Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 4

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 4
Abgabe: bis Donnerstag, 29. November um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Versteckte Hornformeln (schwer)
(4 Punkte)
Sei Var(F ) die Variablenmenge von F , d. h. die Menge der in F vorkommenden atomaren
Formeln, und U ⊆ Var(F ). Wir definieren F [U ] als jene Formel, die entsteht wenn jedes
Literal L ∈ {Ai , ¬Ai } in F mit Ai ∈ U durch L ersetzt wird. Eine Formel F in KNF nennen
wir versteckte Hornformel, falls es ein U ⊆ Var(F ) gibt, so dass F [U ] eine Hornformel ist.
Zeigen Sie:
F ist genau dann eine versteckte Hornformel, wenn die Formelmenge G = {(u ∨ v) | ∃K ∈
F : {u, v} ⊆ K, u 6= v}, bestehend aus den 2-elementigen Teilmengen von Klauseln aus F ,
erfüllbar ist. Tipp: Betrachten Sie die Belegung A mit A(Ai ) = 1 ⇔ Ai ∈ U .
2. Schubfachprinzip (leicht)
(4 Punkte)
Das Schubfachprinzip besagt, dass für jede Verteilung von n + 1 Objekten in n Mengen
mindestens eine Menge mehr als 1 Element besitzt. Beweisen Sie dies für n = 2 mit der
Resolutionsmethode. Benutzen Sie dazu die atomaren Formeln Ai,j , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3 für
die Aussage, dass Objekt j in Menge i ist. Stellen Sie eine Formel F in KNF auf, die aussagt
dass jedes Objekt in genau einer Menge ist und jede Menge maximal 1 Objekt enthält.
Zeigen Sie, dass F unerfüllbar ist.
3. Tautologien und modifizierte Resolution (mittel)
(4 Punkte)
Eine Klausel K ist genau dann eine Tautologie, wenn es eine atomare Formel Ai gibt mit
Ai , ¬Ai ∈ K. Wir definieren ModRes(F ) = F ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln, die
keine Tautologie sind} und ModRes∗ (F ) auf die übliche Art. Zeigen Sie: Die modifizierte
Resolution ist vollständig und korrekt, es gilt also F ist unerfüllbar genau dann, wenn
∈ ModRes∗ (F ). Tipp: Beweis aus der Vorlesung.
4. Weitere Verfeinerungen der Resolution (leicht)
(2+2+3 Punkte)
Wir definieren verschiedene Verfeinerungen der Resolution. Die positive Resolution
PosRes(F ) = F ∪ {R | R ist Resolvent von K1 , K2 ∈ F wobei K1 nur positive Literale enthält} resolviert nur Klauseln, falls eine der beiden Klauseln positiv ist, d. h. keine
negativen Literale enthält.
Die leere Menge ist aus einer Formelmenge F linear resolvierbar, falls es eine Folge
(K0 , K1 , . . . , Kn ) gibt mit K0 ∈ F , Kn = und Ki ist Resolvent von Ki−1 und Bi−1 .
Dabei ist Bi−1 ∈ F oder Bi−1 = Kj für ein j < i.
Positive Resolution und lineare Resolution sind vollständig, d. h. für unerfüllbare Formelmengen gibt es immer eine Herleitung der leeren Klausel basierend auf diesen Methoden.
Gegeben Sei die folgende unerfüllbare Formelmenge
F = {{A, ¬B, C}, {B, D}, {¬A}, {¬B, ¬C, D}, {¬D}}.
a) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit positiver Resolution.
b) Finden Sie eine Herleitung der leeren Klausel aus F mit linearer Resolution.
c) Zeigen Sie: Die Kombination der positiven Resolution und der linearen Resolution ist
nicht vollständig. D. h. es gibt eine unerfüllbare Formel, die keine Herleitung der leeren
Klausel besitzt, die beide Restriktionen einhält.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 4
Besprechung: In den Kalenderwochen 49 und 50.
1. Resolution
Gegeben seien die folgenden Klauselmengen
• F = {{A, ¬B}, {C, ¬A}, {A, B}, {¬A, ¬C}},
• G = {{¬A, B, C}, {A, B, ¬C}, {B, C}, {A}, {¬B, ¬C}}.
Sind die Formeln erfüllbar oder unerfüllbar? Falls die Formel erfüllbar ist, geben Sie die
Resolutionshülle an. Dabei können Sie wegen Aufgabe 3 der Hausübungen die Tautologien
in der Resolutionshülle ignorieren. Falls sie unerfüllbar ist, stellen Sie eine möglichst kurze
Herleitung der leeren Klausel graphisch dar.
2. Grundlagen der Prädikatenlogik
Gegeben sei die Formel
F = ∀x∀y Q(x) ∧ Q(y) ∧ P (f (x, y), a) → R(a) .
a) Geben Sie alle Teilformeln von F an. Bestimmen Sie zu jeder Teilformel von F die
freien Variablen. Ist F eine Aussage? Geben Sie die Matrix von F an.
b) Finden Sie eine Struktur A = (UA , IA ) zu F mit UA = N und IA (a) = n, so dass F
unter dieser Struktur genau dann wahr ist, wenn n eine Primzahl ist.
3. Modelle für Formeln der Prädikatenlogik
Gegeben sei die Formel
F = ∀x∀y P (a, g(x, y)) → Q(a, x) ∨ Q(a, y) .
Entscheiden Sie, welche der folgenden zu F passenden Strukturen Ai = (UAi , IAi ) Modelle
für F sind.
a) UA1 = N, g A1 (x, y) = x · y, aA1 = 2 und P A1 = QA1 = (n, kn) | n, k ∈ N .
b) UA2 = Abb(N, N), P A2 = QA2 = (f1 , f2 ) | f1 (n) ≤ f2 (n) ∀n ∈ N , aA2 = idN mit
idN (n) = n und g A2 (x, y)(n) = x(n) · y(n).
c) UA3 = R, QA3 = R × R, aA3 = 7, g A3 (x, y) = x und
P A3 = (x, y) | Jede gerade Zahl n mit 2 < n < |xy| ist Summe zweier Primzahlen .