Klausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten Name

Klausur zur Vorlesung
Analysis I für Lehramtskandidaten
(Sommersemester 2008)
Dr. C. Lange, J. Schütz
Beginn: 17. Juli 2008, 10:00 Uhr
Ende: 17. Juli 2008, 11:30 Uhr
Name:
Matrikelnummer:
Ich studiere: ! Bachelor Mathematik Lehramt
! Bachelor Mathematik
! Anderes:
! Ich bin mit der Bekanntgabe meiner Note und Matrikelnummer auf der Vorlesungswebseite einvestanden.
! Ich bin mit Aushang meiner Note und Matrikelnummer neben Raum 111, Arnimallee 6 einverstanden.
Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise:
1. Begründen Sie alle Antworten!
Sätze und Ergebnisse aus der Vorlesung dürfen Sie ohne erneuten Beweis benutzen. Sie müssen diese aber
kenntlich machen und vollständig zitieren.
2. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf das Titelblatt.
3. Blättern Sie die Titelseite erst um, wenn die Klausur offiziell beginnt.
4. Benutzen Sie keine elektronischen Geräte.
5. Einzig erlaubtes Hilfsmittel ist ein einseitig handbeschriebenes Blatt (Din-A4), das mit der Klausur abzugeben ist.
6. Schreibpapier wird gestellt.
7. Benutzen Sie keinen Bleistift.
8. Bearbeiten Sie eine Aufgabe nicht auf der Seite, auf der die Aufgabe gestellt ist, dann vermerken Sie das
bitte neben der Aufgabenstellung.
Viel Erfolg!
Punkte
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Summe
1
2
3
4
5
6
von
16
15
7
12
14
16
80
Note:
A1
1. Aufgabe (16 Punkte):
Zu jeder Frage werden vier Antwortoptionen gegeben. Es kann i richtige Antworten (0 ≤ i ≤ 4) geben.
Markieren Sie die Antworten, die Ihrer Meinung nach richtig sind. Für jede korrekt markierte richtige Antwort
gibt es eine Bewertungseinheit, für jede falsch markierte Antwort gibt es eine Bewertungseinheit Abzug.
Angenommen, Sie haben n korrekte und m falsche Markierungen. Falls n − m > 0 gilt, so erhalten Sie n − m
Bewertungseinheiten. Falls n − m ≤ 0 gilt, so erhalten Sie 0 Bewertungseinheiten.
Hinweis: Eine Bewertungseinheit entspricht nicht notwendigerweise einem Punkt. Die Anzahl der korrekten Markierungen entspricht folglich nicht unbedingt der maximal erreichbaren Punktzahl.
1. Die Aussage (A ⇒ B) ∨ C ist wahr, falls
(a) A, B, und C falsch sind.
(b) entweder A oder B wahr ist.
(c) A oder B wahr sind.
(d) sowohl B als auch C falsch sind.
2. Ist die Aussage
Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge der reellen Zahlen R sind gleichmächtig.
wahr oder falsch?
(a) Wahr, da beide Mengen unendlich viele Elemente haben.
(b) Falsch, da man zeigen kann, dass es keine injektive Abbildung F : Q → R gibt.
(c) Wahr, da für jedes ! > 0 gilt: Für jedes q ∈ Q enthält das Intervall [q − !; q + !]
eine reelle Zahl.
(d) Falsch, da man zeigen kann, dass es keine surjektive Abbildung f : R → Q gibt.
3. Eine Menge M ⊆ R ist kompakt, wenn gilt:
(a) Für jedes m ∈ M gibt es eine konvergente Folge (xn ) mit xn ∈ M und limn→∞ xn =
m.
(b) Für jede Folge (xn ) mit xn ∈ M gibt es eine konvergente Teilfolge (yn ) mit
limn→∞ yn ∈ M .
(c) M ist eine Vereinigung von kompakten Mengen.
(d) M ist der Durchschnitt von kompakten Mengen.
4. Für eine stetige Abbildung f : D −→ R mit D ⊆ R gilt:
(a) Die Menge {f (x) | x ∈ D und x ≥ 0} hat ein Minimum.
(b) Die Menge {f (x) | x ∈ D und x ≥ 0} hat ein Infimum.
(c) Die Menge {f (x) | x ∈ D und x ≥ 0} hat ein Supremum, falls f monoton ist.
(d) Die Menge {f (x) | x ∈ D und x ≥ 0} hat ein Maximum, falls D kompakt ist.
5. Sei f : [a; b] → R eine differenzierbare Funktion. Der Mittelwertsatz besagt:
(b)
(a) Für ein x ∈ [a; b] gilt f # (x) = f (a)−f
.
b−a
f (b)−f (a)
#
(b) Für ein x ∈ [a; b] gilt f (x) = b−a .
(a)
(c) Für ein x ∈ [a; b] gilt f (x) = f (b)−f
.
b−a
f (a)−f (b)
(d) Für ein x ∈ [a; b] gilt f (x) = b−a .
6. Eine differenzierbare und surjektive Funktion f : R → R besitzt eine Umkehrfunktion, falls gilt:
(a) f # (x) > 0 für alle x ∈ R.
(b) f ist auf ganz R monoton fallend.
(c) f (x) = f (y) mit x, y ∈ R impliziert x = y.
(d) Für ein x ∈ R gilt f # (x) < 0.
2. Aufgabe (5+5+5 Punkte):
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Potenzreihe
∞
X
(−2)n xn
√
.
n
n=1
(a) Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe 12 ist. Mit anderen Worten: Zeigen Sie, dass die
Potenzreihe für |x| < 21 konvergiert.
(b) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe, die Sie für x = − 12 erhalten. Benennen und formulieren
Sie das Kriterium, das Sie zur Konvergenzuntersuchung benutzen.
(c) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe, die Sie für x = 12 erhalten. Benennen und formulieren
Sie das Kriterium, das Sie zur Konvergenzuntersuchung benutzen.
3. Aufgabe (7 Punkte):
Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
∞
X
n=0
36
.
n2 + 7n + 10
Berechnen Sie dafür zunächst die Partialbruchzerlegung von
36
.
n2 +7n+10
4. Aufgabe (6+3+3 Punkte):
Betrachten Sie die Funktion
f : [−15; 5] −→ R
x %−→ 3x2 + 14.
(a) Zeigen Sie, dass f in x0 = 3 stetig ist, indem Sie zu gegebenem ! > 0 ein δ > 0 finden, so dass für alle
x ∈ [−15; 5] mit |x − 3| < δ gilt: |f (x) − f (3)| < !.
(b) Was ist der Unterschied zwischen einer Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig ist und einer Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig ist?
(c) Begründen Sie, warum die Funktion f gleichmäßig stetig ist.
5. Aufgabe (4+2+4+4 Punkte):
Betrachten Sie die Exponentialabbildung
exp : R −→ R
x %−→ ex :=
∞
X
xk
.
k!
k=0
Diese Funktion ist stetig, streng monoton wachsend und exp(x) > 0 für alle x ∈ R. Beweisen Sie (ohne die
Logarithmusfunktion zu benutzen), dass die Exponentialabbildung surjektiv nach R+ = {x | x ∈ R und x > 0}
abbildet. Dafür zeigen Sie die folgenden Teilaussagen:
(a)
(b)
(c)
(d)
Zeigen Sie, dass für alle y ≥ 1 gilt: y < ey .
Formulieren Sie den Zwischenwertsatz.
Zeigen Sie, dass für jedes y ≥ 1 ein x ∈ [0; y] mit ex = y existiert.
Folgern Sie aus (c), dass für alle y ∈ (0; 1] ein x ≤ 0 mit ex = y existiert.
6. Aufgabe (5+3+2+2+3+1 Punkte):
Sei R+ die Menge {x | x ∈ R und x > 0}. Betrachten Sie die Funktion f , die durch
f : R+ −→ R
− 62
x %−→ e
x
definiert ist und bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
(a) Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung von f und begründen Sie, dass f zweimal differenzierbar
ist.
(b) Besitzt f lokale Minima oder Maxima? Finden Sie die x-Werte der lokalen Extrema, falls es welche gibt.
Handelt es sich gegebenenfalls um Minimum oder Maximum? Was können Sie über die Monotonie von f
folgern?
(c) Besitzt f Wendestellen? Was sind die x-Werte der Wendepunkte, falls es welche gibt?
(d) Wie verhalten sich die Funktionswerte f (x) für große Werte x?
(e) Lässt sich f in Null stetig fortsetzen? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie die stetige Fortsetzung an,
falls diese existiert.
(f) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f .