Funktionalanalysis 1

Institut für Analysis
Prof. Dr. J. Voigt
Übungsblatt 9
6. 12. 2010
Funktionalanalysis 1
44. Zeige, dass T := {j ∈ N; j < n}; n ∈ N ∪ {N} eine Topologie auf N ist. Die einelementige Menge A := {42} ist kompakt. Bestimme A, und zeige, dass A nicht kompakt
ist.
45. Sei K =
R, M Meine nichtleere Menge, ϕ : `∞ (M
) → R, ϕ(f ) := supt∈M f (t), wobei
`∞ (M ) := f ∈ K ; ||f ||∞ := supt∈M |f (t)| < ∞ . Sei X ⊆ `∞ (M ) ein Teilraum mit
1 ∈ X, und sei ` : X → R linear. Zeige:
(a) ϕ ist sublinear.
(b) Ist ` positiv (d. h. `(f ) > 0 für alle f > 0), so gilt ` ∈ X 0 , ||`|| = `(1). Außerdem
gelten die Äquivalenzen
` 6 ϕ ⇐⇒ `(f ) > inf f (t) (f ∈ X) ⇐⇒ `(1) = 1 und ` ist positiv.
t∈M
(c) Jedes positive Funktional ` ∈ X 0 läßt sich zu einem positiven Funktional `˜ ∈ `∞ (M )0
˜ = ||`|| fortsetzen. Hinweis: Im Fall ` 6= 0 betrachte 1 `.
mit ||`||
||`||
46. Sei K = R, L : `∞ → `∞ , Lx := (xn+1 )n∈N (L wie Linksverschiebung). Ein Funktional
0
heißt Banach-Limes, falls gilt:
x0 ∈ `∞
(i) x0 (Lx) = x0 (x) für alle x ∈ `∞ ;
(ii) x0 (x) > 0 falls x > 0 (d. h. xn > 0 für alle n ∈ N);
(iii) x0 (1) = 1, wobei 1 = (1, 1, 1, . . .).
(a) Zeige: Ist x0 ein Banach-Limes, so gilt
lim inf xn 6 x0 (x) 6 lim sup xn
n→∞
n→∞
für alle x ∈ `∞ . Daraus folgt x0 (x) = limn→∞ xn für x ∈ c.
(b) Beweise die Existenz eines Banach-Limes x0 . Hinweis: Betrachte X0 := {Lx − x; x ∈
`∞ } und wende den Satz von Hahn-Banach auf f : X0 → R, f = 0 an, mit dem sublinearen
Funktional p(x) := supn∈N xn . Beachte Aufgabe 45.
0
47. Sei x0 ∈ `∞
ein Banach-Limes.
(a) Bestimme x0 (x) für x = (1, 0, 1, 0, . . .).
(b) Beweise: x0 ist nicht multiplikativ, d. h. im Allgemeinen gilt nicht x0 (xy) = x0 (x)x0 (y),
wobei die Multiplikation auf `∞ komponentenweise definiert sei.
48. (a) Beweise mit Hilfe des Zorn’schen Lemmas: Jeder Vektorraum X über K besitzt
eine algebraische Basis.
(b) Sei X ein unendlich-dimensionaler normierter Raum. Beweise, dass es lineare Funktionale f auf X gibt, die nicht stetig sind. Hinweis: Eine algebraische Basis enthält wenigstens
abzählbar unendlich viele Elemente. Definiere f auf den Basiselementen.
Abgabetermin: Mittwoch, 15. 12. 2010, 13:00 Uhr. Abzugeben sind die Aufgaben 45, 46
und 48.