Theoretische Physik II - Quantentheorie I

Theoretische Physik II - Quantentheorie I
SoSe 2005
Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld
Inhaltsverzeichnis
I
Photonen
a) klassisches Licht: Polfilter . . . . . . . . .
b) Photonen-Zustand: Bra-Ket-Notation . .
c) Drehimpuls und Helizität . . . . . . . . .
d) Operatoren, Eigenwerte, Erwartungswerte,
e) Amplituden – Mechanik . . . . . . . . . .
f)
Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) Doppelbrechung: Ortsentwicklung . . . . .
h) K-Mesonen: Zeitentwicklung . . . . . . . .
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Projektoren
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. 9
. 12
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16
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18
18
Hilbertraum
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18
21
24
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II Elemente der linearen Algebra
a) Vektoren = Kets . . . . . . . . . . . . . .
b) Dualvektoren = Bras . . . . . . . . . . . .
c) Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . .
d) äußeres Produkt . . . . . . . . . . . . . .
e) lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . .
f)
adjungierte Operatoren . . . . . . . . . .
g) Eigenkets, Eigenwerte . . . . . . . . . . .
h) Unitäre Operatoren . . . . . . . . . . . . .
i)
hermitesche Operatoren H † = H . . . . .
j)
Diagonalisierung hermitescher Operatoren
III Bewegung von Teilchen
a) unendlich viele Freiheitsgrade,
b) Operatoren im Hilbertraum V
c) Das freie Teilchen . . . . . . .
d) Summe über Pfade . . . . . .
IV Hamilton-Formalismus
a) Postulate . . . . . . . . . . . . .
b) Bilder der Zeitentwicklung . . . .
c) Klassischer Grenzwert . . . . . .
d) Wahrscheinlichkeitsstrom . . . .
e) Lösen der Schrödinger-Gleichung
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29
33
33
34
35
V Einfache Systeme (1D)
a) Potentialstufe . . . . . . . .
b) Potentialtopf . . . . . . . .
c) Periodisches Potenzial . . .
d) Allgemeine Resultate . . . .
e) Der harmonische Oszillator
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36
39
43
46
47
VI Drehimpuls
a) Symmetrien in der Quantentheorie . . . .
b) Drehimpulsalgebra und ihre Darstellungen
c) Addition von Drehgruppen . . . . . . . .
d) Der Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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50
50
53
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VIIZentralpotential
a) Separation der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) allgemeine Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
63
63
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ii
I
Photonen
a)
klassisches Licht: Polfilter
|
π
2)
↔
↔
Eine Lichtwelle
propagiert in z-Richtung. Dann gilt:


Ex
. 
~ r, t) =
Ey  eikz−iωt mit k 2 = ω 2 und Ex , Ey ∈ C
E(~
0
.
= bedeutet ,,dargestellt in geeigneter Basis”.
~ r, t) = ~ez × E(~
~ r, t) in Heaviside Einheiten: µ0 = ²0 = 1
B(~
µ
¶
Ex
,,Polarisationsvektor”
z.B. verantwortlich für z.B. zirkular polarisiertes Licht. (Phasendifferenz =
Ey
E
charakterisiert durch p = Exy = eε+iα ∈ C
Spezialfälle: p=
0
∞
1
-1
i
−i
”x” ”y” ”u” ”v” ”R” ”L”
↔
l
©
ª
{z
}
linear polarisiert liegt
auf der reellen Achse
p
zirkular
i R
−1
v
1
u
x
y
linear
−i L
für |p| fest
Energiedichte:
W (~r, t)
¢
1¡
~ r, t)|2 + | Re B(~
~ r, t)|2 = | Re E(~
~ r, t)|2
| Re E(~
2
= |Ex |2 cos2 (kz − ωt + αx ) + |Ey |2 cos2 (kz − ωt + αy )
=
Gesamtenergie im Volumen V:
Z
¢ 1
1 ¡
~ 2
ε(t) =
d3 rw(~r, t) = V |Ex |2 + |Ey |2 = V |E|
2
2
V
α = αy − αx
µ
mit
~ =
E
Ex
Ey
¶
(1.1)
Nun soll ein Polarisationsfilter eingesetzt werden. Betrachte eine u-Welle (p = 1) und lasse sie durch einen
x-Filter (p = 0) treten.
Ey
Ey .....
.....
..
Vorher
p ppp
ppp p p
p
p
p
p ppp
pp pp
pppp pp p
p ppp
pp pp
pppp pp p
pp
ppp p
pppp
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..
.
...
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
......
....
...
...
...
..
◦ ..
.
45 ...
..
.
Nachher
~
E
Ex
........
1
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .......
..
.....
. ..
.... .
.
...
....
..
.....
.
.....
...
.
.
...
...
.....
.....
.
...
....
.
.
...
...
.....
..
.
.....
0
~
.
.
E
.
...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... ..............
Ex
pppppp
εvor =
1
V · 2|Ex |2
2
⇒
εnach =
1
V |Ex |2
2
Die Energie hat sich halbiert.
b)
Photonen-Zustand: Bra-Ket-Notation
Quanten-Input
Lichtwelle besteht aus einer großen Anzahl N identischer Photonen mit Energie }ω.
Filter
demnach: ε = N }ω −→ N2 }ω, d.h. 50% der Photonen passieren
Interpratation: jedes Photon hat 50% Passierwahrscheinlichkeit.
Korrespondenzprinzip
√1 → 0
klassischer Grenzfall für N → ∞ mit ∆N
N ∼
N
~ (p ∈ R)
bisher: Passierwahrscheinlichkeit eines x-Filters für linear polarisierte Photonen E
Ey
.
......
pp
pp p
pp p
pp
pp p
pp
pp p
pp
pp p
pp
pp
..... ..... ..... ..... ..... .......
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
......
.....
...
...
...
Θ ....
..
.
.
...
.
~
E
........
Ex
2
|Ex |2
~ = |Ex | =
Wx (E)
= cos2 Θ
~ 2
|Ex |2 + |Ey |2
|E|
für p = tan Θ
analog für zirkulare Polfilter, z.B. ein R-Filter (rechtszirkular):
alte Basis: (~ex , ~ey )
neue Basis: (~eR , ~eL ) mit ~eR = √12 (~ex + i~ey ) und ~eL = √12 (~ex − i~ey )
neue Komponenten ER , EL erhält man über
~ = Ex~ex + Ey ~ey = ER~eR + EL~eL
E
⇒
1
1
ER = √ (Ex − iEy ), EL = √ (Ex − iEy )
2
2
~
Passierwahrscheinlichkeit eines R-Filters bei linear polarisierten Photonen E
¯
¯
~ cos Θ − i|E|
~ sin Θ¯2
¯|E|
| √12 (Ex − iEy )|2
|ER |2
1
1
1
~
=
=
= | cos Θ − i sin Θ|2 = |e−iΘ |2 =
WR (E) =
2
2
2
~
~
~
2
2
2
|E|
|E|
2|E|
für linear polarisiertes Licht kommt 50% durch den R-Filter
Beschreibung des Zustands einzelner Photonen
1 ~ 2
1 ~ 2 N =1
V |E| −→ ε = }ω = V |E|
2
2
Definiere den Zustandsvektor der Photonenpolarisation
r
µ ¶
µ
¶
V
Ex
. ψx
|ψi =
:=
∈ C2
so dass |ψx |2 + |ψy |2 = 1
ψy
2}ω Ey
Energie
ε = N }ω =
|·i heißt ,,Ket” (neue Notation für Vektoren)
|ψi ∈ S 3 (Einheitsvektor in
Bemerkung 1:
vorher p ∈ C jetzt |ψi ∈ S 3 .
2
C2 ' R4 )
(1.2)
Die Redundanz in |ψi ist die Phase: |ψi ∼ eiϕ |ψi
Bemerkung 2:
Die Normierung |ψx |2 + |ψy |2 = 1 ist unverträglich mit dem Superpositions-Prinzip. Man muß beim Addieren
noch mehr Redundanz zulassen:
|ψi ∼ λ |ψi mit λ ∈ C
Beispiele:
µ ¶
1
0
q µ ¶
1
.
|ui = 12
1
q µ ¶
. 1 1
|Ri= 2
i
.
|xi =
,
,
,
|ψi modulo λ-Multiplikation ist ein ,,Strahl”.
µ ¶
0
1 ¶
q µ
−1
.
|vi = 12
1
q µ ¶
1
. 1
|Li= 2
−i
.
|yi =
Definition: adjungieten Vektor
|ψi := (ψx∗ , ψy∗ )
,,Bra”
(1.3)
Definition: Skalarprodukt: aus ,,Ket” |ψi und |φi bilde |ψi, hφ|
µ ¶
ψx
hφ|ψi := (φ∗x , φ∗y )
= φ∗x ψx + φ∗y ψy = hψ|φi∗
ψy
Dies definiert C2 als unitären Vektorraum.
Normierung von |φi:
|ψi = √ 1 |φi
⇒
hφ|φi
(1.4)
hψ|ψi = 1
Zerlegung eines Zustands in einer Basis:
oder
|ψi = |xiψx + |yiψy = |RiψR + |LiψL
Man findet die Koeffizienten durch Projektion:
oder
hx|ψi = hx|xi ψx + hx|yi ψy = hx|RiψR + hx|LiψL
| {z }
| {z }
1
0
|
{z
}
ψx
Damit lässt sich |ψi wie folgt darstellen:
|ψi = |xihx|ψi + |yihy|ψi
analog:
|ψi = |RihR|ψi + |LihL|ψi
Allgemein:
|xihx| + |yihy| = 1
,,Zerlegung der Eins”
⇒ Polarisationsfilter wirken wie Projektoren
Normierung
x-Filter
|ψ 0 i = |xihx|ψi
=⇒
|ψ 0 i = |xi
¯
¯2
2
x|
2
¯
¯ , da die Zustände normiert sind. Die Summe
Passierwahrscheinlichkeit: Wx ( |ψi) = |ψx ||ψ
2 +|ψ |2 = |ψx | = hx|ψi
y
aller möglichen Wahrscheinlichkeiten ist 1: |ψx |2 + |ψy |2 = 1.
|ψi = |xihx|ψi + |yihy|ψi
−→
hx|ψi. . . Amplitude ⇒ Wahrscheinlichkeit = | Amplitude |2
Vergleiche dazu klassische Wellenoptik: Intensität = | Amplitude |2
analog für |Ri-Filter: WR = |hR|ψi|2 bei Photonenzustand |ψi
Allgemein: Photonen |ψi passieren φ-Filter mit WahrscheinlichkeitWφ ( |ψi) = |hφ|ψi|2
(Zwei Zustände: Photonenzustand |ψi und ,,Filter-Zustand” |φi)
3
(1.5)
c)
Drehimpuls und Helizität
Quanten-Input
Drehimpuls einer Lichtwelle =
P
Drehimpuls eines Photons
Photonen
~ · p~ = ±}
Im Experiment beobachtet man: Helizität = Drehimpuls parallel zur Bewegungsrichtung ∼ L
Eine klassische EM-Welle in ẑ-Richtung hat den Drehimpuls
Z
1
~
~ × B)
~ ; ∞-ausgedehnt: E
~ ×B
~ ∼ êz ⇒ Helizität = 0
L=
d3 r ~r × (E
c
Betrachtet man aber eine räumlich bregrenzte Welle
z
~ × B|
~ ∂V êz .
so verschwindet die Helizität nicht unbedingt: E
V
Rechnung:
~ = 0, B
~ =∇×A
~, E
~ = − 1 ∂t A
~ mit Eichung φ = 0
∇·E
c
~
L
=
=
=
Z
Z
1
1
3
~
~
~
d r ~r × (E × (∇ × A)) =
d3 r ~r × (Em ∇Am − Em ∂m A)
c R3
c R3
Z
1
~ +Em ∂m~r ×A]
~ + (∂m Em~)r × A
~
d3 r [Em (~r × ∇)Am − ∂m (Em~r × A)
|{z}
{z
} |
{z
}
|
c R3
~
em
0
0
Z
1
~ ×A
~ + E (~r × ∇)Am ]
d3 r [ E
| {z } | m {z
}
c R3
Spin ∼V
Orbital ∼∂V
z-Komponente: (~r × ∇)z = x∂y − y∂x = ∂ϕ gibt Null auf eikz , nur Beiträge vom Rand ∂V
Z
³
´
V groß 1
~ ×A
~
Lz '
d3 r E
Helizität
c
z
µ
¶
~ r, t) = Ex · ei(kz−ωt)
Welle(npaket) in ẑ-Richtung: E(~
Ey
Ex , Ey Polarisationsrichtungen
µ
¶
~ r, t) = c Ex · ei(kz−ωt)
⇒ A(~
iω Ey
µ ¶
¶
µ
ax
Ex
c
Im Folgenden ist
= iω
und ei(kz−ωt) = eiα .
ay
Ey
Lz
=
=
=
=
Z
1
d3 r [Re(Ex ) Re(Ay ) − Re(Ey ) Re(Ax )]
c
Z
£
¤
1
d3 r (Ex eiα + Ex∗ e−iα )(ay eiα + a∗y e−iα ) − (Ey eiα + Ey∗ e−iα )(ax eiα + a∗x e−iα )
4c
¢
V ¡
Ex A∗y + Ex∗ Ay − Ey A∗x − Ey∗ Ax
4c
¢
V ¡ ∗
Ex Ey − Ex Ey∗
2iω
unter Verwendung des Integrals
L/2
Z
Z
3
d re
V
inα
=e
−inωt
πR
2
dz einkz
−L/2
4
für kLÀ1
=
V δn,0
(1.6)
im letzten Schritt. Mit Ex =
√1 (ER
2
+ EL ) und Ey =
√i (ER
2
− EL ) folgt
¢
V ¡
|ER |2 − |EL |2
.
2ω
q
Für den Zustandsvektor (vgl. (1.2)) |ψi folgt EL,R = 2}ω
V ψL,R für ein Photon.
Lz =
¡
¢
¡
¢
Lz = } |ψR |2 − |ψL |2 = } |hR|ψi|2 − |hL|ψi|2
(1.7)
Aus dem Experiment erhält man aber Helizität = ±}. Den Ausweg bietet die
Quanteninterpretation
(1.7) ist ein quantenmechanischer Mittelwert (Erwartungswert) für viele identische Messungen.
Erinnerung: Sei A eine Messgröße. ⇒ Mittelwert von A =
P
i
ai W (ai ) =: hAi
mit ai = ,,mögliche Messwerte” und W (ai ) =,,Wahrscheinlichkeit, dass ai gemessen wird”
hier: hLz i = +} W (+}) + (−}) W (−}),
wobei W (+}) = WR ( |ψi) = |hR|ψi|2 und W (−}) = WL ( |ψi) = |hL|ψi|2 ist.
Normierung: W (+}) + W (−}) = |hR|ψi|2 + |hL|ψi|2 = hψ|RihR|ψi + hψ|LihL|ψi = hψ|ψi = 1
Der Erwartungswert hLz i hängt vom Polarisationszustand |ψi ab ⇒ schreibe hLz iψ
W (+}) + W (−}) = hψ|ψi = 1
Wir erhalten also
¯
¯2
¯
¯2
hLz iψ = }¯hR|ψi¯ − }¯hL|ψi¯
und |ψi = |Ri ⇒ hLz iψ = +}, |ψi = |Li ⇒ hLz iψ = −}
d)
Operatoren, Eigenwerte, Erwartungswerte, Projektoren
Was zeichnet |Ri, |Li bezüglich Lz aus?
Eigenzustände eines Operators S : C2 −→ C2 (lineare Abbildung)
¾
µ
¶
S |Ri = +1 |Ri
. 1
Matrixdarstellung von S =
in |Ri, |Li-Basis
S |Li = −1 |Li
−1
µ
¶
µ ¶
µ ¶
1
1
. 0 −i
. √1
. √1
In einer |xi, |yi-Basis ist S =
, |Ri = 2
, |Li = 2
.
i 0
i
−i
(1.8)
S erzeugt Rotationen um die z-Achse:
eiθS 2=
S =1
1 + iθS +
(iθ)2
(iθ)3
1+
S + . . . = 1 cos θ + iS sin θ =: R(θ) Drehoperator
2!
3!
⇒ R(θ) |Ri = eiθ |Ri, R(θ) |Li = e−iθ |Li
(1.9)
⇒ |Ri und |Li sind Eigenkets zum Drehoperator um die ẑ-Achse.
Spin- oder Helizitätsoperator
hLz iψ
¯
¯2
¯
¯2
}¯hR|ψi¯ − }¯hL|ψi¯
}hψ|RihR|ψi − }hψ|LihL|ψi
=
=
(1.8)
=
Zerleg. d.
=
hψ|}S|RihR|ψi + hψ|}S|LihL|ψi
1
hψ|}S|ψi
5
(1.10)
Erwartungswert der Helizität = Matrixelement des Spin-Operators
Zusammenfassung: Der Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen Ket |ψi ∈ C2 .
makroskopische Interpretation
Quanteninterpretation
←→
mögliche Messwerte
(Lz = ±})
←→
Eigenwerte
(±} . . . EW von }S)
Zustand mit scharfem Messwert λ
(Lz = +})
←→
|ψi = Eigenvektor |λi
( |ψi = |Ri)
←→
2
¡ Wλ ( |ψi) = |hλ|ψi| 2 ¢
W+} ( |ψi) = |hR|ψi|
←→
Erwartungswert eines Operators
(hLz iψ = hψ|}S|ψi)
Wahrscheinlichkeit, scharfen
Messwert λ zu beobachten
(W (+}))
Mittelwert einer physikal. Größe
(hLz i)
Operator im Zustandsraum
z.B. }S ,,Observable”
C2
physikalische Größe
z.B. Photon-Drehimpuls Lz
Wiederholung
Operatoren im Zustandsraum, z. B. }S,
Eigenwerte λ, Eigenzustände |λi, Zustände |ψi (normiert hψ|ψi = 1 und hλ|λi = 1),
¯
¯2
Wλ ( |ψi) = ¯hλ|ψi¯ , Mittelwert hO iψ = hψ|O|ψi,
2
∗
spezieller Fall für O = |λihλ| = Pλ ⇒ hψ|O|ψi = hψ|λihλ|ψi = |hλ|ψi| , weil hψ|λi = hλ|ψi ,
d.h. hPλ iψ = Wλ ( |ψi).
Etwas Lineare Algebra
Äußeres Produkt (dyadisches Produkt) von 2 Vektoren
µ ¶
µ
ψx φ∗x
. ψx ¡ ∗ ∗ ¢
|ψihφ| =
φ x , ψy =
ψy φ∗x
ψy
Bsp.:
.
|xihx| =
.
|xihy| =
.
|xihR| =
Zerlegung nach Basismatrizen:
Assoziativität“
”
³
µ
a b
c d
µ ¶
µ
1
1
(1, 0) =
0
0
µ ¶
µ
1
0
(0, 1) =
0
0
µ ¶
1
1
√ (1, −i) =
0
2
0
0
1
0
ψx φ∗y
ψy φ∗y
¶
(1.11)
¶
¶
1
√
2
µ
1
0
−i
0
¶
¶
= a|xihx| + b|xihy| + c|yihx| + d|yihy|
´
³
´
|ψihφ| |θi = |ψi hφ|θi
⇒
Klammern überflüssig! (bitte prüfen!)
Folgerungen:
6
(1) |φihφ| = Pφ ist ein Projektionsoperator (falls hφ|φi = 1)
⇒
⇒
Pφ |ψi = |φihφ|ψi ∼ |φi
Pφ Pφ = |φi hφ|φihφ| = |φihφ| = Pφ
| {z }
(1.12)
=1
(2) Summe von Basisprojektoren = Identität
Bsp.: |xihx| + |yihy| = 1
(1.13)
(3) Zerlegung eines Vektors:
³
´
z. B.
|ψi = 1 |ψi = |xihx| + |yihy| |ψi = |xihx|ψi + |yihy|ψi = ψx |xi + ψy |yi
(4) Zerlegung eines Operators (in Eigenbasis):
³
´
z. B. S = S · 1 = S · |RihR| + |LihL| = (+1)|RihR| + (−1)|LihL| = |RihR| − |LihL|
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 0
0 0
1 0
.
=
−
=
0 0
0 1
0 −1
e)
Amplituden – Mechanik
2
|hR|ψi| ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Photon im Zustand |ψi im Hinblick auf einen R-Filter so
verhält, als wäre es im Zustand |Ri.
¯
¯2
⇒ Wφ ( |ψi) = ¯hφ|ψi¯
Wahrscheinlichkeit(1.5)
hφ|ψi heißt (Wahrscheinlichkeits–)Amplitude (für |ψi in |φi)
totale Wahrscheinlichkeit Wy ( |xi) eines x-Photons,³einen y-Filter zu´passieren: mit Umweg über Zerlegung in
zirkulare Basis ( |Ri, |Li): Amplitude = hy|xi = hy| |RihR| + |LihL| |xi = hy|RihR|xi + hy|LihL|xi
Wy ( |xi) =
¯
¯
¯hy|xi¯2 = |hy|RihR|xi + hy|LihL|xi|2
Interferenz-Terme
=
=
}|
{´
³z
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯hy|Ri¯2 · ¯hR|xi¯2 + ¯hy|Li¯2 · ¯hL|xi¯2 + hy|RihR|xihy|Li∗ hL|xi∗ + h. c.
i i
i i
1 1 1 1
· + · + · + · =0
2 2 2 2 2 2 2 2
z
}|
{
hermitesch konjugiert
Klassische Rechnung: Addition der Wahrscheinlichkeitder beiden Alternativen:
1 1
1
y
y
L
R
|xi −→1 |Ri −→1 |yi und |xi −→1 |Ri −→1 |yi addieren sich zu + = , aber wir wissen Wy ( |xi) = 0.
4 4
2
W=2
W=2
W=2
W=2
|xi = |LihL|xi + |RihR|xi ist Superposition von |Li und |Ri
x
Messungen projizieren und verändern dadurch Zustände: |ψi −→ |xihx|ψi
hierbei ist |xi der Endzustand und hx|ψi die Amplitude.
Unterschied zur klassischen Wahrscheinlichkeitaddition: quantenmechanisch sind die Amplituden von nicht
untercheidbaren Alternativen zu addieren, erst dann zur Wahrscheinlichkeitzu quadrieren.
7
f)
Gemische
kombiniere einen monochromatischen Strahl aus zwei Quellen:
Quelle 1 emittiert nur Photonen in |ψ1 i mit Intensität L1 und W = p1 =
Quelle 2 emittiert nur Photonen in |ψ2 i mit Intensität L2 und W = p2 =
L1
L1 +L2
L2
L1 +L2
Was ist der Erwartungswert einer physikalischen Größe für solche Lichtstrahlen?
Antwort am Bsp. Lz :
hLz i
=
=
=
=
(1.10)
=
=:
(+})W (+}) + (−})W (−})
(+}) [p1 WR ( |ψ1 i) + p2 WR ( |ψ2 i)] + (−}) [p1 WL ( |ψ1 i) + p2 WL ( |ψ2 i)]
³ ¯
¯2
¯
¯2
¯
¯2
¯
¯2 ´
} p1 ¯hR|ψ1 i¯ + p2 ¯hR|ψ2 i¯ − p1 ¯hL|ψ1 i¯ − p2 ¯hL|ψ2 i¯
³ ¯
³ ¯
¯2
¯
¯2 ´
¯2
¯
¯2 ´
p1 }¯hR|ψ1 i¯ − }¯hL|ψ1 i¯ + p2 }¯hR|ψ2 i¯ − }¯hL|ψ2 i¯
p1 hψ1 |}S|ψ1 i + p2 hψ2 |}S|ψ2 i
p1 hLz i1 + p2 hLz i2
(1.14)
klassische Wahrscheinlichkeits-Addition der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitder Teilstrahlen
• allgemeiner Fall
Quantensystem ist mit Wahrscheinlichkeit pi (i = 1, . . . , n) in einem von mehreren Zuständen |ψi i;
heißt gemischter Zustand“, besser Zustandsgemisch“
”
”
Spezialfall
alle pi außer einem sind Null ⇒ Quantensystem befindet sich in einem reinen Zustand“ |ψi
”
• Dekohärenz: reiner Zustand −→ Gemisch
2
2
Superposition α |ψ1 i + β |ψ2 i = |ψi mit hψ1 |ψ2 i = 0, hψ|ψi
+ |β|n = 1
n = 1, d. h. |α| o
o
2
2
Zerstören der Phasenkorrelation führt zu einem Gemisch |ψ1 i, p1 = |α| ∪ |ψ2 i, p2 = |α|
Bsp.: hLz iψ
= (α∗ hψ1 | + β ∗ hψ2 | ) }S (α |ψ1 i + β |ψ2 i)
2
2
= |α| hψ1 |}S|ψ1 i + |β| hψ2 |}S|ψ2 i + α∗ βhψ1 |}S|ψ2 i + αβ ∗ hψ2 |}S|ψ1 i
Mittelung über relative Phase ϕ von α∗ β = |αβ|eiϕ liefert
2
2
2
2
hLz iψ = |α| hψ1 |}S|ψ1 i + |β| hψ2 |}S|ψ2 i = |α| hLz i1 + |β| hLz i2
Dieser Prozess heißt Dekohärenz“
”
• Extremfall ist unpolarisiertes Licht
mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem Polarisationszustand |φi(hφ|φi = 1)
ist äquivalent zu einer einfacheren Beschreibung:
mit jeweils W = 12 in einem von zwei orthogonalen Polarisationszuständen |ψ1 i, |ψ2 i
Demonstration am Bsp. hLz i:
2
2
jedes |φi = α |ψ1 i + β |ψ2 i, |α| + |β| = 1
hLz iunpol.
= Mittelung von hφ|}S|φi über alle |φi
= Mittelung von hLz iα,β über alle α, β
= Mittelung von hLz iα,β über Phase ϕ, dann über |α|, |β|
= Mittelung von hLz iα,β über |α|, |β|
1
1
hLz i1 + hLz i2
=
2
2
z. B. |ψ1 i = |Ri, |ψ2 i = |Li
⇒
hLz iunpol. = 12 (+}) + 21 (−}) = 0
8
Dichtematrix (Dichteoperator)
Zur Berechnung der Spur am Beispiel einer 2x2 Matrix:
tr[M |ψihφ|] = hφ|M |ψi
(1.15)
Beweis:
tr[M |ψihφ|]
=
hx|M |ψihφ|xi + hy|M |ψihφ|yi
=
=
=
hφ|xihx|M |ψi + hφ|yihy|M |ψi
hφ| (|xihx| + |yihy|)M |ψi
hφ|M |ψi
Basis |xi |yi
Spezialfall:
tr[M ] = tr[M 1]
= tr[M (|xihx| + |yihy|)]
= tr[M |xihx|] + tr[M |yihy|]
= hx|M |xi + hy|M |yi
¾
½
|ψ1 i mit W. = p1
,
Beachte Photonenstrahl gemischt aus
|ψ2 i mit W. = p2
wobei hψ1 |ψ2 i = 0, p1 + p2 = 1, hψ1 |ψ1 i = hψ2 |ψ2 i = 1.
hLz i =
=
=
=
mit
p1 hψ1 |}S|ψ1 i + p2 hψ2 |}S|ψ2 i
p1 tr[}S|ψ1 ihψ1 |] + p2 tr[}S|ψ2 ihψ2 |]
tr[}S(p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 |)]
tr[}Sρ]
ρ = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | =: Dichtematrix
allgemein:
hOi = tr[Oρ]
Eigenschaften der Dichtematrix:
(1)
trρ = p1 + p2 ,
tr[ρ2 ] = p21 + p22 ≤ 1
½
⇒ ρ = |ψ1 ihψ1 | = P1
(2)
p1 = 1, andere = 0
⇒ ρ2 = ρ
2
(3)
ρ = ρ ⇒ ∃ |ψi so, dass ρ = |ψihψ| = Pψ
(4)
(5)
ρ† = ρ
ρunpol. =
(1.17)



Reinzustand ⇔ Rang ρ = 1
(1.18)
hermitesch
1
2
1
Achtung: im Allgemeinen ist ρ nicht diagonal.
µ
. p1
Bsp.: in |xi |yi-Basis: ρ =
0
g)
(1.16)
0
p2
¶
in |Ri, |Li-Basis
−→
1
2
µ
p1 + p2
p1 − p2
p1 − p2
p1 + p2
¶
Doppelbrechung: Ortsentwicklung
Betrachte einen Calcit-Kristall, der Photonenstrahl selektiv aufspaltet:
Brechungsindex no für Photonenpolarisation senkrecht zur optischen Achse: ⊥~n (ordinary)
Brechungsindex ne für Photonenpolarisation parallel zur optischen Achse: k~n (extraordinary) (ne < no )
Wahl: Strahl in z-Richtung, ~n in x-y-Ebene, Polarisationsbasis: |oi |ei(wie |xi |yi), Grenzflächen ⊥ Strahl
~ ∼ eikz−iωt , ω fest, k = ω n ⇒ ke < ko
Die Phase von E
c
Länge des Kristalls: L ⇒ Laufzeit im Vakuum T = Lc
9
Zerlegung: |ψin i = |eihe|ψin i + |oiho|ψin i
Effekt des Calcit-Kristalls: Multiplikation der Anteile ∼ |ei und ∼ |oi mit unterschiedlichen Phasen:
|ψout i = eike L−iωT |eihe|ψin i + eiko L−iωT |oiho|ψin i =: e−iωT UL |ψin i
mit Uz = eike z |eihe| + eiko z |oiho|
(1.19)
(z.B.z = L)
(1.20)
Definition: Übergangsamplitude von |ψin i nach |φi
= Amplitude für |φi in |ψout i
= hφ|ψout i
= hφ|UL |ψin i
2
dann: Überganswahrscheinlichkeit von |ψin i nach |φi = |hφ|UL |ψin i|
Phasenänderung im Kristall:
|ψz i = Uz |ψin i,
0≤z≤L
|ψz=0 i = |ψin i, |ψz=L i = |ψout i
(1.21)
3 wichtige Eigenschaften von Uz :
(1) Multiplikativität
Uz ist multiplikativ, d.h. Uz+a |ψin i = |ψz+a i = Ua Uz |ψin i
(1.22)
Beweis:
Ua Uz
= (eike a |eihe| + eiko a |oiho|)(eike z |eihe| + eiko z |oiho|)
= eike (z+a) |eihe| + eiko (z+a) |oiho|
= Uz+a
falls ke a ¿ 1, ko a ¿ 1gilt:Ua ≈ 1 + iaK
mit
K = ke |eihe| + ko |oiho| Wellenzahloperator
(in |ei |oi − Basis : K =
µ
ke
0
¶
0
)
ko
(1.23)
(1.24)
Beweis:
Ua
≈ (1 + ike a)|eihe| + (1 + iko a)|oiho|
= |eihe| + |oiho| + ia(ke |eihe| + ko |oiho|)
= 1 + iaK
Bemerkung: Ein allgemeiner Zustand |ψi = |eiψe + |oiψo hat keine definierte Wellenzahl
(außer |ψi = |ei oder |ψi = |oi).
(2) Differentialgleichung für |ψz i (und Uz )
Sei ka infinitesimal:
⇒
⇒
⇒
⇒
|ψz+a i ≈ (1 + iaK) |ψz i
|ψz+a i − |ψz i ≈ iaK |ψz i
lim ( |ψz+a i − |ψz i) = iK |ψz i
a→0
d
d
|ψz i = iK |ψi ⇔
Uz = iKUz
dz
dz
10
(1.25)
explizit in |xi |yi−Basis:
d
hx|ψz i =
dz
d
hy|ψz i =
µdz ¶
d ψx
(z) =
dz ψy
ihx|K|ψz i = ihx|K|xihx|ψz i + ihx|K|yihy|ψz i
ihy|K|ψz i = ihy|K|xihx|ψz i + ihy|K|yihy|ψz i
µ
¶µ ¶
½
Kxx Kxy
ψx
ψx (z) = hx|ψz i etc.
i
(z)
Notation:
Kyx Kyy
ψy
Kxx = hx|K|xi
Lösung der Dgl. mit Anfangswert |ψz=0 i = |ψin i bzw. Uz=0 = 1 :
|ψz i = eizK |ψin i
check:
(3)
Uz = eizK
⇔
(1.26)
K = ke |eihe| + ko |oiho| ⇒ eizK = eizke |eihe| + eizko |oiho| = Uz
Ua ändert nicht die Norm von |ψz i, d.h. hψz+a |ψz+a i = hψz |ψz i.
Beweis:
hψz |Ua† Ua |ψz i
hψz+a |ψz+a i =
=
K = K†
Es gilt sogar:
hψz |ψz i
(K ist hermitesch),
, daUz† = e−izK
Ua† Ua = 1
†
K=K †
=
U−z
(Ua ist unitär)
Uz† Uz = 1 (unitär) ⇔ K † = K (hermitesch)
da man auch die andere Richtung zeigen kann:
Beweis:
0
=
=
=
³d
´
d
d ¡ † ¢ ³ d †´
1=
Uz Uz =
Uz Uz + Uz†
Uz
dz
dz
dz
dz
³d
´†
³
´ Dgl. ¡
¢†
¡
¢
† d
Uz Uz + Uz
Uz = iKUz Uz + Uz† iKUz
dz
dz
¡
−iUz† K † Uz + iUz† KUz = iUz† K − K † )Uz
⇒ K = K†
Es gilt allgemein:
det etM = et tr M
Einfach zu zeigen für beliebige diagonalisierbare Matrix M = SDS −1 mit D = diag(λi ):
det etM
−1
= det etSDS = det SetD S −1 = det S · det etD · det S −1
Y
= det S( etλi ) · (det S)−1
=
e
t
i
P
i
λi
= et tr D = et tr(SDS
−1
)
= et tr M
Mit dieser Identität kann man nun folgendes feststellen:
K = K†
m
Uz Uz† = 1
⇒ tr K reell
⇒ det Uz = det eizK = eiz tr K =
¡
¢
⇒ det Uz† Uz = 1
Also ist det Uz = eiϕ eine Phase.
11
mit ϕ ∈ R
¡
¢⇑∗
⇒ det Uz det Uz = 1
eiϕ
(1.27)
h)
K-Mesonen: Zeitentwicklung
bisher: ebene Welle ∼ eikz−iωt−λt wobei −λt durch die Absorption zustande kommt, monochromatisch: ω fest,
k variabel (mit dem Medium)
Erinnerung an 2 Fakten:
1. Relativistik:
µ 0¶ µ E ¶
p
pµ =
= c
p~
p~
2. Planck – de Broglie:
µE¶
c
p~
µ
mit p2 = pµ pµ =
µω¶
c
=}
mit
~k
E
c
¶2
!
− p~2 = m2 c2
wobei m die invariante Masse ist
¡ ω ¢2
m2 c2
− ~k 2 =
c
}2
m = 0 : Licht
m > 0 : Materie
i
Welle ∼ e } (pz−Et)−λt
Aufgrund der Absorption (−λt) hat diese nur eine endliche Lebensdauer:
τ=
1
2λ
(1.30)
p
jetzt: fester p, variables E = p2 c2 + m2 c4 durch Benutzen verschiedener Massen
überlagere 2 Materiestrahlen unterschiedlicher Masse m = mL und m = mS
erlaube auch verschiedene Lebensdauern λ = λL und λ = λS (L= ,,long”, S=,,short”)
Paradebeispiel: neutrale K-Mesonen (hier vereinfacht: ohne CP-Verletzung) kommen als Zustände scharfer
Masse und Lebensdauer in 2 Varianten vor:
• KL hat mL ≈ 500 MeV, τL ≈ 500 · 10−10 s ⇔ λL = 107 s−1
• KS hat mS ≈ 500 MeV, τS ≈ 10−10 s ⇔ λS = 500 · 107 s−1
aber ∆m = mL − mS ≈ 3, 5 · 10−6 eV ≈ 500 · 107 c}2 s−1 ≈
Zerfälle:
KS −→
π+ π−
π0 π0
(70%)
(30%)
}
c 2 λS
KL −→
y
∆m
m
π ± e∓ νe
π ± µ∓ νµ
π0 π0 π0
π+ π− π0
≈ 10−14
(39%)
(27%)
(21%)
(13%)
Als Zustände scharfer Masse und Lebensdauer sind |KL i und |KS i Eigenzustände der Zeitentwicklung. |KL i
und |KS i sind auch Eigenzustände eines Operators CP:
CP |KS i = + |KS i
CP |KL i = − |KL i
ON-Basis: |KL i, |KS i
aber: Erzeugung und Vernichtung von K-Mesonen werden als Eigenzustände von ,,Strangeness” S beschrieben:
0
S |K 0 i = + |K 0 i
Zusammenhang:
|K 0 i =
0
|K i =
¡
√1
|KS i
2
¡
√1
|KS i
2
0
S |K i = − |K i
+ |KL i
− |KL i
−→
¢
¢
(1.31)
⇐⇒
¡
√1
|K 0 i
2
¡
√1
|K 0 i
2
0
+ |K i
¢
0 ¢
− |K i
−→
0
|KL i S |K S i
←−
Zeitentwicklung eines Eigenzustandes ∼ e
i
gemeinsame Phase e } pz weg.
|KS i =
|KL i =
|K 0 i CP |K i
− }i Et−λt
0
ONBasis: |K 0 i, |K i
←−
∼ e−iωt−λt mit E = ES oder EL , λ = λS oder λL , lasse
12
i) sei |ψ(t = 0)i = |KS i
p
dann |ψ(t > 0)i = e−iωS t−λS t |KS i mit ωS = }1 p2 c2 + m2S c4
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu einem späteren Zeitpunkt als KS zu detektieren:
¯
¯
¯
¯2
− t
¯hKS |ψ(t)i¯2 ONB
= ¯e−iωS t−λS t ¯ = e−2λS t = e τS
Achtung: hψ(t)|ψ(t)i nimmt ab ∼ e−2λS t (Zerfall)
ii) sei |ψ(t = 0)i = |K 0 i z.B. erzeugt durch starke Wechselwirkung (pπ → ΛK)
zerlege in CP-Eigenbasis |KL i, |KS i:
¢
1 ¡
|ψ(t = 0)i = |K 0 i = √ |KS i + |KL i
2
¡
¢
1
|ψ(t > 0)i = √ e−iωS t−λS t |KS i + e−iωL t−λL t |KL i
2
0
Wahrscheinlichkeit, später ein K zu finden:
¯ 0
¯
¯hK |ψ(t > 0)i¯2
=
..
.
=
nicht relativistisch
(langsam) p2 ¿ m2 c2
W.
1
4
≈
¯2
1 ¯¯ −iωS t−λS t 0
0
¯
hK |KS i + e−iωL t−λL t hK |KL i¯
¯e
2
´
1 ³ −2λS t
e
+ e−2λL t − e−(λS +λL )t cos(ωL − ωS )t
4
1 −2λS t 1 −2λL t 1 −λS t
1
e
+ e
− e
cos( ∆mc2 t)
4
4
2
}
(1.32)
......
p p p p p p p p pp p p p p p
pp p
p pp
p pp
ppp p p
ppp
ppp p
p pp
p p p pp p p p pp p p p p p p p p p p
p
p pp
ppp pp
p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p pp p pp
ppppp
p p p p p p p p p pp p p p p p p
p pp p p p p p
p
ppp pp
ppp p
p pp
pp p
p
p
p p p p p pp p p
........
...
1 −2λL t
Interferenz
......
........
.......4
,,Schwebung”
............
..............
...............
...............
..................
....................
....................
.....................
.......................
........................
.........................
..........................
...........................
..
e
KL -Zerfall
t
τS
,,Rabi-Oszillation”
⇒ Aus der Länge der Schwebung erhält man ∆m
Zeitentwicklung für beliebigen Eigenzustand:
Notation:
ωL − iλL =: αL , ωS − iλS =: αS
|ψ(0)i
=
|KS ihKS |ψ(0)i + |KL ihKL |ψ(0)i
|ψ(t)i
=
e−iαS t |KS ihKS |ψ(0)i + e−iαL t |KL ihKL |ψ(0)i
³
´
e−iαS t |KS ihKS | + e−iαL t |KL ihKL | |ψ(0)i
=
=: Ut |ψ(0)i
mit Ut
=
(1.33)
e−iαS t |KS ihKS | + e−iαL t |KL ihKL |
13
Zeitentwicklungsoperator
,,Propagator”
(1.34)
Differentialgleichung:
i
d
|ψ(t)i
dt
³
=
=
´
αS e−αS t |KS ihKS | + αL e−αL t |KL ihKL | |ψ(0)i
(1.35)
³
´ ³
´
αS |KS ihKS | + αL |KL ihKL | · e−iαS t |KS ihKS | + e−iαL t |KL ihKL | |ψ0 i
|
{z
}
= |ψ(t)i
⇒ i
d
|ψ(t)i =:
dt
mit H
=
1
H |ψ(t)i
}³
Schrödinger-Gleichung
} αS |KS ihKS | + αL |KL ihKL |
in |KL i, |KS i-Basis:
µ
.
H=}
(1.36)
´
αL
0
¶
0
αS
µ
=
.
Ut =
µ
Hamiltonoperator
Es − i}λS
0
e−iαL t
0
0
e−iαS t
0
EL − i}λL
¶
(1.37)
¶
wenn λS = λL = 0 ⇒ H † = H und Ut† Ut = 1
Zusammenhang zwischen H und Ut :
d
Ut
dt
=
HUt
Lösung: Ut
=
e− } tH ⇔ H = Ut−1
i}
mit U0 = 1
i
¡i d ¢
Ut
} dt
(1.38)
0
Versuchen Sie H und Ut in |K 0 i, |K i-Basis aufzuschreiben!
Zusammenfassung / Wiederholung
|ψ(t)i = Ut |ψ(0)i
Schrödingergleichung: i
d
1
|ψ(t)i = H |ψ(t)i
dt
}
i
falls H zeitunabhängig: Ut = e− } tH
unser Beispiel: H = }αS |KS ihKS | + }αL |KL ihKL |
in Eigenbasis |KL i, |KS i:
.
H=}
µ
¶
αS
αL
µ
−→ Ut =
¶
e−iαS t
e−iαL t
0
in |K 0 i |K i-Basis:
µ
¶
. } αS + αL αS − αL
H=
2 αS − αL αS + αL
}
}
H = (αS + αL )1 + (αS − αL )σ1
2
2
¶
e−iαS t + e−iαL t e−iαS t − e−iαL t
e−iαS t − e−iαL t e−iαS t + e−iαL t
µ
¶
t
cos(αS − αL ) 2t
−i sin(αS − αL ) 2t
−→ Ut = e−i 2 (αS +αL )
−i sin(αS − αL ) 2t
cos(αS − αL ) 2t
−→ Ut =
1
2
µ
Bemerkung: Wir hatten die Dichtematrix eines Gemisches definiert als
ρ = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | ,
14
|ψ1 i |ψ2 i ist ONBasis.
Setzt sich der Strahl aus mehr Anteilen zusammen, gilt analog
ρ=
n
X
pi |ψi ihψi |
mit hψi |ψi i = 1 , aber nicht orthogonal, trotzdem 2 × 2 Matrix bei Photonenpolarisation.
i
Nur die Zerlegung von ρ in zwei orthogonale Projektoren ist eindeutig.
II
Elemente der linearen Algebra
a)
Vektoren = Kets
lineare Vektorräume V über
C mit Elementen a, b, c ∈ V , λ, µ, . . . ∈ C
|λa + µbi = λ |ai + µ |bi
Basis { |ii, i = 1, . . . , d} = { |1i, |2i, . . . , |di} ; d = dim V, Dimension
P
Zerlegung |ai =
|iiai eindeutig, ai ∈ C
i
b)
Dualvektoren = Bras
Linearformen in V bilden den dualen Vektorraum V ∗ , ã, b̃, c̃ ∈ V ∗ .
Dualer Vektorraum:
V ∗ 3 Bra: V −→ C
hã| : |bi 7−→ Zahl hã| ( |bi) ∈ C
∗
∗
antilinear:
n hλã + µb̃| =oλ hã| + µ hb̃|
P
Basis hĩ| , i = 1, . . . , d˜ Zerlegung hã| =
ãi hĩ|
i
˜
Bei unendlich dimensionalen Vektorräumen kann es durchaus vorkommen, dass d 6= d.
c)
Skalarprodukt
V × V 7−→ C
( |ai, |bi) 7−→ ha|bi = −hb|ai sesquilinear
∗
• wenn auf allen Vektoren erklärt, dann ist V unitär, z.B. V = Cd
†
• definiert eine Konjugation V À V , |ai 7−→ |ai† = hã| vermöge hã| ( |bi) = ha|bi
• sesquilinear: ha|λb + µci = λha|bi + µha|ci
hλb + µc|ai = λ∗ hb|ai + µ∗ hc|ai
• definiert eine Norm: Norm2 ( |ai) = | |ai| = |a| := ha|ai ∈ R≥0
|ha|bi| ≤ |a| · |b|, |a + b| ≤ |a| + |b|
2
2
• ONBasis: { |ii} :Phi|ji = δijP
|ai =
|iiai =
|iihi|ai
iP
i
P ∗
P
2
ha|bi = ha|iihi|bi =
ai bi , ha|ai =
|ai | ≥ 0
i
i
i
15
• wir können identifizieren: V ∗ ∼
= V , hã| = |ai† =: ha|
d)
äußeres Produkt
Das äußere Produkt ist eine lineare Abbildung von V nach V .
V × V ∗ −→ Lin(V → V )
( |ai, hb̃| ) 7−→ |aihb̃| : V −→ V
mit |vi 7−→ |ai hb̃| ( |vi)
| {z }
V unitär
=
|aihb|vi
Zahl
V sei unitär ⇒ (|aihb|)† = |biha|
|aiha|
= Pa Projektor, hermitesch, rg Pa = 1
ha|ai
P
P
Zerlegung der Eins: 1 =
|iihi| = Pi mit Pi Pj = δij Pi (keine Summe über i)
speziell:
i
e)
i
lineare Operatoren
Ω : V −→ V
|ai 7−→ |a i = Ω |ai =: |Ωai
0
Ω |λa + µbi = λΩ |ai + µΩ |bi
(ΛΩ) |ai = Λ(Ω |ai) = Λ |Ωai = |ΛΩai
)
linear
Kommutator: [Ω, Λ] := ΩΛ − ΛΩ = − [Λ, Ω]
Es gilt: [Ω, ΛΘ] = Λ [Ω, Θ] + [Ω, Λ] Θ
[[Λ, Ω] , Θ] + [[Θ, Λ] , Ω] + [[Ω, Θ] , Λ] = 0
vgl. Produktregel beim Differenzieren
Jacobi-Identität
In ONBasis:
hi|Ω|ji = Ωij ↔ Ω =
X
Ωij |iihj| =
ij
X
ij
(ΩΛ)ij = hi|ΩΛ|ji =
X
k
f)
|iiΩij hj| =
X
|iihi|Ω|jihj|
ij
hi| Ω |kihk| Λ |ji =
| {z }
1
X
Ωik Λkj
k
adjungierte Operatoren
Zu Ω adjungierter Operator: Ω† : V ∗ −→ V ∗
f := |Ωai† = (Ω |ai)†
hã| 7−→ hã0 | = hã| Ω† = hΩa|
|ai
Ω
...........
.......
†
... ..
......
.
hã|
|Ωai
†
... ..
......
.
Ω
..........
.......
16
f
hΩa|
Es gilt: (ΩΛ)† = Λ† Ω†
(analog: (ΩΛ)−1 = Λ−1 Ω−1 )
^ = hΩ(Λa)|
^ = hΛa|
f Ω† = (hã| Λ† )Ω† = hã| Λ† Ω†
Beweis: hã| (ΩΛ)† = h(ΩΛ)a|
† †
Ferner ist (Ω ) = Ω.
ha|Ω|bi∗
k
=
=
hΩb|ai
←− V unitär −→
†
∗
hΩ a|bi
g)
ha|Ωbi∗
=
†
hb|Ω ai
=
k
hb|Ω† |ai
Eigenkets, Eigenwerte
Definition: Ω |ωi = ω |ωi
Dabei ist |ωi Eigenket zum Eigenwert ω. Im Falle von Entartung (mehrere Eigenkets zu einem (mehrfachen)
Eigenwert), schreibe |ω, αi, α = 1, . . . , g. Dabei ist g der Grad der Entartung = Dimension des Eigenraums.
|aiha|
ha|ai
= 1 · |ai, Pa |a⊥ i = 0 mit |a⊥ i senkrecht zu |ai.
P
Es sind auch
λα |ω, αi Eigenkets zum Eigenwert ω.
Pa |ai =
α
Falls es eine vollständige ONBasis { |ωi i} von Ω-Eigenkets gibt, gilt:


ω1
. 

ω2
hωi |Ω|ωj i = δij ωi (keine Summe)
(Ωij ) = 
 ,
..
.
Spektralzerlegung:
Ω=
X
ωi |ωi ihωi | =
X
i
Ω |ωi i = ωi |ωi i ,
hωi |ωj i = δij
.
ωi Pi = diag(ωi )
i
{ωi } heißt Spektrum des Operators Ω.
tr Ω =
P
i
h)
ωi , det Ω =
Q
i
ωi , rg Ω = # (ωi 6= 0)
-
Anzahl
Unitäre Operatoren
U unitär ⇔ U † U = 1 = U U †
Das Skalarprodukt ist invariant unter Transformationen U , d.h. U erhält das Skalarprodukt:
†
hU a|U bi = (ha| U † )(U |bi) = ha| U
| {zU} |bi = ha|bi. Es gilt sogar
1
hU a|U bi = ha|bi ∀ |ai, |bi
⇔
UU† = 1
⇔
U unitär.
Ferner ergibt sich folgende Ähnlichkeitstransformation von Ω:
hU a|Ω|U bi = ha|U † ΩU |bi ;
vergleiche mit ha|Ω|bi
Es sind äquivalent
(1) Transformation der Zustände |ai −→ |a0 i = |U ai, Ω −→ Ω
(2) Transformation der Operatoren |ai −→ |ai, Ω −→ Ω0 = U † ΩU
17
det(U † ΩU ) = det Ω ,
tr(U † ΩU ) = tr Ω
Eigenwerte und Eigenkets von U :
Betrachte zwei Eigenkets: U |ui i = ui |ui i, U |uj i = uj |uj i y huj | U † = u∗j huj |
y huj |ui i = huj | U † U |ui i = u∗j ui huj |ui i
2 Fälle:
i = j: hui |ui i =
6 0 y u∗i ui = 1 y ui = eiφ Phase.
i 6= j: entweder ui 6= uj (nicht entartet) y u∗j ui 6= 1 y huj |ui i = 0.
oder ui = uj (entartet) y u∗j ui = 1 y huj |ui i unbestimmt.
Fazit: ∃ vollständige ONBasis aus Eigenkets, falls U , U † auf ganz V definiert sind.
hermitesche Operatoren H † = H
i)
[det(H − λ1)]∗ = det(H − λ1)† = det(H − λ∗ 1) ⇒ Nullstellen λi sind reell ⇒ Eigenwerte reell, Eigenkets?
betrachte 2 Eigenkets: H |hi i = hi |hi i, H |hj i = hj |hj i → hi hhj |hi i = hhj |H|hi i = hhj |H † |hi i = h∗j hhj |hi i
• i=j:
hhi |hi i 6= 0 y hi = h∗i (Eigenwerte reell)
• i 6= j :
entweder
oder
hi 6= hj y hi 6= h∗j y hhj |hi i = 0
hi = hj (Entartung) y hi = h∗j y hhj |hi i unbestimmt y
kann in {λ |hi i + µ |hj i} orthogonalisieren
Fazit: ∃ ONB aus Eigenkets, vollständig falls H, H † auf ganz V definiert
j)
Diagonalisierung hermitescher Operatoren
• gegeben H in einer ONB { |ii}, gesucht: Rotation“ U in eine Eigenbasis { |hi i}, dann ∃ U unitär, so dass
”
U † HU = H 0 = diag(hi )
• gegeben zwei hermitesche Operatoren H, G, die kommutieren: [H, G] = 0, dann gibt es eine gemeinsame
Eigenbasis { |hi , gi i}, d.h. H |hi , gi i = hi |hi , gi i und G |hi , gi i = gi |hi , gi i ∀ i
Beweis: nehme an, dass G oder H nicht entartet ist (z.B. H), H-Eigenkets H |hi i = hi |hi i
H |Ghi i = H · G |hi i = G · H |hi i = G · hi |hi i = hi · G |hi i = hi |Ghi i
⇒ |Ghi i ist wie |hi i ein H-Eigenket zum Eigenwert hi
H nicht entartet y |Ghi i ∝ |hi i y G |hi i = gi |hi i, schreibe fortan |hi i := |hi , gi i
• ein Satz kommutierender hermitescher Operatoren kann simultan (mit einem U ) diagonalisiert werden,
d.h. die Eigenkets geben simultan Eigenwerte aller Operatoren
III
a)
Bewegung von Teilchen
unendlich viele Freiheitsgrade, Hilbertraum
bisher 2 Freiheitsgrade → Zustandsraum C2 , können mehr haben → { |ii} Basis i = 1, . . . , d
neu: d kann ∞ werden → abzählbar: Basis { |ii, i ∈ N}
→ überabzählbar: Basis { |xi, x ∈ R}
Beispiel: Orts- und Impulsmessung eines Teilchens in einer Dimension
etwa Ortsmessung: Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x + dx] zu finden
für dx → 0 ist diese Wahrscheinlichkeit ∝ dx und demnach:
W[x,x+dx] ( |ψi) = wx ( |ψi)dx,
wx ist die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort x
18
(3.1)
nach bisherigen Regeln
¯
¯2
wx ( |ψi) = ¯hx|ψi¯ ,
mit Filterzustand“ |xi (keine Polarisation!)
”
(3.2)
ist das Absolutquadrat einer (Wahrscheinlichkeitsdichten-) Amplitude
ψ(x) := hx|ψi ∈ C
Wellenfunktion“
”
(3.3)
Schreibweise hx|ψi suggeriert Existenz eines Skalarprodukts
|φi, |ψi 7−→ hφ|ψi ∈ C
auch im ∞-dimensionalen Zustandsraum V , d.h. auch eine Bijektion V ↔ V ∗ über die Konjugation
†
†
|φi 7−→ |φi† = hφ| ,
Basis-Darstellung:
endlich
hφ|ψi =
d
X
|
{z
=
d
P
i=1
neu bei d = ∞:
Definition:
P
i
bzw.
R
abzählbar
hφ|iihi|ψi −→
i=1
hφ| 7−→ hφ| † = |φi
}
∞
X
Z
hφ|iihi|ψi −→
i=1
{z
|
φ∗
i ψi
überabzählbar
=
∞
P
i=1
}
φ∗
i ψi
hφ|xihx|ψidx
{z
}
R
|R
(3.4)
= R φ∗
i (x)ψi (x)dx
dx muss konvergieren → Einschränkungen an Zustände, somit V
ein Hilbertraum H ist
(i) ein Vektorraum über
C [linear]
(ii) mit einem sesquilinearen Skalarprodukt [unitär]
(iii) in dessen Norm jede Cauchy-Folge konvergiert [Vollständigkeit]
(iv) und mit einer abzählbaren Basis [separabel]
Anmerkungen:
¯
¯
zu (iii): Cauchy-Folge { |ψn i, n ∈ N} derart, dass ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass ¯ |ψl i − |ψm i¯ < ε ∀ l, m ≥ N
Konvergenz heißt, dass Grenz-Ket |ψ∞ i in H liegt P
zu (iv): ∃ ONB { |ii}, so dass ∃ eindeutige Zerlegung |ψi = i |iihi|ψi ∀ |ψi ∈ H
(Mathematiker lassen auch überabzählbare Basen zu!)
Vorteil von H : V ∗ ' V
Zentraler Satz (Spektraldarstellung)
Zu jedem selbstadjungierten (→ hermitesch, D(A) = D(A† ))1 Operator A in H gibt es eine Zerlegung
Z
X
A=
|ai iai hai | +
|αiαhα| dα
(Skont = kontinuierliches Spektrum“)
”
Skont
i
mit A |ai i = ai |ai i, ai ∈ Sdiskret bzw. A |αi = α |αi, α ∈ Skont , wobei das Spektrum Sdiskret ∪ Skont ⊆ R
Mathematik:
1
α, |αi sind keine Eigenwerte bzw. Eigenkets, es existiert nur |αihα| dα
D : Definitionsbereich
19
(3.5)
R(A) = (z 1 − A)−1 → Spektrum = { Singularitäten von R }
Jedes solche A ist selbstadjungiert. Eigenkets von A taugen nur als vollständiges Orthonormalsystem (VONS)
von H , falls Skont = ∅. Vorsicht: |αi ∈
/H !
¡
¢
Beispiel: Lper
[0, 1] = { quadratintegrable periodische komplexe Funktionen auf [0, 1] }
2
R1
Skalarprodukt: (f, g) 7−→ 0 f ∗ (y)g(y) dy =: hf |gi
R1
2
2
Norm: |f | = 0 |f (y)| dy < ∞ ∀ f
√
R1
Basis: {en , n = 0, 1, 2, . . .} mit e0 (y) = 1 bzw. en>0 (y) = 2 · sin nπy → 0 e∗m en dy = δmn
∞
P
Vollständigkeit:
en (x)e∗n (y) = δ(x − y) Zerlegung der Eins“
”
n=0
R1 ∗
P
Entwick lung: f (y) = n en (y)fn mit fn = 0 en (y)f (y) dy
Nachteil des Hilbertraums als Zustandraum: Eigenvektoren“ zum kontinuierlichen Teil des Spektrums eines
”
selbstadjungierten Operators sind nicht normierbar: hα|αi = ∞, d.h. |αi ∈
/ H . Bezeichnung: uneigentliche
”
Kets“.
Beispiel: Orts- Eigenbasis“ auf R: Ortmessung ↔ selbstadjungierter Operator X mit Eigenkets“ |xi zu jedem
”
”
reellen Messwert x:
X |xi = x |xi
x∈R
(3.6)
Betrachte H = L2 (R), d.h. |ψi ist quadratintegrable Funktion, hψ| die komplex-konjugierte Funktion. Nehme
|xi 6∈ L2 (R) hinzu, dann korrespondiert über das Skalarprodukt dazu auch ein hx| :
Z
∗
∗
ψ (x) = hx|ψi
= hψ|xi = dy ψ ∗ (y)fx (y)
fx = Fkt., die zu |xi gehört
y fx (y) = δ(y − x)
Norm:
y
fx = δ( . − x)
Z∞
2
Z∞
2
hx|xi = |fx | =
−∞
Z∞
dy [δ(y − x)]2 =
dy |fx (y)| =
−∞
dy δ(y − x)δ(0) = δ(0) = ∞
−∞
außerdem enthält H auch unstetige und singulär quadratintegrable Funktionen ψ, d.h. hx|ψi ist nicht überall
eindeutig oder endlich.
Fazit: weder |xi noch hx| sind in H . Auswege:
∗
(a) Verkleinere
R auf V ⊂ H , z.B. fordere dass ψ stetig, diffbar., etc. y V ⊃ H , enthält |xi, weil dann
hx|ψi = dy δ(y − x)ψ(y) = ψ(x) eindeutig und endlich. ,
Aber: hx| ∈
/V Ã/
(b) Vergrößere auf V ⊃ H , z.B. lasse Distributionen zu. y V ∗ ⊂ H , enthält kein hx| . /
Dafür haben wir |xi ∈ V Ã ,.
mathematisch sauber: entweder V ∗ ⊃ H ⊃ V, oder W ∗ ⊂ H ⊂ W
(Stichwort: ,,Gelfandsche Raumtripel”)
Wie gehen wir mit diesem Problem um?
Benutze |xi, hx| als praktisches formales Konzept. Im Notfall können wir immer mit Wellenpaketen“ regula”
risieren:
2
1 − (y−x)
ε2
−→ δ(y − x)
|x, εi :
hy|y, εi = fx,ε (y) = √ e
ε→0
ε π
Z∞
(y−x)2
1
hx, ε| :
f 7−→ hx, ε|f i = √
dy e− ε2 f (y) −→ f (x)
ε→0
ε π
−∞
hx1 , ε|x2 , εi =
ε
1
√
2
Z∞
π
dy e−
(y−x1 )2
ε2
e−
(y−x2 )2
ε2
−∞
20
(x1 −x2 )2
1
= √ e− 2ε2 −→ δ(x1 − x2 )
ε→0
ε 2π
1
2
⇒ hx, ε|x, εi = | |x, εi| = √
ε 2π
−→ ∞
ε → 0
Wir rechnen mit kontinuierlicher Basis“ { |xi, x ∈ R}.
”
Orthonormiertheit :
hx1 |x2 i = δ(x1 − x2 )
delta-normiert“
”
Z
dx |xihx| = 1
Zerlegung der Eins
Vollständigkeit :
Z
⇒ |ψi =
Z
dx |xihx|ψi =
Z
dx |xiψ(x)
hφ|ψi =
(3.8)
Z
Test : hy|ψi =
Z
(3.7)
dx hy|xiψ(x) =
dx δ(y − x)ψ(x) = ψ(y)
Z
dx φ∗ (x)ψ(x)
dx hφ|xihx|ψi =
|ψi =
X
Z
|iihi|ψi =
(L2 − SKP)
Z
dx |xihx|ψi =
dx |xiψ(x)
i
Basiswechsel: von { |xi} zu { |ii} mit hx|ii =: fi (x):
Z
Z
(3.8)
ψi = hi|ψi =
dx hi|xihx|ψi = dx fi∗ (x)ψ(x)
von { |ii} zu { |xi}:
ψ(x) = hx|ψi =
(3.9)
X
X
hx|iihi|ψi =
fi (x)ψi
i
(3.10)
i
(3.9) und (3.10): Entwicklung von ψ(x) nach ONB {fi (x)}.
Basiswechsel von { |xi} zu { |ki} mit hx|ki =: fk (x):
Z
Z
ψ̃(k) = hk|ψi = dx hk|xihx|ψi = dx fk∗ (x)ψ(x)
und zurück:
Z
ψ(x) = hx|ψi =
(3.11)
Z
dx hx|kihk|ψi =
dk fk (x)ψ(k)
(3.12)
wichtig: Zustand |ψi ist immer der gleiche Vektor im H , nur dargestellt durch Wellenfkt. ψ(x) in einer, oder
ψ̃(k) in einer anderen Basis.
b)
Operatoren im Hilbertraum V
linearer Operator Ω : V → V mit |ψi 7→ Ω |ψi.
in Ortseigenbasis { |xi}:
Ω
Z
ψ(x) = hx|ψi 7→ hx|Ω|ψi =
Z
dy hx|Ω|yihy|ψi =:
y allg. homogene lineare Transformation von ψ(x)
Eigenwertproblem: Ω |ωi = ω |ωi in Ortseigenbasis:
Z
dy hx|Ω|yihy|ωi = ωhx|ωi
dy Ω(x, y)ψ(y)
hx|Ω|yi =: Ω(x, y)
Z
↔
dy Ω(x, y)fω (y) = ωfω (x)
Achtung: Definitionsbereich von Ω beeinflußt das Spektrum {ω},
z.B.: L2 (R) 6= Lperiod.
([0, 1]) 6= LDirichlet
([0, 1]).
2
2
21
(3.13)
Integralkern
in diskreter Basis { |ii}:
Ω
ψi = hi|ψi −→ hi|Ω|ψi =
X
hi|Ω|jihj|ψi =:
X
j
Ωij ψj
(3.14)
j
Zusammenhang per Basiswechsel:
Ωij = hi|Ω|ji =
R
dx
Ω(x, y) = hx|Ω|yi =
R
dy hi|xihx|Ω|yihy|ji =
PP
i
hx|iihi|Ω|jihj|yi =
j
R
dx
R

dy fi∗ (x)Ω(x, y)fj (x) 

PP
fi (x)Ωij fj∗ (y)
i


(3.15)
j
Wichtige Operatoren auf L2 (R):
• Identität:
1 = Id : 1 |ψi = |ψi
1ij = hi|1|ji = δij ;
• Multiplikationsoperator = Ortsoperator X :
1(x, y) = hx|1|yi = δ(x − y)
(3.16)
X |xi = x |xi auf Ortseigenzustände
X
ψ(x) = hx|ψi −→ hx|X |ψi = hx|X † |ψi = xhx|ψi = x · ψ(x) = ψ̌(x)
mit ψ̌ = x · ψ
hx|X |yi = hx|yiy = δ(x − y) · y = x · δ(x − y)
Z
Z
Z
hφ|X |ψi = dx
dy hφ|xihx|X |yihy|ψi = dx φ∗ (x) x ψ(x)
(3.18)
D : |ψi 7→ |ψ 0 i
• Ableitungsoperator D, K := −iD
D
ψ(x) = hx|ψi 7→ hx|D|ψi = hx|ψ 0 i = (
Z
y
(3.17)
Z
dy hx|D|yihy|ψi =
d
ψ)(x)
dx
dy δ(x − y)
(3.19)
d
hy|ψi
dy
d
y hx|D|yi = δ(x − y)
dy
Z
d
hφ|D|ψi = dx φ∗ (x) ψ(x)
dx
¡
¢
X existiert nicht immer, z.B. nicht auf Lperiodisch
[0,
1]
2¡
¢
D existiert nicht immer, z.B. nicht auf C 0 [0, 1]
(3.20)
(3.21)
D ist nicht hermitesch:
µZ
†
hψ|D |φi =
=
=
¶∗
hφ|D|ψi =
dx φ (x)ψ (x)
Z
Z
¯
p.I. ∗ ¯
0∗
dx ψ (x)φ(x) = ψ φ¯
− dx ψ ∗ φ0 (x)
Rand
¯
¯
ψ ∗ φ¯
− hψ|D|φi
∗
∗
0
Rand
falls V so gewählt ist, dass die Randterme Null sind, ist D antihermitesch
y definiere K := −iD ist hermitesch auf Lperiodisch
oder LDirichlet
oder L2 (R)
2
2
Spektrum von X ist bekannt, nämlich R
Spektrum von K?
³
´
d
fk (x) = kfk (x) mit fk (x + L) = fk (x)
Eigenwertproblem von K auf Lperiodisch
[0,
1]
: −i dx
2
Lösung:
2πn
1 2πinx
S(K) = {kn =
, n ∈ Z}, fn (x) ≡ fkn (x) = √ e L = hx|ni
L
L
22
(3.22)
Eigenwertproblem von K auf L2 (R): wie oben, mit L → ∞
Lösung:
1
S(K) = {k ∈ R}, fk (x) = √ eikx = hx|ki
2π
(3.23)
Die k-Eigenkets |ki sind nicht normierbar:
hk1 |k2 i =
Übergang { |xi}-Basis zur { |ki}-Basis auf
1
2π
Z
∞
dx e−ik1 x eik2 x = δ(k1 − k2 )
(3.24)
−∞
R:
hx|ψi = ψ(x)
Z
hk|ψi =
Z
Z
dx fk∗ (x)ψ(x)
dx hk|xihx|ψi =
=
dx
√ e−ikx ψ(x) =: ψ̃(k)
2π
(3.25)
Fourier-Transformation verbindet X -Eigenbasis mit K-Eigenbasis:
d
hx|K|ψi = −i dx
hx|ψi
hk|K|ψi
=
khk|ψi
R
K = R dk |kikhk|
hx|X |ψi = xhx|ψi
d
hk|X |ψi
R = i dk hk|ψi
X = R dx |xixhx|
Z
hφ|X |ψi =
hφ|K|ψi =
Z
d
dx φ (x) x ψ(x) = dk φ̃∗ (k) i ψ̃(k)
dk
Z
Z
d
− dx φ∗ (x) i ψ(x) = dk φ̃∗ (k) k ψ̃(k)
dx
∗
(3.26)
Kommutator: [X , K]:
³
´
³
´
³
´
³
³
´
d ´
d ´³
[X , K]ψ (x) =
X Kψ (x) − KX ψ (x) = x − i ψ (x) − − i
xψ(x)
dx
dx
= −ixψ 0 (x) + ixψ 0 (x) + iψ(x) = iψ(x)
⇒ [X , K] = i1
(3.27)
Interpretation:
ebene Welle mit Wellenzahl k̂ fest, p = }k̂
hx|ψ(t = 0)i
⇒ hx|ψ(t)i
hk|ψ(t)i
1
√ eik̂x = ψ(x, t = 0) = hx|k̂i
2π
1 ik̂x−iωt
= √ e
= hx|k̂ie−iωt
in x-Basis
2π
= δ(k − k̂)e−iωt = ψ̃(k, t) = hk|k̂ie−iωt
in k-Basis
=
P := }K = −i}D
(3.28)
heißt Impulsoperator, weil für ebene Welle
hx|P |ψ(t)i =
}
} ∂
hx|D|ψ(t)i =
hx|ψ(t)i = }khx|ψ(t)i = phx|ψ(t)i
i
i ∂x
y [X , P ] = i}1
kanonische Vertauschungsrelation
23
(3.29)
c)
Das freie Teilchen
klassisch:

 Licht
Materie
Energie-Impuls-Beziehung

E(~
p) = c|~
pp|
mc2 + p~2 c2
relativistisch
E(~
p) =
p
~2
X
»
H
©
»
2
X
»−2
E(~
p) = ©
mcH
+ 2m
+»
O(c
nichtrelativistisch
X
X)
in einer Dimension p~ → p
Eigenzustand |ki zu k ist Materiewelle
mit p = }k und E(p) =
¸
i
Zeitabhängigkeit: eiωt = e− } E(p)t
Allgemeiner Zustand |ψi ist Superposition von |pi =
Z
|ψ(t)i =
√1
}
p2
2m
|ki, zu allen Zeiten:
Z
dp |pihp|ψ(t)i =
i
dp |pie− } E(p)t hp| |ψ(0)i =: U (t) |ψ(0)i
|
{z
}
(3.30)
U (t)
Normierung:
p=}k
!
hp|p0 i = δ(p − p0 ) =
1
1
δ(k − k 0 ) = hk|k 0 i y
}
}
P |pi = p |pi, hx|pi = √
1
|pi = √ |ki
}
i
1
e } px
2π}
(3.31)
Damit ist die Wellenfunktion:
Z
Z
− }i E(p)t
ψ(x, t) = hx|ψ(t)i =
dp hx|pie
hp|ψ(0)i =
³
dp }i
√
e
2π}
´
px−E(p)t
ψ̃(p, 0)
(3.32)
Differentialgleichung für |ψ(t)i ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:
Z
Z
i
(3.30)
i}∂t |ψ(t)i
=
dp |piE(p)e− } E(p)t hp|ψ(0)i = dp E(P ) |pihp|ψ(t)i
=
E(P ) |ψ(t)i := H |ψ(t)i
(3.33)
mit dem Hamilton-Operator H aus der Hamilton-Funktion h(x, p):
H = h(X , P ) =
Hier für V = 0 :
H=
P2
2m
P2
+ V (X )
2m
(3.34)
= E(P )
y i}∂t ψ(x, t)
(3.33)
= i}∂t hx|ψ(t)i = hx|H|ψ(t)i
1
}2
}2 ∂ 2
=
hx|P 2 |ψ(t)i =
hx|K 2 |ψ(t)i = −
hx|ψ(t)i
2m
2m
2m ∂x2
}2 2
∂ ψ(x, t)
2m x
Schrödinger-Gleichung = Diffusionsgleichung in imaginärer Zeit.
d.h.
i} ∂t ψ(x, t) = −
Eigenschaften:
1. linear in ψ ↔ Superpositionsprinzip
2. homogen ↔ ψ-Normierung ist frei
3. 1. Ordnung in t → ψ(x, t) determiniert aus Anfangswert ψ(x, 0)
24
(3.35)
4. ebene Wellen sind Lösungen bei V ≡ 0
V ≡ 0: Lösung ist wegen E(p) =
p2
2m
Z
∞
ψ(x, t) =
−∞
³
dp }i
√
e
2π}
2
p
px− 2m
t
´
ψ̃(p, 0)
für ein Anfangsprofil ψ̃(p, 0) in den Impulsen. Diese Lösung nennt
man
¯
¯ Wellenpaket.
einfachste Situation: Anfangsprofil im Impulsraum ψ̃(p, 0) = ¯ψ̃(p, 0)¯eiα(p) :
.
......
ŕ
ŕ
ŕψ̃(p, 0)ŕ
........................
....
....
....
...
...
...
.
.
..
..
..
..
...
.
.. .....
.
.
.
...... ....
.. ..
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..
..
.
∆p
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...
..
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..
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.
....
...
.
.......
.
.
.
.
....
..........................
..........................
........
p0
p
Analyse des p-Integrals ; ψ(x, t) ist konzentriert um xklassisch (t) =
.
.....
ŕ
ŕ
ŕψ̃(x, t)ŕ
p0
t − }α0 (p0 ) =: vt + x0
m
Schnappschuss:
.........................
.....
....
....
...
...
...
.
.
...
..
.
...
.
..
...
.
.
.
...
....
...
... . ..
.
........ ....
... ....
..
...
..
∆x(t)
..
...
..
.
..
..
..
...
...
...
...
...
..
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..
..
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..
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...
.
..
.....
.
.
.
.
.......
...
.
.
.
.
.
.
.........................
.
.
.
.
.......................
xklassisch (t)
........
x
mit |∆x · ∆p| & π} Unschärfe.
Schrödingergleichung:
i}∂t |ψi = H |ψi
y Lösung: |ψ(t)i = U (t) |ψ(0)i
− }i tH
falls H zeitunabhängig: U (t) = e
P2
freies Teilchen: H = 2m
in der Ortsbasis { |xi} : hx|ψ(t)i ≡ ψ(x, t)
i}∂t ψ(x, t) = −
Berechnungsarten:
R
p2
i
} (px− 2m t) ψ̃(p, 0)
e
• ψ(x, t) = √dp
2π}
• ψ(x, t) =
R
dy hx|U (t)|yi ψ(y, 0)
| {z }
U (t;x,y)
mit U (t; x, y) =
p
im (x−y)
m
2}t
2πi}t e
2
25
}2 2
∂ ψ(x, t)
2m x
2
i}t
• ψ(x, t) = e− 2m ∂x ψ(x, 0)
Welches Wellenpaket ψ(x) minimiert die Unschärfe ∆X ∆P ? Zeitentwicklung?
Unschärfe folgt aus einer Vertauschungsrelation!
Beweis: (allgemein für zwei hermitesche Operatoren A, B)
definiere  := A − hAi1 und B̂ := B − hBi1, so dass hÂi = hB̂i = 0 , hÂ2 i = (∆A)2 , hB̂ 2 i = (∆B)2 .
Achtung:
Dies hängt vom Zustand |ψi ab, da hAi ≡ hψ|A|ψi ist.
h
i
Â, B̂ = [A, B]
Trick: betrachte Schar von Kets |Φ(λ)i := (Â + iλB̂) |ψi für |ψi fest und λ ∈ R.
Es gilt: 0 ≤ hΦ(λ)|Φ(λ)i = hψ|(Â − iλB̂)(Â + iλB̂)|ψi
= hψ|Â2 + iλÂB̂ − iλB̂  + λ2 B̂ 2 |ψi
= (∆A)2 + λ2 (∆B)2 + iλh[A, B]i
reelles quadratisches Polynom in λ
y Diskriminante ist ≤ 0
(ih[A, B]i)2 − 4(∆A)2 (∆B)2 ≤ 0
¯
1 ¯¯
¯
(∆A)(∆B) ≥ ¯h[A, B]i¯ ∀ |ψi
2
allgemeine Unschärferelation
y
y
(3.36)
minimale Unschärfe bei Sättigung der Ungleichung, d.h. für einen Zustand |ψi mit der Bedingung
0
=
hΦ(λ)|Φ(λ)i ⇔ |Φ(λ)i = 0 ⇔ (Â + iλB̂) |ψi = 0
y
∆A
|Â |ψi| = λ|B̂ |ψi| y hψ| |{z}
Â2 |ψi = λ2 hψ| |{z}
B̂ 2 |ψi y λ =
∆B
=(∆A)2
y
=(∆B)2
Â
B̂
|ψi + i
|ψi = 0
∆A
∆B
(3.37)
bestimmt ,,minimales Wellenpaket” |ψi für gegebene Operatoren A, B
Achtung: ∆A, ∆B hängen auch von |ψi ab.
Für diese |ψi gilt ∆A · ∆B = 12 |h[A, B]i|
Zurück zu A = X , B = P, [A, B] = i}1
Unschärfe (3.36) ⇒ ∆X · ∆P ≥
X̂
∆X
minimales Paket (3.37) ⇒
}
2
P̂
|ψi + i ∆P
|ψi = 0
Projektion in den Ortsraum
Ortseigenbasis: y hx|
X − hX i
P − hP i
|ψi + ihx|
|ψi
∆X
∆P
Verwende x0 := hX i, p0 := hP i.
y
minimales Wellenpaket: ∆X · ∆P =
}/i ∂x − p0
x − x0
ψ(x) + i
ψ(x) = 0
∆X
∆P
}
2
∆P
y }∂x ψ(x) = ip0 ψ(x) −
(x − x0 )ψ(x) =
∆X
26
µ
¶
}(x − x0 )
ip0 −
ψ(x)
2(∆X )2
(3.38)
Lösung der Differentialgleichung:
i
p x−
(x−x0 )2
ψ(x) = N · e } 0 4(∆X )2
,,minimales Gauß-Paket”
1
£
¤
R
−
2
Normierung: 1 = dx |ψ| y N = 2π(∆X )2 4
i
Phase frei: man kann p0 x −→ p0 (x − x0 ) durch Phase e− } p0 x0 verschieben.
(3.39)
Eigenschaften dieses minimalen Paketes:
(i) hψ|X |ψi = x0 ;
hψ|(x − x0 )2 |ψi = (∆X )2
hψ|P |ψi = p0 ;
(∆X )2
i
2
(ii) hp|ψi ≡ ψ̃(p) = N 0 · e− } x0 p− }2 (p−p0 )
}
wieder Gauß-Paket mit ∆P = 2∆X
2
(iii) w(x) = |ψ(x)| =
−
√ 1
e
2π∆X
(x−x0 )2
2(∆X )2
(iv) Zeitliche Entwicklung?
|ψ(0)i = Gaußsches Minimal-Paket (x0 , p0 , ∆X )
£
¤− 1 i p x− (x−x0 (t))2
ψ(x, t) = 2π(∆X )2 (t) 4 e } 0 4(∆X )2 (t)
mit hP i(t) = p0 , ∆P (t) =
}
2∆X
= const , hX i(t) = x0 (t) = x0 +
(∆X )2 (t) = (∆X )2 +
⇒ nicht-minimales Paket für t > 0
p0
mt
}2 t2
4m2 (∆X )2
Zerfließen des Wellenpaketes“
”
∆x(t)
....
∆x
.....
.....
...... .....
...... .....
.
.
.
.
.
.
....... .. .....
.......
......... .... ...
...........
.
......................
....
.
.....
.....
.....
....
.
.....
......
.....
t
Zwei Zahlenbeispiele
betrachte Objekt mit Masse m, lokalisiere es im Ort auf ∆x ≈ d (,,Größe”)
t groß
}t
}
Abschätzung: ∆p ∼ 2∆x
; ∆V ∼ ∆P
y ∆x(t) ∼ t · ∆V ∼ 2m∆x
m
(a) Staubkorn: m = 10−15 kg
(b) Elektron: m = 10−30 kg
d)
d ≈ 1µm
y ∆x(650a) ≈ 1mm
d ≈ 10−5 cm y ∆x(1s) ≈ 1km
Summe über Pfade
Der Propagator U (t) kann ausgedrückt werden durch die Wirkung S der klassischen Teilchenbahn.
Betrachte freies klassisches Teilchen, dass sich von (y, 0) nach (x, t) entlang einer Bahn ξ(τ ) bewege.
... ξ
x
y
..........................
......
..
.....
......
....
..............................
.. .
......
.
.
.
.
.
.
.
....
.....
...
.....
...
.....
....
.....
ξ
: klassische
cl
.
...
.
.
.
.
.
.
.....
...
.....
..
...... .....
..
Bahn
.....
0
t
27
τ
(3.40)
(3.41)
berechne Wirkung
Zt
Zt
˙ =
dτ L(ξ, ξ)
S[ξ|y, 0 ; x, t] =
0
klassische Bahn
dτ
0
m ˙2
ξ
2
x−y
·τ
t
¶2
µ
Zt
m(x − y)2
m
x−y
=
Wert von Scl (y, 0 ; x, t) := S[ξcl |y, 0 ; x, t] =
dτ
2
t
2t
x−y
ξ¨cl = 0 y ξ˙cl = v =
t
y ξcl (τ ) = y +
0
Wir hatten gefunden
r
hx|U (t)|yi =
im(x−y)2
m
e 2}t
=
2πi}t
r
i
m
e } Scl (y,0 ; x,t)
2πi}t
(3.42)
y Ortsabhängigkeit gegeben durch Phasenfaktor mit Phase = }i ·(Wirkung der klassischen Teilchenbahn).
Zerlegung des Propagators über seine Kompositionseigenschaft U (t2 ) · U (t1 ) = U (t1 + t2 )
+∞
Z
y hx2 |U (t1 + t2 )|x0 i = hx2 |U (t2 ) · U (t1 )|x0 i =
dx hx2 |U (t2 )|x1 ihx1 |U (t1 )|x0 i
−∞
....
x2
x0
ξ
...........
... ............................
...............
...
...............
..
...........
...
.
.
.........
...
..........................
.
.
............... ................................
.
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...... ..... .......
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...... ......................
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.......... ........... ................
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...... ...... .........
.
.
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..... ..... .......
.... ...
........................
.................... .....
.......................................................
...
......................................................
.............................. .....
.........
.....
t0
t0 + t1
t0 + t1 + t2
τ
R
y Wahrscheinlichkeitsamplitude von (x0 , t0 ) nach (x, t) = (x2 , t0 + t1 + t2 ) ist die ,,Summe” ( dx) aller
Amplituden
(x0 , t0 ) −→ (x1 , t0 + t1 ) −→ (x, t)
über beliebige Zwischenstopps x bei τ = t0 + t1
y Amplitude mit Zwischenstopps = Produkt der ,,Stück-Amplituden”
y Phase
=
=
1
(Scl (x0 , t0 ; x1 , t0 + t1 ) + Scl (x1 , t0 + t1 ; x2 , t0 + t1 + t2 ))
}
1
S2 (x0 , t0 ; x2 , t0 + t1 + t2 ) für speziellen 2-stückigen Weg über (x, t0 + t1 )
}
Diese Wegaufspaltung lässt sich nun beliebig iterieren
Z
Z
hx3 |U (t1 + t2 + t3 )|x0 i = dx1 dx2 hx3 |U (t3 )|x2 ihx2 |U (t2 )|x1 ihx1 |U (t1 )|x0 i
|
{z
}
Wirkung von Dreistückigem Weg ∼ei/} ·S3 (x0 ,t0 ; x,t)
28
...
x3
x0
ξ
..........
...... .................
.........
.....
...
......
.
.
.
.
.
.......
..
..............
.................................................
........ .........
.
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... .......
...
.....
..
......
... ....
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.....
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... .....
.......
...
......
.. .... .......
...... ..........
...
....... ........
........
..
...............
..
...............
.
.
.
.
.
.
....................
......
.....
.............
......
...
............. ..........
......
.........
...
......
...
......
...... ....
...... ..
.....
t0
t
hx|U (t)|yi ∝
Z
X
i
.....
τ
i
e } S[ξ|y,0 ; x,t] = hx|e } tH |yi
(3.43)
Pfade ξ
Pfadintegraldarstellung des Propagators
Feynman-Integral
Notation:
Z
X
Zx
−→
Pfade ξ
IV
a)
Dξ(t)
y
Hamilton-Formalismus
Postulate
P I. Den Observablen eines physikalischen Systems entsprechen die selbstadjungierten Operatoren Ω in einem
Hilbertraum. Die möglichen Messwerte bei Einzelmessung an einem physikalischen System sind bestimmt
durch das Spektrum Ω.
P II. Die Operatoren, die den kartesischen Orts- und Impulskoordinaten eines Teilchens zugeordnet sind,
genügen der heisenbergschen Vertauschungsrelation:
[Qj , Pk ] = i}δjk 1
[Qj , Qk ] = 0 = [Pj , Pk ],
(4.1)
Kommentare:
• klassisch ω(q, p) ←→ Quantentheorie Ω = ω(q → Q, p → P ),
i. A. nicht eindeutig, z. B. ω = qp2 −→ Q1 = 12 (QP 2 + P 2 Q) oder
Q2 = P QP
P III. Die Quantentheorie gibt quantitative Vorhersagen über das Verhalten von Gesamtheiten von physikalischen Systemen. Über das Ergebnis einer Messung an den Systemen der Gesamtheit sind (i. A.) nur
Wahrscheinlichkeitsvorhersagen möglich. Der Zustand einer quantenmechanischen Gesamtheit zu einer
festen Zeit ist zu beschreiben durch einen Dichteoperator
X
ρ=
pi |iihi|,
(4.2)
i
P
wobei die |iihi| Orthogonalprojektoren in H sind und pi ∈ R mit 0 ≤ pi ≤ 1, i pi = 1. Der Erwartungswert hΩi für die Messung der Observablen Ω in dem so charakterisierten Zustand p ist
X
hωi = tr(ρΩ) =
pi hi|Ω|ii
(4.3)
i
Kommentare:
29
• Ausnahme (sicheres Messergebnis):
Ω ist entartet im Zustand ρ, dann ist das Messergebnis sicher.
Beispiel: H = C3 , ρ = p1 |1ih1| + p2 |2ih2| (p3 = 0)
Ω = α|1ih1| + α|2ih2| + β|3ih3|
⇒ hΩi = tr(ρΩ) = αp1 + αp2 + β · 0 = α (Eigenwert)
• Ja/Nein-Observablen:
Wω0 (ρ)
=
Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Messwertes ω0
R
P
für die Zerlegung Ω = k ωk |kihk| (bzw. Ω = ωk |kihk|dk)
Die dazu gehörige Observable ist P0 = |ω0 ihω0 | (falls ω0 nicht entartet), denn entweder EW =
1 ←→ ω0 gemessen ( ja“) oder EW = 0 ←→ nicht ω0 gemessen ( nein“). Der Erwartungswert
”
”
von P0 ist die relative Häufigkeit des ω0 -Messwerts im Zustand ρ:
X ¯
¯2
P
P
Wω0 (ρ) = hP0 i = tr(ρP0 ) = tr ( i pi |iihi|ω0 ihω0 | ) = tr ( i pi hω0 |iihi|ω0 i) =
pi ¯hω0 |ii¯ (4.4)
i
• Spezialfall reiner Zustand:
pi = δi0 y ρ = |0ih0| =: |ψihψ| y hΩi = tr (|ψihψ|Ω) = hψ|Ω|ψi
(4.5)
Für Ja/Nein-Observable P0 :
2
2
Wω0 ( |ψi) = hψ|P0 |ψi = |hω0 |ψi| = |P0 |ψi|
Wann sicher? Wenn |ψi = |ω0 i y hΩi = ω0 ,
(4.6)
Wω0 ( |ω0 i) = 1
P IV. Wenn eine Gesamtheit durch den Dichteoperator ρ beschrieben wird, so verändert eine ideale Messung
von Ω mit Ergebnis ω die Beschreibung zu
ρ0 =
Pω ρPω
=: ρω ,
tr(Pω ρPω )
Zustandsreduktion“
”
Kollaps der Wellenfunktion“
”
(4.7)
wobei Pω auf den Ω-Eigenraum zu ω projiziert.
Kommentare:
rω
P
• i. A. ist PΩ =
|ω, sihs, ω|,
s=1
rω : Entartungsgrad (rω = Rang von Pω )
wobei { |ω, si, s = 1, . . . , rω } den Eigenraum als Orthonormalbasis aufspannen.
• Spezialfall Nichtentartung:
rω = 1, d. h. Pω = |ωihω|
ρ0 =
»
»»
|ωi»
hω|ρ|ωihω|
= |ωihω| = Pω
»
»»
hω|ρ|ωi
»
y
rein!
⇔
|ψ 0 i = |ωi
(4.8)
|ψ 0 i = Pω |ψi
(4.9)
• Spezialfall reiner Ausgangszustand:
ρ = |ψihψ|, dann folgt nach Messung von Ω : ω (lies: mit Ergebnis ω“)
”
y
Anwendung:
ρ0 =
Pω |ψihψ|Pω
|ψ 0 ihψ 0 |
=
= P |ψi0
hψ|Pω |ψi
hψ 0 |ψ 0 i
rein!
⇔
aufeinander folgende Messungen
• Messe erst Ω, dann Λ an einem System ρ, wobei ω = Eigenwert von Ω, λ = Eigenwert von Λ.
30
• Wie groß ist Wω,λ (ρ) nacheinander erst ω, dann λ zu messen?
Wω (ρ) = tr(ρΩ)
und
Wλ (ρω ) = tr(ρω Pλ ) =
⇒
ρ 7−→ ρω =
Pω ρPω
tr(Pω ρPω )
tr(Pλ Pω ρPω Pλ )
tr(Pω Pλ Pω ρ)
=
tr(Pω ρPω )
tr(Pω ρ)
Wω,λ (ρ) = Wλ (ρω ) · Wω (ρ) = tr(Pω Pλ Pω ρ)
• Wie groß ist Wλ,ω (ρ) für die umgekehrte Reihenfolge?
⇒
Wλ,ω (ρ) = tr(Pλ Pω ρ)
• Was vereinfacht sich bei einem reinem Zustand ρ = |ψihψ|?
Wω ( |ψi) = hψ|Pω |ψi
und
Wλ ( |ψω i) = hψω |Pλ |ψω i =
⇒
|ψi 7−→ |ψω i =
Pω |ψi
|Pω |ψi|
hψ|Pω Pλ Pω |ψi
hψ|Pω |ψi
Wω,λ ( |ψi) = hψ|Pω Pλ Pω |ψi
war klar!
• Wann hängt die Wahrscheinlichkeit in keinem Zustand |ψi von der Messreihenfolge ab?
!
!
⇒ Pω Pλ Pω = Pλ Pω Pλ ⇔ [Pω , Pλ ] = 0 ⇔ Pω Pλ = Pω∩λ
-
gemeinsamer Eigenraum
(4.10)
falls dies auch noch für alle möglichen Messwerte (ω, λ) gelten soll, dann folgt aus der Spektralzerlegung:
[Ω, Λ] = 0
(4.11)
• Paar von selbstadjungierten Operatoren (Ω, Λ) fallen in 3 Klassen:
a) kompatibel:
[Ω, Λ] = 0 y ,,gleichzeitig messbar”, gemeinsame Eigenkets
b) inkompatibel:
[Ω, Λ] = Γ und 0 ∈
/ Spektrum(Γ) y es gibt keine gemeinsamen Eigenkets
c) andere:
sind a) oder b) auf Unterräumen, je nach Eigenwerten
Zusammengefasst:
Bei vielen Messungen: Ω1 , Ω2 , Ω3 , . . .
ρ →
mit Ergebnissen:
. . . P2 P1 ρP1 P2 . . .
. . . P2 P1 |ψi
bzw. |ψi →
tr(. . . P2 P1 ρP1 P2 . . . )
| . . . P2 P1 |ψi|
ω1 , ω2 , ω3 , . . .
l
l
l
P1 , P2 , P3 , . . .
W1,2,3,...,N (ρ) = tr(P1 · · · PN · · · P1 ρ)
bzw.
W1,2,3,...,...,N ( |ψi)
= tr( |ψ1 ihψ1 |ψ2 ihψ2 | · · · |ψN ihψN | · · · |ψ1 ihψ1 |ψihψ| )
¯
¯
¯hψ|ψ1 ihψ1 |ψ2 i · · · hψN −1 |ψN i¯2
=
falls nicht entartet!
31
vollständiger Satz von kommutierenden Operatoren führt zu simultanen Eigenzuständen:
|ω , λ, γ , · · · >
↑ ↑ ↑
Eigenwerte heißen
,,Quantenzahlen”
P V. Die zeitliche Entwicklung einer Gesamtheit wird durch einen unitären Operator U (t) beschrieben, der
der Differenzialgleichung
i}U̇ (t) = HU (t)
(4.12)
genügt. dabei ist H der Hamilton-Operator des Systems. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte folgt
aus
¡
¢
< Ω >= tr U (t)ρU † (t)Ω
(4.13)
Kommentare:
• reine Zustände → Schrödinger-Gleichung
¡
¢
(4.13)
sei ρ = |ψihψ| :=< Ω > (t) = tr |ψihψ|U † (t)ΩU (t) = hψ|U † (t)ΩU (t)|ψi für jedes Ω
y
|ψ(t)i = U (t) |ψ(t = 0)i y i}∂t |ψ(t)i = H |ψ(t)i
• Gemisch → Zeitentwicklung des Dichteoperators
Schreibe (4.13) als
¡
¢
< Ω > (t) =: tr ρ(t)Ω y ρ(t) = U (t)ρU † (t)
(4.14)
(4.15)
Differentialgleichung für ρ(t) lautet
i}
d
ρ(t) = [H, ρ(t)]
dt
,,Liouville-Gleichung”
(4.16)
Beweis:
i}
d
ρ(t)
dt
=
´
d³
i}
U (t)ρ(0)U † (t)
´
³dt
i} U̇ (t)ρ(0)U † (t) + U (t)ρ(0)U̇ † (t)
=
=
HU (t)ρ(0)U † (t) − U (t)ρ(0)U † (t)H
Hρ(t) − ρ(t)H
q.e.d.
(4.15)
=
• Dgl. für < Ω > (t):
i}
d
< Ω > (t)
dt
(4.13)
=
=
=
=2
y i}
2 Nebenrechnung:
¢
d ¡
tr U ρU † Ω
dt
¢
¡
i} tr U̇ ρU † Ω + U ρU̇ † Ω + U ρU † Ω̇
³
´
tr [H, ρ(t)]Ω + i} < Ω̇ >
³
´
tr ρ(t)[Ω, H] + i} < Ω̇ >
i}
d
< Ω > (t) =< [Ω, H] > (t) + i} < Ω̇ > (t)
dt
ą
ć
ą
ć
tr [A, B]C = − tr B[A, C] wegen [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]
32
(4.17)
b)
Bilder der Zeitentwicklung
Bei Messungen treten immer nur Kombinationen von Operatoren und Zuständen auf. Zeitentwicklung interpretiert als Evolution von ρ oder ψ, kann aber auch als Evolution der Observablen gelesen werden.
¡
¢
< Ω > (t) = tr U (t)ρU † (t)Ω
bzw. = hψ| U † (t)ΩU (t) |ψi
bisher interpretiert als:
(4.15)
(4.14)
alternative Leseart:

Ω zeitunabhängig 
ρ(t) = U t)ρU † (t)
,,Schrödinger-Bild”

|ψ(t)i = U (t) |ψi
ρ, |ψi zeitunabhängig
(4.18) Ω(t) = U † (t)ΩU (t)
¾
Heisenberg-Bild“
”
zugehörige Differentialgleichungen (mit unterdrückten Zeitargumenten):
d
i} dt
ρ
d
i} dt
|ψi
d
i} dt
Ω
= [H, ρ]
(4.16)
= H |ψi
(4.14) Schrödinger-Gleichung
=
(4.19)
[Ω, H]
Heisenberg-Gleichung“
”
dritte Möglichkeit bei Aufspaltung H = Ho + HI - interaction
¡
¢
¡
¢
< Ω > (t) = tr U0† U ρU † U0 U0† ΩU0 =: tr ρI (t)ΩI (t)
bzw.
(4.20)
= hψ| U † U0 U0† ΩU0 U0† U |ψi
| {z } | {z } | {z }
=: hψI (t)| ΩI (t) |ψI (t)i
(4.21)
ΩI (t) = U0† ΩU0 (t)
(4.22)
also:
ρI (t) = W (t)ρW † (t)
mit W (t) = U0† (t)U (t)
|ψI (t)i = W (t) |ψi
(4.23)
heißt Wechselwirkungs-Bild (oder ,,Dirac-Bild”)
c)
Klassischer Grenzwert
d
Heisenberg-Gleichung (mit Ḟ = 0): i} dt
F = [F, H]
d
3
erinnert an dt f = {f, H} für f (q, p) mit Poisson-Klammer {·, ·}
d
• für Erwartungswerte: dt
< F >= − }i < [F, H] > + < Ḟ >
nehme im weiteren an, dass < Ḟ >= 0
P2
außerdem H = 2m
+ V (X) und F = X bzw. P
[X, H] =
⇒
⇒
4 2i}
1
[X, P 2 ] =
P
2m
2m
[P, H] = [P, V (X)] = −i}V 0 (X)
)
d
1
<
X
>
(t)
=
<
P
>
(t)
dt
m
,,Ehrenfest-Theorem”
d
<
P
>
(t)
=
−
< V 0 (X) > (t)
dt
Die Erwartungswerte genügen den klassischen Gleichungen.
Bemerkung: Allerdings ist im Allgemeinen < V 0 (X) >6= V 0 (< X >)
3 {f, H}
=
4 [X, f (P )]
∂f ∂H
∂H
− ∂f
∂q ∂p
∂p ∂q
0
= f (P ) · [X, P ]
= i}f 0 (P )
33
(4.24)
• Deformations-Quantisierung
}
klassischer Phasenraum (q, p) → Quantenphasenraum (q, p)}
Wahl der Operator-Ordnungsvorschrift: ,,Weyl-Ordnung” (symmetrische Ordnung)
z.B. q 2 p 7→ 13 (Q2 P + QP Q + P Q2 )
damit gibt es eine 1:1-Korrespondenz zwischen Operatoren F (Q, P ) und Funktionen f (q, p) vermöge
F (Q, P ) =
f (q → Q, p → P )¯¯
f} (q, p) =
F∗ (Q → q, P → p)
(4.26)
Weyl-Ordnung
Wobei F∗ gebildet ist mit einem neuen Produkt:
¡ −−
→ ←
−−
→¢
¡
¢
i} ←
i}
f ∗ g (q, p) = f (q, p) · e 2 ∂q ∂p −∂p ∂q · g(q, p) = f g + {f, g} + . . .
2
,,Stern-” oder
,,Moyal-Produkt”
(4.27)
damit: [F, G] → f ∗ g − g ∗ f = i}{f, g} + O(}2 )
¢
d
i¡
f} = − f} ? H − H ? f} = {f} , H} + O(}2 )
dt
}
Operatoren
←→
F unktionen
Φ
F (Q, P )
(4.28)
¿
f (q, p)
Φ−1
Multiplikation
←→
Stern − M ultiplikation
−1
Φ(f ) · Φ(g) = Φ(f ? g)
Φ (F ) ? Φ−1 (G) = Φ−1 (F G)
f, g
−→ f ? g
Φ↓
↓Φ
F, G
2
f ? g = f g + i}
2 {f, g} + O(} )
+ Assoziativität
d)
−→
FG
)
⇒ Eindeutigkeit bis auf Koordinatentransformation
Wahrscheinlichkeitsstrom
Zustandsnorm hψ|ψi ist zeitlich konstant (bei unitärer Zeitentwicklung):
i}
d
hψ|ψi = i}hψ̇|ψi + i}hψ|ψ̇i = −hψ|H|ψi + hψ|H|ψi = 0
dt
⇒ hψ|ψi(t) = const.
(4.29)
Im Ortsraum:
0=
d
dt
Z
|ψ(x, t)|2 dx =
d
dt
Z
Z
w(x, t)dx =
∂
kann sein
w(x, t)dx = −
∂t
Z
¯
∂
¯
j(x, t)dx = −j ¯
∂x
Rand
Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeitsdichte:
∂t w(x, t) + ∂x j(x, t) = 0
,,Wahrscheinlichkeits-Erhaltung”.
34
(4.30)
Was ist j? Sei H =
P2
2m
+ V (X)
y i}∂t ψ(x, t) = −
}2 2
∂ ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t)
2m x
also:
∂t w
=
=
=
=
(∂t ψ ∗ )ψ + ψ ∗ (∂t ψ)
´
´
i³
}2 2 ∗
i³
}2 2
∂x ψ + V (x)ψ ∗ ψ −
∂x ψ + V (x)ψ ψ ∗
−
−
}
2m
}
2m
¢
i} ¡ ∗ 2
ψ ∂x ψ − ψ∂x2 ψ ∗
2m
³ } ¡
¢´
−∂x
ψ ∗ ∂x ψ − ψ∂x ψ ∗
2mi
¢
} ¡ ∗
ψ ∂x ψ − ψ∂x ψ ∗
2mi
i
¡
¢
~j = } ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ; ∂t % + ∇ · ~j = 0
2mi
y j(x, t) =
h
Dimension > 1 :
Beispiel: ebene Welle: ψ(x, t) =
⇒ w=
allgemein: ψ(x, t) =
i
√ 1 e } (px−Et)
2π}
1
= const.,
2π}
j=
1 } ¡i
−i ¢
1 p
p−
p =
= w · v = const.
2π} 2mi }
}
2π} m
p
i
w(x, t)e } S(x,t)
(4.31)
y
e)
(4.31)
j(x, t) =
1
w(x, t)∂x S(x, t)
m
h
i
w
d > 1 : ~j = ∇S
m
(4.32)
Lösen der Schrödinger-Gleichung
d
|ψi = H |ψi, Lösung: |ψ(t)i = U (t) · |ψ(0)i
i} dt
i
falls ∂t H = 0, dann U (t) = e } tH
d
dann gilt auch: i} dt < H >=< [H, H] >= 0 y < H >= const.
Die Lösung ist einfach in der Eigenbasis von H: H |Ei = E |Ei,
E ∈ S(H)- Spektrum von H
i
U (t) = e− } tE |Ei = |E(t)i
i
(4.33)
i
Wellenfunktion im E-Raum: ψ(E, t) = hE|ψ(t)i = e− } Et hE|ψ(0)i = e− } Et ψ(E, 0)
|E(t)i heißen ,,stationäre Zustände”
Erwartungswerte sind zeitunabhängig für stationäre Zustände |ψ(t)i = |E(t)i
Ist ω ein Eigenwert von Ω. Wahrscheinlichkeiten:
¯
¯2
i
nicht
Wω ( |E(t)i) = |hω|E(t)i|2 = ¯hω|Eie− } Et ¯ = |hω|Ei|2 = const.
entartet
falls ∂t H 6= 0 (Vorsicht: [∂t H, H] 6= 0)
− }i
→ U (t) = T e
Rt
0
H(t0 )dt0
∞
X
i
=
(− )n
}
n=0
Z tZ
Z
t1
tn−1
···
0
0
H(t1 ) · · · H(tn )dtn · · · dt1
0
wobei t ≥ t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn
Zeitordnung:
½
T A(t)B(t0 ) =
A(t)B(t0 ) falls t > t0
B(t0 )A(t) falls t < t0
35
,,Dyson-Reihe” (4.34)
zentral ist das Eigenwertproblem
H |Ei = E |Ei
(4.35)
hierzu kommt man auch durch Seperationsansatz für die Schrödinger-Gleichung: |ψ(t)i = f (t) · |Φi
∂t H=0
y
˙
d
i} dt
|ψ(t)i = H |ψ(t)i
y
i} ff |Φi = H |Φi
rechte Seite zeitunabhängig
y
linke Seite ebenfalls
y
f (t) = e− } Et
˙
i} ff
y
= E = const.
i
i
wir dürfen schreiben: |Φi = |Ei y |ψ(t)i = e− } Et |Ei
und H |Φi = E |Φi bzw. H |Ei = E |Ei
i
im Ortsraum: hx|Ei = ΦE (x), hx|E(t)i = ψE (x, t) = e− } Et ΦE (x)
P2
für H = 2m
+ V (X) lautet (4.35):
³
´
}2 2
−
∂x + V (x) ΦE (x) = E · ΦE (x)
,,stationäre Schrödinger-Gleichung”
2m
Wahl einer Basis
1. Beispiel: H =
P2
2m
+
1
cosh2 (X)
2
}
Ortsbasis: − 2m
∂x2 ΦE + cosh12 (x) ΦE = EΦ
³ 2
´
p
Impulsbasis: 2m
+ cosh21(i}∂p ) Φ̃E (p) = E Φ̃E (p)
2. Beispiel: H =
P2
2m
+f ·X
2
}
Ortsbasis: − 2m
∂x2 ΦE + f · x · ΦE = EΦE
Impulsbasis:
p2
2m Φ̃E
+ i}f ∂p Φ̃E = E Φ̃E
Warnung: Ortseigenwerte = physikalische Raumkoordinaten?
→ O.k. für ein Teilche, z.B. in 3 Dimensionen:
Xi |x1 , x2 , x3 i = xi |x1 , x2 , x3 i
→ aber für zwei Teilchen gibt es zwei Sätze von Operatoren:
(1)
(2)
Xi , Xi ; i = 1, 2, 3; α = 1, 2
(α)
y Xi
(1)
y Wellenfunktion ψ(~x
(2)
, ~x
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(α)
|x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 i = xi
|···i
) lebt in 6D-Zustandsraum (besser: Konfigurationsraum)
V
Einfache Systeme (1D)
a)
Potentialstufe
.
....
V (x)
V
ª
⊕
0
36
........
x
(4.36)
2
}
zu lösen: − 2m
∂x2 ΦE (x) + V (x)ΦE (x) = EΦE (x)
für den Fall V (x) = Θ(x)V
Φ00E = −
¢
2m ¡
E − V ΦE (x) y
2
}
½
E−V >0
E−V <0
y
y
Oszillation
exponentiell
an der Stufe gilt:
Φ00 ∼ V ∼ Stufe
Φ0 ∼
Rx
V ∼ Spitze A ¢
Φ∼
RxRx
V ∼ glatt
½
Φ−
E (x) für x < 0
Φ+
E (x) für x > 0
p
√
wobei }k− = 2mE, }k+ = 2m(E − V )
→ Fallunterscheidung: ΦE (x) =
00
2 ±
mit Φ±
E (x) = −k± ΦE (x),
(5.1)
definiere k± =: iκ± , falls imaginär
Welche E-Werte sind möglich? 5 Fälle:
α) E > V
β) E = V
γ) 0 < E < V
δ) E = 0
ε) E < 0
2
k−
2
k+
Φ−
E
Φ+
E
>0
>0
>0
=0
<0
>0
=0
<0
<0
<0
Aeik− x + Be−ik− x
—”—
—”—
A0 x + B 0
Ae−κ− x + Beκ− x
Ceik+ x + De−ik+ x
C 0 x + D0
−κ+ x
Ce
+ Deκ+ x
—”—
—”—
Φ±
E (x) beschränkt für |x| → ∞
y δ), ε) :
A = D = A0 = 0 y nicht differenzierbar bei x = 0
α), β), γ) o.k. → Spektrum S(H) = R+ , d.h. E > 0
Anschlussbedingungen:
0
+
Φ−
E (0) = ΦE (0),
0
+
Φ−
E (0) = ΦE (0)
(5.2)
Für E > 0 sind die Anschlussbedingungen (5.2) zwei Gleichungen mit vier Unbekannten.
−→ 2 lineare Beziehungen für A, B, C, D
α) E > V
β) E = V
γ) 0 < E < V
Aeik− x + Be−ik− x
—”—
—”—
Ceik+ x + De−ik+ x
C 0 x + D0
Ce−κ+ x + Deκ+ x
Lösung des linearen Gleichungssystems:
µ ¶
µ ¶
µ
1
C
A
k+ + k−
= Q(E) ·
mit Transmissionsmatrix Q(E) =
D
B
k
2k+
+ − k−
Wie hängen einlaufende und auslaufende Amplituden zusammen?
µ ¶
µ
µ ¶
1
C
2k−
A
= S(E) ·
mit Streumatrix S(E) =
B
D
k+ + k− k− − k+
k+ − k−
k+ + k−
k+ − k−
2k+
¶
(5.3)
¶
(5.4)
Einschränkung durch Zusatzbedingung: D = 0, von rechts läuft nichts ein.
y B=
k− − k+
A;
k+ + k−
37
C=
2k−
A
k+ + k−
(5.5)
Wahrscheinlichkeitsstromdichten
j
=
y j−
=
check: j−
=
}
(Φ∗ ∂x Φ − Φ∂x Φ∗ )
2m
}k−
}k+
2
2
2
jA − jB =
(|A| − |B| ) ,
j+ =
|C| =: jC
m
m
Ã
µ
¶2 !
µ
µ
¶2
¶
}k− 2
k− − k+
}k− 2
4k+ k−
}k+
2k−
2
= j+
|A| 1 −
=
|A|
=
|A|
m
k+ + k−
m
(k+ + k− )2
m
k+ + k−
{z
}
|
|C|2
Reflexionskoeffizient:
jB
jA
R :=
Transmissionskoeffizient:
T :=
jC
jA
=
=
|B|2
|A|2
k+
k−
·
³
=
|C|2
|A|2
k− −k+
k+ +k−



´2
4k+ k−
(k+ +k− )2
=
R+T =1


(5.6)
Grenzfälle
→ E À V (Fall α) :
k+ ≈ k− , B ≈ 0 , C ≈ A
⇒ R & 0, T % 1
→ E = V (Fall β) :
k+ −→ 0 , B ≈ A , C ≈ 2A
⇒ R % 1, T & 0
→ 0 < E < V (Fall γ) :
ik− x
−κ+ x
Φ−
+ B e−ik− x , Φ+
E = Ae
E =Ce
(k+ = iκ+ )
Aus den Anschlussbedingungen (5.2) folgt
A + B = C , ik− (A − B) = −κ+ C
B=
R=
|B|
|A|
k− − iκ+
A,
k− + iκ+
C=
2k−
A
k− + iκ+
(5.7)
2
2
=1
⇒ T =0
(verwende (a + ib)/(a − ib) = eiϕ )
Totalreflexion
B
Phasenshift δ(E) über
=: −e2iδ(E)
A
r
½
k−
E
Grenzfälle
E=V
y
tan δ =
=
E&0
k+
V −E
(5.8)
δ = π2
δ=0
lokalisiertes Wellenpaket, bei t = 0 auf Stufe treffend
Z∞
x<0:
ψ(x, t) =
0
µ
¶
k− − k+ −ik− x
dE hE|ψ(0)ie−iEt/} eik− x +
e
= ψin (x, t) + ψR (x, t)
k+ + k−
Z∞
x>0:
dE hE|ψ(0)ie−iEt/}
ψ(x, t) =
0
lokalisiere hE|ψ(0)i um E = E0 =
y Paket lokalisiert um
}2 k02
2m
Z
R=
2
dx |ψR |
q
>V


x(t) =
2k−
eik+ x = ψT (x, t)
k+ + k−
y k− ≈ k0 , k+ ≈
}k0
2m t
E0 −V
E0
k0
für t < 0
q
 − }k0 t und }k0 E0 −V t für t > 0
2m
2m
E0
Z
Z
2
2
, T = dx |ψT | falls
dx |ψ| = 1
38
(normiert)
(5.9)
b)
Potentialtopf
V (x)
....
......
... ...
... ...
−a
(−)
a
(0)
.............
.........
.............
(+)
x
−|V |
Drei Regionen y zwei Anschlusspunkte x = ±a
p
Definiere dimensionslose ,,Stärke” des Potentialtopfes ζ = p·x
2m|V | · }a
} =
( 2 2
} k± = 2mE
im Bereich (+), (−)
00
2
2 2
ΦE = −k ΦE mt } k =
}2 k02 = 2m(E + |V |)
im Bereich (0)
Energiespektrum
• Kontinuum für E > 0
(Fall α)
• möglicherweise auch |V | < E ≤ 0
2
k±
<0
Fall β:
Lösung:
y k± = iκ =
κx
Φ−
E = C− e
,
Verwende c ≡ cos k0 a und s ≡ sin k0 a.
Anpassung bei x = −a:
Anpassung bei x = a:
(Fall β)
i
}
p
2m|E|
Φ0E = A cos k0 x + B sin k0 x ,
C− e−κa = Ac − Bs
(1)
κC− e−κa = k0 As + k0 Bc
(2)
C+ e−κa = Ac + Bs
−κx
Φ+
E = C+ e
(3)
−κC− e−κa = −k0 As + k0 Bc (4)
(2)
As + Bc
y κ = k0
(1)
Ac − Bs
(4)
−As + Bc
y −κ = k0
(3)
Ac + Bs
Vergleichen liefert:
(As + Bc)(Ac + Bs) = (As − Bc)(Ac − Bs)
AB(s2 + c2 ) = −AB(s2 + c2 )
⇒ AB = 0 y A = 0 (sin im Potentialtopf) oder B = 0 (cos im Potentialtopf).
Es kann keine Superposition von cos und sin im Potentialtopf sein!
Zwei Fälle:
• gerade Zustände
B=0
symmetrisch
cos
Bedingung an E aus (2)/(1): κ = k0 tan k0 a
φ
......
... ...
.......
... .....
...
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.......
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.... ....
... ....
.......
.....
x
39
C+ = C−
• ungerade Zustände
A=0
antisymm.
sin
C+ = −C−
Bedingung an E aus (2)/(1): κ = −k0 cot k0 a
φ
...
.....
... ..
.........
.. .....
........
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.........
x
Für beide Fälle:
tan k0 a
− cot k0 a
s
¾
=
κ
=
k0
s
2m|E|
=
2m(−|E| + |V |)
s
|V |
−1=
|V | − |E|
|V |a2 /}2
−1
(|V | − |E|)a2 /}2
s
=
ζ2
−1
k02 a2
(5.10)
Definiere z := k0 a dimensionslos.
¾ r 2
ζ
tan z
y
=
−1
− cot z
z2
Gleichung für z → k0 −→ E
..
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.....
.....
π
2
π
ζ
3
π
2
0<z≤ζ
tan(z)
− cot(z)
q
ζ2
−1
z2
...........
.......
z
2π
ζ angegeben y Schnittpunkte ⇒ Lösungen z = zn
# Lösungen hängen von ζ ab.
∃ mindestens eine Lösung
Energien:
}2 2
k = |V |
En = −|V | +
2m 0,n
Ã
2
}2 k0,n
−1
2m|V |
nur diskrete Energien zugelassen.
40
!
µ
= |V |
¶
zn2
−1
ζ2
(5.11)
...
....
.. ...
...
....
.. ...
V (x)
................................
n =....0
.............
.....
..........
.......
n
n
n
n
Grundzustandsenergie E0 = −|V | +
Grenzfall V → 0 :
ζ & 0,
}2 2
2m k0,0
=
=
=
=
3
2
1
0
.
....
....
.....
.
....
..............................
....
.....
........
...
.. ..
.....
...
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... ................. ............
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.. ....... ..........................................................................
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.. .........
...................................
..
.. ....
.......
....
...................
..
.... ................
.. ....... ....... ............
....
..........
.. .....
....
......
.. n = 3
....
.
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.....
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.. ..
.............................. ...... .......
.......
x
n=1
x
n=2
> −|V |
2 2
E0 → −2m V }2a & 0
tan z ≈ z & 0,
Parität
Definiere den Spiegelungsoperator P durch:
(P f )(x) = f (−x)
(5.12)
Klar: P 2 = 1 ⇒ EW von P müssen ±1 sein.
Beispiel: symmetrisches Potenzial
P V = V und sogar P Hf = HP f ⇔ (P HP )P f = H 0 f 0 ⇔ H 0 f 0 = Hf 0 ⇔ [H, P ] = 0
P
Daraus folgt: HφE = EφE y H(P φE ) = E(P φE ) y P φE löst die Schrödinger-Gleichung zum gleichen
Eigenwert. Wir können H, P gleichzeitig diagonalisieren:
φg (x) = φ(x) + φ(−x) = ((1 + P )φ)(x) zum Eigenwert +1“
”
φu (x) = φ(x) − φ(−x) = ((1 − P )φ)(x) zum Eigenwert −1“
”
⇒ Wir können eine E-Basis aus geraden und ungeraden Eigenfunktionen wählen.
⇒ 2fache Entartung wird nur vermieden, falls φg ≡ 0 oder φu ≡ 0
y φ ist symmetrisch oder antisymmetrisch.
Komplexe Konjugation
HφE = EφE y Hφ∗E = Eφ∗E (falls V = V ∗ ) −→ Konjugation vertauscht mit H
Eigenfunktionen zur Konjugation sind Re φE , Im φE ⇒ entweder zweifache Entartung (Streuzustände) oder
keine Entartung φ∗E ∼ φE (Bindungszustände)
Fall α: E > 0 kontinuierliches Spektrum
ikx
φ−
+ Be−ikx
E = Ae
φ0E = F eik0 x + Ge−ik0 x
ikx
φ+
+ De−ikx
E = Ce
←− setze D = 0
(A: einfallend, B: reflektiert, C: transmittiert)
A
.................
...........
.......
B
F
D
.................
G
41
...........
.......
C
−→ definiere S(E) durch: C = Ae−2ika · S(E),
Transmissionsamplitude
Transmissionskoeffizient
...
.....
... ..
k=
√
2mE/},
k0 =
p
2m(E + |V |)/}
·
µ
¶
¸−1
i k
k0
S(E) = . . . = cos 2k0 a −
+
sin 2k0 a
2 k0
k
#−1
"
sin2 2k0 a
2
T (E) = |S(E)| = 1 + E
4 |V | (1 + |VE | )
T
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...... ..................... ..................... ............................. . .................... . ..........
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0.
1
E`
E `+1
E `+2
E `+3 E `+4
E
Resonanzen bei E = E n ⇔ T (E n ) = 1
−→ Bedingung: sin 2k 0,n a = 0 y k 0,n =
nπ
,
2n
n = 0, 1, 2, . . .
und E n > 0
2
}2 k 0,n
!
Energien E n =
− |V | > 0, erfüllt für n ≥ einem gewissen `
2m
Andere interessante Eigenschaften von S(E):
• Pole bei negativen Energien: −|V | < E < 0 (k = iκ)
µ
¶
µ
¶−1
i iκ k0
k0
κ
−→ Bedingung: cos 2k0 a =
+
sin 2k0 a ⇔ tan 2k0 a = 2
−
2 k0
iκ
κ
k0
κ
κ
⇔ tan k0 a =
∨ − cot k0 a =
k0
k0
(unter Verwendung der Indentität tan 2x = 2(cot x − tan x)−1 )
• Pole im Komplexen nahe der Resonanzen E n :
−→ Bedingung: tan 2k 0,n a = 0, setze k0 ≈ k 0,n
µ
¶
k
k0
4
y E ≈ E + O(E − E) y
+
tan 2k0 a = (E − E) + . . .
k0
k
Γ
·
µ
µ
¶
¶¸−1
i k
k0
y S(E) = cos 2k0 a 1 −
+
tan 2k0 a
2 k0
k
µ
¶−1
± iΓ
1
2i
2
≈
1 − (E − E)
≈
cos 2k0 a
Γ
E − E + iΓ
2
2
Γ
iΓ
4
y T (E) ≈
y Pol bei E = E −
2
(E − E)2 +
Γ2
4
√
• Wurzelschnitt von S(E) auf positiver reeller Achse S = f (}k) = f ( 2mE)
⇒ S(E) in komplexer E-Ebene
42
(5.13)
c)
Periodisches Potenzial
...
.....
... ..
V (x)
....
........
.
.................. .
........
...
...
...
...
... ..
.
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....
... .......
0
α
.... .......
...........
.....
x
Symmetrie unter x 7→ x + nα, n ∈ Z
Translationen im Ortsraum implizieren Transformationen im Zustandsraum
Tα :
|xi 7−→ |x − αi verschiebt den Eigenwert von X
i
Dies wird geleistet von Tα = e } αP
Eigenschaften
Tα Tβ = Tα+β ,
Tα† = T−α ⇒ Tα† Tα = 1 → unitär!
Auf Zuständen: hx|ψi 7−→ hx|Tα ψi = hx + α|ψi
Eigenwerte: Phasen eikα für k ∈ R
Spektrum: Einheitskreis im Komplexen
Symmetrie ⇔ [H, Tα ] = 0
(
Gemeinsame Eigenfunktionen von H, Tα ←→ Zustände |E, ki mit
H |E, ki = E |E, ki
Tα |E, ki = eikα |E, ki
Vorsicht: hx + α|ki = hx|Tα |ki = eikα hx|ki, periodisch bis auf Phase: quasi-periodisch“
”
−→ mache periodisch: |uk i := eikX |ki ⇔ hx|uk i = e−ikx hx|ki
y hx + α|uk i = hx|Tα |uk i = e−ik(x+α) hx + α|ki = e−ik(x+α) eikα hx|ki = e−ikx hx|ki = hx|uk i Zugehörige Wellenfunktion: hx|ki =: φk (x) = eikx hx|uk i =: eikx uk (x)
quasi-periodisch: Blochwelle“, |ki: Blochzustand“
”
”
2πn
π
π
≤k≤ α
Brioullin-Zone“
|φk | < ∞ ⇒ k reell, eikx = ei(k+ α )α y beschränkt auf Intervall − α
”
Im Ortsraum: Gitterzelle 0 ≤ x ≤ α
Frage:
|ki = |E, ki
Welche E = E(k) sind für gegebenes Potenzial V erlaubt?
rechenbares Beispiel: Dirac-Kamm (Kronig-Penney-Potential)
V (x) = w
∞
X
δ(x − nα),
−∞
43
w>0
.
....
V (x)
.
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α
2α
−5α −4α −3α −2α −α 0
Ansatz: φE,k (x) = Aeiqx + Be−iqx
√
2 2
q
dann: E = E(q) = }2m
⇔ }q = 2mE ≥ 0
→ gesucht : erlaubte Werte q(k)
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3α
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4α
5α
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x
(V = 0 y q = ±k)
2 Bedingungen an φE,k :
1. Periodizität von uk (x) = e−ikx φE,k (x)
e−ikα φE,k (α) = e−i0 φE,k (0) y Aei(q−k)α + Be−i(q+k)α = A + B
(∗)
2. Anschluss an den Zacken:
(E +
Z
⇔
X
}2 2
∂x )φE,k (x) =
wδ(x − nα)φE,k (x)
2m
+²
E
−²
Z
+²
|
−²
}2 0
(φ (²) − φ0E,k (−²)) = wφE,k (0)
φE,k (x)dx +
2m E,k
|lim
²→0
2
⇔
y
}
(φ0 (0+ ) − φ0E,k (0− )) = wφE,k (0)
2m E,k
verwende φ0E,k (0− ) = e−ikα φ0E,k (α− )
}2
iq(A − B − Aei(q−k)α + Be−i(q+k)α ) = w(A + B)
2m
(∗∗)
⇒ (*), (**) sind 2 homogene lineare Gleichungen für A, B
⇒ Koeffizienten-Determinante muss = 0 sein für nicht-triviale Lösung
y cos(kα) − cos(qα) −
→ graphische Lösung: cos(kα) = cos(qα) +
mw
}2 q 2
sin(qα) = 0 y q = q(k) y E =
= E(k)
2
} q
2m
mwα
}2
·
sin(qα)
qα
44
1+
mωα
}2
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k=0
k=0
erlaubter Bereich für cos
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verboten
1
verboten
verboten
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−1
k=
⇒ Energie-Bänder und Lücken
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.....
E(k) =
π
2
k=
}2 q 2
2m
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V =0
usw.
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p pp p pp p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p
ppp p p p p
p p p pp p
p
p
p
p
p p p pp p
ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
2. Band pp p pppppppppp p pppppppp p pp ppp p p pppp p p p p p
pp p p p p p p p p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
ppppp p p p p p p p pp p p p pp p
p
p
p
p p pp p p p p p p p p p p p p p
...
....
verboten
pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p pp
p p p p pp p p p p ppp
p p pp p p p p p p p p p p p p
p
p
p
p
p p p pp p p p
p
p
p
p
pp
pp p p p
p p pp p
ppppp
1. Band
ppp p
p
pppp p
p
p
ppppp p
ppp
p pppp
p pp p p p p p p p
p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p pp
− απ
effektive Masse m∗ : E(k) =
π
α
}2 k2
2m∗
+ O(k 3 )
45
.........
k
π
2
.........
qα
d)
Allgemeine Resultate
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......
.
.....
V (x)
Kontinuum
.
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tunneln
oder
x
evtl. kein Bindungszustand
Bindungszustände
1. nur E > Vmin
2. für E > Easympt. : Kontinuum 2-fach entartet
3. in tiefster Mulde gibt es mindestens einen Bindungszustand E0 , φ0 hat keinen Knoten
4. Bindungszustände bilden diskretes Spektrum
5. Bindungszustände sind nicht entartet
Beweis durch Widerspruch:
(1) Hφ1 = Eφ1
| · φ2
(2) Hφ2 = Eφ2 | · φ1
(1) − (2)
Bindungszustände & 0 für|x| → ∞, also c = 0
φ0
φ0
y 1 = 2 y (lnφ1 − lnφ2 )0 = 0
φ1
φ2
y φ1 = ed · φ2 (proportional)
⇒
φ2 φ001 − φ1 φ002 = 0 y (φ2 φ01 − φ1 φ02 )0 = 0
y
φ2 φ01 − φ1 φ02 = const. = c
y
y
φ1
= const. = d
φ2
keine Entartung
ln
#
6. mit E zunehmend haben die Bindungszustände φn (x), n = 1, 2, ... genau n Knoten; falls V (−x) = V (x),
gilt φn (−x) = (−1)n φ(x)
|x|→∞
7. Asymptotik bei |x| → ∞, falls V (x) 7−→ ∼ −x−s
½
s > 2 : Bindungszustände nahe 0: # < ∞
dann
s < 2 : En haben Häufungspunkt (n → ∞) bei E=0
8. singuläre Potentiale (z.B. Singularität V (x → 0) → −∞ ) V (≈ 0) ∼ −x−r
½
r < 2 : Energien nach unten beschränkt, d.h. En ≥ Em in = E0
dann
r > 2 : En Spektrum nach unten beschränkt!
9. hochangeregt Bindungszustände haben Ortsraum-Wahrscheinlichkeitsdichten |φn |2 , die um die klassischen
Umkehrpunkte von V konzentriert sind
p
10. E0 liegt wenigstens um ∆E = }2 V n (xmin )/m über Vmin = V (xmin )
46
e)
Der harmonische Oszillator
H=
P2
mω 2 2
+
X
2m
2
(5.14)
(universell wegen harmonischer Näherung: V (x) = V0 + 12 V000 (x − x0 )2 + ... mit V 0 (x0 ) = 0, V0 = V (x0 ), V000 =
V 00
V 00 (x0 ) ≥ 0 y ω 2 = m0 )
charakteristische Größen:
E0 = }ω, p0 =
p
mE0 =
√
}
=
}mω, x0 =
po
r
}
mω
(5.15)
→ skaliere Dimension raus!
E = ²E0 , p = πp0 , x = ξx0
}ω P 2
mω 2
⇒H=
(
+
X )
2 }mω
}
y
y
², π, ξ dimensionslos
H
1
= (Π2 + Ξ2 )
E0
2
mit Π: Operator mit EW=π, Ξ: Operator mit EW=ξ
Vertauschungsrelation:
1
1
[Ξ, Π] =
[X, P ] = i} = i
x0 p0
}
H
1
|φi = (Π2 + Ξ2 ) |φi = ² |φi
}ω
2
gesucht: diskretes Energiespektrum {En } und Eigenkets |φn i
Ortsraum: Ξ → ξ, Π → −i∂ξ
Z
2
2
Schrödinger-Gleichung: − ∂ξ φ(ξ) + ξ φ(ξ) = 2²φ(ξ) |φ| < ∞,
|φ|2 dξ = 1
stationäre Schrödinger-Gleichung:
(5.16)
noch besser: Faktorisierung
• klassisch: ξ 2 + π 2 = (ξ + iπ)(ξ − iπ)
• quantentheoretisch: Ξ2 + Π2 = 21 (Ξ + iΠ)(Ξ − iΠ) + 12 (Ξ − iΠ)(Ξ + iΠ)
definiere:
r
1
mω
i
a := √ (Ξ + iΠ) =
P
X+√
2}
2
2m}ω
r
1
mω
i
a† := √ (Ξ − iΠ) =
P
X−√
2}
2
2m}ω
⇒ a, a† nicht hermitesch!
⇒
H=
[Ξ, Π] = i
H=
1
}ω(aa† + a† a)
2
¤
£
y
a, a† = 1
¤
£
1
1
1
}ω(a† a + a† a + a, a† ) = }ω(a† a + ) =: }ω(N + ),
2
2
2
(5.17)
mit N = a† a hermitesch
(5.18)
zu lösen:
Eigenwertproblem für N : N |ni = n |ni mit ON-Basis: hn|mi = δn,m
£
¤
£
¤
Heisenberg-Algebra: a, a† = 1 ([a, 1] = 0 = a† , 1 )
£
¤
Oszillator-Algebra: [N, a] = −a, N, a† = a† zusätzlich zur H-Algebra
£
¤
£
¤
£
¤
denn: [N, a] = a† aa − aa† a = − a, a† a = −a,
N, a† = a† aa† − a† a† a = a† a, a† = a†
47
(5.19)
• n = hn|N |ni = hn|a† a|ni = (hn| a† )(a |ni) = ||a |ni||2 ≥ 0
(Hilbertraum: Norm2 ≥ 0)
• N (a |ni) = N a |ni = aN |ni + [N, a] |ni = aN |ni − a |ni = (n − 1)a |ni
√
y a |ni ∼ |n − 1i; Normierung: |n − 1i = √1n a |ni, d.h.: a |ni = n |n − 1i
iteriere:
p
na |n − 1i = n(n − 1) |n − 2i
p
ak |ni = n(n − 1) · ... · (n − k + 1) |n − ki; a heisst Absteiger “oder Vernichter “
”
”
a2 |ni =
√
• Problem: beim Absteigen finden wir Eigenwerte n, n − 1, n − 2..., n − k, ... → wird irgendwann negativ
∃ Eigenzustände |n − ki mit || |n − ki||2 < 0 für k genügend groß!
a
a
a
a
a
Ausweg: |ni → |n − 1i → ... → |1i → |0i → 0 Abbruch, da a |0i = 0 (Vorsicht: |0i 6= 0 !)
∃ Grundzustand Vakuum “ |0i mit a |0i = 0 ⇒ Spektrum(N ) = {0, 1, 2, 3, ...}
(5.20)
”
£
¤
• N (a† |ni) = N a† |ni = a† N + N, a† |ni = a† n |ni + a† |ni = (n + 1)(a† |ni)
1
1
1
Normierung: |n + 1i = √n+1
a† |ni, weil hn + 1|n + 1i = n+1
hn|aa† |ni = n+1
hn|N + 1|ni = 1 , d.h.:
√
†
a |ni = n + 1 |n + 1i
iteriere, starte bei n = 0:
|1i = a† |0i,
|2i = √12 a†2 |0i,
|3i = √12·3 a†3 |0i
1
|ni = √ (a† )n |0i
n!
• Konstruktion der Wellenfunktion
zuerst finden: φ0 (ξ) := hξ|0i
a=
definiere Gleichung: hξ|a|0i = 0
a† heisst Aufsteiger “oder Erzeuger “
”
”
√1 (Ξ
2
y
.
+ iΠ) =
√1 (ξ
2
(5.21)
+ i 1i ∂ξ )
(∂ξ + ξ)φ0 (ξ) = 0
1
1
Lösung: φ0 (ξ) = π − 4 e− 2 ξ
2
minimales Gauss-Paket
(5.22)
angeregte Zustände:
n
1
1
1
− 1 ξ2
φn (ξ) = hξ|ni = √ hξ|(a† )n |0i = √ 2− 2 (−∂ξ + ξ)n φ0 (ξ) = p
√ Hn (ξ)e 2
n
n!
n!
2 n! π
1
2
1
Hermite-Polynome: Hn (ξ) = e 2 ξ (ξ − ∂ξ )n e− 2 ξ
2
Identität
=
2
2
2
(−1)n eξ ∂ξn e−ξ = 2n ξ n + O(ξ n−2 )
– orthogonal bzgl. des Integrationsmaßes dµ = dξe−ξ , d.h.:
P∞ 1 n
2
– erzeugende Funktion: e−t +2tξ = n=0 n!
t Hn (ξ)
R∞
−∞
2
dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ) =
– erfüllen Dgl.: (∂ξ2 − 2ξ∂ξ + 2n)Hn (ξ) = 0
– Symmetrie und Knotenzahl: Hn (−ξ) = (−1)n Hn (ξ), Hn hat n Knoten
Beispiele: H0 = 1, H1 = 2ξ, H2 = 4ξ 2 − 2, H3 = 8ξ 3 − 12ξ, H4 = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12, ...
• Form der Operatoren in Energie-Eigenbasis { |ni}:
√
√
.
a = (alm )
alm = hl|a|mi = m hl|m − 1i = m δl,m−1
√
√
a†lm = hl|a† |mi = m + 1 hl|m + 1i = m + 1 δl,m+1
Nlm = hl|N |mi = m hl|mi = m δl,m
48
(5.23)
√
π 2n n! δn,m

√


0
0

.. 
√
0 0

... . 
 1

. 
. 

†
√
 0
(alm ) =  ...
(a
)
=

lm

0
3


 .


.
.
 ..
. . .. 

0
... 
0

0 ...
0 0
1 0 ... ... 0


.. 
0 1
0 2 0
. 



.
.



.
a† a =  ...
aa† =  ..

3






4



..
.
0
0
man sieht explizit, dass dim H = ∞ nötig:
0
1
...
√
2
...
√0
2
0
...
...
...
0
2

0
.. 
.



.. 
..
. .
... 0

⇒ aa† − a† a = 1
0
.. 
. 






..
.
...
..
3
.
£
¤
0 = tr(aa† ) − tr(a† a) = tr(aa† − a† a) = tr( a, a† ) = tr(1) = dim H
y dim H = ∞
zurück zu dimensionalen Größen:
mω 1 1
hx|ni = φn (x) = (
)4 √
Hn (
π}
2n n!
r
mω 2
mω
1
1
x)e− 2} x , En = }ω(n + ), (da H = }ω(N + ))
}
2
2
(5.24)
• Schwankungen und Erwartungswerte:
1
X = √ (a + a† )x0
2
1
P = √ (a − a† )p0
i 2
hn|X|ni ∼ hn|a + a† |ni = 0,
df (∆X)2 für |ni =
=
(∆P )2 für |ni =
1 2
p (2n + 1)
2 0
hn|P |ni = 0
1 2
x hn|a2 + aa† + a† a + a†2 |ni
2 0
1 2
1
x hn|2N + 1|ni = x20 (2n + 1)
2 0
2
hn|X 2 |ni =
1
1
⇒ ∆X∆P = x0 p0 (n + ) = }(n + )
2
2
Virialsatz: hn|T |ni = hn|V |ni = 12 = 21 }ω(n + 12 )
• Wellenpaket für n → ∞ (klassischer Grenzwert):
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ortsraum: wx ( |ψi) = |hx|ψi|2
klassisch: wkl (x)dx = dt
T mit dt = Aufenthaltsdauer in [x, x + dx], T =
(5.25)
2π
ω ,
x(t) = A sin ωt, E = 12 mω 2 A2
E
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Energie des Teilchens
x0 x0 + dx
49
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x
y wkl (x) =
1 dt
T dx
=
ω
−1
2π (ẋ)
=
2π
√
1
A2 −x(t)
.....
wkl
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−A
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A x
quantenmechanisch: gebe |ni vor (En = }ω(n + 21 ))
wx ( |ni) = |hx|ni|2 ∝ Hn (
x 2 (− xx )2
) e 0
x0
W
Einhüllende
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n=6
n=0
−A
A
n→∞
Einhüllende −→ wkl
VI
a)
Drehimpuls
Symmetrien in der Quantentheorie
klassisch: kanonische Transformation mit H 0 = H im Phasenraum:
(q, p) 7−→ (q 0 (q, p) , p0 (q, p))
50
x
n=1
Betrachte eine Schar solcher Transformationen mit Parameter ε (und ε = 0 y Identität).
Noether:
• ∃ Erhaltungsgröße g(q, p), d.h.
d
dt
g(q, p) = 0
• g ,,erzeugt” die Symmetrie-Transformation vermöge δω = ε { ω , g }
δω: infinitesimale Transformation von ω(q, p)
quantentheoretisch: observabel sind nur die Erwartungswerte
hψ|Ω|ψi 7−→ hψ|Ω|ψi0 so, dass hψ|H|ψi, hψ|ψi invariant ist.
Realisiert durch unitäre Transformation U :
U †U = 1
|ψi 7−→ |ψi0 = U |ψi ,
y Wigner-Theorem: Symmetrie-Transformationen sind unitär (oder anti-unitär)
!
hψ|U † HU |ψi = hψ|H|ψi y U † HU = h y [U, H] = 0;
(6.1)
Für eine Schar U (ε) mit U (0) = 1:
infinitesimal:
U (ε) = 1 −
1
εG + O(ε2 ) definiert ,,Erzeugende” oder ,,Generator” G
}
U †U = 1
Noether aus Ehrenfest:
G† = G ,
⇔
[U, H] = 0
⇔
[G, H] = 0
d
1
hGi = h[G, H]i = 0, denn ∂t G = 0, [G, H] = 0
dt
i}
Umkehrung:
(6.3)
(6.4)
µ
U (ε) =
¶N
iε
1−
G
endliche Transformation
}N
(6.2)
lim
N → ∞
(6.5)
Alternativ: Transformation von Observablen
i
i
BCH
i
Ω → Ω0 = U † ΩU = e } εG ωe− } εG = e } ε ad
G
mit ad G · Ω := [G, Ω]
Beispiel: Translationen
i
U (ε) =
e− } εP
ψ 0 (x) =
hx|ψi0 = hx|U (ε)|ψi
X0
=
=
e−ε∂x hx|ψi = hx − ε|ψi = ψ(x − ε)
U † (ε)X U (ε) = X + ε1 ,
P0 = P
¯
. }
¯
¯ P = ∂x
i
Symmetrie, falls
[U, H] = 0 ⇔ [P, H] = 0 ⇔ V 0 (X ) = 0 ⇔ V = const
Erzeugende = P
51
¯
P2
¯
+ V (X )
¯H=
2m
(6.6)
Symmetrie-Gruppe
U (ε) U (ε0 ) = U (ε ◦ ε0 ) , ◦ kann z.B. + sein
i.A. ist ε ∈ Gruppe G
y Abbildung: ε 7−→ U (ε) ist eine unitäre ,,Darstellung” von G auf H
ε ∈ G , U (ε) ∈ ,,unitäre Transformationen auf H
falls
U (ε) U (ε0 ) = U (ε ◦ ε0 )
U † (ε) = U −1 (ε) = U (ε−1 ) ,
¾
(6.7)
U ( id ) = 1
Raum (hier H ), auf dem U wirkt, heißt Darstellungsraum oder G -Modul.
,,Dimension der Darstellung” := Dimension des Darstellungsraumes
Konsequenzen einer Symmetrie
Sei [U (ε), H] = 0 ∀ ε ∈ G ⇔ [Gi , H] = 0 ∀ Erzeugende Gi , i = 1, 2, . . . , dim G
Betrachte H |Ei = E |Ei. Dann gilt:
H(U (ε) |Ei) = U (ε) H |Ei = U (ε) E |Ei = E(U (ε) |Ei)
(6.8)
y U (ε) |Ei sind Eigenzustände von H zur gleichen Energie E für alle ε ∈ G .
y Wir können im Eigenraum zum Eigenwert E mit U (ε) operieren
⇒ Entartungsgrad = Dim. der Darstellung
Entartungsraum = Darstellungsraum
H diagonalisiert −→ in H-Eigenbasis ist

E0

















. 

H=



















E1
..
.
E1
E2
..
.
E2
..
.








































Darstellung U einer Symmetrie-Gruppe ist block-diagonal in der H-Eigenbasis























. 



reduzible Darstellung (zerlegbar)
U (ε) = 






















Ein Block ist eine irreduzible Darstellung.
52
b)
Drehimpulsalgebra und ihre Darstellungen
jetzt gilt d = 3
klassisch:
~ = ~r × p~
M
quantentheoretisch:
~ =R
~ × P~ ⇔ Mi = εijk Xj Pk
M
[Xi , Pj ] = i} δij
~ = 1M
~ dimensionslos, L† = Li hermitesch, außerdem ist L
~ 2 = P3 L2
praktischer: L
i
i
i=1
}
Kommutatoren
[Li , Xj ] =
[Li , Pj ] =
1
1
1
[εik` Xk P` , Xj ] = εik` Xk [P` , Xj ] = εik` Xk (−i} δ`j = iεijk Xk
}
}
}
iεijk Pk
Struktur:
[Li , Vektorj ] = iεijk Vektork
h
i
~2
Li , R
=
h
i
Li , P~ 2
=
h
i
~
Li , P~ R
=
"
Li ,
X
#
Xk2
k
=
X
(kann als Definition eines ,,Vektor-Operators” dienen)
(Xk [Li , Xk ] + [Li , Xk ] Xk ) = i
k
X
(6.9)
εik` (Xk X` + X` Xk ) = 0
k
0
0
Struktur:
[Li , Skalar] = 0
Beispiel
(6.10)
¸ h
i
P2
~
~ = 0 , falls V rotationsinvariant ist, d.h. V = f (R
~ 2)
+ V (R) = Li , V (R)
[Li , H] = Li ,
2m
·
Was ist [Li , Lj ]?
[Li , Lj ]
=
=
=
=
h
1
1
[Li , εjk` Xk P` ] = εjk` (Xk [Li , P` ] + [Li , Xk ] P` )
}
}
1
(epsjk` epsi`m Xk Pm + epsjk` epsikm Xm P` )
}
1
[(δjm δki − δji δkm ) Xk Pm (δji δ`m − δjm δi` ) Xm P` ]
}
1
(Xi Pj − Xj Pi ) = iεijk Lk
}
~ ×L
~ = iL”
~
[Li , Lj ] = iεijk Lk
Kurzschreibweise: ,,L
i
~ 2 , Lj = 0
~ 2 ist ein sogenannter ,,Casimir-Operator”
L
L
Konsequenzen
(∆L1 )(∆L2 ) ≥
1
|hL3 i|
2
~ 2 , L3 simultan scharf
aber L
1
|hX1 i|
y in Eigenzustand von L3 ist ∆L3 = 0
2
⇒ Ebenso ist dann hX1 i = hX2 i = hP1 i = hP2 i = 0.
(∆L3 )(∆X2 ) ≥
53
(6.11)
(6.12)
Definiere nützliche Linearkombinationen
L± := L1 ± iL2
L†+ = L−
,
(6.13)
Wir erhalten damit das neue Tripel {L1 , L2 , L3 } −→ {L+ , L− , L3 } mit L+ , L− wie oben.
Kommutatoren:
¾
[L3 , L+ ] = L+
[L3 , L± ] = ± L±
[L3 , L− ] = −L−
[L+ , L− ] = 2L3
~ 2 , L± ] = 0
[L
(6.14)
(6.15)
(6.16)
Anmerkung: Diese Gleichungen lassen sich auch als Eigenwert-Gleichung für ad L3 lesen.
¾
~ 2 = L+ L− + L2 − L3
L
3
~ 2 − L23 ∓ L3
L∓ L± = L
= L− L+ + L23 + L3
(6.17)
~ 2 und L3 !
Finde das gemeinsame Eigenwertspektrum von L
~ 2 |λ, µi = λ |λ, µi, L3 |λ, µi, normiert auf 1
Trick: L± verbinden verschiedene Eigenkets |λ, µi, definiere L
Was wird mit L± |λ, µi?
~ 2 (L± |λ, µi) = L± L
~ 2 |λ, µi
L
= λ (L± |λ, µi)
L3 (L± |λ, µi) = L± L3 |λ, µi + [L3 , L± ] |λ, µi
= µL± |λ, µi ± L± |λ, µi
= (µ ± 1) (L± |λ, µi)
d.h.
L± :
|λ, µi 7−→ Nλ,µ |λ, µ ± 1i
Leiter-Operatoren“
”
iteriert:
¢
¡
~ 2 Lm
L
|λ, µi¢ =
¡ ±
L3 Lm
=
± |λ, µi
¾
¢
¡
λ Lm
± |λ,¡µi
¢
(µ ± m) Lm
± |λ, µi
(∗)
Einschränkungen an (λ, µ) durch Positivität der Norm: hλ, µ|λ, µi = 1
2
|L± |λ, µi|
=
6.17
¯ m+1
¯
¯L± |λ, µi¯2
hλ, µ|L∓ L± |λ, µi
=
~ 2 − L23 ∓ L3 iλ, µ
hλ, µ| (|) L
=
λ − µ2 ∓ µ ≥ 0
=
hλ, µ|Lm+1
Lm+1
|λ, µi
∓
±
m
hλ, µ|L∓ (L∓ L± ) Lm
± |λ, µi
m ~ 2
2
hλ, µ|L∓ (L − L3 ∓ L3 )Lm
± |λ, µi
¡
¢ m
2
hλ, µ|Lm
∓ λ − (µ ± m) ∓ (µ ± m) L± |λ, µi
¯2
£
¤ ¯
¯
λ − (µ ± m)2 ∓ (µ ± m) · ¯Lm
± |λ, µi
=
=
∗
=
=
iteriere
=
!
m
Y
£
¤
2 !
λ − (µ ± k)2 ∓ (µ ± k) · | |λ, µi| ≥ 0
{z
}
|
k=0
f (µ±k)
54
...
....
.. ...
f (µ)
ª
⊕
.
..
..............
............................................
.................. .. ..........................
............
........
........
......
.......
.......
..
...
.........
.....
......
.
.
.....
.
..
..
.
.
.....
.
.
.....
....
....
.
.
.
...
.
.
.....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
... ......
... ..
...
...
...... λ
.
...
...
.
.
... ...
.. ....
.
..
..
...
..
.
.
.
...
..
.
...
...
...
..
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...
..
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....
....
...
..
.
.
...
...
...
...
..
..
.
.
...
...
...
...
.
.
1
− 12
0
2
...........
.......
µ
Diese Faktoren werden irgendwann negativ, es ei denn einer verschwindet. D.h. es muss ein n+ und ein n−
n +1
geben mit L±± |λ, µi = 0 ⇔ λ − (µ ± n± )2 ∓ (µ ± n± ) = 0 (Abbruchbedingungen). Differenz liefert:
(n+ + n− + 1)(2µ + n+ − n− ) = 0 y 2µ + n+ − n− = 0 y µ =
y
µ + n+ =
n− − n+
2
n+ + n−
n+ + n−
↓ n+ + n−
, µ − n− = −
y λ = (µ + n+ )(µ + n+ + 1) =
2
2
2
µ
n+ + n−
+1
2
¶
Für jedes Paar (n+ , n− ) gibt es genau eine Lösung (λ, µ) ←→ Eigenket |λ, µi.
......
... ...
3
2
1
0
......
... ...
n−
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
n+ + n− =
λ=
0
0
1
3
4
2
2
L−
L+
...
.....
.
.....
..................
.....
..................... ..
.....
. .....
....
.....
....
..............
.....
....
.............
.....
...
.....
.....
..
.
.
3
.....
....
.......
.
....
.....
2
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
1
.....
.
.
.
.....
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.....
.
....
.....
.....
.....
.....
.....
1
.....
.....
2
.....
.....
.
.
.
.
.....
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .........
..........
...........
..
.......
1
3
− 32
-1
− 21
0
1
2
2
r
......................
...............
..... ....
..... ...
..... .... L+
..... ....
..... ..
..... ...
.......
.......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...........
.....
.....
............
.....
.....
..... .... L
.....
.....
..... .... −
.....
.....
..... ....
.....
.....
..... ...
.....
.....
..... ...
.
.....
..... .....
.....
.....
............
.
.
.....
.....
.......
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
.....
.....
.....
1 ......
2 .......
3 ............
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.....
.
.
...
...
.
...........
.......
n+
`
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
m
3
15
4
Bessere Notation:
n− − n+
2
n− + n+
2
=
µ =: m
=: `
Gewicht“
”
Spin“
”
−→ λ = `(` + 1)
Mögliche Werte: ` = 0, 12 , 1, 23 , 2, . . . und m = −`, −` + 1, . . . , ` − 1, ` für festes `
Wir erhalten eine Orthonormalbasis { |`, mi} von Gewichtsvektoren“ |`, mi mit h`, m|`0 , m0 i = δ``0 δmm0 und
”
2
|L± |`, mi| = λ − µ2 ∓ µ = `(` + 1) − m2 ∓ m = (` ± m + 1)(` ∓ m). Es gilt:
p
L± |`, mi =
(` ± m + 1)(` ∓ m) |`, m ± 1i
(6.18)
L3 |`, mi
~ 2 |`, mi
L
Speziell:
L+ |`, `i = 0
und
= m |`, mi
(6.19)
= `(` + 1) |`, mi
(6.20)
L− |`, −`i = 0
höchster bzw. tiefster Gewichstvektor“
”
­
®
Für jeden erlaubten `-Wert haben wir einen (2`+1)-dimensionalen Vektorraum R` = |`, −`i, . . . , |`, +`i (2`+1
55
Basisvektoren) gefunden. Auf R` operieren die Li , d.h. wir haben eine hermitesche (irreduzible) Darstellung D`
der Drehimpulsalgebra konstruiert:
D` : Li 7−→ D` (Li )
(2` + 1) × (2` + 1)-Matrix
1
3
(` = 0, 2 , 1, 2 , 2, . . . ⇒ 2` + 1 = 1, 2, 3, 4, 5, . . .)
Dies sind alle irreduziblen endlich-dimensionalen (←→ hermiteschen) Darstellungen.
Beispiel:
Spin 0
Spin 21
trivial, Li = 0
® ­
®
­
D 21 ist zweidimensional, R 12 = | 12 , − 12 i, | 12 , 12 i = ~e1 , ~e2
L+ | 12 , − 12 i =
L+ | 12 , + 12 i =
L+
L−
Spin 1
.
=
.
=

1
. 
L3 =
| 12 , 21 i
0
L− | 12 , − 12 i
L− | 12 , + 12 i



L1
µ
¶ 



0 1 






0 0 
µ
¶  ⇒  L2

0 0 






1 0


 L3


0
Basiswechsel
−1
−→
=
=
µ
1
2
=
µ
=
1
2
=
1
2
µ

0
. 
L3 = i
0
0
| 21 , − 12 i
0 1
1 0
¶
0
i
−i
0
1
0
0
−1
=
1
2 σ1
=
1
2 σ2
=
1
2 σ3
¶
¶

−i 0
0 0
0 0
Auf den R` operiert die Darstellung U` der Drehgruppe durch Exponentiation der Darstellung D` der Drehimpulsalgebra.
³
´
j
j
U` e−iθ Lj = e−iθ D` (Lj )
Wir haben schon einen Darstellungsraum, nämlich H = L2 (R3 ), aber dieser ist ∞-dimensional.
Lie-Gruppe G
.......................
....
.....
...
....
. . . ....................................
.
........... ............................................
.
..........
..........
..
..
.
.
.
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...................
..
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.............
..
...... .............
.................
..
...........
.......
.....
............
.
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. ...........
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.....
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...........
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. ........................
..
..
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...
..
..
...
.... ............................
...
... ........
.
.
..
.
.
.
...
..
...
... ...
..
..
... .
. . .....
..
. ..
..
.
...
...
...
...
....
....
.....
.........................
1
pp
pppppppppppppppppppppppppppppp p p p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
ppppppppppp p
p
pppppppp
ppppp ppppppppp
Tangentialvektoren bilden Tangentialraum an das 1-Element
Tangentialraum = Lie-Algebra L
Gruppe U : G 3 g 7→ U (g) unitäre d × d-Matrix
Lie-Algebra D: G 7→ D(G) hermitesche d × d-Matrizen
Erzeugende G: G = αi Gi ∈ L
Drehgruppe G SO(3)
↔
Drehimpulsalgebra L = so(3)
Dim.=3 Generatoren Li i = 1, 2, 3
[Li , Lj ] = iεijk Lk
56
Untergruppe
Es gibt irreduzible Darstellungen jeder Dimension d = 2`+1
und eindeutig)
Bezeichnung: D`
Darstellungsraum R` mit Basis { |`, mi : m = −` · · · + `}
½
~ 2 |`, mi = `(` + 1) |`, mi
L
Eigenkets zu
Lz |`, mi = m |`, mi
` = 0, 21 , 1, . . . heißt Spin (diese sind vollständig
,
Es gibt eine unendlich-dimensionale Darstellung D∞ auf L2 (R3 ).
Li =
1
∂
. 1
εijk Xj Pk = εijk xj k ,
}
2
∂x
|
{z
}
(Darstellung auf Funktionen im
R3 )
. 1
~
~ =
~r × ∇
d.h. L
i
D∞ (Li )
Prüfe [D∞ (Li ), D∞ (Lj )] = iεijk D∞ (Lk )
£1
¤ !
1
z.B. ~r = (x, y, z)
i (y∂z − z∂y ), i (z∂x − x∂z ) f = (x∂y − y∂x )f
h
i
~ 2 = 0 y D∞ (Li ) sind gebaut aus Θ, Φ, ∂Θ , ∂Φ in Kuglekoordinanten, kein r, ∂r
L, R
y R∞ = L2 (S 2 ) Funktionen auf Sphäre ψ(Θ, Φ)
explizit:
D∞ (L3 ) = 1i ∂Φ
D∞ (L± ) = e±iΦ (±∂Θ + i cot Θ∂Φ )
~ 2 ) = − 1 ∂Θ sinΘ∂Θ − 12 ∂ 2
D∞ (L
sin Θ
sin Θ Φ
Eigenbasis gegeben durch Kugelflächenfunktionen Y`m (Θ, Φ),
(6.21)
` = 0, 1, 2, 3, . . .
m = −`, . . . , +`
~ 2 )Y`m = `(` + 1)Y`m
D∞ (L
D∞ (L3 )Y`m = mY`m ,
(6.22)
vollständige Basis −→ jede Funktion in Θ, Φ läßt sich in Y`m entwickeln.
D∞ ist reduzibel:
D∞
= D0 ⊕5 D1 ⊕ D3 ⊕ . . .
R
= R0 ⊕
R 1 ⊕ R2 ⊕ . . .
↑
↑
↑
Basis:
Y00
Y11
Y2m
Y10
m = −2, −1, 0, 1, 2
..
Y
.
(6.23)
1−1
Warum nur ganzzahlige Spins `? eimΦ ist nur dann mit der Periode 2π periodisch, falls m ∈ Z
c)
Addition von Drehgruppen
zusammengestztes System aus 2 Komponenten (,,bipartit”)
Zustände sind Linearkombinationen von |Teil 1i ⊗ |Teil 2i 6
b(1) + O
b(2) := (O(1) ⊗ 1) + (1 ⊗ O(2) )
additive Observable: Ototal = O
(1)
Symmetrien: Generatoren Gi wie Observablen Gtotal = αi (Gi
endliche Transformation:
e−iG
total
=
=
5⊕
6⊗
⊗ 1) + αi (1 ⊗ Gi )
(2)
e−iα (Gi ⊗1+1⊗Gi ) = e−iα Gi ⊗1 e−iα 1⊗Gi
´
³
´³
i (1)
i (2)
i (1)
i (2)
= e−iα Gi ⊗ e−iα Gi
e−iα Gi ⊗ 1 1 ⊗ e−iα Gi
i
(1)
(2)
ist die direkte Summe
ist das Tensorprodukt
57
i
(1)
i
(2)
Rechenregel für Operatoren: (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)
Achtung: [A ⊗ B, C ⊗ D] 6= [A, C] ⊗ [B, D]
~
Drehimpuls von Teil 1 heiße L
~
Drehimpuls von Teil 2 heiße S
~
Totaler Drehimpuls heiße J
Speziell zum Drehimpuls:
y
y
y
bi
L
Sbi
Ji
Li ⊗ 1
1 ⊗ Si
=
=
=
b i + Sbi
L
Test das J~ ein Drehimpuls ist:
[Ji , Jj ]
= [Li ⊗ 1 + 1 ⊗ Si , Lj ⊗ 1 + 1 ⊗ Sj ]
= [Li , Lj ] ⊗ 1 + 1 ⊗ [Si , Sj ]
= iεijk Lk ⊗ 1 + 1 ⊗ iεijk Sk = iεijk Jk
verwende
J~ 2
=
X¡
Li ⊗ 1 + 1 ⊗ Si
¢2
=
X¡
¢
L2i ⊗ 1 + 1 ⊗ Si2 + 2Li ⊗ Si
i
i
b
b
b
~b 2 + S
~ 2 + 2L
~b S
~=L
~b 2 + S
~ 2 + 2L
b 3 Sb3 + L
b + Sb− + L
b − Sb+
= L
Kommutatoren:
h
i
b i , Sbj
L
i
h
~b 2
J~ 2 , L
h
i
b3
J3 , L
h
i
~ L
b3
J,
h
i
b 3 + Sb3
J~ 2 , L
aber:
(6.24)
= 0
= 0
=
= 0
=
6= 0
6=
= 0
=
i
h
b
~2
J~ 2 , S
h
i
J3 , Sb3
h
i
~ Sb3
J,
h
i
J~ 2 , J3
(6.25)
Basis 1
b
~ 2, L
b 3 , Sb3
~b 2 , S
Eigenkets von L
−→
|` s, m` ms i = |`, m` i ⊗ |s, ms i
Basis 2
b
~ 2 , J~ 2 , J3
~b 2 , S
Eigenkets von L
−→
|` s, j mi
kurz
=
`,s fest
kurz
=
`,s fest
|m` , ms i
(6.26)
|j, mi
einfachstes Beispiel:
` = 21 , s = 12 → Darstellungsraum: R1/2 ⊗ R1/2 dim = 2 · 2 = 4
Darstellung: D1/2 ⊗ D1/2 =: D12/2 m` , ms ∈ {− 12 , 12 }
Basis 1:
©
ª
©
ª
| 12 , 12 i, | 12 , − 12 i, | − 12 , 21 i, | − 12 , − 12 i =: |+, +i, |+, −i, |−, +i, |−, −i
(6.27)
Konstruktion von Basis 2: diagonlaisiere J~ 2 und Jz
b i ) = 1 σi ⊗ 1,
D12/2 (L
2
z.B.
D12/2 (Sbi ) = 1 ⊗ 12 σi

1



1
2 b

D1/2 (L3 ) = 

2



1






y D12/2 (Jb3 ) = 





1
−1
−1
0
0
−1




















,










1
2 b

D1/2 (S3 ) = 

2




klar weil
m = m` + ms
entartet!
58















1
−1

2






D12/2 (J~ 2 ) = · · · = 





1
−1
1
1
1
1
2













bilde Linearkombination
¡
√1
|
2
¡
√1
|
2
|0 0i =
|1 0i =
¢
+ −i − | − +i
¢
+ −i + | − +i
y
J~ 2 |0 0i = 0,
J3 |0 0i = 0
y
J~ 2 |1 0i = 2 |1 0i,
J3 |0 0i = 0
(6.28)
|1 1i
= | + +i
|1 −1i = | − −i
in neuer Basis { |1 1i, |0 0i, |1 0i, |1 −1i}
neue Notation:

1




. 

Jb3 = 





0
0
−1














2




. 

J~ 2 = 





umordenen: { |0 0i, |1 1i, |1 0i, |1 −1i}
wir haben gefunden:

0



. 

J3 = 




1
0
−1
kurz:
1
2
⊗

0




.
2

J~ = 




,
D12/2 =
Fazit:
Dimension: 2 · 2 = 1 + 3











1
2
=0⊕1
D0
⊕
↑
j=0
0
2
2













⇒ Basis 2
2
2
2
(6.29)











D1
(6.30)
↑
j=1
oder: 2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3
D1/2 ⊗ D1/2 = D0 ⊕ D1
|
{z
} | {z }
(6.31)
mit Basis 2
mit Basis 1
Basis 1: { |+i, |−i} ⊗ { |+i, |−i} = { | + +i, | + −i, | − +i, | − −i}
Basis 2: { |0, 0i} ⊕ { |1, 1i, |1, 0i, |1, −1i}
|
{z
}
| {z }
j=0
j=1
Vollständiger Satz kommutierender Observablen:
b
~b 2 , S
~ 2, L
b 3 , Sb3
Basis1: |ml , ms i : L
P
Basistransformation 1 → 2: |j, mi2 =
b
b~ 2
~b 2 , S
~ 2, J
Basis 2: |j, mi : L
, J3
ml ,ms ,m=ml +ms
|ml , ms i1
m = ml + ms
hml , ms |j, mi2
|
{z
}
Clebsch-Gordon-Koeff.
Bsp: |1, 0i2 = √12 ( | + −i + | − +i)
y h+ − |1, 0i = √12 , h− + |1, 0i = √12 , h+ + |1, 0i = 0, h− − |1, 0i = 0
allgemeine Situation l ≥ s:
Dl ⊗ Ds : Darstellungsraum Rl ⊗ Rs hat Dimension d = (2l + 1)(2s + 1). aber Dl ⊗ Ds ist reduzibel, d.h. ∃ Basis
b
~b + S
~ gilt :
2 in der für J~ = L

D? (Ji )
. 
0
(Dl ⊗ Ds )(Ji ) = 

0
D?0 (Ji )
..

 = D? (Ji ) ⊕ D?0 (Ji ) ⊕ ..
(6.32)
.
Frage: welche Werte von j tauchen auf?
Lösungstechnik
• beginne mit maximalen m = ml + ms = l + s y
|l + s, l + si2 ist eindeutig
59
∃j = j max = l + s ,,höchstes Gewicht”: |l, si, =
• steige ab innerhalb der Darstellung Dl+s mit J− = L− ⊗ 1 + 1 ⊗ S− :
√
√
J− |l, si1 = L− |li ⊗ |si + |li ⊗ S− |si = 2l |l − 1, si1 + 2s |l, s − 1i1
p
= J− |l + s, l + si2 =
2(l + s) |l + s, l + s − 1i2
• usw. → erhalte |l + s, l + si2 , |l + s, l + s − 1i2 , |l + s, l + s − 2i2 , ..., |l + s, −(l + s)i2 als Linearkombination
der |ml , ms i ⇒ Dl+s
• ,,entferne” Dl+s aus Dl ⊗ Ds durch Projektion und starte erneut mit Dl ⊗ Ds ª Dl+s
• iteriere den Prozeß und erhalte Dl+s , Dl+s−1 , Dl+s−2 , ..., Dl−s Frage: Warum bis l − s?
l+s
P
→ Dimensionscheck: d =
(2j + 1) = 21 [2(l + s) + 1 + 2(l − s) + 1 ·(2s + 1) = (2l + 1)(2s + 1) |
{z
} | {z }
j=l−s
=Mittelwert
Anzahl
Fazit: (l ≥ s)
Dl ⊗ Ds =
l+s
M
Dj
l+s
M
oder(kurz) l ⊗ s =
j=l−s
j
,,Auswahlregel”: |l − s| ≤ j ≤ l + s
(6.33)
j=l−s
Bsp: l = 32 , s = 1
Skizze fehlt
Clebsch-Gordon-Reihe:
|ls, jmi2 =
X
|ls, ml ms i1 hls, ml ms |ls, jmi2
(6.34)
ml ,ms ,ml +ms =m
d)
Der Spin
~ x, t))
Wechselwirkung mit elektromagn. Feld (Potentiale φ(~x, t), A(~
e ~
~
~
,,minimale Kopplung”: ersetze P 7→ P − c A in H:
H
=
=
=
≈
=
=
=
1 ~ e~ 2
~ = A(
~ X,
~ t), φ(X,
~ t)
wobei A
(P − A) + eφ
2m
c
1 ~ 2 e ~ ~ e ~ ~ e2 ~ 2
~A
~ = 0 ⇔ P~ A
~ = P~ A
~
(P − P A − AP + 2 A ) + eφ Coumlomb-Eichung ∇
2m
c
c
c
2
1 ~2
~ 2 ) + eφ
~ 2 -Term
~ P~ + e A
setze φ = 0, vernachlässige A
(P − 2A
2
2m
c
1 ~2
e ~~
~ = const. y A
~ = −1R
~ ×B
~
P −
AP
B
2m
mc
2
e ~
1 ~2
~ P~
~ ≡X
~ = (X1 , X2 , X3 )
P +
(R × B)
R
2m
2mc
1 ~2
e ~ ~ ~
P −
(R × P )B
2m
2mc
1 ~2
e ~
~ mit µ
~ = Drehimpuls)
P −µ
~B
~=
M magn. Dipolmoment(M
2m
2mc
~ = − e} L
~B
~
y H = H0 + HWW mit HWW = −~
µB
2mc
|~
µ|
|e|
=
gyromagn. Verhältnis
~
2mc
|M |
(6.35)
~ 0 = }S,Zustände
~
neuer Freiheitsgrad erforderlich: ,,Spin”zusätzlich: M
|s, ms i (innere Struktur der Teilchen)
neuer abstrakter Spinraum Rs (bei Elektronen, Quarks s = 12 )
[Si , Sj ] = iεijk Sk , [Si , Lj ] = 0, [Si , Xj ] = 0 = [Si , Pj ]
60
~ =
(L
1~ ~
R × P)
}
gyromagn. Verhältnisse
|~
µ|
~|
|M
|e|
variieren (g=,,Landé-Faktor”): Bahndrehimpuls hat g = 1, Spin hat g =
= g 2mc
2 · (1, 00116...) für Elektronen, andere Werte für Protonen, Neutronen, etc...
i
vollständiger Zustandsraum ist H = Halt ⊗ Rs , Basis { |ψalt
i ⊗ |s, ms i}
allgemeiner Zustand: ||ψ, sii =
+s
X
|ψms i ⊗ |s, ms i
zweifache Entartung
(6.36)
ms =−s
neues Postulat
P VI. Die Ortskomponenten Xi und die Spinkomponente S3 (+evtl. weitere innere Freiheitsgrade) blden eine
vollständige Basis vertauschbarer Observablen eines Teilchens
einfachster Fall: s = 12 :
solche Objekte
.
||ψii = |ψ+ i ⊗ |+i + |ψ− i ⊗ |−i =
µ ¶
α
∈ R1/2 heißen Pauli-Spinoren α, β ∈ C.
β
µ
|ψ+ i
|ψ− i
¶
Projektion:
h±||ψii
hx||ψii
(h±| ⊗ hx| ) ||ψii
= |ψ± i
= ψ+ (x) |+i + ψ− (x) |−i
= ψ± (x) Spin-Wellenfunktion
Vollständigkeitsrelation: 1s = |+ih+| + |−ih−|
θ
~
Spingruppe: D1/2 (Si ) = 12 y U1/2 (e−iθ~nS ) = e− 2 ~n~σ 2 × 2-Matrix wirkt auf Spinoren
lokaler Hamiltonoperator: H = H0 + HWW + HWW’
HWW + HWW’ = −
mit µ
~ =µ
~ Bahn + µ
~ Spin
e} ~ ~
e} ~ ~
~
LB −
g S B = −~
µB
2mc
2mc
für Elektronen
≈
s= 12 ,g≈2
−
(6.37)
b
e} ~b
~σ
e} ~
(L + s = −
(L ⊗ 1 + 1 ⊗ ~σ )
2mc
2
2mc
~
Schrödinger-Gleichung für Elektronen mit Spin 12 im Magnetfeld B:
!
Ã
µ
¶
e} ~
P~ 2
e}
|ψ+ i
~ −
~B
~ 12×2 −
L
i}∂t
=[
+ V (X)
~σ B
|ψ− i
2m
2mc
2mc
| {z }
0
Bz
Bx − iBy
@
Bx + iBy
−Bz
µ
]
|ψ+ i
|ψ− i
(6.38)
¶
Pauli-Gleichung
1
A
(6.39)
VII
a)
Zentralpotential
Separation der Schrödinger-Gleichung
V = V (R) mit R =
klassisch:
p
~ 2 ⇔ [Li , H] = 0
R
Ekin =
y Kugelkoordinaten
~ 2
p~ 2
p2
M
~ = ~r × p~
= r +
mit pr = ~er pr und M
2m
2m 2mr2
quantenmechanisch:
Hkin =
´
P~ 2
1 ³ 2
~ 2
=
Pr + R−2 M
2m
2m
61
aber was ist Pr ?
(7.1)
Wir haben
~ 2
M
³
=
in Ortsdarstellung
~
R
D∞ :
P~
2
³ ´
~2
mit D∞ L
−→
=
=
=
es gilt: Pr
=
´2
= εijk Xj Pk εilm Xl Pm
! ~ 2~ 2
~ 2 P~ 2 − R
~ P~ R
~ P~ + i}R
~ P~ =
~ 2 Pr2
R
R P −R
³
´2
~ P~ − i} R−2 R
~ P~
R−2 R
Ã
!
~
~
~
~
1 R
1
R
R
R
P~ + P~
= P~ − i} = 2 P~ R
2 R
R
R
R
R
=
y Pr2
~ × P~
R
(7.2)
hr, θ, ϕ|ψi = ψ (r, θ, ϕ)
µ
¶
} ~
}
}
1
}
~
~
~r ,
RP −→ ~r∇ = ∂r , Pr −→
∂r +
= ∂r r
i
i
i
r
ir
µ
³ ´
³ ´¶
1
1
1
1
2
2
−2 ~ 2
2
2
2
2
2
~
~ (7.3)
Pr + R M −→ −} ∂r ¢r ∂r r + } 2 D∞ L = −} ∂r + ∂r − 2 D∞ L
r
r
r
r
¢r
³ ´
1
1
−
∂θ sin θ∂θ −
∂ϕ2 y D∞ P~ 2 = −}2 ∆ in Kugelkoordinaten
2
sin θ
sin θ
}~
P~ −→ ∇
,
i
Schrödinger-Gleichung(lasse D∞ weg)


Ã
!


~2


2
}2
L
}2




2



∂r + ∂r − 2 + V (r) − E 
∆ + V (r) ψ = Eψ y 
−

ψ = 0

2m
2m
r
r
(7.4)
wir wissen:
~ 2 Y`m = `(` + 1) Y`m −→ Separationsansatz: ψE (r, θ, ϕ) = RE` (r) · Y`m (θ, ϕ)
L
ergibt
(7.5)


µ
¶
}2 1 2
`(` + 1)



∂ r−
+ V (r) − E 
−
 RE` = 0
2m r r
r2
E hängt nicht von m ab −→ `(` + 1)-fache Entartung.
Substitution: RE` (r) =
u(r)
r
(7.6)
wir multiplizieren die Gleichung mit r und erhalten








2
2


}
}
`(`
+
1)


2

y 
∂
+
+
V
(r)
−
−E
u(r) = 0


r


2


2m
2mr


|
{z
}


(7.7)
Veff (r)
→ eindimensionale Schrödinger-Gleichungmit effektivem Potential Veff (r) und r ∈ [0; ∞]
Normierungsbedingungen bei Bindungszuständen:
Z∞
1 = hψ|ψi =
r dr
0
Z∞
Z
2
2
2
2
d Ω |Y`m | |RE` | =
{z
}
|
=1
2
dr |uE` |
0
denn die Kugelflächenfunktionen Y`m sind normiert.
Randbedingungen bei r = 0 für nicht-singuläres Potential:
¶
µ
1
uE` (r) Y`m (θ, ϕ) y −4πδ (3) (~r) uE` (0) Y`m + . . . y uE` (0) = 0
∆ψ = ∆
r
es sein denn, V (r) ∼ δ (3) (~r).
62
Bemerkung
Pr ist bezüglich des Skalarproduktes
R∞
0
Z∞
dr r2 . . . hermitesch:
Z∞
2
dr r f (Pr g) =
0
b)
}
dr r f ∂r (r · g) =
i
Z∞
2
0
dr (rf )∂r (rg)
0
}
i
allgemeine Resultate
eindimensionale Schrödinger-Gleichungmit Veff = V + }2 `(`+1)
2mr 2 , Randbedingungen bei r = 0: u(0) = 0
1. Eigenschaften von u(r) für r
dominiert bei r −→ 0:
−→ 0: Annahme V (r) weniger singulär als r−2
u00` ≈
`(` + 1)
u`
r2
Lösung:
u` (r −→ 0) ≈ A r`+1 + B r−`
u(0)=0
y
2. Eigenschaften von u(r) für r −→ ∞: Annahme
y Zentrifugalterm
¡
¢
u` (r) = r`+1 a0 + a1 r + a2 r2 + . . .
lim
r −→ ∞
V (r) = 0. Ansatz:
y uE` (r) = fk` (r) e±ikr mit k =
1√
2mE
}
2m
Veff · fk` = 0
}
00
langsam variiert, können wir annehmen, fk`
≈0


Zr
im
y fk` (r) = f (r0 ) exp ∓ 2
dr0 Veff (r0 )
} k
00
0
y −fk`
∓ 2ik fk`
+
Falls fk`
r0
Dann ist
 µ
Z
m


uE` (r −→ ∞) ∝ exp ±i kr − 2
} k
unabhänging von `.
Im Fall von Bindungszuständen haben wir k =: iκ
µ
Z
m
y uE ∝ exp −κr − 2
} κ
c)
r
¶

Veff 

¶
r
Veff
freies Teilchen
2 2
k
Kein Potential: V (r) = 0, E = }2m


}2 2 }2 `(` + 1)




∂r +
−
E
 uE` = 0
−
2m
2mr2
uE` = rcdotRE`
Substitution ρ = kr:
uE` (r) = uE`
³ρ´
k
½
=: WE` (ρ)
Asymptotik
=
ρ`+1 e±iρ p(ρ)
ρ`+1 e−ρ p(ρ)
⇒ ∂r2 = k 2 ∂ρ2 bzw. κ2 ∂ρ2 .
63
Ansatz für E > 0
Ansatz für E < 0, ρ = κr
Dabei ist p(ρ) ein Polynom in ρ.


`(` + 1)


2

± 1
∂ρ −
 WE` = 0
ρ2
mit
+ für E > 0
− für E < 0
(7.8)
Da aber V = 0 ist, folgt E > 0, also
µ
¶
`(` + 1)
2
−∂ρ +
WE` = WE`
ρ2
µ
¶µ
¶
`+1 
`+1


−∂ρ +
⇒
 WE` = WE`
 ∂ρ +
ρ
ρ
Lösung:
WE` ∝ ρj` (ρ) oder ρn` (rho)
⇒ Radialfunktion RE` = cE` j` (kr)
(7.9)
¾
(7.10)
mit den Besselfunktionen
µ
¶`
1
sin ρ
∂r
j` (ρ) = (−ρ)
ρ
ρ
¶`
µ
cos ρ
1
`
∂r
n` (ρ) = (−ρ)
ρ
ρ
`
sphärische Besselfunktion
(7.11)
sphärische Neumannfunktion
(7.12)
(7.13)
Grenzwerte
für ρ −→ ∞:
µ
¶
1
`π
j` −→
sin ρ −
ρ
2
für ρ −→ 0:
j` −→
µ
¶
1
`π
n` −→
cos ρ −
ρ
2
ρ`
regulär (2` + 1)!!
Kugelwellen
(7.14)
n` −→ (2` + 1)!! ρ−(`+1) singulär!
Doppelfakultät: n!! := n(n − 2)(n − 4) . . . endet auf 1 oder 2.
Energie-Eigenbasis
ψE`m (r, θ, ϕ) = j` (kr) Y`m (θ, ϕ) mit E =
Normierung
Z∞
dr r2 j` (kr) j` (k 0 r) =
0
0 0
}2 k 2
kontinuierlich ≥ 0
2m
2
δ (k − k 0 )
πk 2
Z
0
∗
d3 r ψE`m
ψE 0 `0 m0 =
y hE`m|E ` m i =
Vollständigkeit
Z∞
1=
dE
X
πm √
2mE
|E`mihE`m|
3
}
`,m
0
allgemeine Lösung
2
δ (k − k 0 ) δ``0 δmm0
πk 2
Z∞
hr, θ, ϕ|ψ(t)i =
dE
0
X
i
aE`m j` (kr) Y`m (θ, ϕ) e− } Et
`,m
64
(7.15)
vergleiche mit
Z
hx, y, z|ψ(t)i =
d3 k
1
(2π)
~
3/2
i
b~k eik~r e− } Et
Umrechung zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten
X
~
∗
eik~r = 4π
i` Y`m
(θk , ϕk ) j` (kr)Y`m (θ, ϕ)
`,m
65
(7.16)