MAT 184, Mathematik für die Chemie

Institut für Mathematik
Prof. Dr. V. Schroeder
Thomas Preu
13.11.2007
Übung zur Vorlesung
MAT 184, Mathematik für die Chemie
HS 2007 - Blatt 09
Abgabe spätestens Dienstag, 20.11.2007, 10.00 Uhr, Gang Y27J101, Postfach Thomas Preu
1
Führen Sie eine Kurvendiskussion nach dem Skript (Klemke) Seite 72 für zwei der folgenden gegebenen Abbildungsvorschriften durch (zunächst ohne Bezugnahme auf physikalisch-chemische Sinn”
haftigkeit“!):
2 e(b/x)
, wobei R 3 a, b > 0 Konstanten seien sollen
(a) x 7→ a xb (e(b/x)
−1)2
2
(b) x 7→ ax2 e−bx , wobei R 3 a, b > 0 Konstanten seien sollen
2
2
(c) x 7→ a xb
2 − xb e−x/b , wobei R 3 a, b > 0 Konstanten seien sollen
Erläuterungen: Bei a) gehe man wie folgt vor: Man zeige, dass die erhaltene Funktion gerade ist.
Bei der Analyse der Mononotonie kann man sich daher auf R+
0 beschränken. Bei der Berechnung der
Nullstellen der ersten Ableitung kommt man auf die Gleichung: 2x(1 − e(b/x) ) + b(1 + e(b/x) ) = 0.
2+y
Durch Substitution von y = xb führe man diese Gleichung für x 6= 2b über in ey = 2−y
. Für y > 2
zeige man direkt, dass es keine Lösung geben kann. Man rechne nach, dass sich diese Gleichung durch
∞
∞
P
P
2 n
1 n
Entwicklung in eine Potenzreihe um 0 schreiben lässt als:
n! y = 1 +
2n y . Man darf ohne
n=0
n=1
Nachrechnen benutzen, dass diese Potenzreihen für 0 < y < 2 konvergieren. Daraus folgere man,
dass die Gleichung auch für 0 < y < 2 keine Lösung besitzt. Mit Hilfe dieser Rechnungen und evtl.
noch anderer bestimme man das Monotonieverhalten. Eine genaue Analyse des Konvexitätsverhaltens kann unterbleiben; es soll lediglich angegeben werde (mit Begründung!) ob für irgendwelche
a, b > 0 einmal weniger als 2 Wendepunkte vorhanden seien können.
b
Bei c) sollen die Wendepunkte nur mit einer Genauigkeit von 100
angegeben werden (Mit Argument,
b
warum dort mit maximaler Abweichung 100 die Wendepunkte liegen!)
(12+6 Punkte)
2
Nach einer Wärmeleitungstheorie von Einstein verhält sich die molare Wärmekapazität eines Stoffes
2
(ΘE /T )
J
nach dem Gesetz CVmol = 3R ΘTE (e(Θe E /T ) −1)2 , wobei R ≈ 8.314472 mol·K
die universelle GaskonE
stante ist, und ΘE = ~ω
kb mit ~ die Planckkonstante, kB die Boltzmannkonstante und ωE eine
materialspezifische Schwingungsfrequenz, für die die Energie der zugehörige Festkörpereigenschwingung mit der Temperatur korreliert ist, darstellt. Für Diamant etwa ist die Konstante ΘE ≈ 1320K.
Die Einheit K steht für Kelvin und mol für Mol.
Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der statistischen
Physik große Anwendung findet in vielen verschiedenen physikalischen Modellen. Unter anderem wird
sie zur Beschreibung der Zustandsverteilung von Teilchen in einem idealen Gas angewendet. Aus ihr
lässt sich etwa die temperaturabhängige Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen eines Gases mit
(3/2)
−mv 2
m
2 2kb T
v
e
. Dabei ist m die Masse
nur einer Teilchensorte ableiten, die lautet: f (v) = 4π 2πk
T
b
eines Gasteilchens, kb wieder die Boltzmannkonstante und T die Temperatur des Gases in Kelvin.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte f (v) hängt von der Geschwindikeit v ab. Unterschiedliche Gasteilchen
(der selben Gassorte) können unterschiedliche Geschwindikeiten aufweisen. Salopp (und eigentlich
falsch) gesprochen gibt f (v) die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Gasteilchen die Geschwindigkeit v
hat. Die einzige Materialkonstante ist m; etwa für Sauerstoff O2 beträgt sie ≈ 5.3135248 · 10−26 kg,
wobei kg die physikalische Einheit Kilogramm ist.
2
∂
~
In der Quantenmechanik beschreibt die Schrödingergleichung i~ ∂t
ψ(x, t) = − 2m
∆ + V (x, t) ψ(x, t)
die Bewegung von Materie als Wellen in einem zeit- und ortsabhängigen Potential V (x, t) in nichtrelativistischer Näherung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung und eine der Grundgleichung für
die theoretische Chemie der Atom- und Molekülorbitale. Die Schrödingergleichung lässt sich in fast
allen praktischen Fällen nur näherungsweise lösen. Der mehr oder weniger einzige Fall, in dem sie
sich geschlossen lösen lässt, ist der Fall eines einfachen Wasserstoffatoms (mit nur einem Proton)
und einem einzigen Elektron in der Hülle. Die Lösungsverteilung
für das 2s-Orbital des Wasserstoffes
−3/2
r
1
2 − a0 e−r/(2a0 ) , wobei r > 0 (in Meter)
(in Kugelkoordinaten) lautet etwa: ψ2,0,0 = 4√2π a0
2
−10
0~
den Abstand“ von der Elektronenwelle“ zum Proton angibt und a0 = 4π
m der
µe2 ≈ 0.529 · 10
”
”
sog. Bohrradius ist. Aus dieser 3-dimensionalen Verteilung leitet man (im Spezialfall des 2s-Orbitals)
2
die radiale Verteilung g(r) = 4πr2 ψ2,0,0
ab. Ähnlich (unpräzise) wie bei der Maxwell-BoltzmannVerteilung gibt g(r) die Wahrscheinlichkeit an, bei einer Messung des Elektrons im 2s-Zustand, das
Elektron im Abstand r vom Proton anzutreffen.
Bei einem optischen Gitter mit N ∈ N Spalten, Gitterkonstante g (Abstand zwischen zwei Spalten)
und Spaltenbreite d lautet die vom Beobachtungswinkel α abhängige Intensitätsverteilung bei der
Beugung von monochromatischem Licht der Wellenlänge λ und der Einstrahlintensität I0 gerade:
sin(α)λ−1 ))2 (sin(N πg sin(α)λ−1 ))2
Iα = I0 (sin(πd
(πd sin(α)λ−1 )2
(N sin(πg sin(α)λ−1 ))2 . Man vereinfacht diesen Zusammenhang, indem man
idealisierend annimmt, dass die Spaltenbreite d gegen 0 geht, und den Grenzwert betrachtet: Iα =
(sin(N πg sin(α)λ−1 ))2
I0 (N
sin(πg sin(α)λ−1 ))2 . Die Maxima der durch diesen Zusammenhang induzierten Funktion in α, für
die IIα0 = 1 ist, nennt man Hauptmaxima der Gitterstreuung.
In der röntgenspektroskopischen Untersuchung von Kristallen nutzt man die Gitterebenen1 eines
Kristalles als Streugitter – Bragg-Streuung. g ist hierbei der Abstand zwischen den Gitterebenen und
λ die Wellenlänge des verwendeten Röntgenlichts. Bei ein Streuexperiment mit der Cu-Kα -Linie, also
Röntgenstrahlen der Wellenlänge 0.154nm (Nanometer) mit einem MnO-Kristall erhält man etwa
das erste Hauptmaximum, also das Hauptmaximum mit niedrigstem Beugungswinkel α > 0, bei etwa
43.82◦ .
(a) Bestimmen Sie die Temperatur, bei der der temperaturabhängige Wärmeleitkoeffizient von Diamant nach der Einsteintheorie am stärksten ansteigt mit einer Genauigkeit von 10K.
(b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, bei der Teilchen in einem Sauerstoffgas bei 0◦ C nach der
Maxwell-Boltzmann-Theorie am wahrscheinlichsten anzutreffen sind.
(c) Bestimmen Sie für ein Wasserstoffatom den Abstand von Elektron und Kern, bei dem sich ein
Elektron im 2s-Zustand am häufigsten aufhalten sollte nach der Schrödingergleichung.
(d) Bestimmen Sie die Atomschichtdicke von MnO anhand oben gegebenen Bragg-Streuungs-Daten.
(4 Punkte)
1 Ist
etwas ungenau. Genaueres erfahren Sie sicher noch in Vorlesungen über Röntgenspektroskopie. . .