Einführung und Motivation

Einführung und Motivation
Prof. Dr. Alberto Cattaneo
Grundkenntnisse
Als Kind haben Sie zu zählen gelernt: 1, 2, 3, usw.§
Später hat man Ihnen erklärt, dass es eigentlich unendlich viele Zahlen
und zusätzlich die wichtige Zahl 0 gibt.§
Dann kamen die negativen Zahhlen und die Brüche.
Das ist noch ganz elementar.§
Aber schliesslich haben Sie die irrationalen Zahlen kennengelernt. Z.B.:
√
2 als Diagonale des Quadrats.
Das hat seit der Zeit des Pytagoras Probleme verursacht. Aber man hat
sich in den folgenden Jahrhunderten daran gewöhnt, mit irrationalen
Zahlen zu arbeiten.
Funktionen
Sie haben auch den Begriff einer Funktion und wahrscheinlich den einer
stetigen Funktion kennen gelernt.
Sie haben auch gelernt, wie man integriert und differenziert. §Z.B., gilt
für
f (x) = x 2
dass
Z
f (x) dx =
x3
,
3
f 0 (x) = 2x.
§
Sie kennen wahrscheinlich auch die trigonometrischen Funktionen,
z.B.,
sin x oder cos x,
und wissen, wie man sie integriert und differenziert.§
Viele Ergebnisse der Mathematik bis Ende des 18. Jahrhunderts können
damit gewonnen werden.
Probleme mit den trigonometrischen Reihen
Bernoulli, Euler und Fourier bemerkten, dass man periodische
Funktionen als Summen trigonometrischer Funktionen erhalten kann.
§Man braucht aber Summen unendlich vieler Terme. §
Trigonometrische Funktionen sind wunderbar: sie sind stetig und beliebig
oft differenzierbar. §Aber was passiert wenn man z.B. folgende Summe
betrachtet?
f (x) = sin(x) +
1
1
1
sin(3x) + sin(5x) + sin(7x) + · · ·
3
5
7
§In mathematischer Notation schreibt man
f (x) =
∞
X
s=0
1
sin((2s + 1)x).
2s + 1
§
Man kriegt eine Funktion, die nicht differenzierbar ist, sogar nicht stetig!
Die Grundlagen der Mathematik
1821 stellt Cauchy viele bis zu seiner Zeit noch nicht ernsthaft gestellte
Fragen und antwortet einige davon.§
1
2
3
Was ist eine Ableitung tatsächlich? Antwort: Ein Grenzwert.§
Was ist ein Integral tatsächlich? Antwort: Ein Grenzwert.§
Was ist eine unendliche Reihe (Summe) tatsächlich? Antwort: Ein
Grenzwert.§
Also, die wichtige Frage:
4
Was ist ein Grenzwert tatsächlich? §Antwort: Eine Zahl.§
Also schliesslich:
5
Was ist eine Zahl tatsächlich? Antwort: ???.§
Eine Antwort zur letzten Frage wurde später von Weierstrass, Heine
und Cantor gegeben.
Also sind wir jetzt zurück am Anfang, Kindergarten und Primarschule!
Wir müssen aber Zahlen richtig verstehen.
Historisch und didaktisch
Historisch:
1
Integration (Archimedes, Kepler, Fermat)
2
Ableitungen (Newton, Leibniz)
3
Grenzwerte, Stetigkeit (Cauchy, Weierstrass)
4
Mengen, Abbildungen (Cantor, Dedekind)
§
Heutzutage verfährt man aus didaktischen Gründen in der
entgegengesetzten Richtung.
Für eine historische Darstellung der Analysis sei auf das folgende Buch
verwiesen:
E. Hairer, G. Wanner, “Analysis by Its History,” Spinger.
Programm
In der Vorlesung werden wir wie im Buch Königsberger verfahren:
1
elementare Tatsachen über Zahlen
2
Funktionen
3
Folgen, Reihen
4
Stetigkeit, Grenzwerte
5
Differenzialrechnung
6
Integralrechnung
7
weitere Themen§
(Ergänzungen)
Am Anfang mehr über Zahlen. Weitere fortgeschrittene Themen kommen
zum Schluss. Amann und Eschers Buch. §
Zugrunde liegen die Logik und die Mengenlehre. Davon haben einige von
Ihnen im Vorkurs gehört. Skript auf der Webpage des Instituts für
Mathematik unter Veranstaltungen>Konferenzen>Vorkurs
Weiteres können Sie in den Ergänzungen zur linearen Algebra lernen,
oder in speziellen Vorlesungen.
Logik
Wir werden hier nur die wichtigsten Tatsachen und Notationen
zusammenfassen.§
In der Mathematik befassen wir uns nur mit Aussagen, die entweder
wahr oder falsch sind.
Als Beispiel haben wir die Aussagen:
“3 > 2”
“Es gibt keine Zahl, die grösser als 2 ist.”
Wir fangen mit Aussagen an, die als wahr angenommen werden, die sog.
Axiome. Aus den Axiomen und den bereits als wahr bewiesenen
Aussagen leiten wir neue Folgerungen durch ein logisches Verfahren her.
Logische Notationen
Man
¬
∀
∃
∃!
6∃
verwendet in der Logik spezielle Notationen.
Negation
z.B.: ¬(x ≥ 2) ist x < 2
für alle, für jedes
es gibt ein. . .
es gibt genau ein. . .
es gibt kein. . .
§
(Der Junktor ∧)
A ∧ B liest man “A und B”.
Die Aussage A ∧ B ist wahr genau dann, wenn beide Aussagen A und B
wahr sind.
(Der Junktor ∨)
A ∨ B liest man “A oder B”.
Die Aussage A ∨ B ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der
Aussagen A und B wahr ist.
Logische Implikationen
Die Schreibweise
A =⇒ B
liest man “aus A folgt B”, “A impliziert B”, “A zieht B nach sich”.
Äquivalent schreibt man auch B ⇐= A.
Man sagt: “A ist hinreichend für B” oder “B ist notwendig für A”.§
Mathematisch ist die Implikation A =⇒ B als ¬A ∨ B definiert.
Fall 1 Die Aussage A ist falsch (kein interessanter Fall).
Fall 2 Beide Aussagen sind wahr.
D.h., die Aussage B ist wahr, wenn die Aussage A wahr ist.§
Die Notation A ⇐⇒ B bedeutet
A =⇒ B
und
A ⇐= B
Man sagt: “B gilt genau dann, wenn A gilt”, “A und B sind äquivalent”,
“A ist notwendig und hinreichend für B”.
Beweistechniken
Um A =⇒ B zu zeigen, kennt man verschiedene Methoden.
(Direkter Beweis)
Man zeigt separat
A =⇒ C
und C =⇒ B
Man kann jeden partiellen Beweis (z.B. A =⇒ C ) weiter zerlegen.§
(Kontrapositionsbeweis)
Man zeigt
¬B =⇒ ¬A
§
(Widerspruchsbeweis)
Man zeigt
A ∧ ¬B =⇒ C ,
wo C eine falsche Aussage ist.§
Aus der logischen Rechenregeln folgt, dass all diese Formulierungen
Terminologie
Die bereits bewiesenen Aussagen heissen in der Mathematik Sätze oder
Propositionen.§
In den mathematischen Texten unterscheidet man um der Klarheit willen
unter verschieden Arten Sätze. Das ist kein logischer Unterschied!
Name
alternativer Name Bedeutung
Satz
Proposition
einfach eine bewiesene Aussage
Folgesatz Korollar
ein Satz, der unmittelbar aus einem
bereits bewiesenen Satz folgt
Lehrsatz
Theorem
ein wichtiger Satz
Hilfssatz
Lemma
ein Satz, um andere Sätze zu zeigen.§
Z.B., im Beweis (A =⇒ C ) ∧ (C =⇒ B) vom Satz A =⇒ B bezeichnet
man oft die Aussagen A =⇒ C und C =⇒ B als Hilfssätze.
Letzte Bemerkungen
Es passiert manchmal, dass eine von einem Mathematiker als Lemma
eingeführte Aussage später als sehr wichtig anerkannt wird. Aus
historichen Gründen nennt man sie weiter Lemma statt Theorem. Es gibt
viele sehr wichtige Lemmata.§
Eine nicht bewiesene Aussage, für deren Wahrheit es viele Indizien (aber
keinen echten Beweis!) gibt, nennt man Vermutung. Es gibt viele sehr
wichtige Vermutungen in der Mathematik.
Notation aus der Mengenlehre
Symbol
∈
6
∈
∪
∩
⊂
\
∅
Bedeutung
gehört zu
gehört nicht zu
Vereinigung
Durchschnitt
Teilmenge
relatives Komplement
die leere Menge
Beispiel
3 ∈ {1, 3, 6}
3 6∈ {2, 4, 6}
{1, 3, 6} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6}
{1, 3, 6} ∩ {2, 4, 6} = {6}
{1, 3, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 6}
{1, 3, 6} \ {2, 4, 6} = {1, 3}
Die Aussage X = Y bedeutet X ⊂ Y und Y ⊃ X .
Wichtig in der Mengenlehre sind die Axiome über die Eigenschaften
solcher Symbole. Die werden Sie in den Ergänzungen zur linearen Algebra
oder in anderen spezialisierten Vorlesungen sehen.
Solange man nur mit endlichen Mengen arbeitet ist die Theorie eigentlich
sehr intuitiv und trivial.