Stochastik - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Übungsblatt 6
Abgabetermin: 13.12.2010
Aufgabe 23
(1+3=4 Punkte)
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim k-maligen Werfen eines Würfels genau eine
6 zu erhalten? (Beantworten Sie die Frage für jede beliebige Zahl k ∈ N.)
(b) Ein Würfel wird solange geworfen bis zweimal eine 6 gefallen ist. Dabei wird die Anzahl
der benötigten Würfe festgestellt.
• Geben Sie die Ergebnismenge Ω des ZE an.
• Weisen Sie jedem Elementarereignis ω ∈ Ω eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit pω
zu. Begründen Sie Ihre Antwort. (Benutzen Sie das Ergebnis aus (a).)
P
pω = 1 gilt.
• Überprüfen Sie (durch das Aufstellen einer Reihe), dass
Hinweis: Es gilt
∞
P
ω∈Ω
k · qk =
k=1
q
(1−q)2
für alle q ∈ [0, 1[.
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der benötigten Würfe
ungerade ist.
Aufgabe 24
(1+1+1+1=4 Punkte)
(a) Begründen Sie, dass
f : [0, 1] → R, f (t) = 3t2
eine Dichtefunktion auf [0, 1] ist.
(b) Wir betrachten das zu f gehörende W-Maß Pf auf der Ergebnismenge Ω = [0, 1].
Berechnen Sie die ’Wahrscheinlichkeiten’:
1
1
Pf
0,
und
Pf
,1
2
2
(c) Bestimmen Sie a ∈ [0, 1], so dass Pf ([0, a]) =
1
2
gilt.
(d) Was sind Pg (N) und Pg (R \ N) für eine beliebige Dichtefunktion g : R → [0, ∞)?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(2+2+2∗ =4+2∗ Punkte)
Aufgabe 25
(a) Gegeben sei ein Laplacescher W-Raum auf Ω = {1, . . . , 6}2 und die Abbildung
f : Ω → Ω̃, f (i, j) = |i − j|
mit Ω̃ = {0, . . . , 5}. Beschreiben Sie das Bildmaß P̃ : P(Ω̃) → R bezüglich f auf
(durch Angabe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse).
(b) Sei f : R → [0, ∞) eine beliebige Dichtefunktion und Pf das zugehörige W-Maß.
Weiterhin betrachten wir die Funktion
ϕ : R → R, ϕ(t) = 2t
Zeigen Sie, dass das Bildmaß von Pf bezüglich ϕ mit dem Maß Pg übereinstimmt, das
durch die Dichtefunktion
1
t
g : R → R, g(t) = · f
2
2
gegeben ist.
Hinweis: Substitution
(c)∗ Für welche Funktionen ϕ kann die Aussage in (b) verallgemeinert werden? Wie muss
dann die Funktion g (in Abhängigkeit von f und ϕ) gewählt werden?
Aufgabe 26∗
(3∗ Punkte)
Sei (Ω, M, P ) ein (beliebiger W-Raum). Beweisen Sie für alle Mengen Ak ∈ P (Ω) (k ∈ N)
die folgenden Aussagen aus der Vorlesung:
S
• Gilt Ak ⊂ Ak+1 (k ∈ N), so gilt: P
Ak
= lim P (Ak ).
k→∞
k∈N
• Gilt Ak ⊃ Ak+1 (k ∈ N), so gilt: P
T
k∈N
Ak
= lim P (Ak ).
k→∞
Hinweis: Die erste Aussage kann gezeigt werden, indem man die σ-Additivität auf die
Mengen Bk = Ak \ Ak−1 (k ∈ N) anwendet. Die zweite Aussage folgt, indem man die erste
auf die Mengen Ω \ Ak (k ∈ N) anwendet.
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material