Theoretische Elektrizitätslehre
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Hans Spülbeck Wolfgang Hartger Theoretische Elektrizitätslehre Hans Spülbeck Wolfgang Hartger Theoretische Elektrizitätslehre Eine Einführung für Studierende und Ingenieure Mit 176 Bildern und 48 Beispielen FRIEDR. VIEWEG & SOHN BRAUNSCHWEIG ISBN 978-3-663-03171-0 ISBN 978-3-663-04360-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-04360-7 1966 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1966 Alle Rechte vorbeha \ten van FRIEDR. VIEWEG & SOHN, BRAUNSCHWEIG Vorwort Dieses Buch hat sich die Aufgabe gestellt, die M axwell- Theorie für alle diejenigen anschaulich und exakt darzustellen, die zwar die Infinitesimalrechnung und die Vektoralgebra, nicht aber die Theorie der Vektorfelder beherrschen. Es schlägt damit eine Brücke zu den Spezialwerken, die auch die Kenntnis dieses mathematischen Gebietes voraussetzen. Die ausführliche textliche Darstellung wird durch zahlreiche Zahlenbeispiele ergänzt. Außerdem führt sie schrittweise an den Stellen, an denen das vorliegende Problem hierzu nötigt, in die Theorie der hier behandelten Vektorfelder ein. Somit ist dieses Lehrbuch gleichermaßen wichtig für die Studierenden der einschlägigen Disziplinen an Universitäten und Technischen Hochschulen wie für die höheren Semester der Elektrotechnik der Ingenieurschulen. Das Bemühen, das Wesentliche der Erscheinungen möglichst anschaulich und hinlänglich tief darzustellen, wird auch für viele, die sich in der Berufspraxis in die Theorie der Elektrizitätslehre erstmalig oder wiederholend einarbeiten wollen, von Nutzen sein. Die Gleichungen werden ausschließlich als Größengleichungen geschrieben. Die Vektorgrößen sind durch Frakturbuch<;taben gekennzeichnet. Als Einheitensystem wird das MKSA-System benutzt. Dr.-Ing. Hans Spülbeck Dr.-Ing. Wolfgang Hartger Düsseldorf/Braunschweig, im Frühjahr 1965 v Inhaltsverzeichnis I. Elektrostatik 1. Die elektrische Ladung. Das elektrische Feld. Die elektrische Feldstärke 2. Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke. Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Das elektrische Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 23 4. Das Randintegral der elektrischen Feldstärke . . . . . . . 5. Die elektrische Verschiebung. Das Hüllintegral des elektrischen Feldes. Das Coulombsche Gesetz 25 6. Ergiebigkeit und Divergenz. Der Gaußsche Satz. Die Poissonsche und die Laplacesche Potentialgleichung . . . . . . . . 34 47 7. Die Flächendivergenz. Der elektrisch geladene Leiter 8. Die Kapazität von Leiteranordnungen . . . 53 a) Die Kapazität von Kugelanordnungen . . . . . 54 b) Die Kapazität ebener Leiteranordnungen . . . . 62 c) Der Plattenkondensator mit veränderlichem Plattenabstand. Der Drehkondensator . . . . . . . . . . . 64 d) Die Kapazität von Zylinderanordnungen . . . . . . . 70 9. Die Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10. Der Nichtleiter im elektrostatischen Feld. Die Polarisation 95 a) Das Brechungsgesetz im elektrischen Feld . . . 119 11. Kraft, Arbeit und Energie im elektrostatischen Feld 123 a) Die Potentialwaage . . . . . . . . . . . . . . 129 II. Das stationäre elektrische Strömungsfeld 1. Der stationäre elektrische Strom . . 2. Das Ohmsche Gesetz. Das Kirchoffsche Verzweigungsgesetz. Das Hüllintegral der elektrischen Stromdichte . . . . . . . . . . 3. Das Joulesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Die eingeprägte Feldstärke und die eingeprägte Spannung III. Das magnetische Feld 1. Die magnetische Feldstärke. Der magnetische Dipol . . . . . . . 2. Das Randintegral der magnetischen Feldstärke im ruhenden Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 3. Das Magnetfeld des stromdurchflossenen Leiters. Das Randintegral und die magnetische Umlaufspannung. Das Durchflutungsgesetz 4. Die Rotation des Vektorfeldes. Der Stokessche Satz . 5. Der magnetische Fluß. Die magnetische Flußdichte. . . . . . VI 132 133 141 144 156 158 160 164 169 6. Kraft auf stromdurchflossene Leiteranordnungen im Magnetfeld. Das magnetische Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Das magnetische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Materie und magnetisches Feld. Die Polarisation und Magnetisierung 9. Arbeit und Energie im magnetischen Feld . . . . . . . . . . . . 10. Faradaysches Induktionsgesetz für zeitlich veränderliche Magnetfelder 11. Die Selbstinduktion und die Gegeninduktion a) Die Selbstinduktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Die Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Vergleich zwischen den grundlegenden Gesetzen des elektrostatischen, des magnetischen Feldes und des elektrischen Strömungsfeldes IV. Schwingungen und Ausgleichvorgänge 1. Erzwungene Schwingungen in Wechselstromkreisen a) Die sinusförmige Wechselspannung . . . . . . b) Induktivität und Wirkwiderstand im Wechsel stromkreis c) Kapazität und Wirkwiderstand im Wechselstromkreis d) Reihenschaltung von Widerstand, Induktivität und Kapazität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Die Spannungsresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Parallelschaltung von Induktivität und Kapazität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . g) Die Stromresonanz . . . . . . . . . h) Energie in Wechselstromkreisen . . . . 2. Ausgleichvorgänge in Gleichstromkreisen a) Wirkwiderstand und Induktivität b) Wirkwiderstand und Kapazität. 3. Freie Schwingungen . . . . . V. Die Maxwellschen Feldgleichungen 1. Die I. Maxwellsche Gleichung. Leitungsstrom, Verschiebungsstrom und Polarisationsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Weitere Gleichungen zum Faradayschen Induktionsgesetz. Die H. Maxwellsche Gleichung für zeitlich veränderliche Magnetfelder 3. Das II. Maxwellsche Induktionsgesetz für bewegte Leiter . . . . . . 4. Diskussion der Maxwellschen Gleichungen. . . . . . . . . . . . 5. Die Energie des elektromagnetischen Feldes. Der Poyntingsche Strahlungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Elektromagnetische Wellen 1. Ebene Wellen in ruhenden Dielektriken . . . . . . 2. Elektromagnetische Wellen und Optik. . . . . . . 3. Elektromagnetische Wellen in Leitern. Der Hauteffekt 174 185 204 219 223 226 226 230 235 242 242 245 249 252 253 256 257 261 268 268 276 283 298 300 302 308 312 317 323 327 VII Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen I. Elektrostatik . . . . . . . . . . . . Ir. Das stationäre elektrische Strömungsfeld IJ[. Das magnetische Feld . . . . . . . . . IV. Schwingungen und Ausgleichvorgänge . . 1. Erzwungene Schwingungen in Wechselstromkreisen . 2. Ausgleichvorgänge in Gleichstromkreisen 3. Freie Schwingungen. . . . . . V. Die Maxwellschen Feldgleichungen VI. Elektromagnetische Wellen . . . . 337 340 340 344 344 346 346 347 348 Zusammenstellung der Größen und Definitionsgleichungen, der Dimensionen und Einheiten . . . 350 Literaturverzeichnis 354 Namen- und Sachwortverzeichnis 355 VIII Verzeichnis der Beispiele Nr. des Beispiels Überschrift Seite I.l Berechnung der Feldstärke an einem Raumpunkt, der Spannung zwischen zwei Punkten und der Länge des Verschiebungsweges 1.2 Berechnung des Potentials und der potentiellen Energie 18 1.3 Berechnung des Randintegrals in einem inhomogenen Feld Die Feldstärke als Funktion der Entfernung; das Potential auf einer Niveaufläche; die Spannung zwischen zwei Punkten 24 1.4 29 1.5 Das Flächenintegral der elektrischen Verschiebung 31 1.6 Der Verschiebungsfluß durch eine Fläche 32 33 1.7 Berechnung der Ladung Q aus dem Hüllintegral 1.8 Berechnung der Ladungsverteilung bei gegebener Potentialverteilung 1.9 Abmessungen eines Kugelkondensators Spannung und Feldstärke bei einem Kugelkondensator Die Niveauflächen im elektrostatischen Feld einer geladenen Kugel 1.10 1.11 1.12 1.13 I.l4 I.l5 I.l6 Oberfläche eines Plattenkondensators Ableitung der Kapazität eines Plattenkondensators als Grenzfall der Kapazität eines Zylinderkondensators Das Spannungsmaximum in einem koaxialen Zylinderkondensator Die Kapazitäten und Spannungen bei einem zylindrischen Stufenkondensator Die Berechnung der Abmessungen eines zylindrischen Stufenkondensators 6 44 56 57 59 64 71 72 73 75 1.17 Die Linien der elektrischen Feldstärke und die NiveauJinien einer Doppelleitung I.l8 Dielektrikum in einem Plattenkondensator 108 1.19 110 1.22 Geschichtete Dielektrika Konzentrisch angeordnete zylindrische Dielektrika mit verschiedener relativer Dielektrizitätskonstante Die Bestimmung der Normal- und Tangentialkomponenten der Feldstärke und der Verschiebung sowie die Berechnung des Brechungswinkels in einer Glimmerschicht, die schräg in einem Plattenkondensator liegt Die Energie im Plattenkondensator 121 126 1.23 Leistung und Energie eines Blitzlichtgerätes 127 1.20 1.21 77 113 IX Nr. des Beispiels Seite 1.24 Die aufgespeicherte Energie in einem Kabel 1.25 Die Anziehungskraft in einem geladenen Plattenkondensator 131 II.l II.2 Die Berechnung des Meßfehlers eines Spannungsmessers Strömungsfeld und Übergangswiderstände zwischen zwei eingegrabenen Metallkugeln und dem Erdreich 138 140 11.3 Die Bestimmung der Joulesehen Wärme und der Temperaturerhöhung in einem Draht beim Entladen eines Kondensators 142 HA IlI.1 Eingeprägte und elektrostatische Spannungen Die Bestimmung der Rotation der magnetischen Feldstärke eines gegebenen magnetischen Feldes und der hierzu erforderlichen Stromdichte 153 Ill.2 IlI.3 Die Berechnung des magnetischen Flusses 172 Die mechanische Kraft, die auf einen stromdurchflossenen Leiter ausgeübt wird 183 lIlA Die Berechnung der Kraft und Arbeit in einem magnetischen Feld 199 Il1.5 Die Berechnung des magnetischen Potentials und der magnetischen Spannung 200 Die Berechnung des skalaren magnetischen Potentials in der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters 201 Il1.7 Die Berechnung des Flusses zwischen zwei ungleichnamigen magnetischen Polen 202 H1.8 Die Energie im magnetischen Feld und ein Vergleich mit der Energie im elektrischen Feld Die Berechnung der Stromstärke in einem Kupferring, der sich in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld befindet Die gespeicherte magnetische Energie in einem Trenntransformator H1.6 lII.9 IlI.10 HI.11 Ähnlichkeit der gesetzmäßigen Beziehungen im elektrostatischen und magnetischen Feld sowie im elektrischen Strömungsfeld IV.l Die Berechnung der Teilspannungen an einem Kondensator und an einer Selbstinduktionsspule bei deren Reihenschaltung in einem Wechselstromkreis Der Spannungs- und Stromverlauf in der Erregerwicklung beim Abschalten einer Gleichstrommaschine IV.2 x Überschrift 127 169 221 225 234 236 255 274 IV.3 Die Berechnung der EntIadungszeit eines Kondensators 282 IVA Die Berechnung eines Schwingungskreises 292 Nr. des Beispiels L -V.1 V.2 VI.1 VI.2 ~~~~~~~~~~~PLSeit~ ÜberChT_if_t ~----- Die Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit eines Generatorankers Die induzierte Spannung in einer Scheibe, die zwischen den Polen eines Magneten rotiert Die Eindringtiefe einer elektromagnetischen Welle in einen Leiter Der Wirkwiderstand eines Drahtes bei Hochfrequenz 306 307 333 334 XI Liste der Formelzeichen a A a, a a '21, A A B Bp B OJo b S8, B S8 A S8 0 Bn Bt S8s , Bs Abkürzung für R/2L Arbeit Beschleunigung Entfernung Fläche, Querschnitt Konstante Blindleitwert Blindleitwert bei Parallelschaltung von R+L und C Resonanz-Blindleitwert Entfernung magnetische Flußdichte, magnetische Induktion magnetische Induktion der Fläche A magnetische Flußdichte im leeren Raum Normalkomponente der magnetischen Flußdichte Tangentialkomponente der magnetischen Flußdichte Sättingungsinduktion ii Scheitelwert der magnetischen Flußdichte im Wechselfeld B Konstante C Kapazität c spezifische Wärme Co Lichtgeschwindigkeit im Vakuum d Abstand d Dämpfungsfaktor D, d Durchmesser dEindringtiefe <!l, D elektrische Verschiebung Flächenladungsdichte ~a elektrische Verschiebung außen im Vakuum ~M elektrische Verschiebung im isolierenden Material D n Normalkomponente der elektrischen Verschiebung XII D t Tangentialkomponente der elektrischen Verschiebung Differential div räumliche Divergenz, spezifische Ergiebigkeit Div Flächendivergenz G:, E elektrische Feldstärke G:a, Ea elektrische Feldstärke außen im Vakuum G:e, Ee eingeprägte elektrische Feldstärke G: g , E g elektrische Gegenfeldstärke im Isolierstoff G:i, Ei innere elektrische Feldstärke G: i , Ei induzierte elektrische Feldstärke G:st, Est elektrostatische Feldstärke G:L elektrische Feldstärke im Leiter G:M resultierende elektrische Feldstärke im isolierenden Medium E n Normalkomponente der elektrischen Feldstärke E t Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke G: x elektrische Feldstärke in der x-Richtung G: y elektrische Feldstärke In der y-Richtung G:z elektrische Feldstärke in der z-Richtung e Ladung eines Elektrons e Basis des natürlichen Logarithmus 1 Frequenz 10 Resonanzfrequenz F Gewicht a partielles '3', F Kraft f Kraft auf ein Elektron im fe elektromagnetischen Feld Kraft auf ein Elektron im elektrischen Feld '3'm, Fm fm Kraft im magnetischen Feld Kraft im magnetischen Feld je Volumeneinheit fm Kraft auf ein Elektron im magnetischen Feld g, g Fallbeschleunigung G Gewicht G Wirkleitwert G p Wirkleitwert der Parallelschaltung von R + L und C Gwo Resonanz-Wirkleitwert grad Gradient, stärkstes Gefälle 2>, H magnetische Feldstärke 2>0 magnetische Feldstärke im Außenraum einer Spule 2>i magnetische Feldstärke im Inneren einer Spule Hk Koerzitivfeldstärke H n Normalkomponente der magnetischen Feldstärke H t Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke S'J" H s magnetische Sättigungsfeldstärke ii Scheitelwert der magnetischen Wechselfeldstärke S'J x , H x magnetische Feldstärke in der x-Richtung S'J y , H y magnetische Feldstärke in der y-Richtung 2>z, Hz magnetische Feldstärke in der z-Richtung h Höhe 1 elektrischer Strom im allgemeinen 10 Gleichstrom zur Zeit (0 = 0 leil = 1 Effektivwert des Wechselstromes j Augenblickswert des e1ektrisehen Stromes i Scheitelwert des elektrischen Wechselstromes S Wechselstrom; Zeigerdarstellung SL Wechselstrom durch Spule Sc Wechselstrom durch Kondensator i Einsvektor in der x-Richtung S magnetische Polarisation Ss magnetische Sättigungspolari- sation Einsvektor in der y-Richtung j = -1 imaginäre Zahl J Trägheitsmoment fEinsvektor in der z-Richtung K, k Konstante I, I Länge L Selbstinduktionskoeffizient 9R, M Drehmoment M Gegeninduktionskoeffizient 9.)1, M Magnetisierungsstärke m, m magnetisches Moment m Masse n Anzahl n Lichtbrechungszahl n Umdrehungszahl je Minute N Windungszahl P mittlere elektrische Leistung cp, P elektrische Polarisation P, Po Raumpunkte Pb elektrische Blindleistung Pm mittlere Wirkleistung PQ Wärmeleistung Ps Strahlungsleistung Ps elektrische Scheinleistung P w elektrische Wirkleistung P Polstärke P prozentualer Fehler P Augenblicksleistung Pb augenblickliche elektrische Blindleistung Ps augenblickliche elektrische Scheinleistung Pw augenblickliche elektri!>Che Wirkleistung p Scheitelwert der elektrischen Leistung bei Wechselstrom Q elektrische Ladung y i XIII Qe Qp Qp q q R Re Rm Rp Rwo r Ta Tj t rot 6, S 6L 6 p 6v S" Sy Sz ß,s T T T t U U .u ue Uj ust Uj u XIV felderzeugende Ladung elektrische Probeladung Polarisationsladung Augenblicksladung Ladung je Längeneinheit elektrischer Widerstand dielektrischer Widerstand magnetischer Widerstand Wirkwiderstand bei Parallelschaltung Resonanzwiderstand Radius, Abstand Außenradius Ionenradius Ortsvektor Rotor, Wirbel Stromdichte Stromdichte des Leitungsstromes Poyntingscher Strahlungsvektor StroJIldichte des Verschiebungsstromes Stromdichte in der x-Richtung Stromdichte in der y-Richtung Stromdichte in der z-Richtung Weg Periodendauer Schwingungsdauer absolute Temperatur Zeit elektrische Spannung Effektivwert der elektrischen Wechselspannung Wechselspannung; Zeigerdarstellung eingeprägte elektrische Spannung innere elektrische Spannung elektrestatische Spannung induzierte elektrische Gleichspannung Augenblickswert der elektrischen Spannung abklingende Spannung Augenblickswert der induzierten elektrischen Spannung zij induzierte Umlaufspannung Uc Spannung am Kondensator; Zeigerdarstellung Uc Augenblickswert der Spannung am Kondensator UL Spannung an der Selbstinduktion; Zeigerdarstellung UL Augenblickswert der Spannung an der Selbstinduktion UR Spannung am Wirkwiderstand; Zeigerdarstellung UR Augenblickswert der Spannung am Wirkwiderstand ü Scheitelwert der elektrischen WeChselspannung U, U Konstante V Raum, Raumelement, Volumen v'a magnetische Teilspannung V magnetische Umlaufspannung Q3 Vektorpotential 1,), v Geschwindigkeit W Energie We elektrische Energie Wkj" kinetische EnergIe W m magnetische Energie W pot potentielle Energie Ua Uj W Q} Wärmeenergie Ww Ws Strahlungsenergie Ws elektrische Strömungsenergie W räumliche Energiedichte We räumliche Energiedichte des elektrischen Feldes Wm räumliche Energiedichte des magnetischen Feldes Ww räumliche Energiedichte der Wärme ':I Blindwiderstand; Zeigerdarstellung X Betrag des Blindwiderstandes 'Xc kapazitiver Blindwiderstand; ZeigerdarstelJung Xc Betrag des kapazitiven Blindwiderstandes 'XL induktiver Blindwiderstand; ZeigerdarstelJung XL Betrag des induktiven Blindwiderstandes X p Blindwiderstand bei ParalJelschaltung von L und C ~ Scheinleitwert; ZeigerdarstelJung Y Betrag des Scheinleitwertes Y"'o Resonanz-Scheinleitwert S komplexer Scheinwiderstand; ZeigerdarstelJung Z Betrag des komplexen Scheinwiderstandes Z"'o Resonanz-Scheinwiderstand a Auslenkungswinkel a Brechungswinkel a Winkel a Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes LI... Änderung, Differenz, Intervall LI Laplace Operator LI!pa elektrisches PotentialgefälJe außen im Vakuum LI!PM elektrisches PotentialgefälJe im isolierenden Medium o Phasenwinkel E absolute Dielektrizitätskonstante E o absolute Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes Er relative Dielektrizitätskonstante ErM relative Dielektrizitätskonstante im isolierenden Medium 'T} elektrische Raumladungsdichte e Durchflutung e Temperatur beim Curiepunkt Winkel magnetische Suszeptibilität u spezifische Leitfähigkeit A magnetischer Leitwert Ä WelJenlänge Äb Ä2 Abkürzungen fl absolute Permeabilität flo absolute Permeabilität des leeren Raumes fld differentielJe Permeabilität flr relative Permeabilität e räumliche Massendichte e spezifischer Widerstand e Radius a elektrische Flächenladungsdichte T Zeitkonstante P magnetischer Fluß Pp Fluß des magnetischen Probepols !P elektrisches Potential !Pa elektrisches Potential außen im Vakuum !PM elektrisches Potential im isolierenden Medium !Pm magnetisches Potential !pe eingeprägtes elektrisches Potential !pi inneres Potential !pst elektrostatisches Potential !P Winkel !P Winkel der Phasenverschiebung X Kopplungsfaktor X elektrische Suszeptibilität 'I' elektrischer Verschiebungsfluß W Kreisfrequenz W Winkelgeschwindigkeit Wo Resonanzkreisfrequenz 1} u xv I Elektrostatik 1 Die elektrische Ladung. Das elektrische Feld. Die elektrische Feldstärke Der Begriff der elektrischen Ladung wurde geprägt, als man beobachtete, daß Kräfte von Stoffen ausgehen, wenn man sie gegenseitig gerieben hatte. Man sprach und spricht auch jetzt noch von "Ladung", weil man sich vorstellte, daß die Versuchs körper "beladen" oder "geladen" d.h., daß sie mit einer elektrischen Menge angefüllt sind, die als Quellen der beobachteten Erscheinungen angesehen werden. "Elektrische Ladung" und "Elektrizität-smenge" besagen demnach das gleiche. Man kann mit Recht von einer Menge insbesondere auch deshalb sprechen, weil es möglich ist, den erzeugten Zustand portionsweise auf andere Körper zu übertragen. Seit bekannt ist, daß die Elektrizität atomistischen Charakter hat, daß es eine nicht unterschreitbare Elementarladung (1,6.10- 19 C) gibt, die nur ganzzahlig vervielfacht in größeren Beträgen auftreten kann, ist die elektrische Ladung als echte Mengengröße sicher erkannt. Aus den Beobachtungen der Kräfte, die zwischen zwei beliebig geladenen Körpern wirken, ist man genötigt, von Ladung und Gegenladung zu sprechen, im gleichen Sinne, wie man Kraft und Gegenkraft unterscheidet. Positives und negatives Vorzeichen für Ladung und Gegenladung sind willkürlich als sinnvolle Unterscheidungsmerkmale zwei verschiedenen Ladungsarten zugeordnet worden, weil diese, beispielsweise durch Reibung zwischen zwei verschiedenen Stoffen erzeugt, entgegengerichtete Kraftwirkungen verursachen. Normalerweise sind die stets vorhandenen positiven und negativen Elektrizitätsmengen ausgeglichen, so daß nach außen hin keine elektrische Ladung bemerkbar wird. Erst, wenn die positiven und negativen Elektrizitätsmengen getrennt werden, also relativ zueinander ihren Ort ändern, wird der Ausgleich gestört und die elektrische Ladung nachweisbar. Die Elektrizitätsmengen sammeln sich an derjenigen Stelle des Körpers, an der man dann die Wirkungen beobachten kann. Je nach dem Vorzeichen der überschüssigen Elektrizitätsmenge ist die Wirkung verschieden geartet. Die Gesamtladung eines betrachteten, äußeren Einflüssen entzogenen Systems bleibt dabei erhalten: es gilt der Satz von der Erhaltung der Elektrizitätsmenge oder der elektrischen Ladung. Wo negative Elektrizitätsmengen angehäuft sind, bedeutet das. daß 1 eine gleich große positive Elektrizitätsmenge an der gleichen Stelle zu demselben Zeitpunkt fehlt und umgekehrt. Früher nahm man eine Fernwirkung an. Man stellte sich vor, daß ein geladener Körper auf einen zweiten geladenen Körper erst dann wirken kann, wenn dieser in die Nähe des ersten gebracht wird, wobei man annahm, daß der Raum zwischen den bei den Körpern an der Kraftwirkung nicht beteiligt sei. Diese Vorstellung ist von Faraday und Maxwell durch die heute allgemein gültige Vorstellung der "Nahwirkung" abgelöst worden. Hierbei nimmt man an, daß der gesamte Raum, besonders auch der leere Raum, um einen geladenen Körper in einen besonderen Zustand versetzt wird. Ferner nimmt man an, daß dann jeder Raumpunkt um den geladenen Körper befähigt ist, eine Kraft auf eine zweite Ladung - sie sei im folgenden "Probeladung" genannt -, auszuüben, unabhängig davon, ob nun eine Probeladung in den betrachteten Raum tatsächlich hineingebracht wird oder nicht. Die hinzukommende Probeladung findet sozusagen in jedem Raumpunkt, an den sie gelangt, einen bestehenden Zustand vor. Ein mit entsprechenden Sinnen begabter Beobachter würde feststellen, daß der Raum um einen geladenen Körper durch dessen Ladung eine besondere, meßbare Eigenschaft angenommen hat. Um diese Eigenschaft art- und wertmäßig zu erfassen, verwendet der Beobachter ein Probekörperehen mit Probeladung als Meßorgan. Einen Raum, in welchem die genannte Eigenschaft lückenlos (kontinuierlich) verteilt ist, nennt man ein "elektrisches Feld". Ruhen die Ladungen, die ein elektrisches Feld erzeugen, so handelt es sich um ein "elektrostatisches Feld". Mit der früheren Fernwirkungstheorie kommt man zwar aus, wenn man lediglich die gegenseitige Kraftwirkung zwischen elektrischen Ladungen betrachtet und beobachtet, wie diese Kraftwirkung abhängt von den Elektrizitätsmengen und dem Abstand zwischen den Ladungen. Wichtige Gründe aber, die hier nicht erörtert werden können, haben jedoch seit Faraday und Maxwell immer mehr dazu geführt, die leider wenig anschauliche Nahwirkung~theorie anzuerkennen. Sie liegt auch den heutigen Anschauungen über den in diesem Buch behandelten Gegenstand zugrunde. Fußend auf dem Faraday-Maxwellschen Begriff des elektrischen Feldes, führt folgende Versuchserfahrung zu einer grundlegend wichtigen Größe des elektrischen Feldes: Haben Ladungen in beliebiger Zahl und in beliebiger Raumverteilung ein elektrisches Feld hervorgebracht, so ist die Kraft <J auf eine in dieses Feld eingebrachte Probeladung Qp dieser Ladung proportional. Als Proportionalitätsfaktor ergibt sich eine Größe, deren Betrag und Richtung vom Ort abhängig sind, und die allein durch die ursprünglichen Ladungen, die das Feld erzeugt haben, sowie durch ihre gegenseitige Anordnung bestimmt werden. 2 Diesen ortsabhängigen Proportionalitätsfaktor hat man als "elektrische Feldstärke" definiert, und es gilt die Beziehung: \3' (I.l)*) 6'=Qp Die elektrische Feldstärke 6' ist mithin definiert als die Kraft je Ladungseinheit einer Probeladung. Die elektrische Feldstärke ist demnach ein Vektor, das elektrische Feld ein Vektorfeld. Als positive Richtung der elektrischen Feldstärke ist die Richtung der Kraft festgelegt, die eine positive Probeladung erfährt. Bei einer gleich großen negativen Ladung beobachten wir zwar eine Kraft von gleichem Betrag, aber entgegengesetzter Richtung. Ein elektrisches Feld ist dann vollständig beschrieben, wenn für jeden Raumpunkt sowohl der Kraftbetrag je Ladungseinheit der positiven Probeladung als auch die Kraftrichtung bekannt sind. Ein elektrisches Feld, in dem an jedem Raumpunkt die elektrische Feldstärke nach Betrag und Richtung gleich ist, wird "homogenes elektrisches Feld" genannt. Wir betrachten nun irgendeinen Raumpunkt A eines elektrischen Feldes, das nicht homogen ist. In diesem Punkt ermitteln wir durch ein positiv geladenes Probekörperchen die Richtung des elektrischen Feldes und zeichnen sie als Vektorpfeil ein. Schreiten wir mit der Probeladung in der Pfeil richtung, vom betrachteten Punkt ausgehend, um ein sehr kurzes Wegstück ds fort, so gelangen wir zu einem sehr nahen Nachbarpunkt (Bild I.1). Die im Nachbarpunkt festgestellte Feldrichtung kennzeichnen wir ebenfalls durch einen Pfeil, dessen Richtung im inhomogenen Felde von der des ersten Pfeiles verschieden ist. Denken wir uns dieses Verfahren fortgesetzt, so erhalten wir eine <2:1 Bild 1.1 Linie des Vektors elektrischen Feld ~ in einem nicht homogenen *) Eine genaue Betrachtung ergibt, daß die Beziehung (1.1) nicht uneingeschränkt gilt. Sie gilt um so genauer, je kleiner die Probeladung und je kleiner die Abmessung des Probekörpers sind, je weiter andere Körper entfernt sind und je mehr das elektrische Feld räumlich konstante Feldstärke besitzt. Mit anderen Worten: Die geringe Beeinflussung des vorhandenen Feldes durch die kleine Ladung des Probekörpers soll nicht berücksichtigt werden. 1* 3 dichte Folge von Raumpunkt..:n, denen jeweils ein Richtungspfeil zugeordnet ist. Bei unendlich dichter Folge unendlich vieler Raumpunkte bilden diese im inhomogenen Felde eine stetig verlaufende Raumkurve mit den Feldrichtungspfeilen in den betrachteten Punkten als Tangenten. Die erhaltene, im Raume verlaufende Linie des Vektors G:, "Feldlinie" oder "Kraftlinie" des elektrischen Feldes genannt, gestattet zunächst nur Aussagen über die Richtungen der elektrischen Feldstärke. Mit Hilfe solcher, in größerer Zahl gezeichneter Feldlinien kann man in einfachen Fällen elektrische Felder veranschaulichen. Insbesondere wird der einfachste Fall des homogenen Feldes durch parallel verlaufende Feldlinien dargestellt, wie z. B. die Bilder 1.17 und 1.36 zeigen. Obwohl man ein unendlich dichtes Bündel von Feldlinien nicht darstellen kann, wie es ein vollkommenes Abbild der wirklichen Verhältnisse erfordern würde, ist eine übersichtliche Darstellung eigentlich erst durch diesen Mangel möglich; er gestattet auch durch zusätzliche Verabredungen über die Liniendichte im Zusammenhang mit weiteren, in den folgenden Abschnitten noch zu behandelnden Größen quantitative Aussagen. Für viele Anwendungen ist das Feldlinienbild ein unentbehrliches Hilfsmittel, um bei inhomogenen Feldanordnungen Zahlenwerte von Größen des elektrischen Feldes zu erhalten. Da Feldlinien grundsätzlich Raumkurven sind, liefert die zeichnerische Darstellung in der Ebene im allgemeinen nur Spurlinien, und deshalb sind auswertbare Feldbilder von dreidimensionalen elektrischen Feldern nur in wenigen Fällen und auch dann keineswegs einfach darzustellen. 2 Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke. Die elektrische Spannung Wirkt nach Bild 1.2 auf einem unendlich kurzen Wegstück ds einer beliebig geführten Wegkurve von (1) nach (2) die Kraft '0', so muß längs des Wegstückes ds die Arbeit dA = '0'. ds (I.2) aufgewendet werden. (lj Bild 1.2 Zur Definition des Arbeitsbegriffes 4 Bei einer längs der Wegkurve veränderlichen Kraft ergibt sich dann für den gesamten Weg von (1) nach (2) die Arbeit al'l Linienintegral der Kraft 2 A 12 f = \J . dß. (I.3) 1 Dieses Produkt aus Kraftvektor und Wegvektor heißt in der Vektorrechnung inneres oder skalares Produkt (die Arbeit ist ein Skalar) und ist eine Abkürzung für 2 A 12 = f Fcosa ds, (I.4) 1 wobei F = [\J[ und ds = [dßI die Beträge beider Vektoren und ader Winkel zwischen \J und dß sind. Mit F s = F cos a als Komponente von \J in Richtung von dß können wir auch schreiben 2 A l2 = fF s • (1.5) ds. 1 Die Arbeit ist vom Wege als Größe abhängig, nicht aber von der Form der Wegkurve im Raume, wenn sie nur die gleichen Punkte verbindet. Ist die Kraft längs des Weges konstant, so erhält man als Arbeit (1.6) und, wenn im einfachsten Falle Kraft- und Wegvektor überall gleichgerichtet sind, (1.7) Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, werden im elektrostatischen Feld auf kleine Probekörper, die eine elektrische Ladung tragen, Kräfte ausgeübt, so daß ein geladener Probekörper im elektrischen Feld bewegt wird. Dabei wird von den Feldkräften eine Arbeit verrichtet. Den Kraftvektor im Arbeitsintegral können wir nun nach der Definitionsgleichung (U) durch den Vektor der elektrischen Feldstärke ausdrücken: (1.1) 2 A 12 = f Qp . G: • dß 1 2 = Qp f G: • dß . (1.8) 1 5 Die Arbeit je Ladungseinheit, die bei Bewegung eines kleinen geladenen Probekörpers durch die Feldkräfte zwischen zwei Punkten (1) und (2) verrichtet wird, ist dann J<r. 2 A 12 = Qp ds . (1.9) 1 Das Linienintegral auf der rechten Seite ist definiert als elektrische Spannung U12 zwischen den Punkten (1) und (2) 2 U12 = ( ~ 1 <r . ds = A12 ~. Qp (1.10) Die elektrische Spannung hat im LMTQ-Dimensionssystem das Dimensionsprodukt VMT-2Q-I, im LTUI-Dimensionssystem die Dimension U. Aus Gleichung (1.10) ersieht man, daß die elektrische Spannung die Bedeutung von Arbeit/Ladung bzw. Energie/Ladung hat. Wir erinnern uns, daß die elektrische Feldstärke <r ein im allgemeinen ortsveränderlicher Vektor im räumlichen Vektorfeld ist. Man kann das Linienintegral U12 berechnen, wenn <r als Funktion des Ortes bekannt ist. Im homogenen Feld mit überall konstanter elektrischer Feldstärke vereinfacht sich Gleichung (1.10) zu (1.11) Fallen betrachtete Wegrichtung und Feldstärkerichtung zusammen, so ist (1.12) U12 = E· ßs12 • Beispiel 1.1 Berechnung der Feldstärke an einem Raumpunkt, der Spannung zwischen zwei Punkten und der Länge des Verschiehungsweges a) Welche elektrische Feldstärke herrscht an einem Raumpunkt, an dem auf einen genügend kleinen Probekörper, der eine Ladung vom Betrage Q = 2 . 10-8 C trägt, die Kraft 5· 10-4 P ausgeübt wird? Bei unserer Aufgabe ist die Ladung in Einheiten des MKSA-Systems gegeben, die Kraft jedoch in der Einheit des m, kp, s-Systems. Da es hier auf die Beträge ankommt, wird auf die vektorielle Schreibweise verzichtet. Nach Gleichung (1.1) ist: E = ~ = 5 . 10-4 P = 2 5 . 10 1 ~. Q 2· 1O-8 C ' C Wir wollen die elektrische Feldstärke in Einheiten des MKSA-Systems, also in Volt/Meter angeben. 6
