Einführung in die Theoretische Informatik Zusammenfassung der

Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Lemma
Jede binäre Operation hat maximal ein neutrales Element und wenn
A = hA; ◦, 1i ein Monoid ist, dann ist das Inverse eindeutig
Einführung in die Theoretische Informatik
Definition (Boolesche Algebra)
Eine Algebra B = hB; +, ·, ∼, 0, 1i heißt Boolesche Algebra wenn gilt:
Christina Kohl
Alexander Maringele
Georg Moser
Michael Schaper
1
hB; +, 0i und hB; ·, 1i sind kommutative Monoide
2
Die Operationen + und · distribuieren übereinander. Es gilt also für
alle a, b, c ∈ B:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2016
3
Für alle a ∈ B gilt
a + ∼(a) = 1
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
a · ∼(a) = 0
Das Element ∼(a) heißt das Komplement oder die Negation von a
GM (IFI)
Übersicht
Einführung in die Theoretische Informatik
65/1
Beispiele Boolescher Algebren
Inhalte der Lehrveranstaltung
Beispiele Boolescher Algebren
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive
und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Definition
Sei B := {0, 1} und sei Bn das n-fache kartesische Produkt von B:
Bn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ B}; wir betrachten
hBn ; +, ·, ∼, (0, . . . , 0), (1, . . . , 1)i
Boolesche Algebra, Logische Schaltkreise, Universelle Algebra
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
1
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn )
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie
Sprachen
2
(a1 , . . . , an ) · (b1 , . . . , bn ) = (a1 · b1 , . . . , an · bn )
3
∼((a1 , . . . , an )) = (∼(a1 ), . . . , ∼(an ))
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Lemma
Einführung in die Programmverifikation
Die oben definierte Algebra ist eine Boolesche Algebra
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
66/1
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
67/1
Beispiele Boolescher Algebren
Beispiele Boolescher Algebren
Algebra der Booleschen Funktionen
Gesetze Boolescher Algebren
Definition
Lemma (Dualitätsprinzip)
Sei Abb die Menge der Abbildungen von Bn nach Bm wir betrachten
hAbb; +, ·, ∼, (0, . . . , 0), (1, . . . , 1)i
1
Sei B = hB; +.·, ∼, 0, 1i eine Boolesche Algebra
2
Gelte die Gleichheit E für B
Dann gilt eine entsprechende Gleichheit E 0 bei der alle Vorkommnisse
von + durch · (und umgekehrt) ersetzt werden sowie 0 und 1 vertauscht
1
(0, . . . , 0) : (a1 , . . . , an ) 7→ (0, . . . , 0)
2
(1, . . . , 1) : (a1 , . . . , an ) 7→ (1, . . . , 1)
3
(f + g )(a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ) + g (a1 , . . . , an )
4
(f · g )(a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ) · g (a1 , . . . , an )
In der Folge sei B = hB; +.·, ∼, 0, 1i eine Boolsche Algebra
5
∼(f )(a1 , . . . , an ) = ∼(f (a1 , . . . , an ))
Lemma
Diese Algebra nennt man Algebra der n-stelligen Booleschen Funktionen
Für alle a ∈ B gelten die Idempotenzgesetze:
a·a=a
a+a=a
und die folgenden Gesetze für 0 und 1:
Lemma
Die Algebra der Booleschen Funktionen ist eine Boolesche Algebra
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
0·a=0
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Beispiele Boolescher Algebren
GM (IFI)
1+a=1
Einführung in die Theoretische Informatik
69/1
Beispiele Boolescher Algebren
Lemma
Lemma
Für alle a, b ∈ B gelten die Absorptionsgesetze:
Für alle a ∈ B gilt das Involutionsgesetz:
a + ab = a
a + ∼(a) · b = a + b
a(a + b) = a
∼(∼(a)) = a
a(∼(a) + b) = ab
Beweis.
Lemma À
Nach Definition einer Booleschen Algebra und Kommutativität von +
beziehungsweise · gilt:
Für alle a, b ∈ B gilt die Eindeutigkeit des Komplements:
Wenn a + b = 1 und ab = 0, dann b = ∼(a)
1
∼(a) + a = 1
2
∼(a) · a = 0
Mit Lemma À folgt, dass a das Komplement von ∼(a) ist
Beweis.
Gelte a + b = 1 und ab = 0
Lemma
b = b1 = b(a + ∼(a)) = ba + b · ∼(a) = 0 + b · ∼(a) da ab = 0
= a · ∼(a) + b · ∼(a) = (a + b) · ∼(a) = 1 · ∼(a)
Für alle a, b ∈ B gelten die Gesetze von de Morgan:
da a + b = 1
= ∼(a)
GM (IFI)
∼(a + b) = ∼(a) · ∼(b)
Einführung in die Theoretische Informatik
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GM (IFI)
∼(a · b) = ∼(a) + ∼(b)
Einführung in die Theoretische Informatik
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Beispiele Boolescher Algebren
Beispiele Boolescher Algebren
Sei B = {0, 1} und sei Bn das n-fache kartesische Produkt von B
Erstes Gesetz von de Morgan.
• Wir zeigen (a + b) + ∼(a) · ∼(b) = 1:
Definition (Boolesche Funktion)
(a + b) + ∼(a) · ∼(b) = (a + b + ∼(a))(a + b + ∼(b))
1
Sei F ein Boolescher Ausdruck in den Variablen x1 , . . . , xn
= (a + ∼(a) + b)(a + b + ∼(b))
2
F (s1 , . . . , sn ) die Instanz von F
= (1 + b)(a + 1)
3
Wir definieren die Funktion f : Bn → B wie folgt:
=1·1=1
f (s1 , . . . , sn ) := F (s1 , . . . , sn ) .
Dann heißt f die Boolesche Funktion zum Ausdruck F
• Wir zeigen (a + b) · ∼(a) · ∼(b) = 0:
(a + b) · ∼(a) · ∼(b) = a · ∼(a) · ∼(b) + b · ∼(a) · ∼(b)
Beispiel (Boolsche Algebra Frm = hFrm; ∨, ∧, ¬, False, Truei)
= a · ∼(a) · ∼(b) + ∼(a) · b · ∼(b)
Sei F = x1 ∧ ¬(x2 ∨ x1 ), dann ist
f : B2 → Bin die Boolsche Funktion
zu F
= 0 · ∼(b) + ∼(a) · 0
=0+0=0
• Die Voraussetzungen von Lemma À sind gezeigt
Sei G = x1 ∧x2 ∧¬x2 , dann ist g : B2 →
Bin die Boolsche Funktion zu G
• Somit ist ∼(a) · ∼(b) das Komplement von a + b
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
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Beispiele Boolescher Algebren
Definition
1
Sei f : Bn → B eine Boolesche Funktion
2
Sei F ein Boolescher Ausdruck, dessen Boolesche Funktion gleich f
Dann nennen wir F den Booleschen Ausdruck von f
Satz (Darstellungssatz von Stone)
Jede Boolesche Algebra ist isomorph zu einer Mengenalgebra
Satz
1
Seien A, B Boolesche Ausdrücke
2
Seien f , g ihre Booleschen Funktionen
Dann gilt A ≈ B gdw. f = g in der Algebra der Booleschen Funktionen
GM (IFI)
Einführung in die Theoretische Informatik
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GM (IFI)
s1 s2 f (s1 , s2 ) g (s1 , s2 )
0 0
0
0
0 1
0
0
1 0
0
0
1 1
0
0
Einführung in die Theoretische Informatik
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