern-Umformung
Umrechnung von P- in R-Form
a r = A ⋅ cos α
a i = A ⋅ sin α
Umrechnung von R- in P-Form
A = a r ² + a i ² α = arctan
ai
ar
Rechnen mit komplexen Zahlen
konjungiert komplexe Zahl
∆ →Y : ZA =
A = A ⋅ e j ( −α ) = a r − j ⋅ ai
*
Z AB ⋅ Z AC
Z AB + Z BC + Z AC
Addition (R-Form)
Z A ⋅ZB
ZC
C = a r + br + j (a i + bi )
Y → ∆ : Z AB = Z A + Z B +
Subtraktion (R-Form)
komplexe Leistung
C = a r − br + j (ai − bi )
S = U ⋅ I = S ⋅ e jϕ = P + jQ =
Multiplikation (P-Form)
kompl. Leistung mit Stromeffektivwert (bei Reihenschaltung)
C = A ⋅ B ⋅ e j (α + β )
S = Z ⋅ I ⋅ I = Z ⋅ I² =
*
*
Division (P-Form)
I²
*
=U ⋅I
Y
Kompl. Leistung mit Spannungseffektivwert (Parallelschaltung)
A
C = ⋅ e j (α − β )
B
S = U ⋅U ⋅ Y = U ² ⋅ Y =
*
*
*
U²
Z
Inversion
−1
A =
a − j ⋅ ai
1
1
=
= r
A a r + jai
a r ² + ai ²
=
Verschiedenes
DC-Kopplung: kein Kondensator in Reihe
ω → 0:
ω → ∞:
1 ∧ ∧*
ui
2
L = Kurzschluss
C = Leerlauf
L = Leerlauf
C = Kurzschluss
1 − jα
⋅e
A
*
=U ⋅I
*
5. Wichtige Betriebsfälle
Leistungsanpassung
optimaler Abschlusswiderstand bei Leistungsanpassung
Z opt = Ra + jX a = Ri − jX i = Z i
*
Maximale Wirkleistung bei Leistungsanpassung
Uq2
Uq2
Uq
2
( Z ⋅ I )²
=
=
=
4 ⋅ Ri 4 ⋅ R a 4 ⋅ Re{Z i } 4 ⋅ Ri
Übertragungswirkungsgrad bei Leistungsanpassung
Pmax =
η=
I ² ⋅ Ropt
I ² ⋅ ( Ri + Ropt )
= 50%
Betragsanpassung
Abschlusswiderstand für Betragsanpassung
R a = Ri + X i = Z i = Z i
2
2
Wirkleistung für Betragsanpassung
Pa =
Uq ²
2 ( Z i + Ri )
=
Uq ²
2 ( R a + Ri )
Z 'v = Z i
*
6.Reihenschwingkreis und Parallelschwingkreis
Leitwert
Widerstand
Z = R + j (ωL −
1
)
ωC
Y = G + j (ωC −
Widerstand bei ω0
Leitwert bei ω0
Index 0 = Resonanzfall
Y0 =G
Z0 = R
Resonanzkreisfrequenz
Resonanzkreisfrequenz
Resonanzfrequenz
1
ωo =
f0 =
LC
1
ωo =
2π LC
U
bei U = const
R
L
C
RI ²
2π LC
ω0 L
R
=
I
bei I = const
G
C
L
B0 = BC 0 = BL 0 =
Güte des Parallelschwingkreises
Güte des Reihenschwingkreises
=
LC
1
Blindleitwert bei ω0
X 0 = X L0 = X C 0 =
ω 0 LI ²
f0 =
U max = U 0 =
Blindwiderstand bei ω0
Q=
Resonanzfrequenz
1
Spannungsmaximum
Strommaximum
I max = I 0 =
1
)
ωL
X
f
f0
1
1
L
ω CU ² ω 0 C
B
1
1 C ω0
= 0 = ⋅
= 0 =
=
=
= 0 = ⋅
=
Q= 0
ω 0 RC
R
R C Bf
f go − f gu
GU ²
G
ω 0 GL G G L Bω
Spannungserhöhung des Reihenschwingkreises
Stromüberhöhung des Parallelschwingkreises
U L0 = U C 0 = QU R0 = QU q
I L0 = I C 0 =
Betragsgang
B0
IG = Q IG = Q Iq
G
Betragsgang
1
Z (ω ) = R ² + (ωL −
)²
ωC
Y (ω ) = G ² + (ωC −
Phasengang
1
)²
ωL
Phasengang
1
ωL −
ωC
ϕ Z (ω ) = arctan
R
ϕ Y (ω ) = arctan
ωC −
1
ωL
G
technische Schwingkreise
techn. Reihenschwingkreis, Kreisfrequenz ??
1
ω = ω res =
LC
⋅ 1−
techn. Parallelschwingkreis, Kreisfrequenz
L
2
RC ⋅ C
techn. Reihenschwingkreis, Frequenz ??
f = f res =
1
2π LC
⋅ 1−
LC
⋅ 1−
RL2 C
R2 ⋅ C
= ω0 ⋅ 1 − L
L
L
techn. Parallelschwingkreis, Frequenz
L
2
RC ⋅ C
1
f = f res =
Widerstand des techn. || Schwingkreises bei Resonanz
Z res = Z ( f res ) =
1
ω = ω res =
2π LC
⋅ 1−
RL2 C
R 2C
= fo ⋅ 1 − L
L
L
Güte des techn. Parallelschwingkreises
1 Le
⋅
R Ce
Q=
ω0 L
R
1− R2 ⋅
C
L
gemeinsame Kenngrößen
obere/untere Grenzfrequenz
f go ⋅ f gu = f o ²
f go / gu
2
Bf



1 
 1 
1  ≈ f 0 ⋅ 1 ±


=
f
±
(Näherung für Q>>1)
0
 ±
= f 0 ⋅  1 + 
2Q 
2


2
Q
2
Q






Bandbreite
B f = f go − f gu =
Kreisdämpfung
d=
1
Q
f0
ω
Bω = ω go − ω gu = 0
Q
Q
Leistung/Frequenz
Pf go / f gu =
1
Pf
2 0
I( fg )
I max
=
U( fg )
U max
=
1
2
allgemeine Definition der Güte
Q=
Blindleistung (ω = ω 0 )
Wirkleistung (ω = ω 0 )
Leistung und Grenzfrequenz
Pf go / f gu =
1
Pf
2 0
7. Ersatzquellenverfahren
- Bis auf eine Quelle alle anderen stilllegen („Kringel“ enfernen)
- Den durch die eine aktive Quelle verursachten Spannungs- und
Stromanteil in einem Zweig berechnen und aufschreiben
- Durch sämtliche anderen Quellen verursachten Teilströme in
diesem Zweig nach dem gleichen Schema berechnen und
aufschreiben
10. HF-Tapete
größere Impedanz dominiert
kleinere Impedanz dominiert
Reihenschaltung:
Parallelschaltung:
11. Das Bodediagramm
Spannungs-Übertragungsfaktor
a
A u (ω ) =
u
Ua
= 10 20
Ue
- Sind alle Quellen aktiv, ergibt sich die gesamte Spannung oder der
gesamte Strom in dem untersuchten Zweig durch Addition aller
Eckkreisfrequenz, -3dB-Grenzfrequenz
aufgeschriebenen Teilspannungen oder Teilströme
1
1 R
ωe =
8. Wechselstrom-KPA
1.
2.
3.
4.
5.
-
Netzwerk vereinfachen (Weglassen von Widerständen in
Reihe zu idealer Stromquelle und parallel zu idealer
Spannungsquelle)
Reale Spannungsquellen in entsprechende Stromquellen
umwandeln. Ideale Spannungsquellen zunächst weglassen.
Diese werden bei der Modifikation berücksichtigt.
Bezugsknoten festlegen.
Knoten durchnummerieren
Erstellen der Knotenleitwertmatrix
Auf der Hauptdiagonalen Summe der Leitwerte an jedem
Knoten eintragen
Oberes Dreieck mit den Werten zwischen den
Knotenpunkten füllen und diese negieren
Werte an der Hauptdiagonalen spiegeln
 y11
y
[Y ] =  ...21

 y n1
y12
y 22
...
...
y1n 
... 
... ... 

... y nn 

...
...
6.
-
Erstellen des Stromquellenvektors
Ströme zu den Knotenpunkten in Stromvektor eintragen
(zufließende positiv)
- Kontrolle durch Knoten 0
7. Sind ideale Spannungsquellen vorhanden (Superknoten), so
sind Knotenleitwertmatrix und Stromquellenvektor zu
modifizieren. Alle Elemente des Superknotens addieren und
die übrigen Zeilen durch Spannungsgleichungen ersetzen.
8. Lösen des Gleichungssystems
WICHTIG: mit Leitwerten arbeiten!
- die Hauptdiagonalelemente sind gleich der Summe aller
Leitwerte
- die übrigen Matrixelemente enthalten den negativen
Leitwert zwischen Knoten i und k
- die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen
- die Komponenten des Stromquellenvektors sind gleich der
Summe aller Quellenströme die am entsprechenden Knoten
zufließen und damit positiv bzw. abfließen und damit
negativ gezählt werden.
RC
=
τ
=
L
Amplitude
Ua
)dB
Ue
I
ai = 20 lg( Ai )dB = 20 lg( a )dB
Ie
au = 20 lg( Au )dB = 20 lg(
Bodediagramm aus bekannter Ortskurve
Zeiger von ω = 0 bis ω = ∞
Amplitude: Länge des Zeigers
Phasengang: Winkel zur reellen Achse
Bodediagramm aus Übertragungsfunktion
Übertragungsfunktion in der Form
1
aufstellen
Nenner
höchste Potenz: Maß für Steigung im Amplitudengang
ω − Terme : Steigung ± 20db / Dekade
ω 2 − Terme : Steigung ± 40db / Dekade
ω 3 − Terme : Steigung ± 60db / Dekade
Verstärkerschaltung
Au1 (ω ) ⋅ Au 2 (ω ) ⋅ ... ⋅ Vu1 ⋅ Vu 2 ⋅ ... = Au (ω )
Einzeln aufzeichnen und addieren
||R
||L
||C
+R
+L
+C
12. Das Kreisdiagramm
liegt auf B-Kreis (zum Nullpunkt hin)
liegt auf G-Kreis (gegen Uhrzeigersinn)
liegt auf G-Kreis (im Uhrzeigersinn)
waagrecht nach rechts
senkrecht nach oben
senkrecht nach unten
Transformationsschaltung
Z 'v = Z i und keine Wirkwiderstände
*
danach: Rücktransformation
9. Ortskurven
Bestimmung einer umfangreichen Schaltung
- mit Bauelement (R,L,C) und Ebene (Z,Y) beginnen, in der die
Ortskurve eine Gerade ergibt
- ||-Schaltung: Addition in Y
- +-Schaltung: Addition in Z
- Inversion: Spiegeln der Orstkurve an der reellen Achse mit
reziproker Zeigerlänge
13. Technische Grundzweipole
techn. Widerstände
Grenzfrequenz niederohmig
hochohmig
fg =
R
2πLe
fg =
G
1
=
2πC e 2πRC e
14. Drehstromsysteme
symmetrisch, Verbraucher in Y
unsymmetrisch, Verbraucher in Y
U q1 + U q 2 + U q 3 = 0
Leistung allgemein
U 12 + U 23 + U 31 = 0
S = P + jQ = S 1 + S 2 + S 3 = U 1 ⋅ I 1 + U 2 ⋅ I 2 + U 3 ⋅ I 3
*
Phasenspannung, Sternspannung
*
von der Quelle abgegebene Leistung
U Y = U ph = U q = U q1 = U q 2 = U q 3 = U strang
S Quelle = U q1 ⋅ I 1 + U q 2 ⋅ I 2 + U q 3 ⋅ I 3
*
Außenleiterspannung, verkettete Spannung, Dreieckspannung
*
*
U = U verk = U ∆ = U 12 = U 23 = U 31
Nullleiterspannung, Verschiebespannung (nur bei
Beziehung zw. Phasen- und verketteter Spannung
U KN = U N =
U verk = 3 ⋅ U ph
U = 3 ⋅U q
U q1 ⋅ Y 1 + U q 2 ⋅ Y 2 + U q 3 ⋅ Y 3
(Y N ) + Y 1 + Y 2 + Y 3
Bedingung für Nullleiterspannung =0
Symmetrische Belastung am Vierleitersystem
UN =0
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z Z L1 = Z L 2 = Z L 3 = 0
⇒ I N = 0 ⇒ U KN = 0
U 1 = U q1 ...
I L = I1 = I 2 = I 3
Z N ≠ 0)
I N = I1 + I 2 + I 3 = 0
I N = I1 + I 2 + I 3 = 0
U q1 ⋅ Y 1 + U q 2 ⋅ Y 2 + U q 3 ⋅ Y 3 = 0
gesamte Wirkleistung
p = P = S ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ph ⋅ I L ⋅ cos ϕ
= 3 ⋅ U verk ⋅ I L⋅ ⋅ cos ϕ = 3 ⋅
Uq
Z
Leitungsverluste
Pverl = PLTG ⋅ I
2
cos ϕ = Re{S}
2
gesamte Scheinleistung
-komplex
S Υ = 3 ⋅ U q ⋅ Y = 3 ⋅ I 2 ⋅ Z = 3 ⋅ U ⋅ Ie jϕ
2
*
-betragsmäßig
Uq
P
S=
= 3 ⋅ U ph ⋅ I L = 3 ⋅ U verk ⋅ I L = 3 ⋅
Z
cos ϕ
2
= 3 ⋅U q ⋅ I = 3 ⋅U ⋅ I
gesamte Blindleistung
Q = S ⋅ sin ϕ = 3 ⋅ U ph ⋅ I L ⋅ sin ϕ = 3 ⋅ U verk ⋅ I L ⋅ sin ϕ
= 3⋅
Uq
Z
2
⋅ sin ϕ = Im{S }
(teilweise) Blindleistungskompensation
P=const., S minimieren, Q=0 bzw. reduzieren
C=
Q − Q'
ω ⋅U 2
CΥ =
Q − Q'
3ωU q
2
vollständige Blindleistungskompensation
ϕ gesamt = 0
Qgesamt = Q + Qkomp = 0
C∆ =
Q − Q'
3ωU 2
cos ϕ gesamt = 1
symmetrisch, Verbraucher in Dreieck
I 1 = I 12 − I 31
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
S ∆ = U 2 (Y 12 + Y 23 + Y 31 )
*
S ∆ = 3U 2 Y
*
*
*
Spannung ∆ : 3 • Spannung in Υ
Leistung ∆ : 3 • Leistungsaufnahme in Υ
Spulen
Selbstinduktivität, gleichsinnig
L ges + = L1 + L2 + 2 M
Selbstinduktivität, gegensinnig
Lges − = L1 + L2 − 2 M
Gegeninduktivität
M =
L ges + − L ges −
4
2
 S ' ges
P ' verluste  I ' 
=  =
 S ges
Pverluste  I 





2
*
15. Der Transformator
Übersetzungsverhältnis, Windungsverhältnis
ü=
N1
=
N2
3 Spulen
L1
L2
u1 U 1 N 1
=
=
=ü
u2 U 2 N 2
Stromverhältnis des idealisierten Trafos
i1 I 1
1
=
=−
i2 I 2
ü
Kopplungsfaktor
k = k12 k 21 =
Gmh
Gm1Gm 2
=
M 21 M 12
=
L1 L2
di1
di
di
di
di
di
+ M12 2 + M13 3 + L2 2 + M 21 1 + M 23 3
dt
dt
dt
dt
dt
dt
di p
di3
= ( L1 + L2 + 2 M 21 )
+ ( M13 + M 23 )
dt
dt
di p
di3
= Lp
+ M ps
dt
dt
di p
di p
diL3
di
di
di
u s = L3
+ M 31
+ M 31 1 + M 32 2 = L3 s + ( M 31 + M 32 )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
di p
di
= M sp
+ Ls s
M sp = M ps
dt
dt
u p = u1 + u2 = L1
Spannungsverhältnis des idealisierten Trafos
M
L1 L2
Transformationsgleichungen im Zeitbereich
di1
di
+M 2
dt
dt
di
di
u2 = R2i2 + L2 2 + M 1
dt
dt
u1 = R1i1 + L1
komplexe Transformationsgleichung, verlustbehaftet
U 1 = R1 I 1 + jωL1 I 1 + jωM I 2
16. Die T-Ersatzschaltung
U 2 = R 2 I 2 + jω L 2 I 2 + jω M I 1
komplexe Transformationsgleichung, verlustlos R1
U 1 = jωL1 I 1 + jωM I 2
= R2 = 0
U 2 = jω L 2 I 2 + jω M I 1
Selbstinduktivität der Primärspule
+ Für KPA, MSA
- L1-M bzw. L2-M können negativ sein
- galvanische Trennung nicht sichtbar
L1 = N1 ⋅ Gm1
2
Selbstinduktivität der Sekundärspule
L2 = N 2 ⋅ G m 2
2
Gegeninduktivität
M = N1 ⋅ N 2 ⋅ Gmh = k ⋅ L1 L2
komplexer Eingangswiderstand bei sekündärseitigem Leerlauf
Z e = R1 + jωL1
komplexer Eingangswiderstand bei sekundärseitiger Belastung
Z e = R1 + jωL1 +
(ωM ) 2
R 2 + jω L 2 + Z a
komplexer Eingangswiderstand bei sekundärseitigem Kurzschluss
(ωM ) 2
R2 + jωL2
Z e = R1 + jωL1 +
Verhältnis der Spulen
L2 N 2 2
=
L1
N12
der ideale Transformator R1
Spannungsverhältnis
= R2 = 0, Gmh → ∞
U 2 N2 1
=
=
U 1 N1 ü
k=1
I2
L
N
= −ü = − 1 = − 2
I1
L2
N1
U
U 2 ⋅ü
Eigangswiderstand Z e = 1 =
= Z a ⋅ü2
I1 − I 2 / ü
Stromverhältnis
Anhang 1 : Vorsätze von Maßeinheiten
T Tera 1012
d Dezi 10−1
9
G Giga 10
c Zenti 10−2
6
M Mega 10
m Milli 10−3
3
k Kilo. 10
µ Mikro 10−6
2
h Hekto 10
n Nano 10−9
1
da Deka 10
p Piko 10−12
Anhang 2 : Umrechnung von Grad in Bogenmaß
Grad in Bogenmaß
" gegebene Gradzahl"
⋅ π = gesuchtes Bogenmaß
180
Bogenmaß in Grad
" gegebenes Bogenmaß"
π
⋅180 = gesuchtes Gradmaß
Anhang 3: Geometrische Formeln
Kreis
A = π r ² U = π d = 2π r
Kreisring
A=
π
(d 2 − d1 ²)
2
Zylinder
4
A = 2π r h
Kugel
A = d ²π = 4 π r ²
Pyramide
Kegel
lbh
3
d ²π h
V =
12
V =
V =
d ³π
6