Klausur Mathematik I/II KL / 1 9 Punkte Aufgabe 1

Klausur Mathematik I/II
9 Punkte
KL / 1
Aufgabe 1
Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ IN gilt
2n
X
k=
k=n
14 Punkte
3
n(n + 1) .
2
Aufgabe 2
Man bestimme alle reellen Zahlen x , für die
2|x + 2|
>1
x
+2
4
gilt.
Aufgabe 3
Für a ∈ IR sei die Matrix A gegeben durch


1 a 1


.
A := 
a
1
1


1 1 1
12 Punkte
a) Für welche a ∈ IR ist die Matrix A invertierbar?
Man berechne gegebenenfalls die inverse Matrix von A mit Hilfe der Adjunkten
von A .
10 Punkte
b) Man löse (in Abhängigkeit von a ∈ IR ) das lineare Gleichungssystem
x1 + ax2 + x3 = 1
14 Punkte
ax1 +
x2 + x3 = 1
x1 +
x2 + x3 = 1 .
Aufgabe 4
Man bestimme alle Konvergenzpunkte x ∈ IR der Potenzreihe
∞
X
1 n
(−1)n √
x .
5
n
n=1
Klausur Mathematik I/II
23 Punkte
KL / 2
Aufgabe 5
Man führe für die Funktion
f (x) := x −
√
x−1
eine Kurvendiskussion nach dem folgenden Programm durch:
a) Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches, Untersuchung auf Stetigkeit,
b) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches (einschließlich ±∞ ),
c) Untersuchung auf Asymptoten,
d) Untersuchung auf Differenzierbarkeit, Monotonieverhalten, relative Extrema,
e) Konvexitäts- (Konkavitäts-)Verhalten,
f ) Skizze.
9 Punkte
Aufgabe 6
Man löse das Anfangswertproblem
y 0 + (cos x)y − cos x = 0 , y(0) = 0 .
Man führe die Probe durch.
Aufgabe 7
Man führe die Hauptachsentransformation für die Matrix


1 0 1



A :=  0 1 0 

1 0 1
durch und mache danach die Probe, d.h.:
10 Punkte
a) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A .
8 Punkte
b) Man bestimme eine Matrix P derart, dass P T AP Diagonalgestalt besitzt. Man
mache die Probe, d.h., man berechne die Produkte AP und P T (AP ) .
Klausur Mathematik I/II
KL / 3
Aufgabe 8
Für
g (x, y) :=
y
1 + x2 + y 2
!
, h(x, y) :=
x
y
sei f (x, y) die Verknüpfung
f (x, y) := (h ◦ g )(x, y) := h( g (x, y)) .
6 Punkte
a) Man berechne die Ableitung f 0 (x, y) .
18 Punkte
b) Man bestimme die Punkte der lokalen Extrema und ihre Werte der Funktion
f.