§2 Gruppen

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
$Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $
$Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $
§2
Gruppen
2.3
Zyklische Gruppen
Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen zyklischen
Gruppe G = {ak |k ∈ N} mit n Elementen für das erzeugende Element a stets an = e
gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe bezeichnete. Dieses Lemma können wir
auch noch etwas umformulieren. Angenommen wir haben eine beliebige ganze Zahl k ∈
Z. Führen wir die Division mit Rest nach §1.Lemma 1 durch, so können wir k = qn + r
mit einem Rest 0 ≤ r < n schreiben. Eine Anwendung der Potenzrechenregeln liefert
dann
ak = aqn+r = aqn ∗ ar = (an )q ∗ ar = eq ∗ ar = ar ,
man kann im Exponenten also modulo n rechnen. Diese Beobachtung ist die Grundlage für die Bestimmung der zyklischen Gruppen bis auf Isomorphie, auf die wir hier
aber verzichten wollen. Wir wollen noch eine weitere wichtige Folgerung aus Lemma
8 ziehen, und den sogenannten kleinen Satz von Fermat beweisen. Mit diesem Namen
werden diverse ähnliche aber verschiedene Aussagen bezeichnet, wundern Sie sich also
nicht wenn Ihnen auch etwas andere Aussagen als kleiner Satz von Fermat verkauft
werden. Wir benötigen einige kleine Vorbereitungen, seien hierzu eine Gruppe G und
eine Untergruppe U von G gegeben.
1. Für alle a, b ∈ G gilt die Gleichung
inv(a ∗ b) = inv(b) ∗ inv(a).
Dies ist leicht einzusehen, nach Lemma 4 ist nur zu zeigen, dass sich das Produkt
inv(b) ∗ inv(a) wi das neutrale Element von a ∗ b verhält. Hierzu rechnen wir
(a ∗ b) ∗ (inv(b) ∗ inv(a)) = a ∗ (b ∗ inv(b)) ∗ inv(a) = a ∗ e ∗ inv(a) = a ∗ inv(a) = e,
und damit gilt tatsächlich inv(a ∗ b) = inv(b) ∗ inv(a).
2. Nun behaupten wir das durch
a ∼ b :⇐⇒ a ∗ inv(b) ∈ U
für a, b ∈ G eine Äquivalenzrelation auf der Menge G definiert wird. Hierzu
müssen wir die drei definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation durchgehen. Für jedes a ∈ G haben wir zunächst a ∗ inv(a) = e ∈ U , d.h. a ∼ a und
5-1
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
somit ist unsere Relation reflexiv. Die Symmetrie ist die komplizierteste Eigenschaft, sind a, b ∈ G mit a ∼ b, so gilt a ∗ inv(b) ∈ U , und da U eine Untergruppe
ist folgt damit auch
b ∗ inv(a) = inv(inv(b)) ∗ inv(a) = inv(a ∗ inv(b)) ∈ U,
d.h. wir haben b ∼ a, und unsere Relation ist symmetrisch. Sind schließlich
a, b, c ∈ G mit a ∼ b und b ∼ c, also a ∗ inv(b) ∈ U und b ∗ inv(c) ∈ U , so folgt
mit Lemma 3 auch
a ∗ inv(c) = a ∗ e ∗ inv(c) = a ∗ (inv(b) ∗ b) ∗ inv(c) = (a ∗ inv(b)) ∗ (b ∗ inv(c)) ∈ U,
erneut da U eine Untergruppe ist. Somit ist unsere Relation auch transitiv und
insgesamt eine Äquivalenzrelation.
3. Nun behaupten wir, dass die Äquivalenzklasse jedes Elements b ∈ G genau
[b] = U ∗ b = {x ∗ b|x ∈ U }
ist. In der Tat, ist a ∈ G, so ist a ∗ inv(b) ∈ U nach Lemma 3 und Aufgabe (10)
gleichwertig zu
a = a ∗ e = a ∗ (inv(b) ∗ b) = (a ∗ inv(b)) ∗ b ∈ U ∗ b,
d.h. wir haben
[b] = {a ∈ G|a ∼ b} = {a ∈ G|a ∗ inv(b) ∈ U } = U ∗ b.
4. Nun nehme zusätzlich an, dass G endlich ist. Für jedes b ∈ G ist dann wieder
nach Aufgabe (10)
|[b]| = |U ∗ b| = |{x ∗ b|x ∈ U }| = |U |,
d.h. jede unserer Äquivalenzklassen hat genauso viele Elemente wie U . Da G die
disjunkte Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ist, folgt
|G| = (Anzahl der Äquivalenzklassen von ∼) · |U |,
also ist |U ||G|. Die Elementeanzahl einer Untergruppe ist also immer ein Teiler
der Elementeanzahl der gesamten Gruppe.
Damit können wir jetzt den scho erwähnten kleinen Satz von Fermat beweisen.
Satz 2.9 (Kleiner Satz von Fermat)
Sei (G, ∗) eine endliche Gruppe mit neutralen Element e. Dann gilt für jedes a ∈ G
die Gleichung a|G| = e, wobei |G| für die Anzahl der Elemente von G steht.
5-2
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
Beweis: Sei a ∈ G gegeben. Wir betrachten dann die Menge
U := {ak |k ∈ Z} ⊆ G
der Potenzen von a, und behaupten das U eine Untergruppe von G ist. Wegen e =
a0 ∈ U ist dabei U 6= ∅. Sind k, l ∈ Z, so ergeben die Potenzrechenregeln auch
ak ∗ al = ak+l ∈ U und inv(ak ) = (ak )−1 = a−k ∈ U,
d.h. U erfüllt die drei Bedingungen einer Untergruppe. Weiter ist die Gruppe (U, ∗)
zyklisch mit dem erzeugenden Element a. Als Teilmenge der endlichen Menge G ist U
auch endlich, und es bezeichne n ∈ N die Anzahl der Elemente von U . Nach Lemma 8
ist dann an = e. Wie gerade gezeigt ist n ein Teiler von |G|, d.h. es existiert ein m ∈ Z
mit |G| = nm. Damit ist auch
a|G| = anm = (an )m = em = e,
wie behauptet.
Als eine kleine Anwendung wollen wir uns die zahlentheoretische Form des kleinen
Satzes von Fermat überlegen. Hierzu sei eine Primzahl p gegeben. Dann haben wir
die Gruppe (Z∗p , ) mit p − 1 Elementen, und nach dem kleinen Satz von Fermat gilt
ap−1 = e = [1] für jedes a ∈ Z∗p . Dies bedeutet [ap−1 ] = [a]p−1 = [1] für jedes a ∈ Z
mit p - a, d.h. für alle a ∈ Z die keine Vielfachen von p sind, ist ap−1 ≡ a mod p.
Multiplizieren wir diese Kongruenz noch mit a, so ergibt sich
ap ≡ a mod p
für jedes a ∈ Z, denn im Fall p | a ist dies trivialerweise wahr. Dies ist die zahlentheoretische Form des kleinen Satzes von Fermat. Beispielsweise wissen wir damit, ohne
irgendetwas ausrechnen zu müssen, dass 917 ≡ 9 mod 17 gilt. Ist p keine Primzahl, so
ist diese Kongruenz häufig falsch, sind zum Beispiel p = 6 und a = 2, so haben wir
26 = 64 ≡ 4 6≡ 2 mod 6.
2.4
Permutationsgruppen
Es sei M eine beliebige Menge. Dann bildet die Menge
SM := {f : M → M |f ist eine bijektive Abbildung}
aller bijektiven Abbildungen von M auf sich selbst versehen mit der Hintereinanderausführung ◦ von Abbildungen als zweistellige Verknüpfung eine Gruppe (SM , ◦). Überprüfen wir einmal die Gruppenaxiome. Dass die Komposition von Abbildungen das
Assoziativgesetz (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) für alle f, g, h ∈ SM erfüllt wissen Sie schon aus
5-3
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
Teil A im letzten Semester. Die Begründung hierfür war auch recht einfach, für jedes
x ∈ M gelten ja
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x)))
und
(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))).
Damit ist (SM , ◦) schon mal eine Halbgruppe. Ein neutrales Element der Hintereinanderausführung ist auch leicht zu finden, es handelt sich um die identische Abbildung
idM : M → M ; x 7→ x.
Damit ist (SM , ◦) ein Monoid. Außerdem ist für jedes f ∈ SM die Umkehrabbildung
f −1 : M → M das zu f bezüglich Hintereinanderausführung inverse Element. Damit
ist (SM , ◦) wirklich eine Gruppe.
Hat die Menge M mindestens drei Elemente, so ist die Gruppe SM nicht kommutativ. Wähle nämlich drei verschiedene Elemente x, y, z ∈ M . Dann betrachten wir die
beiden Permutationen f, g ∈ SM gegeben durch




y,
u
=
x,
z, u = y,

f (u) = x, u = y, und g(u) = y, u = z,




u, u 6= y, z
u, u 6= x, y
für alle u ∈ M , d.h. f vertauscht nur x und y und g vertauscht y und z. Dann sind
g(f (x)) = g(y) = z aber f (g(x)) = f (x) = y 6= z,
also insbesondere g ◦ f 6= f ◦ g.
Ein besonders wichtiger Spezialfall liegt vor,
wenn M = {1, . . . , n} die Menge der ersten n
.....
∗
natürlichen Zahlen für ein n ∈ N ist. Man nennt
Sn := SM dann die symmetrische Gruppe auf n
Ziffern. Die Gruppe Sn ist eine endliche Gruppe, deren Elemente wir leicht zählen können.
.....
Für das Bild f (1) der 1 können wir jedes Element von M = {1, . . . , n} verwenden, es gibt
also n Möglichkeiten für f (1). Das Bild von 2 unterliegt dann schon einer kleinen Einschränkung, weil f bijektiv sein soll muss f (2) 6= f (1) sein, wir haben also nur noch
n − 1 Möglichkeiten für f (2). Für das Bild von 3 haben wir schon zwei Bedingungen
f (3) 6= f (1) und f (3) 6= f (2) mit n − 2 verbleibenden Möglichkeiten. So fortfahrend
reduziert sich die Zahl der Möglichkeiten für die Bilder unter f jedesmal um Eins, bis
es schließlich für das letzte Bild f (n) nur noch n − (n − 1) = 1 Möglichkeit gibt, eben
die letzte noch freie Ziffer. Insgesamt gibt es also
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1 = n!
5-4
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
viele bijektive Abbildungen f : M → M .
Damit haben wir den folgenden Satz begründet:
Satz 2.10: Für jedes n ∈ N ist Sn eine endliche Gruppe mit |Sn | = n!.
Überprüfen wir diesen Satz einmal an den kleinen Werten von n. Für n = 1 ist die
Identität das einzige Element von S1 . Für n = 2 haben wir einmal die Identität und
zum anderen die Bijektion, die die beiden Elemente von {1, 2} vertauscht. Bei n = 3 ist
es schon ein klein wenig komplizierter. Zum Einen gibt es wieder die Identität. Dann
gibt es die drei Bijektionen, die jeweils zwei der Elemente von {1, 2, 3} vertauschen
und das dritte nicht bewegen. Es gibt aber noch zwei weitere Bijektionen, nämlich
diejenigen die die Ziffern 1, 2, 3 einmal durchschieben, entweder von links nach rechts,
also 1 auf 2, 2 auf 3 und 3 zurück auf 1, oder von rechts nach links, also 3 auf 2, 2 auf
1 und 1 auf 3. Dies sind insgesamt 1 + 3 + 2 = 6 = 3! Elemente von S3 , wie erwartet.
2.4.1
Darstellung von Permutationen
Wie kann man ein Element f ∈ Sn hinschreiben? Hierfür gibt es im wesentlichen drei
übliche Methoden. Die direkteste Möglichkeit ist eine Art tabellarische Darstellung
etwa für n = 7
1 2 3 4 5 6 7
4 7 6 2 5 3 1
Dies soll dann die Permutation f ∈ S7 definiert durch f (1) = 4, f (2) = 7, f (3) = 6,
f (4) = 2, f (5) = 5, f (6) = 3 und f (7) = 1 sein. Damit so etwas wirklich eine
Permutation ist, muss in der unteren Zeile jedes Element genau einmal auftauchen.
Dies ist zwar eine ziemlich unmißverständliche Darstellung von f ∈ Sn , aber auch
etwas unhandlich.
Die zweite Darstellungsmethode ist eine kleine Modifikation der ersten, man läßt
einfach die obere Zeile weg, schreibt also im obigen Beispiel nur
f = (4, 7, 6, 2, 5, 3, 1).
Die dritte Darstellungsart folgt einer ganz anderen Idee. Wir bleiben einmal beim
obigen Beispiel f ∈ S7 . Hier wird 1 auf 4 abgebildet, 4 dann auf 2, 2 auf 7 und 7
schließlich zurück auf 1. Folgt man also den Bildern der Eins, so hat man
1
4
2
7
einen sogenannten Zykel. Dieses Phänomen tritt tatsächlich bei jedem Startwert und
bei jeder beliebigen Permutation g ∈ Sn auf. Verfolgen wir die sukzessiven Bilder eines
Startwerts 1 ≤ k ≤ n also k, g(k), g(g(k)), g(g(g(k))), . . . so muss sich aufgrund der
Endlichkeit irgendwann ein Wert wiederholen. Tatsächlich muss dieser erste wiederholte
Wert gleich k sein, denn andernfalls hätte ein Element g(. . . (g(k))) zwei verschiedene
Urbilder unter g. Bei jeder Permutation bewegen sich also alle Elemente in Zykeln.
5-5
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
Diese Zykel können wir jetzt zur Beschreibung der Permutation g verwenden. Für
einen einzelnen Zykel schreiben wir einfach die sukzessiven Bilder des Startwerts der
Reihe nach hin, und brechen unmittelbar vor der Wiederholung des Startwerts ab. Die
einzelnen Zahlen werden dabei durch Leerzeichen, oder manchmal auch Kommata oder
andere Trennsymbole, getrennt und in Klammern gesetzt, also im obigen Beispiel
1
4
2
7
= (1 4 2 7).
Die Ziffern 3, 5, 6 sind aufgetaucht. Diese laufen in den Zykeln 3 −→ 6 −→ 3 und
5 −→ 5, die vollständige Zykeldarstellung ist damit
f = (1 4 2 7)(3 6)(5) oder f = (1 4 2 7)(3 6),
wobei in der zweiten Variante Zykel der Länge Eins weggelassen sind.
§3
Ringe
Nachdem wir im letzten Abschnitt den Gruppenbegriff eingeführt haben, kommen
wir nun zur nächsten der algebraischen Grundstrukturen, den sogenannten Ringen. Auf
einem Ring hat man gleich zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition und eine
Multiplikation, die meistens als + und · geschrieben werden.
Definition 3.1: Ein Ring (A, +, ·) besteht aus einer Menge A und zwei zweistelligen
Verknüpfungen + : A × A → A und · : A × A → A, die die folgenden Bedingungen
erfüllen:
(a) Das Paar (A, +) ist eine kommutative Gruppe.
(b) Das Paar (A, ·) ist eine Halbgruppe.
(c) Es gelten die beiden Distributivgesetze, d.h. für alle a, b, c ∈ A gilt
a · (b + c) = a · b + a · c,
(a + b) · c = a · c + b · c.
Es werden die vertrauten Schreibweisen verwendet. Das Multiplikationszeichen wird
meist weggelassen ab = a · b, und zur Vermeidung von Klammern wird weiter mit
Punkt vor Strich“ gerechnet. Man bezeichnet das neutrale Element der Addition mit
”
Null und das additive Inverse von a ∈ A wird mit −a bezeichnet. Die Subtraktion
können wir als eine Notation einführen, für a, b ∈ A setzen wir
a − b := a + (−b) ∈ A.
5-6
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
Beachte das in den Axiomen eines Ringes einige naheliegende Rechenregeln nicht gefordert werden, zum Beispiel wird nicht a · 0 = 0 · a = 0 verlangt. Dies folgt aber leicht
aus den anderen Axiomen. Ist nämlich a ∈ A, so rechnen wir mit dem Distributivgesetz
0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a,
und da (A, +) eine Gruppe ist, können wir auf beiden Seiten dieser Gleichung das
additive Inverse von 0 · a addieren, und erhalten
0 = 0 · a − 0 · a = 0 · a + 0 · a − 0 · a = 0 · a,
d.h. 0 · a = 0. Analog ergibt sich mit dem anderen Distributivgesetz auch a · 0 = 0.
Ein Ring A heißt kommutativ wenn auch das Kommutativgesetz der Multiplikation
gilt, also a · b = b · a für alle a, b ∈ A. Ist schließlich (A, ·) sogar ein Monoid, gibt es
also ein neutrales Element der Multiplikation, so nennt man A einen Ring mit Eins.
Hat der Ring eine Eins, so bezeichnen wir das neutrale Element der Multiplikation
mit dem üblichen Symbol 1. Genau wie bei den Gruppen sind Null und Eins eindeutig
bestimmt. Hat der Ring A eine Eins, so lassen sich die additiven Inversen wir üblich
durch die Multiplikation beschreiben, d.h. für jedes a ∈ A ist −a = (−1)·a. Der Beweis
dieser Tatsache wird eine Übungsaufgabe sein. Einfache Beispiele von Ringen sind
1. Die ganzen Zahlen (Z, +, ·). Dies ist ein kommutativer Ring mit Eins.
2. Die geraden ganzen Zahlen (2Z, +, ·) sind ein kommutativer Ring der keine Eins
hat.
3. Die rationalen Zahlen (Q, +, ·). Dies ist wieder ein kommutativer Ring mit Eins.
4. Die reellen Zahlen (R, +, ·). Dies ist erneut ein kommutativer Ring mit Eins.
5. Die abstrakte Definition eines Rings läßt auch recht merkwürdige Beispiele zu.
Ist etwa (A, +) eine beliebige kommutative Gruppe mit neutralen Element 0,
so können wir A zu einem Ring machen indem die Multiplikation als konstant
Null definiert wird, also a · b := 0 für alle a, b in A. Diese Multiplikation ist
trivialerweise assoziativ, es ist ja (ab)c = 0 = a(bc) für alle a, b, c ∈ A und
auch die beiden Distributivgesetze werden einfach zu 0 = 0 + 0. Dieser Ring ist
kommutativ hat aber keine Eins, außer wenn A nur aus der Null besteht.
6. Dagegen ist (N, +, ·) kein Ring, da (N, +) keine Gruppe ist.
3.1
Der Ring Zm
Sei m ∈ N∗ . Wir hatten bereits in §1.Lemma 10 gesehen, dass man auf den Restklassen
modulo m eine Addition und eine Multiplikation einführen kann. Bei der Behandlung
von Beispielen von Halbgruppen, Monoiden und Gruppen in §2 hatten wir dann auch
gesehen, dass (Zm , ⊕) eine kommutative Gruppe und (Zm , ) ein kommutatives Monoid
5-7
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
sind. Dabei war Zm die Bezeichnung für die Menge aller Restklassen modulo m. In
Erweiterung dieser Aussagen gilt sogar:
Lemma 3.2 (Der Restklassenring)
Sei m ∈ N∗ . Dann ist (Zm , ⊕, ) ein kommutativer Ring mit Eins.
Beweis: Dies ist eine Übungsaufgabe.
Wir wollen jetzt den Restklassenring Zm etwas näher untersuchen, und beginnen dabei
mit der Bestimmung der Elemente, die ein multiplikatives Inverses haben. Allgemein
nennt man ein Element a ∈ A eines Rings A mit Eins invertierbar wenn es ein b ∈ A
mit ab = ba = 1 gibt, und dieses b heißt dann ein multiplikatives Inverses zu a. Was sind
jetzt die invertierbaren Elemente im Ring Zm ? Das wesentliche Argument haben wir
dabei schon bei unserer Behandlung von Beispielen von Gruppen gesehen, wir hatten
gezeigt das (Z∗m , ) eine Gruppe ist wenn m eine Primzahl ist. Die Behandlung eines
allgemeinen m ist nur eine kleinere Erweiterung unserer damaligen Überlegungen.
Lemma 3.3 (Bestimmung der invertierbaren Elemente des Restklassenrings)
Seien m ∈ N∗ und a ∈ Z. Dann hat die Restklasse [a] von a modulo m genau dann ein
multiplikatives Inverses im Ring Zm wenn ggt(m, a) = 1 gilt.
Beweis: Da [1] das neutrale Element der Multiplikation in Zm ist, bestehen die folgenden Äquivalenzen:
[a] invertierbar in Zm ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∃(β ∈ Z) : [a] [β] = [1]
∃(β ∈ Z) : [aβ] = [1]
∃(β ∈ Z) : m|1 − aβ
∃(α, β ∈ Z) : 1 − aβ = mα
∃(α, β ∈ Z) : mα + aβ = 1
ggt(m, a) = 1,
wobei wir die letzte Äquivalenz bei der Besprechung der Wechselsummendarstellung
des größten gemeinsamen Teilers in §1.2 eingesehen hatten.
Der Beweis des Lemmas gibt uns auch eine Methode die multiplikativen Inversen in
Zm wirklich zu berechnen. Ist a ∈ Z mit ggt(m, a) = 1, so können wir wie in §1 gesehen
den euklidischen Algorithmus verwenden um α, β ∈ Z mit mα + aβ = 1 zu finden. Der
Beweis des Lemmas zeigt, dass die Restklasse [β] dann das multiplikative Inverse von
[a] in Zm ist. Als ein Beispiel nehmen wir einmal m = 12. Die zu m teilerfremden a ∈ Z
mit 0 ≤ a < m = 12 sind dann 1, 5, 7 und 11, wir haben also genau vier modulo 12
invertierbare Elemente. Die Berechnung des Inversen der Restklasse von a = 7 führen
5-8
Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 24.4
wir mit dem euklidischen Algorithmus durch:
12 = 7 + 5,
5 = 12 − 7,
7 = 5 + 2,
2 = 7 − 5 = 7 − (12 − 7) = 2 · 7 − 12,
5 = 2 · 2 + 1, 1 = 5 − 2 · 2 = 12 − 7 − 2 · (2 · 7 − 12) = 3 · 12 − 5 · 7,
und das multiplikative Inverse von [7] ergibt sich als inv([7]) = [−5] = [7]. Als nächstes
wollen wir uns die Eindeutigkeit der multiplikativen Inversen in Zm , und allgemeiner gleich in jedem Ring mit Eins klarmachen. Wir wollen diese Eindeutigkeitsaussage auf die in §2.Lemma 4 bewiesene Eindeutigkeit inverser Elemente in Gruppen
zurückführen, und zu diesem Zweck benötigen wir die sogenannte Einheitengruppe
eines Rings mit 1. Diese Gruppe wird uns auch später noch nützlich sein.
Lemma 3.4 (Die Einheitengruppe)
Sei (A, +, ·) ein Ring mit Eins. Wir nennen ein Element a ∈ A eine Einheit, wenn es
ein b ∈ A mit ab = ba = 1 gibt, und die Menge aller Einheiten von A werde mit U (A)
bezeichnet. Dann gelten:
(a) Sind a, b ∈ U (A) so ist auch ab ∈ U (A), und für jedes a ∈ U (A) ist das multiplikative Inverse von a eindeutig bestimmt und wieder eine Einheit von A.
(b) Das Paar (U (A), ·) ist eine Gruppe.
(c) Für jedes a ∈ U (A) sind die Linksmultiplikation
la : A → A; x 7→ ax
und die Rechtsmultiplikation
ra : A → A; x 7→ xa
bijektiv.
Beweis: (a,b) Wegen 1 · 1 = 1 ist 1 ∈ U (A). Sind a, b ∈ U (A), so existieren a0 , b0 ∈ A
mit aa0 = a0 a = 1 und bb0 = b0 b = 1, und damit sind auch
(ab) · (b0 a0 ) = a · 1 · a0 = aa0 = 1 und (b0 a0 ) · (ab) = b0 · 1 · b = b0 b = 1,
d.h. es ist ab ∈ U (A). Ist a ∈ U (A), so gibt es b ∈ A mit ab = ba = 1 und dann ist
auch b ∈ U (A) mit ab = 1, d.h. b ist ein Inverses von a in U (A). Somit ist U (A) eine
Gruppe und mit §2.Lemma 4 folgt auch die Eindeutigkeit multiplikativer Inverser.
(c) Sei a ∈ U (A) eine Einheit. Dann existiert ein b ∈ A mit ab = ba = 1. Sind x, y ∈ A
mit la (x) = la (y), also ax = ay, so folgt auch x = 1 · x = (ba)x = b(ax)b(ay) = (ba)y =
1 · y, d.h. la ist injektiv. Ist y ∈ A, so haben wir by ∈ A mit la (by) = a(by) = (ab)y =
1 · y = y, d.h. la ist auch surjektiv. Insgesamt ist la bijektiv, und analog folgt das auch
ra bijektiv ist.
5-9