Aufgabenblatt 9 zur Spieltheorie SS 2017

Aufgabenblatt 9 zur Spieltheorie SS 2017
Aufgabe 9.1: Zur Entstehung von Vertrauen in langfristigen Beziehungen“ soll die Itera”
tion des folgenden Basisspiels zwischen SP1 und SP2 betrachtet werden:
SP1
N
(0,0)
SP1 kann einen Auftrag an SP2 erteilen. SP2 kann den Auftrag im Sinne von SP1 ausführen (C =cooperate) oder pfuschen“
”
(D = defect). Wenn SP2 kooperiert, nutzt dies beiden Spielern.
Wenn SP2 defektiert, vergrößert er seinen Nutzen, aber schadet
SP1. SP1 kann SP2 vertrauen (T = trust), indem er den Auftrag
erteilt, oder es lassen (N = no trust).
T
C
(1,1)
SP2
D
(-1,2)
Ein solches Vertrauensspiel“ entsteht z.B. dann, wenn SP1 die von SP2 angebotene, nicht
”
dessen tatsächlich erbrachte (vielleicht minderwertige) Leistung bezahlen muss.
a) Welche Nash-GGe in reinen Strategien hat das Basisspiel?
Welche teilspielperfekten Nash-GGe in reinen Strategien hat das Basisspiel?
Gibt es im Basisspiel strikt dominierte Strategien? Gibt es schwach dominierte?
b) Der folg. Spielbaum soll das zweimal (undiskontiert) wiederholte Basisspiel darstellen:
SP1
N
T
SP2
SP2
N
(0,0)
T
C
(1,1)
SP1
D
C
SP1
T
N
(-1,2)
(1,0) C
(3,2)
D
SP1
N
SP2
D (-1,2) C
(0,3)
T
SP2
D
(0,3) (-2,4)
Der Spielbaum ist zwar formal korrekt, gibt aber nicht das zweimal wiederholte Basisspiel wieder, bei dem die Spieler die Aktionen der ersten Runde beobachten, an jedem
Endknoten der ersten Runde ein neues Basisspiel beginnt und die Auszahlungen beider
Runden sich zur Endauszahlung addieren. Korrigieren Sie die (fünf) Fehler.
Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-GG des zweimal wiederholten Spiels.
Wie viele reine Strategien hat SP1, wie viele hat SP2 im zweimal wiederholten Spiel?
c) Das Basisspiel wird nun unendlich oft wiederholt, wobei die Spieler zukünftigen Nutzen
mit einem Faktor δ ∈ [0, 1) pro Runde diskontieren.
Zeigen Sie, dass bei genügend großem δ Vertrauen und Kooperation“ (T, C) durch ein
”
teilspielperfektes Nash-GG (s1 , s2 ) im unendlich-oft wiederholten Spiel gestützt wird.
Verwenden Sie die folgenden Triggerstrategien:
s1 : SP1 spielt T in der ersten Runde; in der t-ten Runde spielt er T, wenn in allen
vorherigen Runden (T,C ) gespielt wurde; ansonsten spielt er nun N.
s2 : SP2 spielt C in der ersten Runde; in der t-ten Runde spielt er C, wenn (T,C ) in
allen vorherigen Runden gespielt wurde, ansonsten spielt er nun D.
Wie groß ist dabei der kritische Diskontfaktor?
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Aufgabe 9.2 Gegeben ist folgendes Basisspiel mit Parameter v < 9:
x
y
z
a 0, 9 v, v 0, 0
b 0, 0 0, 0 1, 1
c 4, 4 9, 0 0, 0
Das Spiel wird zwei mal nacheinander gespielt, ohne die Auszahlungen aus Runde 2 zu diskontieren. Beide Spieler können nach der ersten Runde den Spielausgang in Runde 1 beobachten. Wie groß muss v mindestens sein, damit es ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht
(in reinen Strategien) gibt, in dem in Runde 1 das Profil (a, y) gespielt wird?
Geben Sie zu den ermittelten Werten von v ein Strategienprofil (s1 , s2 ) an, das ein TSPNGG
des wiederholten Spieles darstellt.
Aufgabe 9.3 Wir betrachten einen Markt, in dem in jeder Periode t = 0, 1, 2, ... die PreisAbsatz-Funktion gegeben sei durch P (Q) = a − Q. Es gibt zwei identische Firmen, i = 1, 2,
mit Grenzkosten c < a. In jeder Periode produzieren die Firmen simultan Mengen qi ≥ 0,
mit der sie jeweils den Gewinn πi (q1 , q2 ) = P (Q) qi − c qi = (a − c − q1 − q2 ) qi erzielen.
Beide Firmen diskontieren Zukunftsgewinne mit dem Diskontfaktor δ ∈ [0, 1).
Für das Nash-GG (q1∗ , q2∗ ) des Basisspiels (d.h. wenn es nur eine Periode gibt) haben wir
bereits qi∗ = 31 (a − c) ermittelt.
a) Zeigen Sie (für das Basisspiel, d.h. für eine feste Periode): Wenn sich beide Firmen
zusammenschließen könnten um als Monopolist aufzutreten, d.h. π(Q) = (a − c − Q) Q
zu maximieren, würden sie die gemeinsame Menge Q̂ = 21 (a − c) wählen.
Wenn sich beide Firmen entscheiden, in einer Periode jeweils die halbe Monopolistenmenge q̂i = 41 (a − c) zu produzieren, wie groß ist dann ihr Gewinn R := πi (q̂1 , q̂2 )?
Zeigen Sie, dass dieser Gewinn größer ist als der Gewinn P := πi (q1∗ , q2∗ ) im Nash-GG.
Wenn Firma 2 die halbe Monopolistenmenge produziert, was ist dann die beste Antwort q̌1 von Firma 1 darauf und welchen Gewinn T := π1 (q̌1 , q̂2 ) realisiert sie dabei?
b) Definieren Sie eine geeignete Trigger-Strategie für Firma i, bei der sie in t = 0 mit der
Menge q̂i = 41 (a − c) beginnt.
c) Zeigen Sie, dass diese Trigger-Strategien für genügend großes δ ein teilspielperfektes
Gleichgewicht im unendlich oft wiederholten Spiel bilden. Wie groß ist der kritische
Diskontfaktor, oberhalb dessen eine stillschweigende Kollusion der beiden Firmen mit
”
gleichmäßiger Aufteilung des Monopolgewinns“ von diesem TSPNGG gestützt wird?
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