¨Ubung zur Mathematik für Physiker 1 Blatt 5 Aufgabe 1. Prüfen Sie

Wend Werner
Thomas Timmermann
Übung zur Mathematik für Physiker 1
Blatt 5
Abgabe bis Do, 20.11., 13 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz
(a)
∞
X
(2n)!n!
n=1
(3n)!
,
∞
X
(b)
n=1
√
∞
X
√
√
(c)
( n + 1 − n)
n
√ ,
1+ n
n=1
und begründen Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie die Reihe
(d)
∞
X
n=1
(Hinweis: Schreiben Sie
1
n(n+1)
1
.
n(n + 1)
als Differenz zweier Brüche.)
Aufgabe 2. (Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen) Sei (an )n eine
N
X
(−1)n an . Zeigen Sie:
monoton fallende Nullfolge und sN :=
n=0
(a) Die Intervalle IN := [s2N +1 , s2N ] bilden eine Intervallschachtelung.
P
n
(b) Die Reihe ∞
n=0 (−1) an konvergiert.
P
(−1)n
(c) Die Reihe ∞
konvergiert.
n=1
n
Aufgabe 3. Prüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
(a)
∞
X
n=0
zn
,
1 + |z|n
(b)
∞ X
(−1)n
n=1
n
1
+ 2
n
,
(c)
∞ X
1
n=1
(−1)n
+
n
n2
.
wobei z ∈ C, und begründen Sie Ihre Antwort.
(Hinweis: Finden Sie für die Reihe in (c) eine divergente Minorante.)
Aufgabe 4. Seien (an )n und (bn )n zwei Folgen reeller Zahlen, so dass C, D > 0
und N existieren mit bn ≤ Can und an ≤ Dbn für alle n ≥ N . Zeigen Sie:
P
(a) Die Partialsummen sN := N
n=1 an bilden genau dann eine Cauchy-Folge,
wenn die Partialsummen tN := ΣN
n=1 bn eine Cauchy-Folge bilden.
P∞
P∞
(b)
n=1 an konvergiert genau dann, wenn
n=1 bn konvergiert.
P n2 +4
(c) Die Reihe n n4 −12 konvergiert.
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