Ubungen zu ”Zahlen” - Mathematik, TU Dortmund

Übungen zu ”Zahlen”
Aufgabe 1:
(i) Schreiben Sie den Bruch als Dezimalzahl (mit Angabe der Periode)
3
8
(a)
,
(b)
3
7
,
(c)
311
5
(ii) Schreiben Sie die Dezimalzahl als Bruch ganzer Zahlen in gekürzter Form:
(a)) 0, 8,
(b) 0, 79̄,
(c) 0, 153̄
Aufgabe 2:
Beim Beweis der 3. Binomischen Formel in der Vorlesung wurde auch hiervon Gebrauch gemacht:
a · (−b) = −(ab)
Beweisen Sie dies, indem Sie zunächst nur mit den Körperaxiomen in R zeigen:
−a = (−1) · a.
Aufgabe 3:
Vereinfachen bzw. zeigen Sie:
(i)
5
P
3,
k=−5
(ii)
n
P
2k −
k=1
(iii)
n
P
n−2
P
2k+1
k=−1
(−1)k x 2k .
k=0
Hinweis: Geometrische Summenformel!
(iv)
n
P
ak − ak−1 = an − am−1 ,
n, m ∈ N, n ≥ m.
k=m
Führen Sie den Beweis so, daß Sie die Summe nicht ausschreiben“, sondern mit Indexverschie”
bungen arbeiten.
(v)
n
Y
ak
an
=
,
a
a
k−1
m−1
k=m
n, m ∈ N, n ≥ m
Aufgabe 4:
Zeigen Sie die arithmetische Summenformel durch Betrachtung der beiden Summen
n
X
k
k=1
und berechnen Sie hiernach
n
P
(3k + 2).
k=1
und
n
X
(n + 1 − k)
k=1
Aufgabe 5:
Benutzen Sie die Potenzregeln (vgl. 2.5, 2.6.), um folgenden Ausdruck zu vereinfachen:
(i)
26 · 5m − 5m
5m+2
an + 2an−1
(iii) n−2
a
+ 2an−3
,
(ii)
,
(iv)
(15x 2 y −3 )−4
(25x 3 y −6 )−2
a2 b
cd 3
3 2 4
ab
:
c 2d 2
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Ergänzung):
(i) x 2 + 6x + 5 = 0, (ii) x 2 + 6x + 9 = 0, (iii) x 2 + 6x + 13 = 0
(iv) x(x − 2) = 3, (v) x 2 − 5x + 6 = 0, (vi) x 2 − 3x + 3 = x − 1
Aufgabe 7∗ :
Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren:
(i) x 2 − 8x + 15 , (ii) 4t 2 − 4t + 1 , (iii) 18u 2 − 9u + 1
Aufgabe 8:
Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes 9993 = (1000 − 1)3 und 10014 .