Einf ¨uhrung in die Logik - Tutorium Fr 14

Einführung in die Logik - Tutorium
Fr 14-16 Ralf Kozian
Martin Rippel
(XXXXXX)
Übungsblatt 4
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Aufgabe 1
Definieren Sie die Menge der LAL -Ausdrücke induktiv.
Menge der LAL -Ausdrücke: ALAL
1.
2.
3.
4.
Alle Satzkonstanten sind LAL -Ausdrücke.
Alle Junktoren sind LAL -Ausdrücke.
Sind x und y LAL -Ausdrücke, so ist auch x_ y ein LAL -Ausdruck.
Nichts ist ein LAL -Ausdruck, das nicht durch endlich viele Anwendungen der Regeln 1 bis 3 entstanden ist.
Aufgabe 2
Überprüfen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, ob folgende Formeln Tautologien, bloß erfüllbar oder unerfüllbar
sind.
Hinweis: Als Grundlage wird folgende Wahrheitswertetafel aus der Vorlesung verwendet:
ϕ
w
w
f
f
a) ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P ∨ ¬Q)
P
w
w
f
f
Q
w
f
w
f
P ∧Q
w
f
f
f
Q
w
w
f
f
w
w
f
f
R
w
f
w
f
w
f
w
f
¬(P ∧ Q)
f
w
w
w
P ∨R
w
w
w
w
w
f
w
f
¬ϕ
f
f
w
w
ϕ∧ψ
w
f
f
f
¬Q
f
f
w
w
f
f
w
w
¬P
f
f
w
w
¬Q
f
w
f
w
Q
w
w
f
f
w
w
f
f
R
w
f
w
f
w
f
w
f
Q∧R
w
f
f
f
w
f
f
f
ϕ→ψ
w
f
w
w
ϕ↔ψ
w
f
f
w
¬P ∨ ¬Q
f
w
w
w
a)
w
w
w
w
Tautologie
(P ∨ R) ↔ ¬Q
f
f
w
w
f
w
w
f
c) (P → (Q ∧ R)) → ((P ∧ Q) → (¬P ∧ R))
P
w
w
w
w
f
f
f
f
ϕ∨ψ
w
w
w
f
Tautologie
b) ((P ∨ R) ↔ ¬Q) ∨ (Q ∨ ¬P )
P
w
w
w
w
f
f
f
f
ψ
w
f
w
f
P → (Q ∧ R)
w
f
f
f
w
w
w
w
¬P
f
f
f
f
w
w
w
w
Q ∨ ¬P
w
w
f
f
w
w
w
w
b)
w
w
w
w
w
w
w
w
erfüllbar
P ∧Q
w
w
f
f
f
f
f
f
¬P
f
f
f
f
w
w
w
w
¬P ∧ R
f
f
f
f
w
f
w
f
(P ∧ Q) → (¬P ∧ R)
f
f
w
w
w
w
w
w
c)
f
w
w
w
w
w
w
w
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(XXXXXX)
d) (P → (Q ∧ R)) → ((P ∨ Q) → (¬P ∨ R))
P
w
w
w
w
f
f
f
f
Q
w
w
f
f
w
w
f
f
R
w
f
w
f
w
f
w
f
Q∧R
w
f
f
f
w
f
f
f
P → (Q ∧ R)
w
f
f
f
w
w
w
w
Tautologie
P ∨Q
w
w
w
w
w
w
f
f
e) (Q ∨ R) ∧ (Q → P ) ∧ (¬Q ∧ R → P ) → P
Übungsblatt 4
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¬P
f
f
f
f
w
w
w
w
¬P ∨ R
w
f
w
f
w
w
w
w
(P ∨ Q) → (¬P ∨ R)
w
f
w
f
w
w
w
w
d)
w
w
w
w
w
w
w
w
Tautologie
Hinweis: wegen Platzmangel gelte ψ := (Q ∨ R) ∧ (Q → P ) ∧ (¬Q ∧ R → P ).
P
w
w
w
w
f
f
f
f
Q
w
w
f
f
w
w
f
f
R
w
f
w
f
w
f
w
f
Q∨R
w
w
w
f
w
w
w
f
Q→P
w
w
w
w
f
f
w
w
(Q ∨ R) ∧ (Q → P )
w
w
w
f
f
f
w
f
¬Q
f
f
w
w
f
f
w
w
¬Q ∧ R
f
f
w
f
f
f
w
f
¬Q ∧ R → P
w
w
w
w
w
w
f
w
ψ
w
w
w
f
f
f
f
f
e)
w
w
w
w
w
w
w
w
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass: |= (p1 → p2 ) → (¬p2 → ¬p1 )
p1
1
1
0
0
p2
1
0
1
0
¬p2
0
1
0
1
¬p1
0
0
1
1
p1 → p2
1
0
1
1
¬p2 → ¬p1
1
0
1
1
(p1 → p2 ) → (¬p2 → ¬p1 )
1
1
1
1
Es konnte gezeigt werden, dass (p1 → p2 ) → (¬p2 → ¬p1 ) bezüglich jeder möglichen Belegung wahr ist, denn
wie in der letzten Tabellenspalte zu erkennen ist gilt ∀f (f Belegung ⇒ Wertf ((p1 → p2 ) → (¬p2 → ¬p1 )) = 1)
Aufgabe 4
Gegeben seien die Mengen A = {1, 2} und B = {1, 3}. Geben Sie folgende Mengen per Aufzählung ihrer
Elemente an:
a) A × B = {h1, 1i, h1, 3i, h2, 1i, h2, 3i}
b) B × A = {h1, 1i, h1, 2i, h3, 1i, h3, 2i}
c) A2 = A × A = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 1i, h2, 2i}
d) A × (B ∩ A) = {1, 2} × {1} = {h1, 1i, h2, 1i}
e) (A × B) ∩ A = {h1, 1i, h1, 3i, h2, 1i, h2, 3i} ∩ {1, 2} = ∅
f) (A ∪ B) × A = {1, 2, 3} × {1, 2} = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 1i, h2, 2i, h3, 1i, h3, 2i}
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Aufgabe 5
Richtig oder falsch?
a)
b)
c)
d)
e)
{ha, bi, hb, bi} ist eine Funktion auf {a, b}
{ha, bi, hb, bi} ist eine Funktion auf {a, b, c}
{ha, bi, hc, bi, ha, ci} ist eine Funktion auf {a, b, c}
Die 6-Relation ist eine Funktion auf N.
Die <-Relation ist eine Funktion von {1, 2} nach {3, 4}.
richtig
richtig
falsch
falsch
richtig
Aufgabe 6
1
Zeigen Sie, dass wegen der mengentheoretischen Definition des geordneten Paares gilt, dass
hx, yi = hx0 , y 0 i ⇒ x = x0 y = y 0 .
hx, yi = hx0 , y 0 i
{{x}, {x, y}} = {{x0 }, {x0 , y 0 }}
⇒
{x} = {x }
⇒
x = x0
⇒
0
0
Definition Tupel
{x, y} = {x , y }
Definition Mengengleichheit
x = x0
y = y0
Definition Mengengleichheit
y = y0
Definition und-Verknüpfung
x = x0
1 1
0
1 1
⇒