Aufgabenblatt 12 zur Spieltheorie SS 2017

Aufgabenblatt 12 zur Spieltheorie SS 2017
Aufgabe 12.1 Zwei Firmen befinden sich in einem Wettbewerb, in dem sie ihre Produktionsmengen
q1 ∈ [0, 10] und q2 ∈ [0, 10] festlegen. Die Preis-Absatz-Funktion ist durch P (Q) = (10 − Q)2 + 4
für 0 ≤ Q ≤ 10 und P (Q) = 4 für Q > 10 gegeben. Die Firmen haben konstante und identische
Grenzkosten ci = 4, so dass
π1 (q1 , q2 ) = P (Q) · q1 − c1 · q1 = (10 − Q)2 · q1
π2 (q1 , q2 ) = P (Q) · q2 − c2 · q2 = (10 − Q)2 · q2
für Q = q1 + q2 ≤ 10 und πi (q1 , q2 ) = 0 für Q > 10.
a) Zeigen Sie, dass die beste Antwort q2∗ = R2 (q1 ) von Firma 2 auf ein q1 ∈ [0, 10] von Firma 1
gegeben ist durch
R2 (q1 ) = 31 (10 − q1 )
Hinweis: Zeigen Sie:
∂π2
∂q2
= (10 − Q)(10 − q1 − 3q2 ) und argumentieren Sie über Monotonie.
b) Die Firmen legen ihre Produktionsmengen q1 , q2 ∈ [0, 10] simultan und unabhängig voneinander fest. Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht des Spiels.
c) Firma 1 legt zunächst ihre Produktionsmenge q1 ∈ [0, 10] fest. Firma 2 kann q1 beobachten,
bevor sie ihre Produktionsmenge q2 ∈ [0, 10] festlegt. Welche Strategien haben die Firmen in
diesem Spiel? Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des Spiels.
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d) Ist q̂1 , q̂2 (q1 ) mit q̂1 = 10
4 und ”q̂2 (q1 ) = 4 für alle q1 ∈ [0, 10]“ ein Nash-GG (nicht
notwendigerweise ein T-Spiel-perfektes) des Spieles in c).
e) Ist q̂1 , q̂2 (q1 ) mit q̂1 = 5 und q̂2 (q1 ) = 35 für alle q1 ∈ [0, 10]“ ein Nash-GG (nicht notwen”
digerweise ein T-Spiel-perfektes) des Spieles in c).
Aufgabe 12.2 Drei Spieler ziehen Nutzen aus dem Verbrauch einer Ressource, die im Umfang
A > 0 verfügbar ist. Wenn Spieler i die Menge xi verbraucht (i ∈ {1, 2, 3}), haben die Spieler den
Nutzen
u1 (x1 , x2 , x3 ) = ln(x1 ) + ln(A − x1 − x2 − x3 )
u2 (x1 , x2 , x3 ) = ln(x2 ) + ln(A − x1 − x2 − x3 )
u3 (x1 , x2 , x3 ) = ln(x3 ) + ln(A − x1 − x2 − x3 )
a) Die Spieler wählen ihren Verbrauch simultan und unabhängig voneinander. Bestimmen Sie
das Nash-GG des Spiels.
b) Die Spieler 2 und 3 beobachten den Verbrauch von Spieler 1, bevor sie ihre Mengen x2 , x3
simultan und unabhängig voneinander festlegen. Bestimmen Sie das teilspielperfekte NashGleichgewicht dieses Spiels.
c) Spieler 3 beobachtet den Verbrauch von Spieler 1 und 2, die ihren Verbrauch simultan und
unabhängig voneinander festlegen. Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht
dieses Spiels.
d) Zunächst wählt Spieler 1 seinen Verbrauch, dann Spieler 2 und schließlich Spieler 3. Die Spieler
können jeweils den Verbrauch der Vorgänger beobachten. Bestimmen Sie das teilspielperfekte
Nash-Gleichgewicht dieses Spiels.
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