Übungen zur Mathematik für Geowissenschaftler II

Übungen zur Mathematik für Geowissenschaftler II
Sommersemester 2016
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
C. Kleinschmidt
Blatt 9
Aufgabe 1 (2 Punkte)
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen. Zeigen Sie die Gültigkeit der Formel
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Kov(X, Y )
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Die Zufallsvariablen X und Y besitzen Werte in {1, 2, 3}. Die gemeinsame Verteilung von X und Y sei gegeben durch P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1, Y = 3) =
P (X = 2, Y = 2) = P (X = 3, Y = 1) = P (X = 3, Y = 3) = 0 und P (X =
1
1, Y = 2) = P (X = 2, Y = 1) = P (X = 2, Y = 3) = P (X = 3, Y = 2) = .
4
1. Bestimmen Sie die Verteilung der Summe X + Y .
2. Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der Zufallsvariablen
X, Y und X + Y . Zeigen Sie, dass hier Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
gilt.
3. Sind die beiden Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
4. Weshalb gilt hier Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )?
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Die Zufallsvariable X des Durchmessers (in mm) von Kugeln eines bestimmten
Radlagers ist logarithmisch normalverteilt, d.h. die Zufallsvariable Y = ln(X)
ist normalverteilt. Es gilt E(Y ) = 3 = µ und Var(Y ) = 0, 0001 = σ 2 . Mit
welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Durchmesser einer zufällig ausgewählten
Kugel zwischen 19, 8 und 20, 3 mm?
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei Xn Laplace-verteilt auf {−n, . . . , 0, . . . , n}. Für die Werte n = 10, 100, 1000
und 10.000 vergleiche man P (|Xn | ≥ n/2) und P (|Xn | ≥ n/10) mit den Abschätzungen, die man für diese Wahrscheinlichkeiten aus der TschebyscheffUngleichung erhält.
n
P
k 2 = 16 (2n + 1)(n + 1)n.
Hinweis:
k=1
Aufgabe 5 (Freiwillige Knobelaufgabe; 2 Zusatzpunkte)
Auf der Kieler Woche spielen Sie mit einer Freundin das folgende Spiel: Ihre
aus mit a < b. Sie schreibt
Freundin denkt sich zwei beliebige Zahlen a, b ∈
verdeckt a auf einen Bierdeckel und b auf einen anderen Bierdeckel und dreht
diese dann um. Sie wählen zufällig einen dieser beiden Deckel, drehen diesen
um und dürfen nach Ansicht der Zahl auf der Rückseite raten, ob die Zahl auf
dem anderen Bierdeckel größer oder kleiner als die aufgedeckte Zahl ist. Finden
Sie eine Gewinnstrategie, mit der die Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig raten,
echt größer als 0, 5 ist!
(Hinweis: Betrachten Sie den Fall, dass die Zahlen a, b, die Sie nicht kennen,
fixiert sind. Suchen Sie nach einer sinnvollen Strategie, um nach Aufdecken
eines Deckels bei Ansicht der aufgedeckten Zahl automatisch entscheiden zu
können, ob Sie tippen, dass die nicht aufgedeckte Zahl größer oder kleiner als
die aufgedeckte Zahl ist. Wann ist Ihre Strategie besser als zufälliges Raten,
wann gleich gut?)
R
Abgabe bis Dienstag, den 21.6.2014, 10:10 Uhr im Schrein im 1. Stock bzw. im
Briefkasten im 3. Stock des Mathematischen Seminars!