Lösungshinweise

Lösungshinweise
Aufgabe: (Höchstpreisauktion)
Betrachtet werde eine Auktion um ein Gut mit n Bietern. Für Bieter i habe dieses Gut
einen Wert vi und es gelte vi > vi+1 , i = 1, . . . , n − 1. Bei dieser Auktion geben alle Bieter
ein versiegeltes Angebot an den Auktionator ab.
Die Angebote werden vom Auktionator dann alle gleichzeitig geöffnet und der Bieter mit
dem höchsten Gebot erhält das Gut und zahlt dafür den von ihm gebotenen Preis.
Wenn mehrere Bieter gleich hohe Gebote abgeben, erhält derjenige unter ihnen mit dem
kleinsten Index das Gut.
a) Formulieren Sie die Auktion als Spiel. Gibt es für dieses Spiel ein Nash-Gleichgewicht
in reinen Strategien? Wenn ja, geben Sie alle Gleichgewichtspunkte an.
b) Nun werden die Regeln wie folgt abgeändert: Wenn mehrere Bieter gleich hohe Gebote
abgeben, so wird mit Hilfe eines Zufallsmechanismus mit Gleichverteilung entschieden,
welcher von ihnen das Gut erhält.
Gibt es für dieses Spiel ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien? Wenn ja, geben
Sie alle Gleichgewichtspunkte an.
Lösung: Eine Strategie eines Spielers ist sein Gebot, also S i = [0, +∞).
a) Die Auszahlungsfunktion ist
vi − si
falls i = min{j|sj = max{s1 , . . . , sn }
ui (si , s−i ) =
0
sonst
Es sei p = max{s1 , . . . , sn } der zu zahlende höchste gebotene Preis.
ui(si, s−i)
ui(si, s−i)
p = si
p
si
si
a) p < si
b) p = si
ui(si, s−i)
si
si
p
c) p > si
Die Auszahlungsfunktionen sind nicht stetig.
Bemerkung: Deshalb ist der in der Vorlesung noch kommende Satz über die Existenz von
Nash-Gleichgewichten in n-Personen-Spielen nicht anwendbar.
Der Funktionswert ist jeweils an der Unstetigkeitsstelle gleich Null, wenn Spieler i nicht
derjenige ist, der die Auktion gewonnen hat, sonst der andere Punkt.
si
Ein Spieler i mit i > 1 kann nur dann ohne negative Auszahlung mehr als vi bieten, wenn er
das Gut nicht erhält, d.h. wenn er nicht derjenige mit kleinstem Index ist, der das höchste
Gebot abgegeben hat. Insbesondere ist es für ihn bei den Regeln der Auktion in a) ”ungefährlich”, genausoviel zu bieten wie Spieler 1.
Da Spieler 2 ohne Gefahr einer negativen Auszahlung bis v2 bieten kann, muß Spieler 1
mindestens v2 bieten.
Nash-Gleichgewichte sind
{s ∈ Rn | s1 ∈ [v2, v1], sj ≤ s1 ∀j > 1 ∧ sj = s1 für ein j 6= 1}
Spieler 1 erhält in diesen Punkten die Auszahlung v1 − s1 ≥ 0, alle anderen die Auszahlung
Null.
Diese Punkte sind Nash-Gleichgewichte: Keiner der Spieler kann sich verbessern, indem er
von einem solchen Punkt abweicht. Bietet Spieler 1 mehr als v1 , so erhält er eine negative
Auszahlung, bietet er weniger als max si , so erhält er Auszahlung Null. Bieten die anderen
i>1
Spieler einen anderen Betrag als in dem angegebenen Punkt, so bleibt ihre Auszahlung solange Null, wie ihr Gebot kleiner als s1 ist und wird sonst negativ.
Es gibt keine anderen Nash-Gleichgewichte: Angenommen, in einem Nash-Gleichgewicht gibt
ein Spieler i 6= 1 das höchste Gebot ab. Wäre si > v2 , so ist die Auszahlung dieses Spielers
negativ, er könnte sich also durch Veränderung seines Gebots auf Null verbessern. Der Betrag des höchsten Gebots sei wie oben mit p bezeichnet.
Es ist p ≥ s2 , denn: Gewinnt ein Spieler i 6= 2 die Auktion mit dem Gebot p, so könnte
Spieler 2 sein Gebot auf einen Wert in (p, v2 ) verändern und seinen Gewinn erhöhen. Gewinnt Spieler 2, so könnte Spieler 1 sein Gebot auf einen Wert im Intervall (p, v1 ) erhöhen
und seinen Gewinn vergrößern.
Es ist p ≤ v1 , denn sonst könnte Spieler 1 sein Gebot verringern und damit seinen Gewinn
erhöhen.
Schließlich gilt p = sj für ein j 6= 1, denn sonst könnte Spieler 1 sein Gebot verringern bei
erhöhtem Gewinn.
b) Erfolgt nun die Zuteilung per Gleichverteilung unter den Meistbietenden, so ändert sich
die Auszahlungsfunktion. Um die zufällige Zuteilung zu berücksichtigen setzen wir den Erwartungswert an und bezeichnen die Menge der Meistbietenden mit
M = {j| sj = p := max{s1 , . . . , sn }}. Dann gilt
i
u (si , s−i ) =
vi −si
card(M )
0
falls i ∈ M
sonst
Bei diesen Auktionsregeln kann nur der erste Spieler wirklich ohne Gefahr einer negativen
Auszahlung mehr als v2 bieten.
Ist p > v1 , so erhalten alle Spieler eine negative Auszahlung und könnten durch Verkleinerung ihres Gebotes ihre Auszahlung erhöhen.
Ist p > v2 , so kann nur Spieler 1 das Gebot s1 = p gemacht haben, alle anderen in M
könnten durch Reduktion ihres Gebotes ihre Auszahlung verbessern. Durch Bieten von
2
2
= s1 +v
könnte Spieler 1 seinen Gewinn vergrößern.
p − p−v
2
2
Analog wie in a) gilt auch für alle anderen Fälle, in denen Spieler 1 als einziger das höchste
Gebot abgibt: Ist s1 > si i 6= 1, so könnte Spieler 1 durch Reduktion seines Gebots auf
1
2 (s1 + max{si }) < s1 seinen Gewinn vergrößern.
i6=1
Kein solcher Punkt liefert also ein Nash-Gleichgewicht.
Ist p = v2 = s1 = s2 , so kann Spieler 1 durch Wahl von s1 ∈ (v2 , v1+v2
) seinen Gewinn
2
vergrößern (als alleiniger Meistbietender).
Ist p < v2 und 1 ∈
/ M , d.h. Spieler 1 hat ein Gebot s1 < p gemacht, so könnte Spieler 1
seinen Gewinn durch Wahl eines s1 ∈ (v2 , v1 ) vergrößern (von 0 auf v1 − s1 > 0).
Ist dagegen 1 ∈ M , so ist die Auszahlung von Spieler 2 kleiner gleich v22−p . Spieler 2 könnte durch Wahl von s2 = p + v24−p seinen Gewinn (als dann alleiniger Meistbietender) auf
v2 − s2 = v2 − p − v24−p = 34 (v2 − p) > 12 (v2 − p) vergrößern.
Es gibt bei diesen Regeln also kein Nash-Gleichgewicht.