Mathematik für Bioinformatiker I WS 12/13 Musterlösungen zur 5

Mathematik für Bioinformatiker I
WS 12/13
Musterlösungen zur 5. Übung
Aufgabe 1:
K. Kriegel
Funktionen I
M, M 0
5 Punkte
N, N 0
Sei f : A −→ B eine beliebige Funktion und
⊆ A bzw.
⊆ B beliebige
Teilmengen des Definitions- bzw. Wertebereichs von f . Zeigen Sie, dass dann die
folgenden Mengenidentitäten gelten:
a)
f (M ∪ M 0 ) = f (M ) ∪ f (M 0 )
b)
f −1 (N ∩ N 0 ) = f −1 (N ) ∩ f −1 (N 0 )
c) Finden Sie ein Beispiel für eine Funktion f : A −→ B und zwei Teilmengen
M, M 0 ⊆ A, so dass f (M ∩ M 0 ) 6= f (M ) ∩ f (M 0 )
Lösung:
a) Man muss beide Inklusionen (durch Rückführung auf die Definitionen) nachweisen:
Sei b ∈ f (M ∪ M 0 ), dann gibt es (nach Definition) ein a ∈ M ∪ M 0 , so dass f (a) = b.
Dieses a muss zu M oder zu M 0 gehören. Im ersten Fall folgt b ∈ f (M ) im zweiten
Fall b ∈ f (M 0 ) und zusammen b ∈ f (M ) ∪ f (M 0 ). Diese Betrachtung kann man auch
umkehren und erhält damit die entgegengesetzte Inklusion. Ohne viel Text kann man
den Beweis auch in folgender Form führen.
b ∈ f (M ∪ M 0 ) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∃ a ∈ M ∪ M 0 f (a) = b
(∃ a ∈ M f (a) = b) ∨ (∃ a ∈ M 0 f (a) = b)
b ∈ f (M ) ∨ b ∈ f (M 0 )
b ∈ f (M ) ∪ f (M 0 )
c) Wir betrachten die Funktion f (x) = x2 von R nach R und setzen M = {2} und
M 0 = {−2}. Offensichtlich ist f (M ) = f (M 0 ) = f (M ) ∩ f (M 0 ) = {4}, aber andererseits f (M ∩ M 0 ) = f (∅) = ∅.
Aufgabe 2:
Funktionen II
6 Punkte
Gegeben sind die Funktionen f : N −→ N × N und g : N × N −→ N durch
√ √ f (x) =
x ,x −
x
g(x, y) = x + y
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
a) f
b) g
c) f g
d) gf
Lösung:
a) Die Funktion f ist nicht surjektiv, weil z.B. das Tupel (0, 5) nicht im Bild von f
liegt (eine 0 auf der linken Seite kann nur bei x = 0 enstehen, aber dann muss auch
rechts eine 0 stehen). f ist aber injektiv, denn wenn x 6= y ist, und sich
√ f(x) und
√
f (y) nicht schon an der ersten Stelle unterscheiden (also wenn b xc =
y ), dann
gibt es zwangsläufig einen Unterschied an der zweiten Stelle.
b) Die Funktion g ist surjektiv, denn für jedes x ∈ N gilt x = g(x, 0), aber nicht
injektiv, denn g(2, 0) = g(1, 1)
c) Die Funktion f g kann nicht injektiv sein, weil bereits g nicht injektiv ist, und auch
nicht surjektiv, weil f nicht surjektiv ist.
d) Die Funktion gf ist bijektiv, denn es ist die identische Abbildung von N auf N:
√ √ √ √ gf (x) = g(f (x)) = g
x ,x −
x
=
x +x−
x =x
Aufgabe 3:
Bijektionen
6 Punkte
Seien A = {a1 , a2 , . . . , an } und B = {b1 , b2 , . . . , bm } zwei disjunkte endliche Mengen,
so dass außerdem A∩N = ∅ gilt. Konstruieren Sie zwei bijektive Funktionen f : N −→
N ∪ A und g : N −→ B × N und begründen Sie die Bijektivität durch Angabe der
Umkehrfunktionen. Zur Beschreibung von f, g, f −1 , g −1 dürfen bekannte Funktionen
wie dxe und bxc zum Auf- und Abrunden reeller Zahlen auf ganze Zahlen und die
Funktion n mod d für die Reste bei ganzzahliger Division verwendet werden.
Lösung: Die Idee für f ist, die Zahlen von 0 bis n − 1 auf die Elemente von A
abzubilden und danach n auf 0, n + 1 auf 1 und allgemein n + i auf i abzubilden:
ak+1
falls k < n
f (k) =
k
−
n
sonst
i−1
falls y = ai ∈ A
f −1 (y) =
n+y
sonst
Die Idee für g ist eine Nummerierung der Paare (b, n) ∈ B × N in der Form, dass man
zuerst die m Paare der Form (b, 0), danach die m Paare der Form (b, 1) u.s.w. aufzählt.
Etwas knifflig wird es dadurch, dass die Indizes der Elemente von B nicht bei 0
sondern bei 1 beginnen:
k g(k) =
b1+(k mod m) , m
g −1 (bi , j) = j · m + i − 1