Analysis für Informatiker - Übungs beispiele Xn durch d((XI,`" Z2 Z2

Analysis für Informatiker -
1) Man bestimme rechnerisch (ohne Taschenrechner)
der komplexen Zahlen Zl = 3 - 4i und Z2 = [2,
und graphisch
n
=4+
Zl = 5 +
2) Wie bei 1) für Zl
3) Wie bei 1) für
2i und
5) Wie bei 4) für
fjI8 -
6) Wie bei 4) für
R.
,---«,j2 - V6i.
8) Man beweise ZlZ2
9) Man beweise (~)
Z2
25) Man wähle in Bsp. 24) n = 2, XI
und beschreibe die Kugelumgebungen
= [2, -H.
Z2 = [3, n
26) Sei (X, d) ein metrischer
alle Werte von ~1 + i in der Form [r, 'P].
Metrik
= IR2, X2 = IR mit
der jeweiligen Euklidischen Metrik
in Xl x X2.
Raum. Man zeige, daß dann auch
d(x,y)
=
1 +d(x,y)
Metrik auf X ist.
27) Man bestimme
Zz und ZI -
Z2
= Zi'-
Zz·
29) Man bestimme
N((ZI» .
N Z2
= N(ZI)N(Z2)'
12) Für welche komplexe Zahlen gilt
z=
bezüglich d' aus Bsp. 26) alle beschränkten
Mengen.
28) Man zeige: Ist d eine Metrik auf X, so ist auch durch d'(x, y) = min{l, d(x, y)} eine
Metrik auf X festgelegt. Man bestimme weiters für d' die Mengen K(xo, 2), Xo E X.
=
. I-2-Zl + Z212 + I-2-ZI Man zeige
der jeweiligen Euklidischen
in Xl x X2.
d'(x,y)
= ~.
Z2
Z2
11) Man beweise N(ZIZ2)
= IR, X2 = IR2 mit
24) Seien (Xi, d;), i = 1, ... ,n, metrische Räume. Man zeige, daß dann auf X = XI X ... X
Xn durch d((XI,'"
,xn), (Yl,'" ,Yn)) = Ei=l di(Xi,Yi) ebenfalls eine Metrik definiert wird.
6V3i.
= Zi"
10) Man beweise N (~)
13)
Summe und Produkt
5i und Z2
4) Man berechne ohne Taschenrechner
7) Wie bei 4) für
23) Man wähle in Bsp. 22) n = 2, Xl
und beschreibe die Kugelumgebungen
Übungs beispiele
bezüglich d' aus Bsp. 28) alle beschränkten
Mengen.
30) Sei f : Y -+ X injektiv und (X, d) metrischer Raum. Man zeige, daß durch d"(Yl> Y2) =
d(f (ytl , f(Y2») eine Metrik auf Y definiert wird.
31) Sei (X, d) metrischer Raum und f : IR -+ IRstreng monoton wachsend (d. h. fra) < f(b)
für a < b) mit f(O) = und fra + b) ~ fra) + f(b). Man zeige, daß dann auch d"(x, y) =
f(d(x, y)) eine Metrik auf X ist.
°
~?
Z212 = 2(1zt!
1
2 + IZ21).
2
14) Man beschreibe
!C, b # 0).
die Menge jener komplexen Zahlen z, die !Re (Zba)
>
°
erfüllen (a, bE
15) Man beschreibe
die Menge jener komplexen Zahlen z, die 3m (T)
>
°
32) SeiX = IR2und d((XI,X2), (YI,Y2)) = IXI-Yt!+lx2-Y21.
Man bestimme die Streckensymmetrale S((al,a2),(bl,b2))
= {(XI,X2) E ]R21 d((al,a2),(xl,X2))
= d((bl,b2), (XI,X2))}
der Punkte (al,a2) = (0,0) und (bl,~) = (2,0).
erfüllen (a, bE
33) Sei X eine beliebige, nichtleere Menge, f: X -+ IRund d(x,y) = If(x)
Eigenschaft muß f haben, daß (X,d) metrischer Raum ist? (Beweis!)
!C, b
# 0).
16-17) Welche Teilmenge
chung?
16)
I;~:I
der komplexen
< 3
Zahlenebene
17)
I
Z :
beschreibt
die angegebene
Unglei-
=a+
51 < 4
ibo
20) Man zeige: (!C,~) ist Halbordnung mit Z = a + ib ~ w = c + id, falls a < c oder (a = c
und b ~ d). Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen ZI,Z2,Z3 E!C\ {o} an, für
die Zl ~ Z2 und Z3 t 0, aber Z3Z1 t Z3Z2 gelten.
21) Man zeige: (!C,~) ist Halbordnung mit Z = a + ib t w = c + id, falls a > c oder (a = c
und b ::::d). Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen Zl, Z2, Z3 E !C\ [O] an, für
die Zl t Z2 und Z3 ~ 0, aber Z3Z1 t z3Z2 gelten.
22) Seien (Xi, d;), i = 1, ... , n, metrische Räume. Man zeige, daß dann auf X = XI X ... X
Xn durch d((XI, ... , xn), (Yl,"" Yn) = maxl<i<n d;(Xi, Yi) ebenfalls eine Metrik definiert
wird.
- -
Welche
Metrik sollen für die Menge
A = {-4} U {z E IR 1-2 < x < O} U {x E Q 11< z ~ 3}
18) Man berechne alle Werte von";7 + 24i = a+ib ohne Benützung der trigonometrischen
Darstellung. (Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und
Imaginärteile. )
19) Wie Bsp. 18) für ";8 - 6i
34) Für IR mit der Euklidischen
- f(y)l.
die Menge AO der inneren Punkte,
Rd(A) bestimmt werden.
A = AU
die Menge Rd(A) der Randpunkte
und der Abschluß
°
35) Wie Bsp. 34) für A = ({x E IR 1 < x < I} \ a}) U [z E Q 11< x < 2} U {3}.
36) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte
Zahlen hat.
37) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte
hat.
38) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte
hat?
genau alle natürlichen
genau alle ganzen Zahlen
genau alle rationalen
Zahlen
39) Zeigen Sie, jeweils durch Angabe eines Beispiels, daß in IR mit der euklidischen Metrik
die Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sein muß und
der Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen nicht offen sein muß.
40) Man finde alle Häufungspunkte
der Folge an = (_1)n + cos
2
T
(n:::: 0).
der Folge an = sinT
41) Man finde alle Häufungspunkte
42) Man zeige, daß die Folge an
=
+ (_1)n(n+1)(2
si~n (n:::: 1) nur 0 als Häufungspunkt
n2_4
(n:::: 0).
64)
hat.
65)
an =
sinn + cosn .
..;n
(n::::
1)
an=nqn
67) an = <Ins
hat.
44) an = sinn+cosn
45)
..;n
indem man zu beliebigem e
>0
ein N(c:)
_ sinn
an -
.yn
t
47) Sei (Cn)nEN eine beliebige reelle Folge. Man zeige, daß es zwei Nullfolgen
(bn)nEN gibt, die Cn =
für alle n E 1'1 erfüllen.
t
66)
an=-;
(an)nEN,
49) Seien (an)nEN und (bn)nEN zwei konvergente Folgen mit lim c., = a und limbn = b. Man
zeige, daß die Folge (Cn)nEN = (3an - bn)nEN auch konvergiert mit lim c., = c = 3a - b,
indem man zu beliebigem e > 0 ein N(c) angebe.
50-52) Man untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
Grenzwerte den Grenzwert liman.
+1
68)
an = n~n3
1
1
a,,=--+--+"'+-n2 + 1
n2 + 2
1
1
a ----+---+".+--n - (n + 1)2
(n + 2)2
1
n2 + n
1
1
n2 + 1
n2 + 2
a,,=--+--+"'+-n3 + 1
n3 + 2
1
an = --+ --+ ". + --Jn2 + 1
Jn2 + 2
Jn2 + n
55)
an
57) an
59)
61)
an
=
=
+7
+7
1
an = an-1
Man zeige (mit Hilfe vollständiger
und bestimme
2n2-5n~+7
3
+1
= VnTI - Vn
7n3 +2n-'
56)
58)
an
=
an=
+ n(n + 1)
60) an =
62)
3
an =
-
4nlf
+ n-1
3
2n4
+2n-'
+1
Vn + Vn - Vn
Jn
+ 2 -..;n
(n:::: 1).
Induktion)
1
n+1
den Grenzwert.
75) Sei die Folge (an)nEN rekursiv gegeben durch ao
= 0 und
n
an+l = an
Man zeige (mit Hilfe vollständiger
2n3 - 5n2 + 7
2n3 _ 5n + 7
3n2
n2 + n
n3 + n
74) Sei die Folge (an)nEN rekursiv gegeben durch ao = 0 und
an=1---
den
1
(n + n)2
73) Zeigen Sie: Sind a1, ... , a", :::: 0 fest gewählte reelle Zahlen und ist (bn)nEN durch
bn = ;Ya~ + ... + a::, definiert, so gilt limbn = max{al, ... ,am}.
o.
+ 1 für alle n ::::O.
Grenz-
72)
71)
J6an - 9 für alle n ::::
53-68) Man untersuche die Folge (an)nEN auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls
Grenzwert.
2n3 + 2n - 3
4n2 + 5n - 3
54)
53) an = 4n3 + n2 + 5
an = 2n3 + 32 _ n + 7
3n2 - 5n
3n3 _ 5n
+ n2
70)
50) ao = 3, an+1 = J2an - 1 für alle n ::::o.
= 2, an+1 = Jan
(q>1)
69-72) Man untersuche die Folge (an)nEN auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen (bn)nEN, (Cn)nEN mit bn ::;an ::; Cn finde.
Folgen
48) Seien (an)nEN und (bn)nEN zwei konvergente Folgen mit lim c., = a und lim ö., = b. Man
zeige, daß die Folge (Cn)nEN = (an + 2bn)nEN auch konvergiert mit lim c., = c = a + 2b,
indem man zu beliebigem e > 0 ein N(c:) angebe.
52) ao
cosn
- 2ii=5
3n2+~.
(n-3)
(-1<q<0)
69)
46) Sei (Cn)lIEN eine beliebige reelle Folge. Man zeige, daß es zwei beschränkte
(an)nEN, (bn)nEN gibt, die Cn =
für alle n E 1'1 erfüllen.
=
~
(Hinweis zu Bsp. 67) und Bsp. 68): Man verwende den als bekannt vorausgesetzten
wert lirnn-+oo yIn = 1.)
44-45) Man zeige, daß die Folge an konvergiert,
angebe.
51) ao = 4, an+!
=
qn
43) Man zeige, daß die Folge
nur 0 als Häufungspunkt
an
+ (n + 1)!
(n:::: 0).
Induktion)
an=l--
1
n!
und bestimme den Grenzwert.
76-77) Man bestimme
76)
alle Häufungspunkte,
sowie lim c., und liman der Folge an:
77)
-'----=,.---!'-
ff
an=
4
T+1
n2 cos
n+1
. (2n + 1)'Il'
+sm
2
indem man zu jedem A
78-79) Man zeige, daß die Folge an uneigentlich konvergiert,
ein N(A) angebe, sodaß für n > N(A) immer an > A gilt.
78)
>
0
98-101) Man untersuche
die folgenden Reihen auf Konvergenz
(_I)n
98)
79)
'"
L vn2 + 2
99)
n~O
n +1
an=-n-l
3
L ~n
. an
Inn b
2
und
L (n + 3)4/3
101)
= +00
103) Gilt Bsp. 102) auch ohne die Voraussetzung
erfüllen.
81) Man gebe zwei reelle Folgen (an)nEN, (bn)nEN mit lim c., = limbn =
liman=O
bn
und
lim
+00
a2
b: =
105) Gilt Bsp. 104) auch ohne die Voraussetzung
82)
L--+ 2)
n=1 n(n
83)
00
84)
86)
E
n(n+
I:(-1t
2n+1
n(n+ 1)
88-95) Man untersu~he
2
3n + 1
88) '"
L..J -n~O 5n3 - 2
",n+2
L..J
n
87)
89)
91)
94)
'" 2n
L..J
4
n~O n
+1
+2
",n-l
L..J
n
93)
95)
109-112) Man zeige, daß die folgende Funktionenreihen
konvergieren:
n
(!)x ,
n~O n
L
lxi<
110)
1
n
L Cn)x
,
n
'"
n+3
L..J 7n2 _ 2n
~r~
«
115)
L -2-1 (x + 1t
n=1 n +
112)
L(2jI'
n~O
n.
1t
117) Man bestimme
die Grenzfunktion
118) Man bestimme
die Grenzfunktion
(1
+ x2)n
114)
~
116)
L
n=O (1 + .e./;;2)n
n
im Intervall [0, 00).
n~1
120) Man zeige, durch Reihenvergleich
Formel
97)
L~
x2
00
----;;">~
der Funktionenreihe
aus Bsp. 114).
der Funktionenreihe
aus Bsp. 116).
die gleichmäßige Konvergenz von
die gleichmäßige Konvergenz von
1
00
E
für x
n2
V'f+X2
E IR.
n~O
n~O
5
konvergiert:
x
00
n-1
",n_
n!
1
z EC
+1
L..J
Bereich
4
für welche x E llt die folgende Funktionenreihe
119) Man zeige, durch Reihenvergleich
2.
[z]
+an).
z2n
zEC
E
00
nn
1
2n _ 1 (x -
im jeweils angegebenen
n~O
113)
00
L n!
(1 +
E(2n+l)!'
COS !!1!.
sin!!![.
L~
der Reihe Ln~O(-1)n(an+1
113-116) Man untersuche,
96-97) Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der Moivreschen
(cosx + s sin z}" = cos(nx) + isin{nx) den Grenzwert der Reihe:
96)
den Grenzwert
n~O
3
n~O
108) Es sei lim c., = O. Man bestimme
3
Ungleichung
92)
der Reihe Ln~O(an+2 - an)·
z2n+1
Hinweis: Man benütze die aus der
Bernoullischen Ungleichung folgende
2
der Reihe Ln~O(an+1 - an).
den Grenzwert
111)
n - 2
L ~-:-::----;:n~O 2n + 5n - 3
n~l
(Beweis oder Gegenbeispiel!)
den Grenzwert
109)
In
2n+5
) (n+2)(n+3)
E(-
o?
an ~
107) Es sei lim c., = a. Man bestimme
die folgenden Reihen auf Konvergenz:
6
n~O
1)
E(n+2)!
00
Man zeige, daß dann auch die Reihe
106) Es sei lim c., = a. Man bestimme
n+1
00
85)
E(n:l)!
n=1
90)
1
00
an ~ O? (Beweis oder Gegenbeispiel!)
+00
82-87) Man bestimme die Partialsummenfolge
und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz passender Ausdrücke
dar.)
3
Man zeige, daß dann auch die Reihe
104) Sei an ~ 0 und die Reihe Ln>Oan konvergent.
Ln~O a~ konvergiert.
-
an, die
erfüllen.
00
n~O
102) Sei an ~ 0 und die Reihe Ln>O an konvergent.
Ln~O a~ konvergiert.
-
n
+ 5n
(-w
+2
n~O
80) Man gebe zwei reelle Nullfolgen (an)nEN, (bn)nEN an, die
(_1)n
L..J n3/2
n~O
(_1)n
100)
und absolute Konvergenz:
6
136)
121) Man zeige:
an
00
00
b"
(a + b)n
00
L ;IL :;J = L -n-'
n=O
. n=O'
n=O
a, b
-,
.
=
f(x, y)
e IR.
2y2
lxi + y2
für (x, y) # (0,0) und
137) Sei
122) Man zeige:
f (x,y ) =
a, bE IR.
für 0 # x # 2y. Man untersuche
x cos ~
und vergleiche die iterierten
Existiert
123) Man bestimme
die Potenzreihenentwicklung
von cosh(x) an der Stelle
124) Man bestimme
die Potenzreihenentwicklung
von sinh(x) an der Stelle
125) Man beweise die Formel cosh(x
+ y)
126) Man beweise die Formel sinh(x
+ y) = sinh(x)
= cosh(x) cosh(y)
cosh(y)
127) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung
Xo = 0 durch Produkt bildung zweier Potenzreihen.
von f(x)
128) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung
Xo = 0 durch Produkt bildung zweier Potenzreihen.
von f(x)
+ sinh(x)
Xo
Xo
= O.
(Hinweis: Man betrachte
=
f(x,y)
für 0 # y # -x. Man untersuche
= (1 - x2) cos x an der Stelle
k
die Koeffizienten
k=O
von (1
y--+O
Existiert
der Grenzwert
k
x+ycosb
x+y
= ---"'-
und vergleiche die iterierten
lim limf(x,y)
an der Stelle
x-+O
lim limf(x,y).
und
z-eü y--+O
die Funktion
f : IR2 ~
IR auf Stetigkeit
f(x,y)
=
140)
+ x)n(1 + z)" = (1 + x)2n.)
Ixl~IYI
xy2 + x2y
2
2
x +y
f(x,y)=
für (x,y)
# (0,0) und
+ x)m
= (1 + x)n+m.)
131-134) Man zeichne den Graphen der Funktion f{x) und bestimme alle Stellen, an denen
= 1 für x > 0, sgn(x) = -1 für x < 0 und sgn(O) = 0.)
f(x) stetig ist. (sgn(x)
=
133) f(x)
= xsgn(sinx)
134) f{x)
= xsin
1- x3
= O.
stetige Umkehrfunktionen
haben und
fix)
=
-3-'
Df
=
(1,00)
142)
g(x)
=
(1+ y'X)7,
Dg
=
(0,00)
143)
f{x)
=
-7-'
1- x7
x
Df
=
(1,00)
144) g(x)
=
(1 + y'X)5,
Dg
=
(0,00)
und f(x)
# x für 0
x
daß dann auch f(x)
(x2 - 1) sgn(sin(1I'x»
f(O,O)
141)
145) Sei f : [o.c] ~ IRstetig, f(O) = 0, f(a)
= (x -11'/2) sgn(cosx)
132) fix)
2/äb
f(O,O) =0.
für(x,y)#(O,O)und
141-144) Man zeige, daß die folgenden Funktionen
bestimme diese:
von (1 + x)n(1
(Hinweis: a + b 2:
139)
n ).
n- k
130) Man beweise die Formel
(Hinweis: Man vergleiche die Koeffizienten
Grenzwerte
lim(x,y)~(O,O) f(x, y)?
139-140) Man untersuche
für a, b 2: 0.):
t (n)2 = t (n) (
k=O
lim(x.y)~(o.O) f(x,y)?
= 0.
129) Man beweise die Formel
(2n)n
x-+O y-+O
138) Sei
sinh(y).
+ cosh(x) sinh(y).
= (x2 + l)sinx
der Grenzwert
Grenzwerte
lim limf(x,y).
und
y-+O x--+O
IR ~ IR sind definiert durch: sinh(x) = ~(eX - e-X),
sinh,cosh:
+ y sin y
2x-y
lim lim f(x,y)
123-126) Die Abbildungen
cosh(x) = HeX + e-X).
131) f(x)
=0
f(O,O)
>x
für
°<
>a
< x < a.
Man zeige,
x < a gilt.
146) Man zeige, daß es zu jeder stetigen Funktion
mit f(xo) = Xo gibt.
f : [a, b] ~ [a, b]
wenigstens ein
Xo
E
[a, b]
(jsgn(x»
135-136) Man untersuche für beliebige a,ß
Funktion f(x,y)
an (0,0) stetig?
E IR den Grenzwert
limHof(at,ßt).
135)
f(x,y)
=
Ixl3
Iyl
+ Iyl
für (x,y)
7
# (0,0) und
f(O,O)
=
1
Ist die
147-149) Man bestimme mit Hilfe der Bisektion auf drei Dezimalstellen
Nullstelle der Funktion f(x):
147) f(x)
= sinx - ~
148) f{x)
=
149) fix)
= (tau x)2 - x, x
cos x - x
<
1
8
genau die positive
wo die Funktion fex) differenzierbar
150-155) Man untersuche,
2
ist und bestimme dort f'(x):
150)
fex) = vx
vx2
4x + 4
5x + 2
151)
fex) = Arcsin (ijx2
152)
f(x) = vx -4x+4
vx2 - 6x + 3
153)
f(x) = Arccos(V'x2-2)
154)
fex) =
x2 + 2x + 1
x2 - 4x + 3
155)
fex) = Arctan
-
2
_
2)
(J: ~U
173) Sei f : ~ -+ ~ monoton
für alle x E ~ gilt.
f8
-x 1
.
+ - Arcsmx
2
71'
158-159) Man bestimme
=
Arctan ( ~),
v1-x2
den Definitionsbereich
xE(-l,l)
der Vektorfuntion
~(t), sowie die Ableitung
3t2)
~ ,
sin (1 ~ t2 )
~(t)
)
=
( sin(1 + cos(t)),
Ji
179) Berechnen Sie
x2 dx mit Hilfe von Untersummen
weis: L~=l k2 = n(n+l~(2n+l),
L~=l k = n(~+I).)
tt )
r;--;;;
vI - t2
180) Berechnen
160-163) Man bestimme
162)
f(x,y)
fex, y)
die partiellen
2
= Arctg (
= Arctg
4x y2
l+x+y
y+
= 1 +sin2(xyz)
f(x,y,z)
;3)
die Funktionalmatrix
zu
fex, y, z)
f( ~ )
= ( sin~~s(;)
f(
:z)
= (
zffif.~e~~)
.
168) Es sei guru, v) = fug(u, v)
h(t) = 1tg(2t, t2 + 1).
169) Es sei gu(u,v) = fug(u,v)
bestimme h(t) = 1tg(t2 - 1, 3t).
170) Man berechne
~n
167)
=
R,3
f
u2-v und gv(u, v)
=
vsin(uv)
mit Hilfe von Untersummen
k2
=
L~=l k =
n(n+I~2n+I),
-+
Teilung. (Hin-
bei äquidistanter
Teilung. (Hin-
l).)
(nt
als Grenzwert
I.: Jk(n
- k)
k=l
einer Riemannschen
Zwischensumme.
~2:
(x)~ = ( X cos(y2
In(Arctan(x + y2»
- "ß) . tan(xyz)
=
j,;g(u, v)
und gv(u,v)
=
=
-u+v3.
tvg(u,v)
=
)
Man bestimme
uSin(uv).
186)
188)
183)
l(1x(~x"߻5dX
J
J
J
xArcsinx dx
185)
dx
x2 + 2x + 9
187)
X
e
e2x - e
X
-
6
dx
189)
Man
[(3x + 1) cos x] für n E N.
9
bei äquidistanter
182-189) Man berechne:
f:
184)
166)
Lk=l
l
(nt ),
durch Interpretation
= 1 + cos2(1 + x)
165)
z) )
Sie F(x) = Jox f(t) dt. Ist F(x)
1 n
182)
164)
J( x3 dx
Sie
L~=l k3 =
lim "2
»-ecc n
"ß + y3z2
163)
2: 0
alle x E IR? (Beweis
181) Berechnen Sie
..;xz
161)
3
(y2:
164-167) Man bestimme
weis:
Ableitungen:
)
berechnen
alle x E ~? (Beweis
i::; g .
159)
Cl~
i:; ~i
> 0 für
::; 0
stetig bzw. differenzierbar?
178) Wie 177) für f(t) = {-~
158)
160)
f(t) = {-~
177) Für die Funktion
< 0 für
Man zeige, daß dann f'(x)
176) Folgt in Bsp. 175) aus der strengen Monotonie sogar f'(x)
oder Gegenbeispiel!)
~'(t), wo sie existiert:
*) = (
Man zeige, daß dann f'(x)
fallend und differenzierbar.
175) Sei f : ~ -+ IR monoton wachsend und differenzierbar.
für alle x E IR gilt.
XE(-I,I)
= -,
4
157)
Arcsinx
und gj(x) -10 für alle j, so gilt
174) Folgt in Bsp. 173) aus der strengen Monotonie sogar f'(x)
oder Gegenbeispiel!)
156)
-1 +x
- 3)sinx] für n E N.
172) Zeigen Sie: Sind gl(X), ... ,gm(x) differenzierbar
156-157) Man zeige mittels Differenzieren:
Arctan
171) Man berechne ~[(2x
10
10o
k
3
J
J
J
2
(sin x+
1
Vf+X2)dx
1 + x2
x4 +x2-1
dx
(x - 1)2(X2 + 2x + 3)
dx
2 sin2 x cos? x
2lr6inxdx
6 I. 60t)
)
Lineare Algebra für Informatiker
Die charakteristische
Funktion
-
~Q,o~
J Z2
1
Übungs beispiele
XA(X) einer Menge A ist definiert durch
( )_ {I
XA x
-
A heißt Teilmenge von B, symb. AC::;B, wenn XA(X)
:s; XB(X)
Zwei Mengen A und B heißen gleich, symb. A = B, wenn XA(X)
= min(XA(x), XB(X)),
= max(XA(x),XB(X»,
XA\B(X)
XAt.B(X)
19) Wie 18), jedoch für die Relation mRn ~ ggT(m,n) = 1, m,n E {1,2,3, ... }, wobei
ggT(m,n) den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen mund n bezeichnet.
21) Untersuchen
für alle x gilt.
= XB(X)
= XA(X) - XAnB(X),
= (XA(X) + XB(X)) mod 2.
23) Untersuchen Sie, ob die Relation ARB
eine Halbordnung bildet.
2) AU(AnB)=A
3) An (B U C) = (A n B) U (A n C)
4) (A \ B) \ C = A \ (B \ C)
5) M \ (A n B) = (M \ A) U (M \ B)
6) M \ (A 6 B) = (M \ A) 6 (M \ B)
11) Es sei A eine Menge mit n Elementen und \)J(A) die Menge aller Teilmengen der Menge
A. Zeigen Sie, daß \)3(A) 2n Elemente besitzt.
@ Sei f
: A -+ B. Man zeige, daß durch x == Y ~ f(x)
auf der Menge A definiert wird.
07\ Seien
~)
mRn
~ m = n2?
32-41) Man beweise mittels vollständiger
15) (A x B) U (A x C)
n
=
Sie die folgenden Identitäten
für Mengen:
- 1) = (n - l)n(n
3
(n ~ 2)
tj(j
+ 1) =
;;1
(n ~ 1)
35)
j2j
n 1
= 2 + (n -1)
+2
(n ~ 0)
37)
+ 6n + 4)
~(2n2
6
38)
39)
Sie, ob die Relation aus Aufgabe 17) eine Äquivalenzrelation
~
m+n.
ist.
2
n-1
n
L
-.-1.-
=-
i»: =
n
3 (2n - 1)
j;2J(J-1)
j;1
);0
n Cl.
Die Relation R sei für m,n E {2,3,4,5,7,8,1l,13}
definiert durch mRn
ungerade oder m = n. Stellen Sie R im cartesischen Koordinatensystem
dar.
8 Untersuchen
+ 1)
n
1
L J-:---(
. 1) = n- + 1
J +
'>~@t
x (AnB).
(5)
==
haben
~
j;1
A x (B U Cl.
(A x C) = A x (B
und Transitivität
(n ~ 1)
(iii) An B = A.
14) (A x B) U (B x A) = (A U B) x (A U B).
16) (A x B)
Symmetrie, Identität
Induktion:
32)
n
= (AnB)
Reflexivität,
m4 = n4?
31) mRn
34)
x A)
eine Äquivalenzrelation
~ m2 = n2?
{o}
;;2
n (B
= f(y)
Rl und R2 Halbordnungen auf der Menge M. Man beweise, daß dann auch ihr
R = R1 n R2 Halbordnung auf Mist.
.
30) mRn
tj(j
dann gelten alle drei.)
x B)
einer Menge M
Differenz)
12) Man beweise, daß die folgenden drei Aussagen äquivalent sind. (D. h., gilt eine der drei
@ (A
~ AC::;B auf der Potenzmenge
~Untersuchen
Sie, ob die Relation ARB ~ A 6 B = A (6 die symmetrische
auf der Potenzmenge einer Menge Meine Äquivalenzrelation bildet.
9) A 6 (B n C) = (A 6 B) n (A 6 C)
10) Sei Meine nichtleere endliche Menge. Zeigen Sie, daß M gleich viele Teilmengen mit
gerader Elementanzahl wie solche mit ungerader Elementanzahl besitzt, indem Sie ein Verfahren angeben, das aus den Teilmengen der einen Art umkehrbar eindeutig die der anderen
Art erzeugt.
13-16) Beweisen oder widerlegen
ist.
Differenz)
29-31) Welche der Eigenschaften
folgende Relationen Rauf Z:
(ii) AUB=B,
+n
28) Seien R1 und R2 Äquivalenzrelationen
auf der Menge M. Man beweise, daß dann auch
ihr Durchschnitt R = R1 n R2 Äquivalenzrelation auf Mist.
~A6B=0\~U~\~=0U~\0n~
(i) AC::;B,
m
24) Untersuchen Sie, ob die Relation ARB ~ A 6 B = 0 (6 die symmetrische
auf der Potenzmenge einer Menge Meine Äquivalenzrelation bildet.
'U;;';chschnitt
1) AU(BUC)=(AUB)UC
Aussagen,
Sie, ob die Relation aus Aufgabe 20) eine Äquivalenzrelation
~
gilt.
1-9) Entscheiden Sie, ob die folgenden Beziehungen richtig sind, indem Sie sie entweder
mit Hilfe der entsprechenden
charakteristischen
Funktionen beweisen oder ein konkretes
Gegenbeispiel angeben:
8) An (B 6 C) = (A n B) 6 (A n C)
durch mRn
22) Wie 21), jedoch für die Relation mRn ~ ggT(m,n) = 2, m,n E {2,4,6, ... }, wobei
ggT(m, n) den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen mund n bezeichnet.
Die Mengenoperationen
Durchschnitt,
Vereinigung, Differenz und symmetrische Differenz
können dann auf folgende Weise mit Hilfe der charakteristischen
Funktionen definiert werden:
XAnB(X)
XAUB(X)
2~
20) Die Relation R sei für m, n E {2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13} definiert
gerade. Stellen Sie R im cartesischen Koordinatensystem
dar.
fallsxEA,
falls x rf- A.
0
r
n
4
(n ~ 2)
+1
(n ~ 1)
(l))
f,h') r~),I)
~,
C, ,(
, I
/
86) Bestimmen
Sie alle Untergruppen
der Gruppe Maus
85).
I
/
.
\..
,
87) Sei M das direkte Produkt der Gruppen Z3 und Z2, jeweils mit der Restklassenaddition.
Lösen Sie in M die Gleichung (1,1) + 2x = (2,1).
110) Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome ao + alx + a2x2 + a3x3 vom Grad kleiner gleich
3 mit Koeffizienten ai aus ~ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt
mit einem Skalar einen Vektorraum über IR.
88-93) Bildet 1R2 mit den angegebenen
x und x2 enthält.
Operationen
über IR?
einen Vektorraum
® (XI,X2)
+ (YI,Y2)
89) (XI,X2)
+ (YI,Y2)
=
=
90) (Xl, X2)
+ (Yl, Y2)
= (X2
+ YI,XI + Y2), A(X[, X2)
= (AXI, AX2).
91) (Xl, X2)
+ (YI, Y2)
=
+ Y2, X2 + Yl),
= (AXI,
92) (XI, X2)
+ (Yl, Y2)
= (XI
/-"
93) (Xl, X2)
+ (y[,
Y2)
94-99) Untersuchen
,.....
.94}
V
•..-7
95) V
96) V
97) V
• V"\
+ YI,O),
(XI
=
=
A(XI,X2)
(0,X2 + Y2), A(XI,X2)
(Xl
+ Yl, 0),
= (0, X2 + Y2),
= 1R3, K = IR,
= Vektorraum
W
W
W
=
=
=
{(x,y,z)
E V Ix
E V
{(x, y, z)
E V
W = {(x,y,z)
aus 110) der die Polynome
113-119) Beschreiben Sie die angegebene Punktmenge
suchen Sie, ob Wein Teilraum des 1R3 ist.
AX2).
= (Xl,
AX2).
V über K ist:
= 2y}.
W={(x,y,z)lx+y+z~O}
114)
W = {(x,y,z)
I x+y+z
115)
W={(x,y,z)lx+y+z=O}
116)
W = {(x,y,z)
117)
W=
118)
W = {(x,y,z)
I X = 2z}
I xy = O}
{(x,y,z)
Ix=-z}
I x2 + y2 =
und unter-
~ O}
I}
eine Basis des 1R3 ist .
120) Zeigen Sie, daß B = {(1,2,4),(2,4,1),(4,2,I)}
I Y = -z}.
I X + Y + z = O}.
W des 1R3 geometrisch,
113)
119) W = {(x,y,z)
121) Tauschen Sie mit Hilfe des Austauschsatzes
Baus 120) gegen die Vektoren (-1,0,1), (3,2,1)
E V I xy = O}.
99) V = Vektorraum aller Funktionen
Funktionen in V, d. h. aller Funktionen
Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes
112) Bestimmen
A(XI, X2) = (AXI, X2).
{(x,y,z)
aus 110) der die Polynome
2x2 - x3 und x2 + 3x2 enthält.
Sie, ob W Teilraum des Vektorraums
= IR3, K = IR,
= 1R3, K = IR,
= 1R3, K = IR,
Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes
(AXI,O).
A(XI, X2)
A(XI, X2)
111) Bestimmen
(0,AX2).
von Steinitz zwei der Vektoren der Basis
aus, sodaß wieder eine Basis entsteht.
122) Zeigen Sie, daß B = {(I, 1, 0), (2, 3, 3), (3,3, 2)} eine Basis des 1R3 ist .
,,98) V
aller Funktionen J : IR ~ IR über K = IR, W die Menge aller ungeraden
J::\i'nktionen in V, d. h. aller Funktionen J, für die gilt J(x) = - J( -x).
J : IR ~ IR über
K = IR, W die Menge aller geraden
J, für die gilt J(x) = J(-x).
123) Tauschen Sie mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz zwei der Vektoren der Basis
Baus 122) gegen die Vektoren (-1,0,1), (1, 2,1) aus, sodaß wieder eine Basis entsteht.
124) Zeigen Sie, daß B = {(I, 2, 3), (2, 3,1), (3,2, I)} eine Basis des 1R3 ist.
100) Zeigen Sie: IQl[VSl (vgl. Aufgabe 62)) bildet mit den in IR ausgeführten
Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über 1Ql.
Operationen
125) Tauschen Sie mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz zwei der Vektoren der Basis
Baus 124) gegen die Vektoren (-1,0,1), (4, 2, 1) aus, sodaß wieder eine Basis entsteht.
(09
Operationen
126) Zeigen Sie, daß die Vektoren ~l, ~2, ~3 eines Vektorraumes
abhängig sind, wenn ~l + l'2, l'2 + l'3, l'3 linear unabhängig sind.
Zeigen Sie: 1Ql[v'7] (vgl. Aufgabe 62») bildet mit den in IR ausgeführten
Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über 1Ql.
102) Zeigen Sie: In jedem Vektorraum
V über dem Körper K gilt A .
103) Zeigen Sie: In jedem Vektorraum
V gilt O· n =
lQ~106)
gilt:
,,-.--:-
'~
J~) i'
('j/
V
Zeigen Sie, daß injedem
0
0
=
0
für alle A E K.
für alle a E V.
(-A)a
= -(Aa)
~l,
l'2,
+ l'3, ~3
dann
linear un-
eines Vektorraumes genau
linear unabhängig sind.
dann
linear un-
dann
linear un-
~3
128) Zeigen Sie, daß die Vektoren }:1,}:2,}:3 eines Vektorraumes
abhängig sind, wenn l'l - l'2, l'2, ~2 - ~3 linear unabhängig sind.
genau
V über dem Körper K für alle a E V, A E K
Vektorraum
.....
106) (-A)(-a)
127) Zeigen Sie, daß die Vektoren
abhängig sind, wenn ~l + l'2 + ~3, ~2
genau
105)
A(-a)
= -(Aa)
= AO
129-131) Untersuchen
bildung ist.
129)
107) Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome ao + alX + a2x2 + a3x3 + a4x4 vom Grad kleiner
gleich 4 mit Koeffizienten aj aus lQl bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen
Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über 1Ql.
108) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes
X und x3 enthält.
aus 107) der die Polynome
109) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes
X - x2 und X + x3 enthält.
aus 107) der die Polynome
5
Sie, ob die angegebene
X
A ( ~~ ) = ( 7 l + 5X2 )
Xl - 2X3
Abbildung
130)
X3
131) A ( ~~ ) = ( 3Xt+_~::
A von 1R3 in 1R2 eine lineare Ab-
A ( ~~ ) = ( 3XI + 5X2 )
Xl - 3X3
X3
- X3 )
e
132) Sei V = 3, U = {(ZI,Z2,Z3) E V I Zl + Z2 = Z3}, W = {(ZI,Z2,Z3) E V I Z2 = -zJ}.
Zeigen Sie, daß U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.
133) Bestimmen Sie für U und Waus Aufgabe 132) dim(U + W) sowie dim(U
verifizieren Sie die Beziehung dim(U + W) = dimU + dim W - dim(U n W).
6
n W)
und
TU Wien, SS 2002
Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 3
11. Man vergleiche
(T30, I).
die Hassediagramme
(P( {a,b,c}), ~) und
der beiden Halbordnungen
12. Zu den nachstehenden Abbildungen f bzw. g auf der Menge {O,I, ...,9} bestimme man
jeweils den zugehörenden Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung aufInjek\A ::-rl<.>kv"':> ..•. tivität, SurjektivitätundBijektivität:~\.~~.A
v'-'VV
=. 2
.g{ 1
.;
3
(a) fex) = x modlO'"
eh) g(x) = x mod 10
13. Man zeige, dass die Funktion f: R \{-3} ~ R \{2}, y = 2x -I bijektiv ist und bestimme
x+3
ihre Umkehrfunktion.
14. Man zeige, dass es sich bei dem logischen Ausdruck
[(A v B)
A
(B ~ -oC)
A
C] ~
A
um eine Tautologie bzw. bei dem Ausdruck
(A ~ B)
G
um eine Kontradiktion
A
(B ~ C)
A
A
A
-oC
handelt.
Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Behauptung
wie durch einen indirekten Beweis:
,,Für spitze Winkel a und ß gilt sin (a + ß) < sin a + sin
sowohl durch einen direkten
ß.",
'
~
\~\c\\~ \i
\~~\~
~~
'~~.
FroheOstem!
,
.s»;
~~
~~\
.
~
1.
.
fJff&M.2
TU Wien, SS 2002
Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 4
@ Man
beweise (zumindest zwei der drei) nachstehende(n) Identitäten für Binomialkoeffizienten:
17. Eine Datei enthalte 5 Datensätze vom Typ A, 2 vom Typ B, 6 vom Typ C, 4 vom Typ D
und 3 vom Typ E. Sie soll so in eine doppelt verkettete Liste sortiert werden, dass die
Randelemente (erster und letzter Satz) nur Sätze der Typen A oder E sein dürfen. Weiters
sollen zwischen zwei Datensätzen desselben Typs keine Sätze anderen Typs stehen.
Wieviele mögliche Anordnungen gibt es?
18. Wieviele verschiedene Variablennamen kann man in einer fiktiven Programmiersprache
verwenden, wenn diese Namen aus mindestens einem, höchstens aber vier (nicht notwendig verschiedenen) Buchstaben {A•...•Z} bestehen müssen. und die Befehle AND,
OR, IF, THEN, GO, TO und FOR nicht als Teilwörter enthalten sei dürfen.
19. Wieviele verschiedene Tips müssen beim Lotto,,6 aus 45" abgegeben werden, um sicher
einen Sechser zu erzielen? Wieviele verschiedene Tips sind nötig. um mit Sicherheit
mindestens einmal in den Gewinnrängen (d.h, Dreier oder besser) zu sein. Bei wievielen
möglichen Tips stimmt mindestens eine Zahl, bei wievielen sind alle Zahlen falsch?
20. Wieviele natürliche Zahlen n mit 1 s n s 1000 gibt es, die durch 3. 5 oder durch 11
teilbar sind? Wieviele sind weder durch 3, noch durch 5, noch durch 11 teilbar sind?
TU Wien, SS 2002
Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 7
31. (a) Gegeben sind die Permutationen n = (134562), p = (1346) und o = (126)(35) der S6.
Man berechne np-1a2 und npa-2•
(b) Man schreibe die folgenden Permutationen in Zyklendarstellung bzw. als Produkt
von Transpositionen, und gebe deren Vorzeichen an:
1
7[
= (4
2 3 4 51
3 5 2 1)'
p
=
(1 2 3 4 5 61
3 6 5 2 1 4)'
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 101
a = 7 9 4 2 5 8 1 10 3 6)'
32. Man zeige: Eine nichtleere Teilmenge U einer endlichen Gruppe G ist genau dann
Untergruppe von G, wenn
a,b
für alle a,b
E
E
U ~
ab
E
U
G gilt.
33. Sei G die Menge der Permutationen {(1), (l3), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234),
(1432)}. Man veranschauliche G, indem man die Permutationen auf die vier Eckpunkte
eines Quadrates wirken lasse und als geometrische Operationen interpretiere. Man zeige
mit Hilfe dieser Interpretation, dass G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S4 ist
(Symmetriegruppe des Quadrates), und bestimme alle Untergruppen.
34. In der Symmetriegruppe des Quadrates aus Aufgabe 33 bestimme man die Rechts- bzw.
Linksnebenklassenzerlegung nach einer (a) von einer Drehung, (b) von einer Spiegelung
erzeugten Untergruppe.
35. Man zeige, dass für eine beliebige Menge M die Algebra (P(M),~,r1) ein kommutativer
Ring mit Einselement ist. Für welche M ist dieser Ring sogar ein Körper?
TU Wien, SS 2002
Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 8
36. Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:
(a) (an) = 1,1,2,1I2,3,1I3,4,1I4, ...,m,lIm, ...
n+2
(b) bn=-n-l
.
für n z Z
nn-l
n
(c) en=(-l)
für n z l
37. Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (an) mit ao = 5 und an+I= (an + 5/an)/2 für n =
0,1,2, .... Man berechne die Folgenglieder an für n = 0,...,10, untersuche die Folge in
Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne - wenn möglich
- den Grenzwert.
38. Seien PI und P2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die
----Strecke P1P2 in P3, die Strecke P2P3 in P4, P3P4 in P5, USW. und bestimme die Lage von
P, fiirn ~
00.
39. Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe
1
'"'CO
.L.n=l n(n + 1)
und berechne damit - wenn möglich - die Summe.
(Anleitung: Man beachte, dass
1
= ~ __ 1_ gilt.)
n(n+l)
n n-i l
40. Man bes,timme die Größenordnungen vonj,
Nv-'-\
~)
(a) 0;7n2-2,5n+
~
(b) 5·2n+3n3
1
01 ~
)
(·d,'"
\<A P
(c) .Jl+n2•
Ferner zeige man, dass
(d) an = 0(1) <=> (an) beschränkt,
- ()\ c)'c::; WI..
. '\
r 00\0\e
C
(e) an = 0(1) <=> (an)Nullfolge.
Q
TU Wien, 88 2002
Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 9
t\l~l~
4 L Man skizziere die Graphen der Funktionen
fl(x) = COS
X,
f2(x) = lIcos
X,
~\e,~(.
/-,
f3(x) = cos'x, f4(x) = [cos x], f5(x) =
.JI cosx I
im Intervall [0,11:]und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
42. Man skizziere den Verlauf der Funktion f: IR\{O} ~ IR, flx) = sin(1/x) und beweise, dass
fex) an der Stelle Xo = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen Xn =
lI(n11:)und Xn = 1I(2n11:
+ 11:/2) betrachtet.
43. Man berechne die Grenzwerte
\ (a) lim(_I
I
x-->l I-x
o
3_)
I-x3
2
(b) lim 7x +6x-l
x __ x3 -2x2
+1
(c) liml-cosx
x-->O
X
/
e
44. Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes. dass die Funktion y = e" - 5x + 1 im Intervall
[0,1] sowie im Intervall [2,3] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen
näherungsweise berechnet werden?
45. Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x)
allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?
=
(x + 1)/(x - 1). Können Sie
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Übungsaufgaben zur Mathematik 1 für Informatikerinnen
Blatt 10
46. Man leite die unendlichen Reihen für sin(x) und cos(x) durch Entwicklung der beiden
Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt Xo = 0 her.
Man approximiere die Funktion fex) = 8(x + li/2 in eine lineare bzw. eine quadratische
Polynomfunktion im Punkt Xo = O.Wie groß istjeweils der Fehler an der Stelle x = 1/2?
l47.
A 1\•.• J
\!\,veyr'
48. Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
l
(a) lim -Jx-l
x-e-l ln(x)
(b) lim
X-700
~3.
x
e
(c) lim(1-x)tan
x -e-l
TeX
2
49. Wie ist t zu wählen, damit die Funktion fex) = (x2 + t)/(x - t) in einer Umgebung der
Stelle Xo = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.
50. Man diskutiere die Funktion f{x) = sin X
-.J3 cos x
im Intervall I = [-Te,Te].
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Blatt 11
51. Man berechne die folgenden unbestimmten
Ca)
I
X6
2
+JUx
-6X
Integrale:
dx
3
x
52. Mit Hilfe der Substitutionsregel
beweise man die nachstehende
Integrationsregel
IU/(x) dx = lnlu(x)1 + c
u(x)
und berechne damit
I~.
xlnx
53. Man berechne die folgenden bestimmten Integrale:
2
I
(a) I(--~)
X
I
l s- x
@,,/2
,,/4
(b;-' Jcos2 x dx
dx
0
(c)
Jtan2 x dx
o
J
54. Man berechne die folgenden uneigentlichen
edx
(a)
I~
IX
co
(b)
X
Ixe"
dx
o
I
Jx~dxx-I
cYO
55.
Integrale:
I
(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u = .Jx -1 . Ferner beachte
man, dass das angegebene Integral sowohl bei x = I als auch bei x = 00 uneigentlich ist.)
-----
---
---
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Blatt 12
56. Für die Vektoren
x = (3,-1,2), Y = (2,-3,-1)
(a) die Längen von
und
z = (1,2,2) berechne man
x, y und z,
(b) den Winkel <p zwischen
(c) das Volumen des von
x
y,
und
x, y und z aufgespannten
Parallelepipeds.
57. Ein Produzent verarbeite die Rohstoffe Rh R2, R3. Der Verbrauch der Rohstoffe während
vier Wochen eines Monats sei wie folgt gegeben:
Woche / Rohstoff
1. Woche
2. Woche
3. Woche
4. Woche
R2
4
6
8
7
RI
8
10
7
11
R3
12
5
5
9
Diese Rohstoffe sollen bei einem von zwei Lieferanten LI, L2 bezogen werden, wobei die
Rohstoffpreise in nachstehender Tabelle angegeben sind:
Rohstoff / Lieferant
RI
R2
R3
LI
8
10
7
L2
4
6
8
Man vergleiche die Rohstoffkosten für alle vier Wochen. Soll der Produzent beim
Lieferanten LI oder La bestellen?
58. Man berechne die folgende Determinante zuerst mit der Hand und überprüfe anschließend mit dem Computer:
o
7
3
-4
8
6-1
3 5 -2
5 4
59. Sei
10
3
1-3
A~n-~n
Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne A-1• Schließlich ermittle man AA-I
sowie A-1A.
DMG Übungsaufgaben
2
60. Man untersuche die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechne gegebenenfalls alle Lösungen:
Xl +2X2
-x2
2xI
-Xl
2xI
------
-------
-
--
-------
+4X2
+4x2
-X, ~
+x,
2
-x3
+3x4
0
+3x3
-3x4
2
+x ,
1
,
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Übungsautg~b.e~.zur Mathematik 1 tür Intonnatikerlnnen
Blatt 11
' 49J-:. ••••• '.:. •
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51. Man berechne die folgenden unbestimmten
6
(a) Jx
Integrale:
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I'
2
-6x +.J12x
3
x
dx
(b) J x 2 sin x dx
52, Mit Hilfe der Substitutionsregel
beweise man die nachstehende
JU'(x) dx
u(x)
...
Integrationsregel
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= lnlu(x)1 + c
und berechne damit J~,
xlnx
.
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53. Man berechne die folgenden bestimmten Integrale:'
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(a) J(--_x_)
1 X
1 + x2
,,/4
,,/2
dx
(b)
Jcos2 x dx
(c)
o
Jtan2 x dx
o
t".
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J
54, Man berechne die folgenden uneigentlichen
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Integrale:
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(a) eJ dx
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(b) ooJ
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