Zahlentheoretische Untersuchung und Analyse

Matthias-Claudius-Gymnasium Hamburg
Besondere Lernleistung im Abitur 2016
Mathematik - Elementare und analytische Zahlentheorie
Zahlentheoretische Untersuchung und
Analyse der neu eingeführten Zahlenklasse
der polyabundanten Zahlen
k+1<
ω
Y
∞
X

i=1
Prüfling:

j=0

1
pji
1
−→
1 = ∞
1−p
p prim
Y
Fabian Schneider (13.05.1998)
[email protected]
Prüfer:
Christian Lange
Abgabe:
März 2016
. die Gleichung des Deckblattes beschreibt den wichtigen Ansatz im Beweis 3 (siehe Seite 11)
Abstrakt
Hinter Zahlen steckt viel mehr als man denkt, weshalb diverse Untersuchungen möglich
werden! Die echte Teilersumme σ ∗ (n), die die Summe aller Teiler einer Zahl ohne der
Zahl selbst angibt, ist eine der Eigenschaften von Zahlen. Z.B. besitzt 8 die echte
Teilersumme 1+2+4 = 7. Wird nun die Teilersumme mit der Zahl verglichen, kann
festgestellt werden, dass manche Werte kleiner, manche größer und manche gleich groß
sind wie die Zahl. Falls die Teilersumme größer ist, wird von einer abundanten Zahl
gesprochen, für die somit σ ∗ (n) > n gilt. Doch existieren auch Zahlen, bei denen die
Teilersumme k-fach größer ist, also σ ∗ (n) > k · n gilt. Solche Zahlen sollen polyabundante
Zahlen genant werden! Polyabundante Zahlen werden mit steigendem k sehr selten,
jedoch umso interessanter! Aufgrund dessen wurden diese Zahlen im Rahmen der
Ausarbeitung analysiert und hinsichtlich verschiedener zahlentheoretischer Aspekte
untersucht - dabei konnten an viele Stellen interessante Ergebnisse erzielt werden!
Vorwort und Danksagung
Zahlentheorie wird leider nicht in der Schule unterrichtet, dennoch ist sie vor allem
eines: schön! Viele Mathematiker vertreten die Ansicht, dass Zahlentheorie das schönste
Fachgebiet der Mathematik sei, und es werden auch heute noch erstaunliche
Erkenntnisse gewonnen (siehe [3]). Ich haben versucht dies während der Überlegungen,
Feststellungen und Beweise deutlich zu machen und meine Begeisterung für dieses sehr
interessante Gebiet einzubringen. Um diese Abhandlung anfertigen zu können, war
neben zahlentheoretischen Kenntnissen auch eines wichtig: viele Daten! Daher möchte
ich mich besonders bei Markus Flatken vom Deutsches Zentrum für Luft- und
Raumfahrt (DLR) in Braunschweig in der Abteilung Simulation and Software
Technology bedanken, welcher meine Programme, die viele Zahlen hinsichtlich diverser
Aspekte analysiert haben, auf dem Cluster-Computer vor Ort für mehrere Tage laufen
lies, sodass ich mit mehreren Gigabytes an Daten die Suche und Auswertung von
polyabundanten Zahlen erst richtig beginnen konntet. Ebenso ist an dieser Stelle
Carsten König vom Max-Planck Institut für Radioastronomie in Bonn zu danken, der
ebenfalls die Suche durch die Computer vor Ort beschleunigte, meine empirischen
Auswertungen ebenfalls verbessert hat und durch die Daten erste Impulse zu
zahlentheoretischen Überlegungen liefern konnte.
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit versichere ich, diese Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt zu haben.
Sämtliche Hilfen, Quellen und Zitate sind in ihrer Herkunft kenntlich gemacht.
Datum:
Unterschrift:
Inhaltsverzeichnis
Abstrakt, Vorwort, Danksagung und eidesstattliche Erklärung
2
Einleitung
5
I
Grundlegende Untersuchungen
I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Erste zahlentheoretische Untersuchungen
I.2.1 Unendlichkeit . . . . . . . . . . .
I.2.2 Minimalwerteproblem . . . . . . .
I.2.3 Ungerade Zahlen . . . . . . . . .
I.2.4 Kombinationsgesetze . . . . . . .
I.3 Erstes analytisches Verhalten . . . . . .
I.3.1 Direktes Verhalten . . . . . . . .
I.3.2 Verhalten des Abstands . . . . .
II Weiterführende Untersuchungen
II.1 Bestimmung von unterer Schranke N 0
II.1.1 Übersicht . . . . . . . . . . .
II.1.2 Vorüberlegungen . . . . . . .
II.1.3 Zusammenführung . . . . . .
II.2 Bestimmung von oberer Schranke N 00
II.2.1 Übersicht . . . . . . . . . . .
II.2.2 Vorüberlegungen . . . . . . .
II.2.3 Zusammenführung . . . . . .
II.3 Direkte Bestimmungsgleichung . . . .
II.4 Untere Schranke der Teileranzahl . .
II.5 Verhalten des Abstandes . . . . . . .
II.5.1 Allgemeiner Ansatz . . . . . .
II.5.2 Ungerader Abstand . . . . . .
II.5.3 Größenbeschränkungen . . . .
II.5.4 Abstandverteilung . . . . . .
II.6 Zählfunktion . . . . . . . . . . . . . .
II.7 Unendliche Summe der Reziproke . .
II.7.1 Alle polyabundante Zahlen . .
II.7.2 Ausgangswerte . . . . . . . .
II.8 Polyabundante Fakultäten . . . . . .
II.8.1 Untere Schranke . . . . . . .
II.8.2 Direkte Bestimmung . . . . .
3
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7
7
7
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15
15
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20
20
20
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25
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30
31
32
33
33
33
34
37
38
38
39
39
40
40
40
INHALTSVERZEICHNIS
II.9 Darstellung als Summe von Potenzzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.10 Polyabundante Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III Speziellere Untersuchungen
III.1 k(n) als multiplikative Funktion . . .
III.1.1 Allgemeines und Beziehungen
III.1.2 Verhalten und Erweiterung . .
III.2 Anwendung beim Dirichlet-Produkt .
III.2.1 Allgemein . . . . . . . . . . .
III.2.2 Anwendung auf k 0 (n) . . . . .
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43
43
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45
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Schlussbemerkung
47
A Zusätzliche Theoreme
A.1 Theorem I: Approximation eines Folgenprodukts .
A.1.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Geradenapproximation . . . . . . . . . . .
A.1.3 Approximationstabelle . . . . . . . . . . .
A.2 Theorem II: Zahlenoszillationstheorie . . . . . . .
A.2.1 Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.3 Exemplarische Oszillationstranformationen
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50
50
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57
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60
60
61
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64
Tabellenverzeichnis
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66
66
67
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B Zusätzliche Beweise und Erläuterungen
B.1 Beweis A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Beweis B . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Beweis C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Beweis/Erläuterung D . . . . . . . . . .
C Zusätzliche
C.1 Weitere
C.2 Weitere
C.3 Weitere
C.4 Weitere
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Tabellen und Diagramme
Diagramme und Abbildungen . . . . . . . . . .
defiziente, vollkommene und abundante Zahlen
polyabundante Zahlen nach Betrag . . . . . . .
polyabundante Zahlen nach Stufe . . . . . . .
D Symbol-, Beweis- und
D.1 Symbolverzeichnis .
D.2 Beweisverzeichnis .
D.3 Tabellenverzeichnis
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Abbildungsverzeichnis
69
Literaturverzeichnis
70
4
Einleitung
Wird eine Zahl n ∈ N betrachtet, dann verfügt diese über diverse Eigenschaften. Eine
davon ist die Teilersumme σ(n) aller unechten Teiler von n. Sei di der i-te Teiler von n
und habe n genau τ Teiler, wobei entsprechend d = {1, d2 , ..., dτ −1 , n}, dann ist
σ(n) =
τ
X
di =
i=1
X
d.
(1)
d|n
Einer der Aspekte der Zahlentheorie ist der Vergleich zwischen n und σ(n), sodass drei
Fälle auftreten können, welche wie folgt benannt werden (vgl. [2]):
• σ(n) < 2n, so ist n defizient,
• σ(n) = 2n, so ist n vollkommen,
• σ(n) > 2n, so ist n abundant.
Es muss ein Vergleich mit 2n stattfinden, da immer σ(n) > n, denn n ist ebenfalls ein
Teiler von n. Die echte Teilersumme σ ∗ (n) = σ(n) − n (also ohne der Zahl selbst) kann
hingegen direkt mit n vergleichen werden. Da jedoch in der Zahlentheorie bevorzugt mit
σ(n) gearbeitet wird, soll in dieser Ausarbeitung ebenso verfahren werden. Es gibt am
meisten defiziente Zahlen und am seltensten vollkommene Zahlen. Beispiele dafür sind
• defizient: 2, 3, 4, 5, 7, 8,
• vollkommen: 6, 28, 496, 8128, 33550336,
• abundant: 12, 18, 20, 24, 30, 40.
Zusätzliche Erklärungen und Tabellen dazu befinden sich im Anhang. Es gibt unendlich abundante Zahlen und lim supn→∞ σ(n) = ∞ (siehe [2]). Es muss an dieser Stelle
mit Limes superior gearbeitet werden, da die Teilersumme (wie noch deutlich werden
wird) direkt mit der Primfaktorzerlegung zusammenhängt. Da die Mathematik bis heute
jedoch nicht das Verhalten von Primzahlen verstanden hat, erscheint die Primfaktorzerlegung keinem klaren Muster zu folgen und die Teilersummenfunktion weist keinen klaren
geschlossenen Verlauf auf, wie durch Abbildung 1 deutlich wird. In dieser Ausarbeitung
Abbildung 1: Verlauf von σ ∗ (n) in Abhängigkeit von n ∈ [0, 300]
5
soll das allgemeine Verhältnis k zwischen n und σ(n) betrachtet werden, sodass die verallgemeinerten Gleichungen
(k + 1) · n < σ(n)
(2)
bzw.
σ(n)
−1
(3)
n
untersucht werden sollen. Bei (2) ist die Teilersumme also k-mal so groß wie die Zahl,
und wir sagen n ist k-fach abundant und sprechen allgemein von polyabundanten Zahlen
der Stufe k. Die erste 2-fach abundante Zahl ist 180 mit σ(180) = 546 = 6 + 3 · 180 und
die erste 3-fach abundante Zahl ist 27720 mit σ(27720) = 112320 = 1440 + 4 · 27720. In
Abbildung 2 ist dies grafisch dargestellt, wobei es sich bei allen Werten über der eingezeichneten Linie um polyabundante Zahlen handelt.
k<
Abbildung 2: Verlauf von k(n) in Abhängigkeit von n ∈ [0, 1000]
Es sollen nun viele verschiedene Aspekte betrachtet werden. Die Unendlichkeit soll untersucht werden und insbesondere gezeigt werden, dass
σ(n)
lim sup
− 1 = ∞,
(4)
n
n→∞
sowie weitere zahlentheoretische Eigenschaften gezeigt, das Verhalten in Bezug auf Verteilung und Abstand untersucht und weitere Aspekte einbezogen werden. Dazu ist diese Ausarbeitung nach dem üblichen mathematischen Aufbau gestaltet, sodass zunächst
eine Behauptung aufgestellt und diese bewiesen wird. Auch befinden sich daher die verwendeten Lemmata stets vor den Beweisen. Insgesamt ist die Arbeit in drei wesentliche Abschnitte gegliedert: grundlegende, weiterführende und speziellere Untersuchungen.
Dabei werden im grundlegenden Teil zunächst einige wichtige Fragen beantwortet, die
weitere Überlegungen im weiterführenden Teil erst ermöglichen. Im Anschluss werden
diese Aspekte im weiterführenden Teil ausgeführt und im spezielleren Teil noch weitere unabhängige Aspekte angesprochen. Da der Umfang dieser Ausarbeitung gesprengt
würde, werden einige Aspekte nur begrenzt angesprochen und diverse Verweise verwendet. Der Abschnitt I ist dabei der bedeutendste Abschnitt der Ausarbeitung. Auch habe
ich versucht die Darstellungen der Überlegungen so anzupassen, dass allgemeine Kenntnisse für das Verständnis ausreichen werden. Dennoch ist diese Ausarbeitung mit einem
ausführlichen Anhang versehen, auf den an einigen Stellen verwiesen wird. Dort ist neben
anderen Verzeichnissen auch ein Symbolverzeichnis bei Unklarheiten vorhanden.
Abschnitt I
Grundlegende Untersuchungen
I.1
Definition
Wie bereits in der Einleitung ausgeführt, ist eine Zahl k-fach abundant, wenn
(k + 1) · n < σ(n),
k≥1
(I.1)
gilt. Für alle abundanten Zahlen hält die Bedingung also für k = 1. Es soll nun eine Liste der ersten 2-fach und 3-fach abundanten Zahlen mit weiteren Informationen gegeben
werden (im Anhang C.3 befindet sich eine erweiterte Liste), da diese Übersicht für uns
später noch relevant wird und bereits jetzt zur näheren Betrachtung einlädt.
2-fach abundant:
n σ ∗ (n) σ(n)/n − 1
180 366
2,033
240 504
2,100
360 810
2,250
420 924
2,200
480 1032
2,150
Primfaktorzerlegung
22 · 32 · 5
24 · 3 · 5
23 · 32 · 5
22 · 3 · 5 · 7
25 · 3 · 5
Tabelle 1: Die ersten 2-fach abundanten Zahlen
3-fach abundant:
n
27720
50400
55440
60480
65520
σ ∗ (n) σ(n)/n − 1
84600
3,052
152712
3,031
176688
3,188
183360
3,031
205296
3,134
Primfaktorzerlegung
23 · 32 · 5 · 7 · 11
25 · 32 · 52 · 7
24 · 32 · 5 · 7 · 11
26 · 33 · 5 · 7
24 · 32 · 5 · 7 · 13
Tabelle 2: Die ersten 3-fach abundanten Zahlen
I.2
I.2.1
Erste zahlentheoretische Untersuchungen
Unendlichkeit
Zunächst stellt sich die Frage, ob es unendlich viele polyabundante Zahlen gibt. Diese
Frage muss jedoch aufgeteilt werden in die zwei Unterfragen:
• Gibt es viele unendlich k-fach abundante Zahlen?
• Gibt es Zahlen mit beliebig großem k?
7
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Die erste Frage bezieht sich auf den Typen (z.B. ob es unendlich viele 2-fach abundante
Zahlen gibt) und die zweite auf das k selbst (also ob es z.B. auch 850-fach abundante Zahlen gibt). Besonders die zweite Frage ist nicht leicht zu beantworten, da zwar σ(n) → ∞,
aber ebenso n → ∞. Zunächst soll die erste Frage betrachtet werden, wobei diese auch
folgendes impliziert: Wenn jemals eine k-fach abundante Zahl gefunden wird, dann gibt
es auch unendlich viele weitere von dieser k-ten Stufe.
Lemma 1.1: Es ist σ(pα · q β ) = σ(pα ) · σ(q β ) mit p, q Primzahlen (siehe Beweis A).
Lemma 1.2: Die Zahl pα hat offensichtlich die Teiler 1, p, p2 , ..., pα .
Behauptung 1: Sollte eine einzige k-fach abundante Zahl existieren, dann existieren
auch unendlich weitere k-fach abunante Zahlen.
Beweis 1:
Für die Zahl n soll
(k + 1)n < σ(n)
(I.2)
gelten und erfüllt daher das exakte Verhältnis kn durch
(kn + 1)n = σ(n) =⇒ kn =
σ(n)
− 1.
n
(I.3)
Es soll nun eine Zahl m = n · p erzeugt werden, wobei ggT (n, p) = 1 gilt. Da wir
ggT (n, p) = 1 bestimmt haben, folgt wegen Lemma 1.1 und 1.2
σ(m) = σ(n · p) = σ(n)σ(p) = σ(n) · (1 + p) = σ(n) + p · σ(n)
σ(m) > σ(n).
(I.4)
(I.5)
Damit ist auch km > kn , sodass die ursprüngliche Stufe etwas größer wurde. Die Behauptung wäre bewiesen, falls für jedes n ein p gefunden werden kann, sodass
km = kn
(I.6)
gilt und sich somit die Stufe nicht verändert hat, trotz eines neuen Primfaktors. Wegen
dieser Bedingung und (I.3) muss
σ(n)
σ(n · p)
−1=
−1
n·p
n
σ(n) σ(p)
σ(n)
·
=
n
p
n
σ(p)
=1
p
σ(p)
1+p
1
1
=
= 1 + = 1 =⇒ = 0.
p
p
p
p
(I.7)
(I.8)
(I.9)
(I.10)
Da es unendlich viele Primzahlen gibt und daher p −→ ∞, muss entsprechend 1/p −→ 0,
sodass bei der Wahl einer ’unendlich’ großen Primzahl die Bedingung erfüllt ist und die
Behauptung bewiesen wäre.
8
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Aus diesem Ergebnis folgt übrigens, dass allgemein jede abundante Zahl multipliziert mit
einer oder mehreren Primzahlen wieder eine abundante Zahl ergibt, wobei diese neue
Zahl mindestens das ursprüngliche Verhältnis erfüllt. Dies ist jedoch noch kein Beweis für
Behauptung 2, da z.B. das Erhöhen vom Exponenten von p nicht zwingend den k Wert
bis zur nächsten ganzen Zahl steigert und wir durch diese Methode zunächst nur sicher
neue abundante Zahlen dieser Stufe erzeugen. So ist z.B. (siehe auch Lemma 3.1)
α
σ(n · pα )
σ(n) σ(pα )
σ(n) 1 X i
σ(n)
−1<
· α −1=
· α
p − 1.
−1=
kn =
n
n · pα
n
p
n
p i=0
(I.11)
Um einen möglichst großen Summenwert zu erhalten, muss p = 2 gesetzt werden und α
unendlich groß werden. Da für α −→ ∞ die Summe konvergiert (siehe auch I.25), kann
also wegen
kn < 2 · kn − 1
(I.12)
die Stufe nicht beliebig gesteigert werden und schon gar nicht unendlich groß werden.
Dass trotzdem polyabundante Zahlen beliebiger Stufe existieren soll nun gezeigt werden.
σ(n)
− 1 = ∞.
Behauptung 2: Es gilt lim sup
n
n→∞
Beweis 2:
Die Zahl n soll nun lediglich aus den ersten ω Primzahlen pi bestehen, die nur einfach mit
dem Exponenten αi = 1 in n vorkommen, also
n=
pα1 1
·
pα2 2
· ... ·
pαωω
= p1 · p2 · ... · pω =
ω
Y
pi .
(I.13)
i=1
Entnehmen wir den Ausdruck aus der Behauptung, dann ergibt sich der Anspruch für das
hier gewählt n, dass
σ(n)
−→ ∞.
(I.14)
n
Daraus ergibt sich mit Lemma 1.1 und 1.2
ω ω
ω
Q
Q
Q
σ
pi
σ(pi )
(1 + pi ) Y
ω 1
i=1
i=1
i=1
= Q
=
=
1+
.
(I.15)
ω
ω
ω
Q
Q
pi
i=1
pi
pi
pi
i=1
i=1
i=1
Es ist offensichtlich, dass
X
ω ω
Y
1
1
1+
>
.
p
p
i
j
j=1
i=1
(I.16)
Auch ist allgemein bekannt (siehe [1]), dass
X 1
= ∞,
p
p prim
(I.17)
wobei es sich dabei um die subharmonische Primzahlreihe handelt. Da also die Summe
der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, divergiert auch der Quotient σ(n)/n für unser
n und die Behauptung ist bewiesen.
9
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Aufgrund der Vorarbeit konnte dieser Beweis kürzer ausfallen und es wurde theoretisch
eine direkte P
Methode zur Bestimmung einer k-fach abundanten Zahl geliefert, nämlich
dann, wenn ωi=1 p1i > k + 1 wird. Jedoch hilft dies sehr wenig, da die Reihe sehr langsam
divergiert (z.B. überschreitet die Reihe erst bei ω = 362000 Primzahlen den Wert 3; die
Zahl selbst wäre entsprechend deutlich größer als 362000!, obwohl bereits bei 180 die erste
2-fach abundante Zahl liegt, da Kombination und Exponenten α 6= 1 nicht berücksichtigt
werden), nur schlechte Approximationen vorhanden sind und man sogar bei einer numerischen Computerberechnung, wegen des langsamen Anstiegs, nicht weit kommt. Dennoch
ist dies einer der wichtigsten und erstaunlichsten Beweise die angeführt werden. Somit
wird es auch Zahlen geben, bei denen die Teilersumme z.B. 1.000.000-mal so groß ist wie
die Zahl selbst!
I.2.2
Minimalwerteproblem
Die erste 2-fach abundante Zahl ist 180 (Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 3 · 3 · 5) und die erste
3-fach abundante Zahl 27720 (Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11). Trotz einer
Suche bis mehr als 70 Millionen, konnte keine 4-fach abundante Zahl gefunden werden
(obwohl es natürlich eine geben wird und wir später auf anderen Wegen eine, wenn auch
nicht die erste, erzeugen werden). Dennoch entstehen beim Betrachten der ersten beiden
Zahlen und der umfangreicheren Tabellen im Anhang weitere Fragen:
• Wie hoch ist die Minimalanzahl von verschiedenen Primfaktoren?
• Gibt es auch polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2?
Besonders die erste Frage ist dabei interessant und für weitere Untersuchungen wichtig.
a
a 1
P
1 P
j
b
=
(siehe Beweis B).
j
ba j=0
j=0 b
xn+1 − 1
2
n
für x > 1 (siehe Beweis C).
Lemma 3.2: Es gilt 1 + x + x + ... + x =
x−1
α 1
P
p
1
Lemma 3.3: Es gilt Z(p) :=
=
=
.
x
p−1
1 − p1
x=0 p
Lemma 3.1: Es ist
Beweis von Lemma 3.3:
Wenn wir α −→ ∞ bestimmen, haben wir mit Lemma 3.2
α
X
1
1
1
1
= 1 + + 2 + ... + α ,
Z(p) =
x
p
p p
p
x=0
pα+1 − 1
pα · Z(p) =1 + p + p2 + ... + pα =
,
p−1
α+1
p − p1α
p
−1
1
Z(p) =
·
=
,
pα
p−1
p−1
−1
p
1
1
=
= 1−
=
,
p−1
p
1 − p1
womit die schöne Behauptung bewiesen wurde.
Behauptung 3: Bei polyabundanten Zahlen muss ω ≥ 3.
10
(I.18)
(I.19)
(I.20)
(I.21)
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Beweis 3:
Es kann leicht gezeigt werden, dass ω > 1, denn sonst könnte
(k + 1)pα < σ(pα ),
(I.22)
woraus sich mit Lemma 1.2
(k + 1)pα <
α
X
pj =⇒ k + 1 <
j=0
α
1 X j
p
pα j=0
(I.23)
ergibt. Somit müsste mit Lemma 3.1
k+1<
gelten. Es ist bekannt, dass
α
X
1
pj
j=0
(I.24)
∞
X
1
= 2.
2i
i=0
(I.25)
Da aber k > 1 und (I.25) bei p > 2 nur kleiner werden würde, ist (I.24) niemals wahr.
Ähnlich und allgemeiner kann bei ω = 2 verfahren werden. Dabei müsste
(k + 1)pα q β < σ(pα q β ) =⇒ (k + 1)pα q β <
α
X
i=0
pi
β
X
q j =⇒ k + 1 <
j=0
β
α
X
1 X 1
. (I.26)
j
j
p
q
j=0
i=0
Es soll nun definiert werden, dass für eine beliebige Primzahl p
∞
X
1
Z(p) :=
px
x=0
(I.27)
gilt. Damit (I.26) wahr ist, müsste also vereinfacht
k + 1 < Z(p) · Z(q),
(I.28)
bzw. nun allgemein für ω verschiedene Primzahlen
k + 1 < Z(p1 ) · Z(p2 ) · ... · Z(pω ) =
ω
Y
Z(pi ).
(I.29)
i=1
P∞ 1
Da Z(p) ≤ Z(2) =
i=0 i = 2, konvergiert jedes Z(p). Durch die Überlegungen in
2
Lemma 3.3 konnte auch der schöne Grenzwert klar bestimmt werden. Mit dem Ausdruck
p
können die Grenzwerte nun sehr einfach berechnet und miteinander verglichen werden,
p−1
1
später noch wichtig wird. Einige dieser Werte sind in
wobei der zweite Ausdruck
1 − p1
folgender Tabelle enthalten, wobei es offensichtlich ist, dass Z(p) −→ 1 mit p −→ ∞.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
pi
2
3
5
7
11
13
17
19
Z(pi )
2
3/2
5/4
7/6
11/10
13/12
17/16
19/18
Tabelle 3: Z(pi ) für einige pi
11
Z(pi )
2
1, 5
1, 25
1, 166
1, 1
1, 0833
1, 0625
1, 055
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Diese Werte sind in Abbildung C.1 im Anhang graphisch dargestellt. Das größte mögliche
Produkt von nur zwei Werten wäre Z(2) · Z(3) = 2 · 1, 5 = 3. Da jedoch für eine polyabundanten Zahl k > 2 gilt, kann aus zwei Zahlen keine polyabundante Zahl gebildet werden,
denn 2+1 ≯ 3. Erst das Produkt von drei Werten ist größer als 3, denn 2·1, 5·1, 25 = 3, 75,
womit die Behauptung bewiesen wäre.
3-fach polyabundante Zahlen treten entsprechend bei einer Multiplikation der ersten vier
Werte und somit vier verschiedenen Primzahlen auf, denn 2 · 1, 5 · 1, 25 · 7/6 = 4, 375. Dies
bedeutet jedoch nicht gleich, dass nur entsprechend viele Primzahlen in der ersten polyabundanten Zahl einer Stufe enthalten sein können (z.B. sind in 27720 fünf verschiedene
Primzahlen enthalten und es ist auch 2 · 1, 5 · 1, 25 · 11/10 = 4, 125). Eine 4-fach abundante
Zahl benötigt übrigens mindestens 6, die erste 5-fach abundante Zahl 9 und die erste
6-fach abundante Zahl 14 verschiedene Primfaktoren (welche dann zu einem bestimmen
Exponenten vorkommen). In Tabelle 4 ist eine weitere Übersicht zu finden.
k-fach
2
3
4
5
6
kleinstes ω
3
4
6
9
14
kleinstes n
30
210
30.030
∼ 223 · 106
> 1017
k-fach
7
8
9
10
11
kleinstes ω
22
35
55
89
142
kleinstes n
> 1031
> 1058
> 10104
> 10191
> 10339
Tabelle 4: Kleinstes ω für k-fach abundante Zahlen
Dies hilft jedoch nicht den Suchbereich für z.B. die erste 4-fach abundante Zahlen einzugrenzen, da die verschiedenen Primfaktoren beliebig oft auftreten können und somit
auch eine Zahl mit z.B. nur sechs verschiedenen Primfaktoren unendlich groß werden
kann. Dennoch konnte bereits eine erste untere Schranke gegeben werden, sodass auf diese Erkenntnisse später aufgebaut wird (so kann z.B. keine 4-fach abundante Zahl unter
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 = 30.030 und keine 5-fach abundante unter 223.092.870 existieren). Dies
macht deutlich, wie selten polyabundante Zahlen von nur etwas höherer Stufe sind, wobei
sie diese Eigenschaft ebenso interessant macht!
Die zweite Frage soll im nächsten Abschnitt beantwortet werden, sodass zwei Fragen
zusammengeführt werden, da die folgende Frage die selbe ist.
I.2.3
Ungerade Zahlen
Beim Betrachtet der verschiedenen polyabundanten Zahlen fällt auf, dass keine ungeraden
Zahlen zu finden sind. Dies führt zu der offensichtlichen Fragestellung: Gibt es ungerade
polyabundante Zahlen?
Behauptung 4: Es gibt polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2 (ungerade).
Beweis 4:
Damit die Aussage wahr ist, müsste das Produkt (I.29) mindestens den Wert 3 überschreiten,
wobei jedoch Z(2) nicht enthalten sein darf, also
ω
Q
Z(pi ) Y
ω
i=1
=
Z(pi ).
(I.30)
2+1<
Z(2)
i=2
12
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Da sich die einzelnen Werte Z(pi ) immer weiter 1 nähern, könnte eine Konvergenz von
Q
ω
i=1 Z(pi ) vermutet werden - dies ist jedoch falsch! Das Produkt divergiert tatsächlich
und lässt sich an folgender Überlegung zeigen:
∞
Y
i=1
Z(pi ) =
∞
Y
i=1
1
1−
1
pi
1
1−
prim
Y
=
p
1
p
= ζ(1)
(I.31)
Dabei handelt es sich um die Eulersche ζ-Funktion, die durch
1
1 − p1s
prim
Y
ζ(s) =
p
(I.32)
definiert ist (siehe Beweis D) und ζ(1) −→ ∞ bekannt ist, womit die Divergenz gezeigt
ist. Auch wurde in Beweis 2 gezeigt, dass k beliebig groß wird und somit ein ω gefunden
werden kann, sodass die Gleichung (I.29) wahr ist. Daraus folgt ebenfalls zwingend, dass
∞
Y
Z(pi ) = ∞.
(I.33)
i=1
Sollte also, wie bei (I.30), ein einzelner oder mehrere bestimmte Werte fehlen, divergiert
das Produkt trotzdem und wird jeden Wert überschreiten, womit die Aussage bewiesen
wurde.
Somit dauert es deutlich länger, bis man auf eine ungerade polyabundante Zahl stößt,
denn der größte Faktor Z(2) = 2 ist nicht enthalten. So müssen in einer nur ungeraden
2-fach abundanten Zahl mindestens acht verschiedene Primfaktoren enthalten sein, sodass
diese Zahl nicht kleiner als 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 9.699.690 sein könnte. Dazu soll
die Tabelle 5 angeführt werden.
k-fach
2
3
4
5
6
kleinstes ω
8
21
54
141
372
kleinstes n
∼ 107
> 1029
> 10101
> 10336
> 101074
Tabelle 5: Kleinstes ω für ungerade k-fach abundante Zahlen
Daraus lässt sich übrigens weiterführend schließen, dass es auch beliebig gigantische kfach abundante Zahlen gibt, ohne das eine einzige der ersten 100 Primzahlen enthalten
ist. Diese Erkenntnis ist sehr interessant und ebenfalls beeindruckend.
I.2.4
Kombinationsgesetze
Es sollen nun die bekannten Grundrechenarten auf polyabundanten Zahlen untersucht
werden und wie sich die Eigenschaften von polyabundanten Zahlen verändern bzw. sich
Aussagen diesbezüglich machen lassen. Diese Erkenntnisse sind besonders für den zweiten
Abschnitt von Bedeutung. Es soll zunächst die Multiplikation und Division betrachtet
werden, da bereits einige Aspekte erwähnt wurden.
13
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Multiplikation und Division
λ sei eine polyabundante Zahl. k(λ) gibt die Stufe der k-fach abundanten Zahl an. Es
sei ε ∈ N und sollten λ1 , λ2 , ..., λx vorkommen, dann ist k(λ1 ) < k(λ2 ) < ... < k(λx ). Es
ergeben sich folgende teilweise ersichtliche Zusammenhänge:
(1) λ · λ = λ2 −→ polyabundant
(2) λα −→ polyabundant
(3) λ · ε −→ polyabundant
(4) k(λ) ≤ k(λα )
(5) k(λ) ≤ k(λ · ε)
(6) λ1 · λ2 · ... · λx −→ polyabundant
(7) k(λ2 ) ≤ k(λ1 · λ2 )
Q
(8) k(λx ) ≤ k( xi=1 λi )
(9)
λ
−→ unklar
ε
Beweise 5.1 - 5.9:
(1), (2), (3) und (6): Da, wie in Beweis 1 gezeigt, eine Zahl bei einer Multiplikation nur
zusätzliche Primfaktoren gewinnen kann und somit entweder die αi oder das ω größer wird
und zudem σ(n) schneller wächst als n, denn σ(nneu ) = σ(nalt )(1 + p) und nneu = nalt · p,
bleibt die entstandene Zahl polyabundant.
(4), (5), (7) und (8): Da sich sowohl das ω erhöhen, als auch die einzelnen Exponenten größer werden können, könnte das k ebenfalls größer werden, wobei das k mindestens
so groß ist wie das größte k eines Faktors.
(9): Unter der Voraussetzung, dass λε ∈ N, würden einige Primfaktoren von λ wegfallen. Ob durch das Fehlen der Primfaktoren die Zahl stets oder nicht länger polyabundant
ist, oder ob nur das k etwas verringert wurde, kommt somit auf den Einzellfall an.
Addition und Subtraktion
Es soll nun λ1 < λ2 < ... < λx zusätzlich implizieren, dass jedes folgende λi die gesamte
Primfaktorzerlegung der vorigen enthält und somit ggT (λi , λi+1 ) = λi gilt. δ sei eine
polyabundante Zahl ohne einen einzigen Primfaktor aus λi und somit ggT (λi , δ) = 1. Es
ergeben sich folgende Zusammenhänge:
(1) λ + λ = 2 · λ −→ polyabundant
Pε
(2)
λ = ε · λ −→ polyabundant
(3) λ ± ε −→ unklar
P
(4) k(λ) ≤ k( ε λ)
14
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
(5) λ ± δ −→ unklar
(6) λ1 + λ2 , λ2 − λ1 −→ polyabundant
(7) k(λ1 ) ≤ k(λ1 + λ2 ) , k(λ1 ) ≤ k(λ2 − λ1 )
P
P
(8) k(λ1 ) ≤ k( xi=1 λi ) , k(λ1 ) ≤ k(λi + x−1
i=1 −λi )
Beweise 6.1 - 6.8:
(1) und (2): Dies folgt direkt aus Beweis 5.3.
(3) und (5): Bei (5) steht es fest und bei (3) kann es sein, dass ggT (λ, ε) = 1, wodurch
über die Primfaktorzerlegung der erzeugten Zahl nur bekannt ist, welche Primzahlen nicht
enthalten sind, was jedoch keine Aussagen über σ oder k zulässt.
(4): Dies folgt direkt aus Beweis 5.5.
(6): Aufgrund der anfänglichen Implikation muss λ2 = λ1 · P2 , wobei P2 die für λ2 noch
erforderliche Primfaktorzerlegung sei, dann folgt daraus
λ1 + λ2 = λ1 + λ1 · P2 = λ1 · (P2 + 1) = λ1 · c,
(I.34)
λ2 − λ1 = λ1 · P2 − λ1 = (P2 − 1) · λ1 = λ1 · c,
(I.35)
bzw.
wobei c := P2 ± 1, womit wegen Beweis 5.3 der Zusammenhang bewiesen wäre.
(7) und (8): Es ist nur bekannt, dass die Zahl mindestens ein so großes k wie λ1 haben muss, denn bei mehreren λ gilt analog zu Beweis 6.6
λ1 + λ2 + ... + λx = λ1 + λ1 · P2 + ... + λ1 · P2 · P3 · ... · Px
= λ1 · (1 + P2 + ... + P2 · P3 · ... · Px )
= λ1 · cx
(I.36)
(I.37)
(I.38)
λ1 − λ2 − ... − λx = λ1 − λ1 · P2 − ... − λ1 · P2 · P3 · ... · Px
= λ1 · (1 − P2 − ... − P2 · P3 · ... · Px )
= λ1 · cx
(I.39)
(I.40)
(I.41)
bzw.
und da, mit cx := 1 ± P2 ± ... ± P2 · P3 · ... · Px , wegen der 1 in cx auch ggT (P, c) = 1 möglich
ist, kann keine weitere Aussage über σ oder k gemacht werden, sodass nur kneu ≥ k(λ1 )
sicher ist, womit der Zusammenhang bestätigt wäre.
I.3
I.3.1
Erstes analytisches Verhalten
Direktes Verhalten
Ein weiterer interessanter Aspekt ist das Verhalten bzw. der Verlauf der polyabundanten
Zahlen, wobei die polyabundante Zahl λi in Abhängigkeit vom i aufgetragen sei.
15
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Abbildung I.1: Verlauf von λi - grob i ∈ [1, 20]
Abbildung I.2: Verlauf von λi - fein i ∈ [1, 2000]
Die Ergebnisse sind in Abbildung I.1 und in Abbildung I.2 dargestellt. Hierbei ist zu
beachten, dass bei der ersten Abbildung lediglich 20 polyabundante Zahlen aufgetragen
wurden (grob), während zum Erkennen eines deutlicheren Verlaufs in der zweiten Abbildung 2000 polyabundante Zahlen aufgetragen wurden.
Das interessante beim Verstehen des Verlaufs und dem Annähern durch eine Funktion
ist, dass für die Funktion λi ein geschlossener Ausdruck gefunden bzw. angenähert werden könnte und somit ein Mittel bereitgestellt wird, um direkt die i-te polyabundante Zahl
zu bestimmen. Betrachtet man Abbildung I.1 wird jedoch sofort klar, dass, wie bei allen
zahlentheoretischen Aspekten und Funktionen, tatsächlich nur eine Näherung gefunden
werden kann, denn der Verlauf weist kein stetiges Verhalten auf, sondern die Punkte besitzen unregelmäßige Werte. Dennoch kann auf lange Sicht eine Tendenz festgestellt werden.
Die Werte folgen auf den ersten Blick einem linearen Verlauf, sodass eine Annäherung
durch λi = ∆λ · i + λ0 in Erwägung gezogen werden soll, wobei für die konstante Steigung
∆λ und λ0 bekanntlich
∆λ =
λi1
λi2 − λi1
und λ0 =
i2 − i1
∆λ · i1
(I.42)
gilt, mit den gegebenen Werten λi1 und λi2 , mit i2 i1 . Daher soll (wie bei Abbildung
16
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
I.2) λ1 = 180 und λ2000 = 99.060, sodass
λi ≈ 49, 4647 · i + 3, 6390
(I.43)
oder mit λ800000 = 39.593.736 als noch höheren Wert
λi ≈ 49, 4920 · i + 3, 6360.
(I.44)
Im folgenden Diagramm I.3 ist die Abweichung δλi := (∆λ · i + λ0 ) − λi für die Gleichung
des höheren Wertes aufgetragen.
Abbildung I.3: Verlauf von δλi mit i ∈ [1, 830.000]
Offenbar liegt die Näherung durch eine lineare Funktion eher über den tatsächlichen
Werten. Bei i = 800000 wird δλi erneut klein, jedoch von da an erneut größere Werte
aufweisen. Das Problem liegt dabei nicht im ∆λ, denn auch der arithmetische Mittelwert
aller einzelnen Abstände
i−1
1 X
λj+1 − λj
(I.45)
∆A λ := ·
i j=1
ist ∆A λ ≈ 49, 4910 mit i = 800000. Offenbar ist ∆λ nicht konstant und es handelt
sich um keinen linearen Verlauf. Offenbar sind zu wenige Daten gegeben, sodass sich der
Verlauf einer Geraden herausbildet. Es muss also verstanden werden, welche Form von
Anstieg vorliegt, sodass das Verhalten des Abstandes ebenfalls kurz in diesem Abschnitt
angesprochen werden soll.
I.3.2
Verhalten des Abstands
Es ist naheliegend den Abstand als Funktion ∆λi = λi+1 − λi zu schreiben und darzustellen. Es ist jedoch offensichtlich und wird durch Abbildung I.4 deutlich, dass nur eine
durchschnittliche Steigung sinnvoll anzugeben ist. Daher betrachten wir nicht die einzelnen λi , sondern vergleichen den durchschnittlichen Abstand von z Werten miteinander,
sodass
z−1
1 X
∆z λ(`) := ·
λj+z·(`−1) − λj+z·(`−1) .
(I.46)
z j=1
Das Resultat für z = 1000 ist in Abbildung I.5 enthalten, wobei bei i = 800000 entsprechend 800 Werte erzielt wurden. Die gestrichelte Linie in Abbildung I.5 gibt den durchschnittlichen Wert an. Offenbar entstehen große Schwankungen und es ist kein klarer Verlauf erkennbar. Daher und durch Vorgreifen auf ausführliche Überlegungen in Abschnitt II
17
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Abbildung I.4: Verlauf des Abstands λi+1 − λi mit i ∈ [1, 1000]
Abbildung I.5: Verlauf des durchschn. Abstands ∆z λ(`) mit z = 1000 und ` ∈ [1, 800]
wird ersichtlich, dass die vorhandenen Daten, welche maschinell berechnet wurden, noch
nicht ausreichend sind, um das tatsächliche langfristige Verhalten zu verstehen. Somit ist
es unumgänglich, dieses Problem mathematisch anzugehen!
Abbildung I.6: Verteilung der bis i = 800000 vorkommenden Abstände
Ein letzter, jedoch sehr interessanter Aspekt, ist die Verteilung der verschiedenen Abstände.
18
ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN
Es wird in Abbildung I.4 nicht nur der ständig variierende Abstand deutlich, sondern zudem die Konzentration von Werten bei bestimmten Abständen (z.B. 60) und somit der
Ausbildung von horizontalen Linien. Darum zeigt nun Diagramm I.6 alle vorkommenden
Abstände und deren Häufigkeit. Dabei sind folgenden Abstände aufgetreten:
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44,
48, 50, 52, 54, 56, 60, 66, 68, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 108, 120
(I.47)
Dies ist sehr faszinierend und wirft erneut diverse Fragen auf:
• Warum kommen nur bestimmte Abstände vor?
• Wieso treten einige besonders häufig auf? Wieso 60 am häufigsten?
• Existieren auch Abstände größer als 120 oder kleiner als 4?
• Treten auch ungerade Abstände auf? Oder sogar jeder Abstand irgendwann?
Besonders diese Fragen zum Abstand stellen sich als sehr schwierig heraus, denn dazu
müsste theoretisch von aufeinander folgenden polyabundanten Zahlen die Primfaktorzerlegung bekannt sein. Es müsste also im optimalen Fall eine einfache Methode gefunden
werden, welche die Primfaktorzerlegung anhand der Zahl selbst schnell ermitteln könnte:
diese gibt es jedoch nicht, wie bereits in der Einleitung angesprochen wurde, und auf
diesem Problem basiert die weltweite RSA-Verschlüsselung! Mithilfe anderer Ansätze war
es dennoch in Abschnitt II möglich, diese Fragen zu beantworten.
Es soll jedoch nun bereits ein kleineres Problem gelöst werden, da mir die verwendete Methode beim Beantworten weiterer Fragen geholfen hat, jedoch die Behauptungen in
Abschnitt II durch andere Herangehensweisen bewiesen werden. Da diese Methode jedoch
eine große Hilfe war, sollte sie in dieser Ausarbeitung zumindest exemplarisch angesprochen sein.
Es wurde versucht, die polyabundanten Zahlen λi = ϕ · Pi in einen immer vorhandenen Teil ϕ und einen variablen Teil Pi zu unterteilen (bzgl. der Primfaktorzerlegung),
wodurch besonders Beobachtungen in dem untersuchten bzw. einem beschränkten Zahlenraum zu erklären bzw. vorherzusagen sind. Ein kurzes Beispiel:
Behauptung 7: Bis 107 treten keine Zwillinge (∆λi = 1) auf.
Beweis 7:
Da in Beweis 4 gezeigt wurde, das eine ungerade polabundante Zahl erst nach 107 gefunden werden kann und bis dahin immer 2|λi gilt, muss mindestens ϕ ≥ 2. Somit folgt
daraus
∆λi = λi+1 − λi = ϕ · Pi+1 − ϕ · Pi = ϕ · (Pi+1 − Pi ).
(I.48)
Da Pi+1 6= Pi muss Pi+1 −Pi > 0 und somit ∆λi ≥ ϕ ≥ 2, womit die Behauptung bewiesen
werden konnte.
19
Abschnitt II
Weiterführende Untersuchungen
II.1
Bestimmung von unterer Schranke N 0
In den vorherigen Untersuchungen konnte gezeigt werden, dass zu jeder Stufe k eine
erste polyabundante Zahl λ(k) existiert. Auch wurde gezeigt, dass die λ beim Erhöhen
der Stufe extrem schnell ansteigen. Zwar wurde bereits der allgemeine Verlauf von λi in
Abhängigkeit von i betrachtet, doch eine Betrachtung in Abhängigkeit von k fehlt. Dieser
sehr interessante Aspekt ist mit einigen Schwierigkeiten behaftet. Ziel soll es sein, eine
untere Schranke N 0 (k), ab der überhaupt erst λ dieser Stufe gefunden werden können, und
eine obere Schranke N 00 (k), vor der definitiv ein λ dieser Stufe liegen muss, zu bestimmen.
Es muss daher gelten
N 0 (k) ≤ λ(k) ≤ N 00 (k),
(II.1)
wobei es sich bei N 0 und N 00 entsprechend nicht um polyabundante Zahlen, sondern um
vom Betrag interessante Schranken handelt. Für beide soll nun ein möglichst einfacher, gut
approximierender und möglichst geschlossener Ausdruck gefunden werden. Es soll noch
angemerkt werden, dass immer mehrere Approximationen als Approximationsungleichung
bestimmt werden, da diese für verschiedene weitere Anwendungen unterschiedlich gut
geeignet sind.
II.1.1
Übersicht
Das Vorgehen hierbei lässt sich grob in drei Teile einteilen: Die entscheidende Eigenschaft
bei N 0 ist der Minimalwert von ω, was in Beweis 3 herausgefunden wurde. Darum gilt
ω(k)
0
λ(k) > N (k) >
Y
pi = p1 · p2 · ... · pω(k) .
(II.2)
i=1
Auf dieser Grundlage muss nun die Funktion ω(k) angenähert werden und dazu die n-te
Primzahl pn . Dies wird dann auf (II.2) angewandt. Da jedoch kein Iterationszeichen, sondern ein einfacher, klarer analytischer Ausdruck gefunden werden soll, muss abschließend
noch das Produkt angenähert werden.
II.1.2
Vorüberlegungen
Lemma 8.1: Für den Abstand der Primzahlen gilt lim sup(pn+1 − pn ) = ∞ (siehe [2]).
n−→∞
Lemma 8.2: Für die Anzahl der Primzahlen π(x) unterhalb von x gilt nach dem Primx
x
, wobei zunächst π(x) >
(siehe [2]).
zahlsatz π(x) ∼
ln x
ln x
Behauptung 8: Für die n-te Primzahl pn gilt
pn > ln nn > ln n! > ln nn − n > 2n − 1 > n + 1
20
(II.3)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
wobei die Ungleichung bzgl. pn immer asymptotische Gültigkeit besitzen.
Beweis 8:
Die ersten zehn Primzahlen sind:
n
pn
1
2
2
3
3
5
4
7
5
11
6
13
7
17
8
19
9
23
10
29
Da der Abstand zwischen Primzahlen wegen Lemma 8.1 nur größer wird, ist offensichtlich
pn > n und auch pn > n + 1. Da der Abstand weiterhin niemals kleiner als 2 ist, abgesehen vom Sonderfall p2 − p1 , gilt zudem pn > 2n − 1. Diese Approximationen stellen zwar
für unsere Verwendung akzeptable Werte dar, sind dennoch allgemein eher mangelhaft,
weshalb der Primzahlsatz einbezogen werden muss.
d
Es soll daher der Abstand der Primzahlen ∆pn := dn
pn verwendet werden, um pn durch
Z
pn = ∆pn dn
(II.4)
zu erhalten. Wie in Lemma 8.2 angegeben, gibt π(x) die Anzahl der Primzahlen pn mit
pn ≤ x an, also wäre π(pn ) = n. Daraus wird ersichtlich, dass
−1 −1 −1
d
d x
ln x − 1
ln2 x
dx
=
π(x)
=
> ln x, (II.5)
=
=
∆px =
dπ(x)
dx
dx ln x
ln x − 1
ln2 x
wobei sogar
∆px =
ln2 x
∼ ln x.
ln x − 1
(II.6)
Daraus und durch vorausgegangene Untersuchungen in meiner Jugend forscht Arbeit 2015,
die sich explizit mit dem Abstand von Primzahlen auseinandersetzt (siehe [6]), wird ebenfalls ersichtlich, dass
dpn
dpx
∝
.
(II.7)
dx
dx
Es kann mit diesen Erkenntnissen nun weitergearbeitet werden, sodass sich eine Primzahl
aus den Abständen der vorherigen ergibt, also
pn > 2 + ∆p2 + ∆p3 + ... + ∆pn
= 2 + ln 2 + ln 3 + ... + ln n = 2 +
(II.8)
n
X
ln i
(II.9)
i=2
= 2 + ln(2 · 3 · ... · n) > ln n!.
(II.10)
Durch diese Überlegung konnte die vorherige Approximation bereits gesteigert werden,
wobei jedoch einfacher auf (II.4) zurückgegriffen werden kann und somit
Z
pn > ln n dn = ln nn − n
(II.11)
ergibt. Durch weitere empirische und mathematische Untersuchungen besonders in [6]
kann zusätzlich ein Korrekturfaktor bestimmt werden, sodass
∆pn > ln n + 1
21
(II.12)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
gefunden wurde. Zwar soll der Korrekturfaktor in dieser Ausarbeitung nicht weiter ausgeführt werden, jedoch befindet sich im Anhang in Abbildung C.3 ein Vergleich zwischen
ln n, ln n + 1 und dem tatsächlichen Abstand. Wegen (II.4) ergibt sich somit
Z
pn > (ln n + 1) dn = ln nn − n + n = ln nn ,
(II.13)
womit auch die letzte Approximation bestätigt wurde.
Abbildung II.1 zeigt die unterschiedlichen Approximationen im Vergleich und es werden
die Überlegungen bestätigt. Dennoch können, besonders bei den folgenden Untersuchungen, nicht immer die besten Näherungen in den mathematischen Überlegungen verwendet
werden, da diese zu komplex werden oder sich keine klare geschlossene Form ableiten lässt.
Abbildung II.1: Vergleich zwischen Approximationen von pn
(2x)!
(siehe [9]).
2x · x!
n n
√
Lemma 9.2: Nach der Stirling-Formel gilt für Fakultäten n! ∼ 2πn
(siehe [8]).
e
π
Behauptung 9: Für ω(k) gilt ω(k) > (k + 1)2 > k + 1.
16
Lemma 9.1: Für ungerade Fakultät gilt 1 · 3 · ... · (2x − 1) =
Beweis 9:
Es sollen nun die Erkenntnisse aus Beweis 3 und besonders Gleichung (I.29) verwendet
werden. Nach dieser Bedingung muss für die Stufe k
k+1<
ω
Y
i=1
Z(pi ) =
ω
Y
i=1
p1
p2
pω
pi
=
·
· ... ·
,
pi − 1
p 1 − 1 p2 − 1
pω − 1
(II.14)
wobei jedoch für p1 /(p1 − 1) der tatsächliche Wert mit p1 = 2 eingesetzt wird, da dadurch
bei den folgenden Überlegungen spätere Schwierigkeiten vermieden werden können - das
Ergebnis wird durch diese Änderung höchsten verbessert, jedoch nicht verschlechtert,
sodass gelten muss
k+1<2·
ω
Y
i=2
22
pi
.
pi − 1
(II.15)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Indem aus Behauptung 8 pn > n + 1 verwendet wird, ergibt sich somit
2·
2+1 3+1
ω+1
(ω + 1)!
·
· ... ·
=2·
= ω,
2
3
ω
2 · ω!
(II.16)
sodass
ω(k) > k + 1.
(II.17)
Diese dürftige und eher exemplarische Begrenzung soll nun erweitert werden, indem pn >
2n − 1 verwendet wird. Somit ergibt sich mit Lemma 9.1
k+1<2·
ω
Y
2i − 1
i=2
2i − 2
=
2
2ω−1
·
ω
Y
2i − 1
i=2
i−1
=
4 3 · 5 · ... · (2ω − 1)
·
2ω
(ω − 1)!
4 · (2ω)!
ω
(2ω)!
= ω ω
= ω−1 ·
.
2 · 2 · ω!(ω − 1)!
4
(ω!)2
(II.18)
(II.19)
Nach ω umzuformen ist in dieser Form kaum machbar, weshalb Lemma 9.2 verwendet
werden soll, sodass
2ω
√
2ω
√
r
2π2ω
(2ω)!
ω
ω
4ω
2 · 22ω
ω
ω
e
·
∼ ω−1 · √
=√
=4·
. (II.20)
ω 2ω = ω−1 · √
ω−1
2
2
4
(ω!)
4
4
π
πω
2πω
2πω
e
Mithilfe dieser Umformungen erhalten wir abschließend mit (II.15)
r
ω
4·
>k+1
π
π
ω(k) >
· (k + 1)2 ,
16
sodass auch diese deutlich bessere Abschätzung bestimmt werden konnte.
(II.21)
(II.22)
Nun kann zu Gleichung (II.2) zurückgekehrt werden, wobei zunächst das Primzahlprodukt abgeschätzt werden soll.
Behauptung 10: Für das Produkt der Primzahlen gilt die Ungleichung (δ0 = 0, 393220)
ω
Y
√ 2ω ω
ω−2
> (ω + 1)!.
(II.23)
pj > 3 ln (δ0 ω + 1) · ω! > 2
e
j=1
Beweis 10:
Beim Verwenden von pn > n + 1 aus Behauptung 8 wird sofort
ω
Y
j=1
pj >
ω
Y
j + 1 = (j + 1)!
(II.24)
j=1
ersichtlich. Diese Näherung kann jedoch erneut durch pn > 2n − 1 deutlich verbessert
werden, sodass mit Lemma 9.1 und Lemma 9.2
2ω
√
2ω
√
ω
2π2ω
ω
Y
(2ω)!
2 · 22ω ω ω √ 2ω
e
ω ω =
2j − 1 = ω
=
·
= 2
(II.25)
√
ω
2
·
ω!
2
e
e
ω ·
2
2πω
·
j=1
e
23
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
bestimmt werden kann. Dennoch kann auch dies weiter verbessert werden, indem nun
auch die beste Primzahlapproximation pn > ln nn = n · ln n Verwendung findet, sodass
bei
ω
m
ω
ω
Y
Y
Y
p` Y
pj > ω! ·
·
ln j >
ln j j
(II.26)
` j=m+1
j=1
j=1
`=1
m = 3 gesetzt wird, da ln 11 = 0 und ln 2 < 1, sodass diese beiden Werte durch die
tatsächlichen Werte ersetzt werden, womit
ω! ·
ω
ω
Y
2 3 Y
· ·
ln j = 3 · ω! ·
ln j
1 2 j=3
j=3
(II.27)
gefunden wurde. Nun soll das Logarithmenprodukt in (II.27) durch einen geschlossenen
Ausdruck approximiert werden. Dieser Teil hat einige Zeit meiner Überlegungen beansprucht, und ich habe versucht dieses Problem allgemein für jedes Funktionenprodukt zu
lösen, weshalb die verwendete Methode im Anhang unter Theorem I beschrieben ist. Wir
verwenden nun die Approximation für
ln 3 · ln 4 · ... · ln ω =
ω−1
Y
ln(i + 1)
(II.28)
i=2
aus dem Anhang, da das hier verwendete Produkt von j = 3 bis j = ω läuft. Daher kann
als sehr gute Approximation
ω
Y
ln j > lnω−2 (δ0 ω + 1),
(II.29)
j=3
mit δ0 = 0, 393220, bestimmt werden. Mit (II.26) konnte somit auch
ω
Y
pj > 3 lnω−2 (δ0 ω + 1) · ω!
(II.30)
j=1
gezeigt werden.
Besonders die letzte Approximation stellt einen hervorragenden Wert dar, wie durch folgende Abbildung II.2 (nächste Seite) deutlich wird. Hierbei sind die einzelnen Näherungen
im Vergleich aufgetragen, wobei jeder Wert logarithmiert wurde.
Die so gesammelten Erkenntnisse können nun abschließend zur Beantwortung der Ausgangsfragestellung nach N 0 zusammengefügt werden.
II.1.3
Zusammenführung
Behauptung 11: Als untere Schranke für die erste k-fach poylabundante Zahl gilt, mit
π
,
δ0 := 0, 393220 und γ0 := 16
2
N 0 (k) > 3 · lnγ0 (k+1) −2 δ0 γ0 (k + 1)2 + 1 · γ0 (k + 1)2 !
(II.31)
Beweis 11:
Nach (II.2) muss für die untere Schranke
ω(k)
0
N (k) >
Y
i=1
24
pi
(II.32)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Abbildung II.2: Vergleich von Approximationen mit ω ∈ [1, 100] - logarithmiert
gelten. Durch Behauptung 9 konnte ω(k) angenähert werden, sodass
π
(k+1)2
16
Y
N 0 (k) >
pi .
(II.33)
i=1
Durch Behauptung 10 konnte das Produkt angenähert werden, sodass schließlich
π
j π
k
π
(k+1)2 −2
0
2
2
16
N (k) > 3 · ln
δ0 (k + 1) + 1 ·
(k + 1)
!
16
16
π
bzw. mit γ0 := 16
2
N 0 (k) > 3 · lnγ0 (k+1) −2 δ0 γ0 (k + 1)2 + 1 · γ0 (k + 1)2 !
√
und mit Lemma 9.2 und γ1 := 3 · 2πγ0
2
2 γ0 (k+1)
p
γ
(k
+
1)
0
γ0 (k+1)2 −2
0
2
N (k) > 3 · ln
δ0 γ0 (k + 1) + 1 · 2πγ0 (k + 1)2
e
γ (k+1)2
γ0 (k + 1)2 0
γ0 (k+1)2 −2
0
2
N (k) > γ1 · (k + 1) · ln
δ0 γ0 (k + 1) + 1 ·
,
e
(II.34)
(II.35)
(II.36)
(II.37)
womit neben der Behauptung auch eine fakultätsfreie Form gezeigt wurde.
Diese Schranke stellt bereits eine gute Näherung dar, jedoch kann diese sicher durch
weitere zahlentheoretische Überlegungen, die bei meinem Vorgehen nicht berücksichtigt
wurden, noch weiter verbessert werden.
II.2
II.2.1
Bestimmung von oberer Schranke N 00
Übersicht
Nachdem nun bekannt ist, ab welcher Zahl N 0 überhaupt erst eine polyabundante Zahl
der k-ten Stufe gefunden werden kann, soll nun ebenfalls eine Schranke gefunden werden,
vor der definitiv die erste k-fach polyabundante Zahl liegen muss. Erneut wird dabei die
Bedingung
p1
p2
pω
k+1<
·
· .. ·
(II.38)
p1 − 1 p2 − 1
ω
25
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
wichtig. Exemplarisch würden bei k = 2 genau ω = 3 erforderlich sein, denn
2+1<
2 3 5
· · = 3, 75.
1 2 4
(II.39)
Dennoch ist die Zahl 2·3·5 = 30 keinesfalls polyabundant, sondern hat lediglich eine Stufe
von k(30) = 2, 4 − 1 = 1, 4. Das Problem ist, dass die Exponenten nicht ausreichen, um
einen Wert vergleichbar mit dem Konvergenzwert in (II.39) zu erzeugen: so könnte zwar
2
nur mit der Zahl 2α ein Stufe von 2−1
− 1 = 1 erzeugt werden, jedoch wäre bei α = 1 die
2 +23
σ(2)
− 1 = 0.5 oder bei α = 3 wäre 1+2+2
erreichte Stufe erst 2 − 1 = 1+2
− 1 = 0, 875.
2
23
Der eigentliche Grenzwert wird daher erst bei einem höheren Exponenten und somit
einer höheren Zahl erreicht. Der Beitrag zu dem Produkt (II.38) (also nur σ(x)/x) in
Abhängigkeit vom Exponenten sei durch folgende Abbildung II.3 gezeigt.
Abbildung II.3: Verlauf von σ(pα )/pα in Abhängigkeit von α ∈ [1, 9]
Die deutlich gestrichelten Linien geben die Grenzwerte an, und die Konvergenz wird
erkennbar. Dabei beginnen die Linien immer weiter bei 1 und werden den Grenzwert erst
im Unendlichen erreichen. Damit ist klar, dass die Zahl 2x · 3x · 5x automatisch 2-fach
polyabundant ist, wenn x sehr groß gewählt wird, z.B. x = 1010 . Dies wäre jedoch eine
äußerst schlechte obere Schranke und würde wenig Sinn ergeben! Darum soll ein anderer
Ansatz gewählt werden: zwar wird der Grenzwert nicht mit kleinen α erreicht, jedoch
durchaus Vielfache vom Grenzwert, z.B. 90%, wobei die gepunkteten Linien in Abbildung
II.3 diese Werte angeben. Daher soll in den folgenden Überlegungen zunächst das α00 der
Primfaktoren bestimmt werden, sodass diese β = 0.9 zum Produkt (II.38) beitragen, und
anschließend das ω 00 (k), welches die benötigten Primzahlen unter der Bedingung, dass jede
nur einen Anteil von β zum Produkt beisteuert, angegeben werden. Zum Schluss werden
diese Erkenntnisse durch
ω 00 (k)
00
N (k) <
Y
α00
α00
α00
α00 00
(k)
pi i = p1 1 · p2 2 · ... · pωω00 (k)
(II.40)
i=1
zusammengeführt.
II.2.2
Vorüberlegungen
α00
α00
Behauptung 12: Die Exponenten αn00 einer Primzahl pn , sodass σ(pnn )/pnn ein Anteil
von mind. β = 0.9 an pn /(pn − 1) hat, sind α100 = 3, α200 = 2 α300 = 1, α400 = 1, ... , αi00 = 1.
26
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Beweis 12:
Die entscheidende Gleichung, die k 0 (n) := σ(n)
(also ohne dem −1 und somit der Anteil
n
am Produkt II.xxx) in Abhängigkeit vom α angibt, wurde bereits im Beweis von Lemma
3.3 gefunden. Demnach gilt
0
k (α, pn ) =
Da wir α im Fall von k 0 = β ·
pn
pn −1
pn −
1
pα
n
pn − 1
.
(II.41)
berechnen wollen, setzten wir
pn − pα100
1
pn
n
=
=⇒ β · pn = pn − α00
β·
pn − 1
pn − 1
pn
00
−1
00
=⇒ α = logpn (pn − β · pn )
=⇒ α = − logpn (1 − β) − 1,
da jedoch die Exponenten nur ganzzahlig sei können, erhalten wir daher
α00 (pn ) = − logpn (1 − β) − 1.
(II.42)
(II.43)
(II.44)
Es soll diese Gleichung nun für die ersten Primzahlen berechnet werden:
α00 (2) = d− log2 (1 − β)e − 1 = 3
α00 (3) = d− log3 (1 − β)e − 1 = 2
α00 (5) = d− log5 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (7) = d− log7 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (11) = d− log11 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (13) = d− log13 (1 − β)e − 1 = 1
... =
...
= 1
(II.45)
(II.46)
(II.47)
(II.48)
(II.49)
(II.50)
(II.51)
Es ist sehr erstaunlich und für den weiteren Verlauf überaus vorteilhaft, dass die benötigten
Exponenten relativ klein sind und ab p3 = 5 bereits der triviale Exponent zum Übersteigen
von 90% des Grenzwertes führt.
Für das Produkt (II.40) und die folgenden Überlegungen ist erneut eine Approximation von Primzahlen notwendig. Die in Behauptung 8 gefundenen Näherungen können nun
jedoch nicht verwendet werden, da bei N 00 die Näherung für die n-te Primzahl größer sein
muss als pn .
Behauptung 13: Für die n-te Primzahl pn gilt pn <
9
4
3
· n2 <
1
2
· n2 .
Beweis 13:
Dafür kann erneut das Resultat von (II.6)
d
pn ∼ ln n
dn
(II.52)
verwendet werden. Daraus ergibt sich offenbar, dass
d
pn < ε1 · n,
dn
27
(II.53)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
wobei ε1 eine Konstante ist, sodass
Z
ε1 2
pn < ε1 · n dn =
· n + c,
2
(II.54)
wobei c ebenfalls eine Konstante ist. Diese können durch einfache numerische Betrachtung
und mit Lemma 8.1 zu ε1 = 1 und c = 0 bestimmt werden, sodass
pn <
1 2
·n .
2
(II.55)
Doch kann dieser dürftige Wert verbessert werden, indem ein weiteres Resultat der Analysis einbezogen wird, nämlich dass für beliebiges m
ln x
lim √
=0
x−→∞ m x
(II.56)
gilt. Daraus ergibt sich zwangsläufig, dass
1
d
pn < ε2 · n ε3 ,
dn
(II.57)
1
1+ 1
pn < ε2 · 1 +
· n ε3 ,
ε3
(II.58)
und somit
wobei numerisch einfach ε2 =
3
2
und ε3 = 2 bestimmt werden kann. Damit erhalten wir
1
3
1
9
3
· n1+ 2 = · n 2 ,
(II.59)
pn < · 1 +
2
2
4
was sich als deutlich bessere Näherung herausstellt.
Das diese Näherung gilt, wird auch dadurch ersichtlich, dass
X 1
= ∞,
p
p prim
(II.60)
∞
X
π2
1
=
,
n2
6
n=1
(II.61)
während
sodass Primzahlen offenbar häufiger vorkommen als Quadratzahlen (siehe [2]).
Lemma 14.1: Es gilt
ω
Q
j=3
pj
pj −1
< κ · ln ω mit κ := 0.7.
Beweis von Lemma 14.1:
Mithilfe von Überlegungen in [6] und [2] (sowie den Untersuchungen in Beweis 8) konnte
bereits
ω
Y
pj
∝ ln ω
p
−
1
j
j=1
28
(II.62)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
bestimmt werden, wobei
ω
Y
pj
< ln ω,
p
−
1
j
j=1
(II.63)
weshalb für eine bessere Annäherung ein gleich schnell wachsendes Fehlerglied κ00 · ln ω
eingeführt wurde, sodass
ω
Y
pj
< ln ω − κ00 · ln ω = (1 − κ00 ) · ln ω = κ0 · ln ω.
p
−
1
j=1 j
(II.64)
Da jedoch für die Untersuchungen in dieser Ausarbeitung j = 3 ist, muss
2·
ω
3 Y pj
·
< κ0 · ln ω
2 j=3 pj − 1
ω
Y
κ0
pj
< · ln ω = κ · ln ω.
p −1
3
j=3 j
(II.65)
(II.66)
Es ist unter anderem durch [6] bekannt, dass κ00 ≈ −1, 1 gewählt werden kann, sodass
00
= 0, 7 für unsere Anwendung bestimmt werden kann.
κ = 1−κ
3
Da dieses Lemma hier nicht genauer ausgeführt werden soll, befindet sich zusätzlich im
Anhang die Abbildung C.2 zum Vergleich zwischen den Näherungen.
k+1
00
00
Behauptung 14: Für ω (k) gilt ω (k) < exp 3β 2 κ , mit β = 0, 9 und κ := 0, 7.
Beweis 14:
Das ω 00 muss wegen den Überlegungen in Beweis 12 so hoch gewählt werden, dass
k+1<β·
p2
p3
pω00
p1
·β·
·
· ... ·
,
p1 − 1
p 2 − 1 p3 − 1
pω00 − 1
(II.67)
wobei mit Lemma 15.1
2
k+1<3·β ·
ω
Y
pj
p −1
j=3 j
< 3 · β 2 · κ · ln ω 00
(II.68)
(II.69)
Durch weitere Umformungen erhalten wir so
k+1
3β 2 κ
k+1
00
ω < exp
,
3β 2 κ
ln ω 00 <
womit der Ausdruck der Behauptung ermittelt wurde.
29
(II.70)
(II.71)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.2.3
Zusammenführung
Behauptung 15: Als obere Schranke für die erste k-fach poylabundante Zahl gilt mit
β = 0, 9 und κ := 0, 7,
exp
9
00
N (k) < 72 ·
4
k+1
3β 2 κ
·
exp
k+1
3β 2 κ
32
! .
(II.72)
Beweis 15:
Nach Beweis 12 wird klar, dass für die Primfaktorzerlegung der oberen Schranke
ω 00 (k)
00
N <
p31
·
p22
· p3 · p4 · ... · pω00 (k) <
p31
·
p22
·
Y
pj
(II.73)
j=1
gelten kann, wobei p31 · p22 = 23 · 32 = 72. Aufgrund von Behauptung 13 ergibt sich somit
ω 00 (k)
00
N < 72 ·
Y 9 3
3
9 3 9 3
9
· j 2 = · 1 2 · · 2 2 · ... · · ω 00 (k) 2
4
4
4
4
j=1
ω00 (k)
3
9
= 72 ·
· (ω 00 (k)!) 2 .
4
(II.74)
(II.75)
Indem nun Behauptung 14 verwendet wird, haben wir
exp
9
00
N < 72 ·
4
k+1
3β 2 κ
·
exp
k+1
3β 2 κ
32
! ,
(II.76)
wie gefordert war.
Damit die Fakultät ersetzt werden kann, kann auf die Stirling’sche Näherungsformel in
Lemma 9.2 zurückgegriffen werden, denn es gilt auch (siehe [8])
n n √
n n
√ √
n! < 2 · 2πn
= 4πn
,
(II.77)
e
e
sodass sich mit (II.76) die eher unelegante Form
exp
9
00
N < 72 ·
4
exp
9
< 72 ·
4
exp
9
< 72 ·
4
k+1
3β 2 κ
·
exp
k+1
3β 2 κ
32
!

k+1
3β 2 κ
k+1
3β 2 κ
exp
9
< 72 · ν0 ·
4
s

·

4π exp

√
·  4π · exp
k+1
3β 2 κ
· exp
k+1
3β 2 κ


(II.78)
exp
k+1
3β 2 κ
e
exp
k+1
3β 2 κ
 3
2




exp
k+1
k+1
exp
−1
6β 2 κ
3β 2 κ
exp
3k + 3
k+1
exp
−1
12β 2 κ
3β 2 κ
3
ergibt, wobei ν0 := (4π) 4 .
30
3k+3
6β 2 κ
(II.79)
k+1
3β 2 κ
 3
2

(II.80)
,
(II.81)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.3
Direkte Bestimmungsgleichung
Neben Schranken für die erste polyabundante Zahl einer Stufe anzugeben, ist einer der
ebenfalls sehr wichtigen Aspekte einen Vertreter dieser Stufe zu finden. Durch maschinelle
Suche konnte noch keine 4-fach polyabundante Zahl gefunden werden. Nun soll jedoch eine
Gleichung angegeben werden, welche einen Vertreter jeder beliebigen Stufe berechnen
kann. Dabei sind lediglich die Erkenntnisse aus der Bestimmung von N 00 anzuwenden.
Hierbei ist besonders Gleichung (II.73) interessant, denn bei diesem Primzahlprodukt
handelt es sich um eine polyabundante Zahl der Stufe k. Mit den Erkenntnissen aus
Beweis 14 erhalten wir somit
l
λ(k) = p31 · p22 ·
exp
k+1
3β 2 κ
Y
m
pj .
(II.82)
j=3
Damit kann nun z.B. exemplarisch bestimmt werden, dass
λ(4) =
p31
·
p22
·
19
Y
pj = p31 p22 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19
(II.83)
j=3
= 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 · 61 · 67 (II.84)
= 70.724.893.959.722.403.502.911.810
(II.85)
eine mindestens 4-fach polyabundante Zahl ist, wobei noch weitere vor dieser sehr großen
Zahl liegen. Und tatsächlich ergibt sich
k(70.724.....911.810) =
σ(70.724.....911.810)
− 1 ≈ 6.964 − 1 = 5.964,
70.724.....911.810
(II.86)
sodass es sich sogar um eine 5-fach polyabundante Zahl handelt. Dieses Ergebnis und
diese Möglichkeit war einer der beeindruckendsten Aspekte dieser Ausarbeitung! Aufgrund
dieser Tatsache sollen weitere Werte angegeben werden, die auf der Basis dieses Konzepts
numerisch sehr einfach berechnet werden konnten:
k(n)
n
4.3000 36756720
5.0576 465817912560
6.0307 2346419410357683220560
7.0317 16766090233811809984804558815396530141040
8.0217 388608933081999584355855413592505522051837262186233247
193084835169948228880
9.0041 155498730883938339941933787638403098514777473279245456
0523593874221278229070686781340043572771187330309952145
72864331110648285421424672880
10.005 508685969203968285740853495736303139716874963612365723
0633781644017394889414968119955706700776694029105289916
8300148631008477351429854433026421401787835618670138345
7320359875525731503460064584771996576576553727601282448
769131810949635963707382276203749520
31
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Im Anhang C.4 sind weitere Werte angegeben, und es konnten auf Basis dieser Herangehensweise nun auch ungerade polyabundante Zahlen bestimmt werden! So ist die Zahl
1.003.917.915 wegen
k(1.003.917.915) =
σ(1.003.917.915)
− 1 ≈ 3.018 − 1 = 2.018
1.003.917.915
(II.87)
offensichtlich polyabundant!
II.4
Untere Schranke der Teileranzahl
Die zahlentheoretische Funktion τ (n) gibt die Teileranzahl einer Zahl an, sodass z.B.
τ (4) = 3. Es handelt sich dabei ebenfalls um eine interessanter Aspekt der Zahlentheorie, weshalb für eine polyabundante Zahl der Stufe k die Mindesteileranzahl τk bestimmt
werden soll.
Lemma 16.1: Es ist offensichtlich τ (p) = 2, wenn p eine Primzahl ist.
Lemma 16.2: Es ist τ (p · q) = τ (p) · τ (q), wenn p, q Primzahlen sind.
Beweis von Lemma 16.2:
Mit der Behauptung ergibt sich τ (p · q) = |{1, p, q, pq} = 4 = 2 · 2 = τ (p) · τ (q).
π
2
Behauptung 16: Für die Mindestteileranzahl gilt τk > 2 16 (k+1) .
Beweis 16:
Aus den Überlegungen zu Behauptung 9 wurde klar, dass eine k-fach polyabundante Zahl
λ aus mindestens ω(k) verschiedenen Primzahlen bestehen muss, also
ω(k)
λ(k) > p1 · p2 · ... · pω(k) =
Y
pi .
(II.88)
i=1
Daraus ergibt sich für die Teileranzahl


ω(k)
ω(k)
ω(k)
Y
Y
Y
τk = τ (λ(k)) = τ 
pi  =
τ (pi ) =
2 = 2ω(k) .
i=1
i=1
(II.89)
i=1
Indem nun die Erkenntnisse aus Behauptung 9 verwendet werden, ergibt sich
π
2
τk > 2 16 (k+1) ,
wie gefordert.
32
(II.90)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.5
Verhalten des Abstandes
Wie bereits in Abschnitt I angekündigt, soll nun auch das Verhalten des Abstandes näher
untersucht werden und die dort aufgeworfenen Fragen nun beantwortet werden.
II.5.1
Allgemeiner Ansatz
Die Grundlage für die Überlegungen ist die entwickelte Zahlenoszillationstheorie, die in
Theorem II im Anhang erläutert wird. Diese ist aufgrund von Regel 3 bei Multiplikation
und Division anwendbar. Demnach sind ein Großteil der polyabundanten Zahlen lediglich
Vielfache von vorherigen polyabundanten Zahlen. Nach der Zahlenoszillationstheorie seien
also die vollständigen Werte (alle polyabundanten Zahlen) λi und die Ausgangswerte (die
keine Vielfachen von vorherigen polyabundanten Zahlen sind) λ∗i , sodass
λ∗i 6= λj · m, ∀ j, m ∈ N, λj < λ∗i .
(II.91)
Damit sind also wie bereits bekannt
λi ∈ {180, 240, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, ...},
(II.92)
jedoch nun
λ∗j ∈ {180, 240, 420, 504, 600, 660, 780, 1344, 1584, 1848, 1872, 1890, 2040, 2184, 2280,
2352, 2376, 2760, 2772, 2856, 3150, 3192, 3276, 3480, 3720, 4284, 4410, 4440, 4788,
4896, 4920, 5100, 5160, 5292, 5640, 5700, 5796, 6360, 6864, 6900, 6930, 7080, 7320,
7344, 7728, 8040, 8190, 8208, 8424, 8520, ...}.
(II.93)
Es handelt sich somit in Bezug auf die Zahlenoszillationstheorie um die Perioden der
Schwingungen, die vom Ursprung ausgehen.
II.5.2
Ungerader Abstand
Da bisher nur gerade Abstände gefunden wurden, ist die Frage nach ungeraden Abständen
offensichtlich zu stellen und kann relativ leicht beantwortet werden.
Behauptung 17: Es werden auch ungerade Abstände auftreten.
Beweis 17:
Bisher liegen alle polyabundanten Zahlen in der Form λ = 2x vor, also gerade, jedoch konnte durch die Überlegungen während der grundlegenden Untersuchungen gezeigt
werden, dass auch ungerade polyabundante Zahlen auftreten werden, also in der Form
λ = 2y − 1. Damit wird irgendwann eine ungerade poylabundante Zahl auf eine gerade
folgen, sodass für den Abstand
∆λ = (2x − 1) − (2y) = 2(x − y) − 1 = 2z − 1
gilt, womit die Behauptung bewiesen wäre.
33
(II.94)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.5.3
Größenbeschränkungen
In Abbildung I.6 wurde die Verteilung der ermittelten Abstände aufgetragen. Diese hat
einige Fragen aufgeworfen, da scheinbar keine Abstände über 120 oder unter 4 vorkommen. Dazu sollen Stück für Stück einzelne Aspekte bewiesen werden.
Behauptung 18: Es ist ∆λ ≤ λ0 = 180.
Beweis 18:
Es ist λ1 = 180 und wegen Regel (3) muss λ1 · m, mit m ∈ N ebenfalls polyabunbdant
sein. Dementsprechend kann nur ∆λ ≤ 180.
Damit konnte zudem gezeigt werden, dass jedes λx durch
λx = λ1 · m + ∆λx
(II.95)
∆λx ≡ λx mod λ1
(II.96)
und einige ∆λx durch
ausgedrückt werden kann.
Lemma von Bêzout: ∀ T1 , T2 ∈ Z ∃ m1 , m2 ∈ Z, sodass ggT(T1 , T2 ) = m1 · T1 ± m2 · T2
(siehe [10]).
Behauptung 19: Es könnte 1 ≤ ∆λ ≤ 4, sowie jeder mögliche Abstand existieren.
Beweis 19:
Aufgrund der Erkenntnisse in Beweis 3 wird auch eine polyabundante Zahl λu ohne die
Primfaktoren 2, 3 oder 5 existieren, sodass ggT(λ1 , λu ) = 1. Für den Abstand müsste nach
der Behauptung und (II.95)
∆λ = mu · λu − m1 · λ1
(II.97)
gelten. Nach dem Lemma von Bêzout somit auch ∆λ = ggT(λ1 , λu ). Da wir ggT(λ1 , λu ) =
1 gesetzt haben, wäre somit ∆λ = 1 bestätigt. Da wir nun auch ∆λ = ggT(λ1 ·n, λu ·n) = n
mit 1 ≤ n ≤ 179 wegen Behauptung 18 haben, könnte somit jeder mögliche Abstand
beliebig oft auftreten und es wurde somit auch besonders gezeigt, dass ∆λ < 4 und polyabundante Zahlenzwillinge mit ∆λ = 1 existieren können.
Lemma 20.1: Neue Ausgangswerte λ∗ entstehen, indem Primzahlen der vorherigen λ∗
ersetzt werden.
Beweis von Lemma 20.1:
Da es sich bei den Ausgangswerten λ∗u um keine Vielfache der vorherigen polyabundanten Zahlen bzw. Ausgangswerten handelt, darf es kein m ∈ N geben, sodass m · λ∗ = λ∗u
∀ m ∈ N und λ∗ < λ∗u , damit λ∗u ein Ausgangswert ist. Somit könnte durch das Hinzufügen
von Primzahlen, also λ∗ · m, keine neuen λ∗ erzeugt werden. Stattdessen müssen einige
der Primzahlen (nämlich ε) aus dem vorherigen Ausgangswert λ∗u−1 entfernt werden, also
λ∗u−1 /ε. Dadurch wäre aber λ∗u < λ∗u−1 , sodass auch einige neue Primzahlen (nämlich ξ)
hinzugefügt werden müssen, wobei natürlich ggT(ε, ξ) = 1, sodass λ∗u > λ∗u−1 gilt und λ∗u
34
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
stets polyabundant ist.
Also ist
λ∗u =
λ∗u−1
· ξ.
ε
(II.98)
Wir definieren
S(n) :=
∞
X
αi · pi = α1 · p1 + α2 · p2 + ...,
(II.99)
i=1
wobei αi den Exponenten von pi in n angibt und somit diese Summe einen festen Wert
besitzt, da oftmals αi = 0. So wäre z.B. S(20) = S(22 · 5) = 2 · 2 + 5 = 9. Damit λ∗u > λ∗u−1
muss somit zudem S(ε) < S(ξ)! Dies lässt sich exemplarisch an λ∗1 = 180 = 22 · 32 · 5
und λ∗2 = 240 = 24 · 3 · 5 zeigen. In diesem Fall wäre ε = 3 und ξ = 22 , sodass
S(3) = 3 < S(22 ) = 4.
Lemma 20.2: Der durchschn. Abstand der Ausgangswerte nimmt mit ∆λ∗u ∝ ln u zu.
Beweis von Lemma 20.2:
Nach Lemma 20.1 muss ein gewisser Anteil ε von λ∗u−1 durch einen neuen Anteil ξ mit
ggT(ε, ξ) = 1 ersetzt werden, um λ∗u zu erzeugen. Da λ∗u = 180 = 22 · 32 · 5 bei u = 1 und
da ω = 3 nicht unterschritten werden darf, müssen in ξ mit der Zeit auch neue Primzahlen
pn enthalten sein, sodass neue Ausgangswerte λ∗ erzeugt werden können. Nach (II.6) ist
d
pn ∝ ln n.
dn
(II.100)
∆w λ∗ ∝ ln n,
(II.101)
Demnach muss auch
wobei sich dies deutlich langsamer abzeichnet.
Die ersten 40 Werte wurden in Abbildung II.4 aufgetragen, wobei jeder Wert den Mittelwert der nächsten 50 Ausgangswerte λ∗ angibt. Der logarithmische Verlauf wird bereits
leicht deutlich und ein weiterer Anstieg verläuft sehr langsam.
x
Q
Lemma 20.3: Bei M = λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x =
λ∗i würde der größtmögliche Abstand
i=1
∆λx = λ∗1 = 180 nicht von Vielfache von λ∗u mit u ≤ x geschnitten werden.
Beweis von Lemma 20.3:
Damit sich die Vielfache der beiden Ausgangswerte λ∗1 und λ∗u überschneiden, muss
m1 · λ∗1 = mu · λ∗u
(II.102)
gelten. Dies trifft offensichtlich bei m1 = λ∗u und mu = λ∗1 zu. Damit jedoch die Vielfache
der ersten x Ausgangswerte in einer polyabundanten Zahl zusammenfallen, müsste
m1 · λ∗1 = m2 · λ∗2 = ... = mx · λ∗x ,
35
(II.103)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Abbildung II.4: Durchschnittlicher Abstand ∆w λ∗ mit w = 50
was analog für
λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x
M
mi =
=
λ∗i
λ∗j
(II.104)
gilt, wobei
M :=
λ∗1
·
λ∗2
· ... ·
λ∗x
=
x
Y
λ∗i
(II.105)
i=1
entsprechend diese Stelle angibt. Somit treten im Intervall [M, M + λ∗1 ] keine Vielfache
der ersten x Ausgangswerte auf.
Behauptung 20: Jeder mögliche Abstand wird auftreten.
Beweis 20:
In Beweis 18 wurde die Möglichkeit zu jedem beliebigen Abstand gezeigt, dennoch bestehen zwei Probleme, weshalb sich dadurch nicht direkt auch auf die zwingende Existenz
schließen lässt. Zum einen könnte es sein, dass z.B. der Abstand ∆λv = 100 niemals
auftritt, da zwischen m · λ1 und λv andere polyabundante Zahlen liegen. Dies kann vorkommen, da es sich bei diesen Störzahlen entweder um Vielfache von vorhergegangenen
polyabundanten Zahlen λy oder um neu auftretende Ausgangswerte λ∗y handeln könnte.
Der entscheidende Aspekt liefert dabei Lemma 20.3, wonach alle m · M = m · λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x
im Intervall [m · M, m · M + λ∗1 ] keine Vielfachen der ersten x Ausgangswerte auftreten.
Da die Überlegungen in Beweis 18 ebenfalls implizieren, dass jeder mögliche Abstand unendlich oft vorkommt, kann dieser Abstand auftreten, ohne dass Vielfache die Existenz
verhindern.
Dennoch wird hierbei nicht berücksichtigt, dass sich sowohl neue Ausgangswerte in dieser
freien Lücke befinden können, als auch Vielfache von neu entstandenen Ausgangswerten
λ∗y mit y > x. Dies kann jedoch beides durch Lemma 8.1 in Verbindung mit Lemma 20.2
widerlegt werden, da es somit beliebig große Lücken geben wird, in denen keine neuen
Ausgangswerte λ∗ entstehen werden, sowohl im Intervall [m · M, m · M + λ∗1 )], als auch
außerhalb, womit die Behauptung bewiesen wäre.
36
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Behauptung 21: Der durchschnittliche Abstand von λi nimmt mit i −→ ∞ ab.
Beweis 21:
Anhand der Tatsache, dass alle Vielfache der Ausgangswerte λ∗ ebenfalls polyabundante
Zahlen sind, wird ersichtlich, dass der durchschnittliche Abstand immer konstant bleiben
würden, würde man nur eine begrenzte Anzahl von λ∗ zur Verfügung haben. Da es aber
unendlich λ∗ gibt und damit immer mehr Werte potentielle Vielfache sein können, muss
der Abstand geringer werden. Dieser Prozess vollzieht sich jedoch äußerst langsam und
ist mit numerischen Datenerhebungen nicht zu erkennen.
II.5.4
Abstandverteilung
Abbildung I.6 macht deutlich, dass offenbar bestimmte Abstände mehrfach auftreten,
während andere seltener vorkommen. Dies sei ebenfalls kurz erläutert, da durch einfache
logische Überlegungen auch diese Erscheinung erklärt werden kann.
Da die von dem Suchprogramm ermittelten ersten polyabundanten Zahlen klein sein
müssen, muss entsprechend auch die Primfaktorzerlegung mit kleinen Primzahlen auskommen. Damit diese stets polyabundant sein können, enthalten viele der ersten polyabundanten Zahlen das Produkt bzw. die Kombination 22 · 3 · 5, sowie 23 · 3 oder 24 · 3.
Betrachten wir die vorkommenden Abstände nach Häufigkeit sortiert und deren Primfaktorzerlegung wird einiges deutlich:
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
Abstand
60
24
48
36
12
30
72
PFZ
2 ·3·5
23 · 3
23 · 3
22 · 32
23 · 3
2·3·5
23 · 32
2
Dementsprechend treten diese Abstände besonders häufig auf, da der immer vorhandene
Teil ϕ (siehe Beweis 7) oftmals eine der obigen Kombination bei dem untersuchten Zahlenraum ist. Da zwei aufeinanderfolgende λi nur selten Vielfache vom selben λ∗ sind und
eine Steigerung der Primfaktorzerlegung möglichst gering ist, gilt
S(λ1 ) < S(λ2 ) < S(λ3 ) < ...,
(II.106)
Dementsprechend ist bei ϕ · Pi+1 − ϕ · Pi = ϕ · (Pi+1 − Pi ) = ϕ · ∆ oftmals ∆ = 1 oder nur
etwas größer. Dies erklärt auch, weshalb sich der immer vorhandene Teil ϕ als Abstand
ausbildet. Da ∆ auch teilweise etwas größer sein kann, sind die Abstände in der Tabelle
zusätzlich teilweise Vielfache voneinander.
37
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.6
Zählfunktion
Durch die vorherigen Überlegungen kann nun auch eine Gleichung angegeben werden,
welche die Anzahl der polyabundanten Zahlen X(n) unterhalb einer gewissen Schranke n
angibt.
∞
P 1
P
n
≈
n
·
Behauptung 22: Es gilt X(n) ≈
.
∗
∗
i=1 λi
λ∗ ≤n λ
Beweis 22:
Damit die Anzahl der polyabundanten Zahlen λ bestimmt werden kann, müssen nicht
alle Werte betrachtet werden, sondern es genügt bereits die Kenntnis über λ∗ . Es liegen
somit n/λ∗u Vielfache von λ∗u unterhalb von u. Dennoch werden hierbei Überlagerungen
wie λ∗u · λ∗u+1 nicht berücksichtigt, weshalb es sich lediglich um eine Näherung handeln
kann, sodass
∞ X
n
n
n
n
+ ∗ + ∗ + ... =
,
X(n) ≈
∗
λ∗1
λ2
λ3
λ
i
i=1
(II.107)
j k
wobei diese unendliche Summe einen endlichen Wert besitzt, da λn∗ = 0 mit λ∗y > n.
y
Die Näherung kann vereinfacht werden, indem die Rundungsfunktion weggelassen wird
und somit
∞ X
n
n
n
n
n
≈ ∗ + ∗ + ∗ + ... + ∗
(II.108)
∗
λi
λ1 λ2 λ3
λx
i=1
1
1
1
1
+
+
+ ... + ∗
(II.109)
=n·
λ∗1 λ∗2 λ∗3
λx
X 1
=n·
(II.110)
λ∗
λ∗ ≤n
bestimmt werden kann.
Da die Überlegungen in Bezug auf das Verhalten des Abstands von λ∗ noch nicht ausreichend sind, um den Verlauf tatsächlich zuverlässig zu beschreiben, soll die obige Darstellung nicht weiter ergänzt werden. Es ist jedoch auch besonders interessant zu erkennen,
dass ein direkter Zusammenhang mit der Kehrwertsumme besteht (siehe dazu II.7). Durch
eine Approximation dieses Summenverhaltens wäre somit ebenfalls X(n) analytischer zu
bestimmen.
II.7
Unendliche Summe der Reziproke
Während der vorhergegangenen Untersuchungen waren Summen von Kehrwerten immer
wieder von Bedeutung. In der Zahlentheorie allgemein nimmt die Untersuchung des Kehrwertverhaltens einer Zahl ein wichtiges Gebiet ein. Ob es sich um die berühmt ζ-Funktion
∞
X
1
1
1
ζ(s) :=
= 1 + s + s + ...
s
n
1
2
n=1
38
(II.111)
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
handelt, der auch eine nähere Erläuterung im Anhang gewidmet ist, den Kehrwerten aller
ungeraden Zahlen
∞
X
n=1
1
1 1 1
= 1 + + + + ...
2n − 1
3 5 7
(II.112)
oder die alternierende harmonische Reihe
∞
X
1
1 1 1
(−1)n+1 = 1 − + − + ...,
n
2 3 4
n=1
(II.113)
in diesem Bereich werden viele Untersuchungen vorgenommen, insbesondere bezüglich
Konvergenz und Divergenz. Es liegt nahe, ebenso die polyabundanten Zahlen hinsichtlich
dieses Aspekts näher zu betrachten.
II.7.1
Alle polyabundante Zahlen
Behauptung 23: Die Summe der reziproken polyabundanten Zahlen
∞ 1
P
divergiert.
i=1 λi
Beweis 23:
Es gilt
∞
∞
∞
X
X
1
1 X1
1
1
>
=
·
=
· ζ(1) = ∞,
λ
i · λ1
λ1 i=1 i
λ1
i=1
i=1 i
(II.114)
womit die Behauptung bewiesen wäre.
II.7.2
Ausgangswerte
∞
P
1
konvergiert, falls O(f (n)) ≥ nδ mit δ > 0.
f
(n)
n=1
∞ 1
P
Behauptung 24: Die Summe der reziproken Ausgangswerte
divergiert (siehe [1]).
∗
i=1 λi
Lemma 24.1: Eine Reihe
Beweis 24:
Es konnte bereits in Lemma 20.2 gezeigt werden, dass der Abstand von λ∗i im Mittel proportional zu ln i anwächst. Dementsprechend verhält sich das Wachstum der Kehrwerte.
1
Da jedoch wegen (II.56) das Wachstum von ln x kleiner ist als von x m ∀ m > 1, kommt
es wegen Lemma 24.1 nicht zur Konvergenz. Dies kann auch daran gezeigt werden, dass
!
n
X
1
lim
− ln n = γ,
(II.115)
n−→∞
r
r=1
mit γ ≈ 0, 577216 (siehe [1]).
39
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
II.8
Polyabundante Fakultäten
In Bezug auf polyabundante Zahlen stellen sich Fakultäten als sehr interessant heraus,
was durch folgende Behauptung gezeigt sei.
Behauptung 25: Es ist k(n!) > 2 mit n ≥ 6 und k(n!) > 3 mit n ≥ 10.
Beweis 25:
Beim Aufschreiben der Fakultät ergibt sich
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
= 1 · 2 · 3 · 24 · 5 · 3 · 2
= 24 · 32 · 5
= λ1 · 22 ,
(II.116)
(II.117)
(II.118)
(II.119)
denn λ1 = 180 = 22 · 32 · 5. Genauso ergibt sich für 10!
10! = 24 · 32 · 5 · 7 · 8 · 9 · 10
= 24 · 32 · 5 · 7 · 23 · 32 · 2 · 5
= 28 · 34 · 52 · 7
= Λ4 · 22 · 3 · 5,
(II.120)
(II.121)
(II.122)
(II.123)
wobei Λ4 = 60.480 = 26 · 32 · 52 · 7 die 4-te 3-fach polyabundante Zahl sei.
II.8.1
Untere Schranke
Behauptung 26: Damit n! k-fach abundant sein kann, muss n ≥
π
(k+1)2
8
ln
√
π
(k
4
+ 1) .
Beweis 26:
Nach den Überlegungen in der Sektion ’Bestimmung von oberer Schranke’ und ’Direkte
Bestimmungsgleichung’ muss bei der Fakultät lediglich darauf gewartet werden, dass die
Anzahl der verschiedenen Primzahlen ω(k), die in der polyabundanten Zahl für eine Stufe
k enthalten sein müssen, vorhanden sind. Aufgrund der Erkenntnisse in Beweis 12 und
Beweis 8 gilt daher
n ≥ pω(k) ≥ ω(k) · ln ω(k)
(II.124)
und mit Behauptung 9
π
π
π
(k + 1)2 = (k + 1)2 ln
n ≥ (k + 1)2 · ln
16
16
8
√
π
(k + 1) ,
4
(II.125)
was zu beweisen war.
II.8.2
Direkte Bestimmung
Anstatt diese Untersektion ’Obere Schranke’ zu nennen, erhält sie die Bezeichnung ’Direkte Bestimmung’. Denn sobald eine der Fakultäten k-fach polyabundant ist, sind es auch
40
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
alle folgenden, weshalb dies einer direkten Bestimmung einer polyabundanten Zahlen dieser Stufe gleichkommt. Soll die erste Fakultät mit dieser Eigenschaft gefunden werden, so
kann diese polyabundante Zahl natürlich auch als obere Schranke dienen.
Behauptung 27: n! mit n ≥ 94 exp 3k+3
ist k-fach polyabundant.
2
6β κ
Beweis 27:
Nach der obigen Beschreibung und Beweis 13 muss
9 00 3
· ω (k) 2
4
n ≤ pω00 (k) =
(II.126)
und mit Beweis 14
9
n ≤ · exp
4
k+1
3β 2 κ
32
9
= · exp
4
3k + 3
6β 2 κ
,
(II.127)
was zu beweisen war.
Der erstaunliche Aspekt an diesem Beweis ist zudem, dass Fakultäten offenbar als einfache
Angabe für polyabundante Zahlen herhalten können! So wissen wir nun, dass die Zahlen
185!, 447! und 1079! jeweils 4-, 5- und 6-fach polyabundant sind.
II.9
Darstellung als Summe von Potenzzahlen
Ein weiterer Aspekt der Zahlentheorie ist die Darstellung bestimmter Zahlen mit der
Summe von zwei Quadraten. So schrieb der indische Mathematiker Ramanujan zusammen mit zwei der bekanntesten britischen Mathematikern, Hardy und Littlewood, über
das Vorkommen von Zahlen, die aus Quadraten zusammengesetzt sind (siehe dazu besonders [11]). Daher sollen einige Fragestellungen dieses zahlentheoretischen Zweigs ebenfalls
auf die polyabundanten Zahlen übertragen werden.
Behauptung 28: Es gibt polyabundante Quadrate.
Beweis 28:
Dies folgt direkt aus Regel (1) bei Multiplikation und Division.
Behauptung 29: Es existieren polyabundante Zahlen, die sich als Summe von zwei
Quadraten schreiben lassen.
Beweis 29:
Demnach muss λ = a2 + b2 mit a, b ∈ N existieren, und indem wir a = λz und b = λz · p
setzten, erhalten wir
λy = λ2z + (λz · p)2 = λ2z + λ2z · p2 = λ2z · (1 + p2 ),
(II.128)
wobei es sich dabei erneut um eine polyabundante Zahl handelt.
Demnach ist jede polyabundante Zahl, die sich in der Form λ2 · (1 + p2 ) schreiben lässt,
auch als Summme von zwei Quadraten darstellbar, z.B. 180 · (1 + 22 ) = 180 · 5 = 900.
41
ABSCHNITT II. WEITERFÜHRENDE UNTERSUCHUNGEN
Behauptung 30: Es gibt polyabundanten Zahlen, die sich als beliebige Potenzsumme,
m
m
m
also λ = am
1 + a2 + a3 + ... + ax , darstellen lassen.
Beweis 30:
Wir erzeugen unterschiedliche Basen durch ai = λz · pi−1 , sodass sich mit Lemma 3.2
m
2 m
x−1 m
)
λy = λm
z + (λz · p) + (λz · p ) + ... + (λz · p
(II.129)
m
m
m
2m
(x−1)m
= λm
+ ... + λm
z + λz · p + λz · p
z ·p
(II.130)
m
2m
+ ... + p(x−1)m )
= λm
z · (1 + p + p
x
m p −1
m
= λz · 1 + p ·
p−1
(II.131)
(II.132)
ergibt.
Somit könnte z.B. als eine polyabundante Zahl, welche aus der Summe von 3 verschiedenen
Kuben besteht, also a3 + b3 + c3 , der Wert
3
3
3 2 −1
180 · 1 + 2 ·
= 1803 · 57 = 332.424.000
(II.133)
2−1
bestimmt werden.
II.10
Polyabundante Fibonacci-Zahlen
Auch wenn nun keine Ausführung erfolgen soll, finde ich es wichtig zu erwähnen, dass die
beiden Fibonacci-Zahlen
Fx = 46.368
(II.134)
Fy = 14.930.352
(II.135)
und
jeweils polyabundant sind. Trotz weiterer Suche konnte bisher keine weitere FibonacciZahl als polyabundante Zahl identifiziert werden. Es ist zahlentheoretisch besonders schwierig auf die Primfaktorzerlegung zu schließen, weshalb Überlegungen dazu kaum möglich
sind. Daher birgt besonders dieser Aspekt weitere Fragen und darunter besonders: Wird
es noch weitere polyabundante Fibonacci-Zahlen geben?
42
Abschnitt III
Speziellere Untersuchungen
III.1
k(n) als multiplikative Funktion
III.1.1
Allgemeines und Beziehungen
Das wichtigste Mittel der Zahlentheorie sind die multiplikativen Funktionen! Dabei ist
eine Funktion f (x) multiplikative, wenn
f (a · b) = f (a) · f (b)
(III.1)
mit a, b ∈ N und ggT(a, b) = 1 (siehe [2]). Die Bedeutung in der Zahlentheorie ist gewaltig und monatlich werden diverse Papers veröffentlicht, die sich mit der Erforschung
solcher Funktionen beschäftigen - es geht darum den Mittelwert zu bestimmen, eine Reihenentwicklung zu finden, Gesetzmäßigkeiten zu ermitteln und vieles mehr. Zwei besonders wichtige multiplikative Funktionen wurden bereits in dieser Ausarbeitung verwendet:
die Teilersummenfunktion σ(n) und die Teileranzahlfunktion τ (n). Dementsprechend soll
auch die Polyabundanzfunktion k(n) mit
k(n) :=
σ(n)
−1
n
(III.2)
(siehe Definition) auf Multiplikativität untersucht werden.
Behauptung 31: Die Funktion k(n) ist keine multiplikative Funktion.
Beweis 31:
Es sei ggT(p, q) = 1, dann ist
k(p · q) =
σ(p · q)
− 1,
p·q
(III.3)
während hingegen
σ(p)
σ(q)
σ(p)σ(q) σ(p) σ(q)
k(p) · k(q) =
−1 ·
−1 =
−
−
+1
p
q
pq
p
q
σ(p) σ(q)
= k(p · q) −
−
+ 2,
p
q
(III.4)
(III.5)
womit die Behauptung bewiesen wäre.
Aufgrund dieser Tatsache muss somit die Funktion abgeändert werden, sodass die Polyabundanz durch eine zahlentheoretische mutliplikative Funktion beschrieben werden
kann. Dafür sei folgende Funktion definiert:
k 0 (n) :=
43
σ(n)
.
n
(III.6)
ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN
Behauptung 32: Die Funktion k 0 (n) ist eine multiplikative Funktion.
Beweis 32:
Es sei ggT(p, q) = 1, dann ist
k 0 (p · q) =
σ(p · q)
σ(p) σ(q)
=
·
= k 0 (p) · k 0 (q),
p·q
p
q
(III.7)
womit die Behauptung bewiesen wäre.
Es sollen nun einige Beziehungen zwischen diesen Funktionen gefunden werden. Mit dieser
Funktion k 0 (n) und (III.5) ergibt sich somit
k(p) · k(q) = k(p · q) − k 0 (p) − k 0 (q) + 2
(III.8)
k(p · q) = k 0 (p) · k 0 (q) − 1.
(III.9)
und wegen (III.3)
Behauptung 33: Es gilt die schöne Beziehung k(p · q) = k(p) · k 0 (q) + k(q).
Beweis 33:
Aus der Behauptung ergibt sich
k(p · q) = k(p) · k 0 (q) + k(q)
σ(q) σ(q)
σ(p)
=
−1 ·
+
−1
p
q
q
σ(p · q) σ(q) σ(q)
=
−
+
−1
p·q
q
q
σ(p · q)
− 1 = k(p · q),
=
p·q
(III.10)
(III.11)
(III.12)
(III.13)
was zu beweisen war.
III.1.2
Verhalten und Erweiterung
Aus Beweis 2 kann entnommen werden, dass
lim sup k(n) = lim sup k 0 (n) = ∞
n−→∞
(III.14)
n−→∞
gilt. Interessanter ist es jedoch in der Zahlentheorie, das Wachstum der Mittelwerte anzugeben. Dafür sei hier exemplarisch Perrons Gleichung P (an ) (siehe [13]) angegeben.
Angenommen die Folge
F (s) :=
∞
X
an
n=1
44
ns
(III.15)
ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN
konvergiert absolut mit |an | ≤ A(n), wobei A(n) eine monoton wachsende Funktion ist,
dann gilt
Z b+iT
X
xs
1
F (s) ds + R
(III.16)
P (an ) =
an =
2πi b−iT
s
n≤x
für alle 1 < b und T ≥ 2 mit i als imaginäre Einheit. Indem an = k 0 (n) gesetzt wird,
könnte dadurch der Mittelwert zwischen 0 bis x durch
P (an )
1 X
·
an =
x n≤x
x
(III.17)
berechnet werden. Damit diese Formel angewendet werden kann, sind jedoch ausführliche
Kenntnisse in höherer Zahlentheorie und komplexer Integralrechnung notwendig, was den
der Rahmen dieser Ausarbeitung deutlich sprengen würde, sodass auf weitere Ausführungen
verzichtet werden soll.
III.2
Anwendung beim Dirichlet-Produkt
III.2.1
Allgemein
Ein weitere bedeutsamer Aspekt der Zahlentheorie ist das sogenannte Dirichlet-Produkt
(siehe [2]). Dabei handelt es sich um eine mathematische Operation zwischen zahlentheoretischen und multiplikativen Funktionen. Dieses ist definiert durch
n
X
(III.18)
(α ? β)(n) :=
α(d)β
d
d|n
bzw.
(α ? β)(n) :=
X
α(x)β (y)
(III.19)
xy=n
wobei es sich bei α und β um multiplikative Funktionen handelt und dieses Produkt
sowohl kommutativ als auch assoziativ ist. Dabei gibt es ein neutrales Element ε mit
(
1 x=1
ε(x) :=
,
(III.20)
0 x>1
sodass α ? ε = α, ebenso wie ein Nullelement o mit
o(x) := 0 ∀ x ∈ N.
(III.21)
Zusätzlich zu diesen beiden trivialen Funktionen sind ι und ν durch
ι(x) := 1 ∀ x ∈ N
(III.22)
ν(x) := x ∀ x ∈ N
(III.23)
und
45
ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN
definiert. Mithilfe dieser einfachen Grundfunktionen können nun die wichtigen zahlentheoretischen Funktionen gebildet werden. So ist z.B.
X
τ =ι?ι=
1
(III.24)
d|n
oder
σ =ν?ι=
X
d,
(III.25)
d|n
wie bereits in (1) in der Einleitung angegeben wurde. Weiterhin können zu allen Funktionen α die Inverse α−1 gefunden werden. So ist z.B.


falls x = 1
1
−1
ω(x)
(III.26)
µ(x) := ι (x) = (−1)
falls x quadratfrei ist


0
falls nicht
und wird Möbius-Funktion genannt, worauf jedoch nicht genauer eingegangen werden soll.
Somit wäre τ ? µ = ι.
III.2.2
Anwendung auf k 0 (n)
Nun soll ebenfalls eine Darstellung von k 0 (n) mithilfe des Dirichlet-Produkts gefunden
werden.
Lemma 34.1: Wenn d ein Teiler von n ist, dann ist auch
n
d
ein Teiler (siehe [2]).
Behauptung 34: Es gilt k 0 (n) = (ν ? w)(n) mit w(x) := x−1 .
Beweis 34:
Nach der Definition und Lemma 34.1 ist
k 0 (n) =
σ(n)
1 X
= ·
d
n
n
(III.27)
d|n
Xd
=
n
(III.28)
d|n
1 d2
dτ −1 n
+
+ ... +
+
n
n
n
n
1
1
1
+ ... +
+
=1+
d2
dτ −1 n
X1
=
= (w ? ι)(n),
d
=
(III.29)
(III.30)
(III.31)
d|n
wonach sich mit w(x) := x−1 die Behauptung ergibt.
Damit wäre auch die Darstellung von k 0 (n) durch das Dirichlet-Produkt ermöglicht. Da es
durch viele Anwendungen und Erweiterungen bei der Untersuchung von zahlentheoretischen Funktionen wichtig ist, könnten somit auch weitere Erkenntnisse über polyabundante Zahlen gewonnen werden. Es sollen nun noch zwei Beziehungen mit der Teilersumme
46
ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN
und der Teileranzahl gegeben werden.
Behauptung 35: Es gilt die Beziehung k 0 ? ι = τ ? w und k 0 ? ν = σ ? w.
Beweis 35:
Nach Beweis 34 gilt k 0 = ι ? w und es ist ι−1 = µ. Somit ist wegen ι = τ ? µ und daher
k 0 = (τ ? µ) ? w. Da das Dirichlet-Produkt assoziativ ist, folgt daraus
k 0 ? ι = τ ? w.
(III.32)
Analog ergibt sich ν = σ ? µ und damit k 0 = (σ ? µ) ? w, was nun abschließend zu
k0 ? ι = σ ? w
wird.
47
(III.33)
Schlussbemerkung
Im Verlaufe dieser Ausarbeitung haben wir uns ausführlich mit polyabundanten Zahlen
λ beschäftigt, für die
(k + 1) · λ > σ(λ) mit k ≥ 2
gilt. Indem wir die Einteilung in defiziente, vollkommene und abundante Zahlen ausgebaut
und die abundanten Zahlen weiter eingestuft haben, wurden einige interessante Fragen
aufgeworfen, von denen einige beantwortet werden konnten.
So konnte besonders bemerkenswert gezeigt werden, dass für jedes k ein λ gefunden werden kann,also
σ(n)
−1 =∞
lim sup
n
n→∞
Dementsprechend werden beliebigstufige polabundante Zahlen gefunden! Dies wird durch
die vorige Erkenntnis ergänzt, dass von jeder Stufe unendlich viele Vertreter existieren.
Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass polabundante Zahlen eher selten auftreten
und das daher keine 4-fach abundante Zahl durch maschinelle Suche gefunden werden
konnte. Daneben zeichnet sich jede Stufe durch eine maximale Anzahl von verschiedenen
Primzahlen aus - im Zuge dessen konnte auch herausgefunden werden, dass es ungerade
polabundante Zahlen gibt, welche jedoch deutlich später auftreten! Im Verlauf der weiterführenden Untersuchungen, konnten durch diverse Approximationen sowohl eine untere
Schranke
2
N 0 > 3 · lnγ0 (k+1) −2 δ0 γ0 (k + 1)2 + 1 · γ0 (k + 1)2 !,
als auch eine obere Schranke
exp
9
00
N < 72 ·
4
k+1
3β 2 κ
·
exp
k+1
3β 2 κ
32
!
bestimmt werden, welche die erste polyabundante Zahl einer Stufe eingrenzen. Aus den
Untersuchungen zur oberen Schranke konnte zudem der Ausdruck
l
exp
λ(k) = p31 · p22 ·
k+1
3β 2 κ
Y
m
pj
j=3
ermittelt werden, durch welchen eine mindestens k-fach polyabundante Zahl direkt bestimmt werden kann - dies ist sehr faszinierend und wichtig für diese Ausarbeitung!
Ebenfalls wurde der Abstand zwischen den polyabundanten Zahlen weiterführend betrachtet, wodurch gezeigt werden konnte, dass für den Abstand 1 ≤ ∆λ ≤ 180 gelten
muss. Mithilfe dieses Wissens und weiteren Überlegungen konnte herausgefunden werden,
dass sowohl ungerade Abstände, polyabundante Zwillinge, als auch jeder weitere mögliche
Abstand auftreten wird. Insgesamt wird der durchschnittliche Abstand sogar abnehmen,
je höhere Intervalle betrachtet werden. Nachdem zusätzlich die auffällige Abstandsverteilung mithilfe der Primfaktorzerlegung erklärt werden konnte, wurde das Konzept für eine
Zählfunktion
∞ X 1
X
n
X(n) ≈
≈
n
·
λ∗i
λ∗
i=1
λ∗ ≤n
48
ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN
aufgestellt, die Summe der Reziproke
∞
X
1
λ
i=1 i
und die Fakultätsfunktion auf Polyabundanz untersucht. Dabei stellte sich heraus, dass
alle Fakultäten mit
3k + 3
9
n ≥ exp
4
6β 2 κ
k-fach polyabundant sind und sich daher gut als Angabe für polyabundante Zahlen eignen. Zuletzt wurden speziellere Untersuchungen bezüglich der Multiplikativität und dem
Dirichlet-Produkt angestellt, welche für weitere zahlentheoretische Betrachtungen bedeutsam sein könnten.
Zwar wurden in dieser umfangreichen Ausarbeitung bereits viele Aspekte betrachtet, jedoch können sowohl die Schranken noch weiter verbessert werden, als auch noch ungelöste
Fragen, z.B. nach den Fibonacci-Zahlen, angegangen werden. Somit hoffe ich, dass die
Dokumentation interessant zu lesen war und ggf. Anregungen zu weiteren zahlentheoretischen Aspekten gegeben werden konnten, da dieser Bereich der Mathematik besonders
schön und erstaunlich ist und sich weitere Untersuchungen zu diesem und vielen weiteren
Themen lohnen.
49
Anhang A
Zusätzliche Theoreme
A.1
A.1.1
Theorem I: Approximation eines Folgenprodukts
Allgemein
Es seien a1 , a2 , ..., am die ersten m Werte der Folge an und es soll
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ am
(A.1)
gelten. Wir betrachten nun das Produkt der ersten m Werte
a1 · a2 · ... · am =
m
Y
ai .
(A.2)
i=1
Es soll nun ein Element ax ∈ {a1 , a2 , ..., am } gefunden werden, sodass
m
Y
ai ≥ (ax )m
(A.3)
i=1
gilt. Anschaulich soll somit jedes Element des Produkts durch ax ersetzt werden können
und dennoch das ursprüngliche Folgenprodukt nicht überschritten werden:
a1 · a2 · ... · am
≥ ax · ax · ... · ax .
(A.4)
(A.5)
Damit die Approximation des Folgenprodukts mithilfe dieser Methode optimal ist, muss
das ax möglichst groß gewählt werden, sodass die Ungleichung (A.3) bei ax+1 bereits nicht
mehr zutrifft, sondern
m
Y
ai ≤ (ax+1 )m .
(A.6)
i=1
Es ist sofort ersichtlich, dass zwar immer
m
Y
ai ≥ (a1 )m
(A.7)
ai > (am )m .
(A.8)
i=1
gilt, jedoch niemals
m
Y
i=1
Aus m = 2 folgt somit direkt ax = a1 . Es sollen nun einige Fälle für verschiedene an
betrachtet werden und optimale ax bestimmt werden.
50
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
Fall 1: an = c
Bei an = c mit einem konstanten Wert c, gilt offensichtlich
m
Y
c = cm
(A.9)
i=1
und es handelt sich um keine tatsächliche Approximation.
Fall 2: an = c · n
Sobald nun jedoch ein veränderlicher Wert n vorhanden ist, werden die Überlegungen
komplexer. Exemplarisch gilt bei c = 1
1 · 2 = 2! > 12
1 · 2 · 3 = 3! > 13
1 · 2 · 3 · 4 = 4! > 24
1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 5! > 25
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 6! > 26
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 7! > 37
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 8! > 38
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 9! > 49
... = ... ...
Dabei kann das optimale ax einfach durch
v

um  j
k
Y 
√
u
m
m
ax =  t
ai  =
m!
(A.10)
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
i=1
bestimmt werden. Dabei handelt es sich jedoch, auch im Hinblick auf folgende Betrachtungen, um einen komplexen und wegen der Abrundungsfunktion unhandlichen Ausdruck.
Es soll stattdessen das Wachstum der Werte linear in Abhängigkeit von m durch x = δ · m
bzw. hier ax = δ · m beschrieben werden, wobei δ die entsprechende Wachstumskonstante
sei.
h
≈ 2, 718 (siehe [7]).
Lemma 36.1: Für die Eulersche-Zahl gilt e = lim √
h
h−→∞
h!
m m
m
Q
Behauptung 36: Es gilt die Approximationsungleichung 1 · 2 · ... · m =
i>
.
e
i=1
Beweis 36:
Aus (A.19) ergibt sich
√
m
ax = δ · m = m! =⇒ δ =
woraus mit 1 · 2 · ... · m =
m
Q
√
m
m!
1
−→ ,
m
e
i > (δ · m)m die Behauptung folgt.
i=1
51
(A.20)
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
Durch eine kleine Änderung können auch c 6= 1 approximiert werden.
m
Q
Behauptung 37: Es gilt die allgemeine Approximationsungleichung
i=1
c·i >
c · m m
e
.
Beweis 37:
Aus der Behauptung ergibt sich
m
Y
m
c·i=c ·
i=1
m
Y
i=1
m
Y
i>
i>
c · m m
e
m m
e
i=1
m
=c ·
m m
(A.21)
e
,
(A.22)
womit Behauptung 36 wiedergewonnen wurde.
Fall 3: an = c · nd
Um die drei exemplarischen Fälle abzuschließen soll zusätzlich noch der Potenzfall betrachtet werden.
Behauptung 38: Es gilt die Approximation
m
Q
1
c · id ≥
i=1
cd · m
e
!d·m
.
Beweis 38:
Es ist nach Behauptung 37
m
Y
c·i≥
i=1
m
Y
d
c · id ≥
c · m m
c · m d·m
i=1
cdm
Y
cm
i=1
id =
m
Y
(A.24)
e
id ≥ cdm ·
m d·m
c · id ≥ cm ·
m d·m
i=1
(A.25)
e
i=1
m
Y
(A.23)
e
e
1
=
cd · m
e
!d·m
,
(A.26)
womit die Behauptung wiedergewonnen wurde.
A.1.2
Geradenapproximation
In der Anwendung treten jedoch niemals derartig elegante Fälle auf, sondern vielmehr
√
n
an = ln n + , an = ln ln n5 + n!, an = en + n2 − 2.
(A.27)
2
Daher habe ich versucht eine Methode zu finden, welche das Produkt dennoch zufriedenstellend annähern kann. Dafür muss jedoch neben (A.1), also
m
d Y
ai ≥ 0 ∀ m,
dm i=1
52
(A.28)
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
geben sein, dass
m
d2 Y
ai ≥ 0 ∀ m
dm2 i=1
(A.29)
und somit der Anstieg ebenfalls nicht abfallen darf. Dies ist bei vielen der für die in der
Ausarbeitung wichtigen Folgen der Fall. Es soll erneut der x-te Wert durch x = δ · m
angenommen werden. Wenn a−1 die Umkehrfunktion zu an sei, also a−1 (ay ) = y gilt,
dann ergibt sich
a1 · a2 · ... · am > (ax )m
√
m
a1 · a2 · ... · am > ax
√
−1 m
a ( a1 · a2 · ... · am ) > x,
(A.30)
(A.31)
(A.32)
√
δ = a−1 ( a1 · a2 ) − a−1 (a1 ).
(A.33)
sodass
Beispielsweise kann somit die Folge an = ln(n + 1), wegen
√
− eln 2 ≈ 0, 3932
(A.34)
ln(i + 1) > lnm−1 (δ · m + 1) = lnm−1 (0, 3932 · m + 1)
(A.35)
δ=e
ln 2·ln 3
durch
ln 2 · ... · ln m =
m−1
Y
i=2
angenähert werden. Diese Zwischenerkenntnisse sind sehr zufriedenstellend, da ich besonders die Approximation (A.35) oftmals benötigte, jedoch keine Näherung finden konnte.
Das mir diese Methode geholfen hat, allgemein beliebige Folgen zu approximieren, ist
nicht nur sehr beeindruckend, sondern war ebenfalls an vielen anderen Stelle eine große
Hilfe! Tatsächlich sind die Näherungen deutlich besser als ich mir erhofft habe, was durch
folgende Abbildung A.1 exemplarisch deutlich gemacht werden soll. Da die entstehenden
Werte des Produkts sehr schnell ansteigen, wurden die Werte in logarithmierter Form
aufgetragen.
Abbildung A.1: Verlauf von ln-Produkt und Approximation mit m ∈ [1, 100]
53
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
A.1.3
Approximationstabelle
In folgender Tabelle sind einige Approximationen für Folgen aufgelistet, die während der
Ausarbeitung von Bedeutung waren, jedoch nicht unbedingt zur Geltung kommen müssen.
Übrigens wird niemals mit an = ln n gearbeitet, da ln 1 = 0 und somit das Produkt immer
0 wäre. Stattdessen kann bei der Anwendung ln(n + 1) verwendet werden, wobei das m
entsprechend reduziert werden müsste.
Produkt
Qm
i=1 ln(i + 1)
Qm
i=1 (i + 1) · ln(i + 1) − 1
Qm
2
i=1 ln(i + 1)
A.2
A.2.1
δ
0, 393220
0, 177940
0, 369470
Produkt
δ
Qm
2
0, 245869
i=1 ln (i + 1)
Qm
2
0, 132790
i=1 ln(i + 1)
Qm i
1, 483088
i=1 e − 1
Theorem II: Zahlenoszillationstheorie
Konzept
Diese Theorie beschäftigt sich mit dem folgenden Problem: Es sei eine Funktion f (x)
definiert und die Menge
A := {f (1), f (2), f (3)...} = {f (x)|x ∈ N},
(A.36)
also die Menge aller Werte von f (x) mit x ∈ N. Nun soll eine zweite Menge
B := {y · f (1), y · f (2), y · f (3)...|y ∈ N} = {y · f (x)|x, y ∈ N} = {g(x)|x ∈ N}
(A.37)
definiert werden, also die Menge aller Vielfache von f (x). Die Werte von f (x) sollen als
Ausgangswerte und die von g(x) als vollständige Werte bezeichnet werden. Es soll nun die
Funktion g(x) gefunden werden, sodass diese Vielfache von f (x) nur durch g(x) beschrieben werden können. Graphisch können dabei diese Funktionen als Oszillationen auf der
eindimensionalen Zahlengerade angesehen werden. So würden durch f (x) gewisse Punkte
markiert werden (rot), welche sich dann als Schwingungen mit dieser Periode T = f (x)
fortpflanzen. Die dabei entstehenden Berührungsstellen mit der Zahlengerade entsprechen
den Werten von g(x) (gelb). Auf der Abbildung A.2 (nächste Seite) sind unterschiedliche
Amplituden nur zur Anschaulichkeit eingezeichnet, spielen jedoch natürlich keine Rolle.
Die Disziplin ist es nun, aufgrund einer Funktion f (x) auf eine Funktion g(x) zu schließen
und umgekehrt. Dieser Vorgang sei als Oszillationstransformation bezeichnet. Dabei kann
es verschiedene f (x) zu einem bestimmten g(x) geben, jedoch nicht umgekehrt.
A.2.2
Beispiel
So würde aus der Menge der Primzahlen
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
(A.38)
die Menge der natürlichen Zahlen werden (ohne 1 und 0)
N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...},
54
(A.39)
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
Abbildung A.2: Visualisierung der Zahlenoszillation
sodass g(x) = x. Für die meisten dieser Funktionen kann natürlich kein exakter Ausdruck
gefunden werden, sondern lediglich Näherungen, da der entstehende Graph nicht stetig
wäre. In dieser Ausarbeitung hätten wir z.B. als guten Wert bei den Primzahlen f (x) =
ln xx (siehe Behauptung 8).
A.2.3
Exemplarische Oszillationstranformationen
Fall 1: f (x) = c
Bei f (x) = c, wobei c ein konstanter Wert ist, sind die Werte von g(x) entsprechend
einfach nur
g(x) = c · x.
(A.40)
Damit würde f (x) = c zu g(x) = 2x transformiert werden, also allen geraden Zahlen.
Doch wie sieht die Ausgangsfunktion von g(x) = 2x − 1 aus, also den ungeraden Zahlen?
Ob es eine gibt und wie diese aussieht konnte von mir noch nicht beantwortet werden.
Fall 2: f (x) = c · x
Im Fall von f (x) = c · x ist die Tranformation erstaunlich, denn es ist
f (x) = g(x),
(A.41)
sodass hier die Ausgangsfunktion ebenfalls die Transformationsfunktion ist.
Fall 3: f (x) = c1 · x + c2
Sobald jedoch eine weitere Konstante c2 eingebracht wird, kann die Funktion g(x) nicht
mehr klar bestimmt werden, sondern es kann nur ein Mittelwert gegeben werden. Dies
wird durch Abbildung A.3 deutlich, da hier das g(x) numerisch berechnet aufgetragen
wurde. Es handelt sich eindeutig nicht länger um einen stetigen Verlauf. Beim Betrachten
von mehr Werten ist kein linearer Verlauf erkennbar, sondern eher
g(x) ∼ ln x,
g(x) =
55
x
,
ln x
g(x) = ...
(A.42)
ANHANG A. ZUSÄTZLICHE THEOREME
Da es in dem Rahmen dieser Ausarbeitung nicht möglich ist, diesen theoretischen Ansatz
weiter auszuarbeiten, da die dafür zu leistende Arbeit weit über das bereits vorhandene
hinausgehen müsste und es in dieser Arbeit um polyabundante Zahlen geht, soll dies nicht
weiter ausgeführt werden.
Abbildung A.3: Werte von g(x) mit x ∈ [1, 100] bei f (x) = 3x + 1
Fall 4: f (x) = c1 · x2 + c2
Auch bei f (x) = c1 · x2 kann ein stetiger Ausdruck gefunden werden, doch sobald auch
hier c2 6= 0 gesetzt wird, muss eine Mittelwertfunktion angegeben werden.
Damit wird nochmals deutlich, wie komplex diese eigentlich einfache Transformation
ist und wie viele weitere Überlegungen angestellt werden müssen, um klare Regeln, Gesetzmäßigkeiten und Transformationsvorschriften zu finden. Dennoch wird diese von mir
entwickelte Theorie auch noch in Zukunft zentraler Bestandteil meiner mathematischen
Überlegungen bleiben, denn der Nutzen, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so erscheint, ist sehr groß. Wie im Beispiel gezeigt, würde eine mögliche Rücktransformation
nur von der Funktion g(x) = x die Frage nach dem Verlauf der Primzahlen beantworten!
Sollte es durch weitere Überlegungen möglich werden, klare Vorschriften aufzustellen, sodass eine Transformation in beide Richtungen einfach durchgeführt werden kann, würde
dies die Zahlentheorie sehr erschüttern! Folgende berühmte Vermutungen o.ä. würden
vermutlich kinderleicht durch diese Transformation gelöst:
• Der Primzahlsatz
• Die Goldbach’sche Vermutung
• Das Summe von Quadrate Problem
• Die Primzahlzwillinge-Vermutung
• Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
• usw.
56
Anhang B
Zusätzliche Beweise und
Erläuterungen
B.1
Beweis A
Behauptung A: Es ist σ(pα · q β ) = σ(pα ) · σ(q β ).
Beweis A:
Durch das aufschreiben der Teiler wird erkennbar, dass
σ(pα · q β ) = 1 + p + p2 + ... + pα
+ q + q 2 + ... + q β
+ pq + pq 2 + ... + pq β
+ p2 q + p2 q 2 + ... + p2 q β
+ ...
+ pα q + pα q 2 + ... + pα q β
= 1 + p + p2 + ... + pα
(B.1)
+ 1 · (q + q 2 + ... + q β )
+ p · (q + q 2 + ... + q β )
+ p2 · (q + q 2 + ... + q β )
+ ...
+ pα · (q + q 2 + ... + q β )
= (1 + p + p2 + ... + pα )
(B.2)
+ (1 + p + p2 + ... + pα ) · (q + q 2 + ... + q β )
2
α
2
β
= (1 + p + p + ... + p ) · (1 + q + q + ... + q ),
(B.3)
(B.4)
da aber offensichtlich σ(pα ) = 1 + p + p2 + ... + pα gilt, haben wir
(1 + p + p2 + ... + pα ) · (1 + q + q 2 + ... + q β ) = σ(pα ) · σ(q β ),
(B.5)
womit die Behauptung gezeigt werden konnte.
Es gilt auch ganz allgemein σ(a · b) = σ(a) · σ(b), jedoch nur wenn ggT (a, b) = 1 - somit
handelt es sich bei σ(n) um eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Übrigens ist
auch die Teileranzahl multiplikativ und es gilt der schöne Ausdruck
!
ω
ω
ω
Y
Y
Y
αi
αi
τ (n) = τ
pi
=
τ (pi ) =
(αi + 1).
(B.6)
i=1
i=1
57
i=1
ANHANG B. ZUSÄTZLICHE BEWEISE UND ERLÄUTERUNGEN
Durch Lemma 3.2 wird σ(n) zu folgendem schönen Ausdruck
!
αi
ω
ω
Y
X
Y
pαi i +1 − 1
σ(n) =
.
pj =
p
−
1
i
i=1
j=0
i=1
B.2
(B.7)
Beweis B
Behauptung B: Es ist
a
a 1
P
1 P
j
b
=
.
j
ba j=0
j=0 b
Beweis B:
Durch einfaches Umformen erkennen wir, dass
a
1 X j 1
2
a
b
=
·
1
+
b
+
b
+
...
+
b
ba j=0
ba
1
1
1
+ a−1 + ... + + 1
a
b
b
b
a
X
1
=
,
j
b
j=0
=
(B.8)
(B.9)
(B.10)
womit die Behauptung bewiesen werden konnte.
B.3
Beweis C
Behauptung C: Es gilt 1 + x + x2 + ... + xn =
xn+1 − 1
für x > 1 (siehe [5]).
x−1
Beweis C:
Erneut kann durch einfaches Umformen der Summe S gezeigt werden, dass
=1 + x + x2 + ... + xn
=x + x2 + x3 + ... + xn+1
=x + x2 + x3 + ... + xn+1 − (1 + x + x2 + ... + xn )
=xn+1 − 1
=xn+1 − 1
xn+1 − 1
S=
,
x−1
S
x·S
x·S−S
x·S−S
(x − 1) · S
womit die Behauptung gezeigt werden konnte.
B.4
Beweis/Erläuterung D
Behauptung D: Es gilt ζ(1) =
Q
p prim
1
1−
1
p
58
= ∞ (vgl. [1] und [4]).
(B.11)
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
(B.16)
ANHANG B. ZUSÄTZLICHE BEWEISE UND ERLÄUTERUNGEN
Beweis/Erläuterung D:
Die ζ-Funktion wird auch als Eulersche wunderbare Identität bezeichnet, da der sehr
schöne Zusammenhang
∞
X 1
1
1 =
ns
1 − ps
n=1
prim
Y
ζ(s) =
p
(B.17)
gefunden wurde und daher eine der wichtigsten Funktionen in der Zahlentheorie ist. Durch
eine Umordnung der Glieder wird schnell ersichtlich, dass
∞
X
1
1 1
1 1 1 1
1
1
1
=1+ +
+
+
+ + +
+
+ ... +
+ ...
n
2
3
4
5
6
7
8
9
16
n=1
1
1 1
1
1
1 1 1
>1+ +
+
+
+ ... +
+ ... = 1 + + + + ...,
2
4 4
8
8
2 2 2
(B.18)
(B.19)
siehe [1]() also konnte gezeigt werden, dass
∞
X
1
= ∞.
n
n=1
(B.20)
Die obige Identität soll ebenfalls gezeigt werden, wobei der Beweis so kurz wie möglich
gehalten werden soll. Wir wissen, dass jede Zahl n = pα1 1 · pα2 2 · pα3 3 · ... aus Primfaktoren
besteht, sodass
∞
X1
X
X
1 1
1
1
= 1 + + + ... =
=
.
α1
α2
n
2
3
n
p
·
p
·
...
1
2
n>0
n=1
α ,α ,...≥0
1
(B.21)
2
Wir erzeugen somit jede mögliche Kombination von Primzahlen, sodass wir auch
!
∞
Y X
X
1
1
=
(B.22)
pα1 · pα2 2 · ... p prim i=1 pi
α ,α ,...≥0 1
1
2
erhalten und mithilfe der Erkenntnisse aus dem Zwischenbeweis 3.3
!
∞
Y X
Y
1
1
=
i
p
1 − p1
i=1
p prim
p prim
(B.23)
zeigen konnten. Wegen (B.20) haben wir abschließend, dass
1
1−
prim
Y
ζ(1) =
p
1
p
= ∞.
(B.24)
Für s > 1 konvergiert die Reihe, wobei teilweise schöne Grenzwerte entstehen, z.B. ist
∞
X 1
1
π2
ζ(2) =
=
=
.
n2
6
1 − p12
n=1
p prim
Y
59
(B.25)
Anhang C
Zusätzliche Tabellen und Diagramme
C.1
Weitere Diagramme und Abbildungen
Abbildung C.1: Verlauf von Z(pi ) = pi /(pi − 1) mit i ∈ [1, 50]
Abbildung C.2: Verlauf und Vergleich des Produkts
Qω
i=1
Z(pi ) mit ω ∈ [1, 150]
Abbildung C.3: Vergleich zwischen mittlerem Primzahlabstand und Näherungen
60
ANHANG C. ZUSÄTZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME
C.2
Weitere defiziente, vollkommene und abundante
Zahlen
Jede Zahl kann einem dieser drei Typen zugeordnet werden, wobei in Folge eine Tabelle
der ersten Zahlen und weiteren Informationen gegeben werden soll, sodass man eine erste
Übersicht erhält:
n
Typ
σ(n)
σ ∗ (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
def izient
def izient
def izient
def izient
def izient
vollkommen
def izient
def izient
def izient
def izient
def izient
abundant
def izient
def izient
def izient
def izient
def izient
abundant
def izient
1
3
4
7
6
12
8
15
13
18
12
28
14
24
24
31
18
39
20
0
1
1
3
1
6
1
7
4
8
1
16
1
10
9
15
1
21
1
σ(n)
−1
n
0
0.5
0.3333
0.75
0.2
1.0
0.1428
0.875
0.4444
0.8
0.0909
1.3333
0.0769
0.7142
0.6
0.9375
0.0588
1.1666
0.0526
Teiler
1
1, 2
1, 3
1, 2, 4
1, 5
1, 2, 3, 6
1, 7
1, 2, 4, 8
1, 3, 9
1, 2, 5, 10
1, 11
1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 13
1, 2, 7, 14
1, 3, 5, 15
1, 2, 4, 8, 16
1, 17
1, 2, 3, 6, 9, 18
1, 19
Es wird sofort deutlich, dass nur wenige abundante Zahlen auftreten! Es handelt sich bei
der Teilersumme σ(n) um eine ’nicht berechenbare’ Funktion, da die Primfaktorzerlegung
nicht vorhersagbar ist bzw. nur anhand der Zahl, jedoch nicht durch eine geschlossene
Gleichung bestimmt werden kann: auf dieser Tatsache beruht auch die verbreitete RSAVerschlüsslung. Dennoch konnte (mit Einschränkung) ermittelt werden, dass (siehe [2])
lim sup σ(n) ∼ ln n.
(C.1)
n→∞
C.3
Weitere polyabundante Zahlen nach Betrag
In folgenden Tabellen sind weitere polyabundante Zahlen aufgelistet, wobei zwischen 3fach und 2-fach abundanten Zahlen getrennt werden soll, da 3-fach abundante Zahlen erst
deutlich später auftreten. Neben der unechten Teilersumme σ(n) und der echten Teiler− 1, der Wert σ(n) − (k + 1) · n, die Teileranzahl
summe σ ∗ (n) ist zudem der Quotient σ(n)
n
τ (n), die Anzahl verschiedener Primfaktoren ω(n) und die Primfaktorzerlegung gegeben.
61
ANHANG C. ZUSÄTZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME
Es folgen die ersten 2-fach abundanten Zahlen:
n
σ(n)
σ ∗ (n)
180
546
366
σ(n)
−1
n
2.0333
240
744
504
360
1170
420
σ(n) − 3 · n
τ (n) ω(n)
Primfaktorzerlegung
6
18
3
2·2·3·3·5
2.1
24
20
3
2·2·2·2·3·5
810
2.25
90
24
3
2·2·2·3·3·5
1344
924
2.2
84
24
4
2·2·3·5·7
480
1512
1032
2.15
72
24
3
2·2·2·2·2·3·5
504
1560
1056
2.0952
48
24
3
2·2·2·3·3·7
540
1680
1140
2.1111
60
24
3
2·2·3·3·3·5
600
1860
1260
2.1
60
24
3
2·2·2·3·5·5
660
2016
1356
2.0545
36
24
4
2 · 2 · 3 · 5 · 11
720
2418
1698
2.3583
258
30
3
2·2·2·2·3·3·5
780
2352
1572
2.0153
12
24
4
2 · 2 · 3 · 5 · 13
840
2880
2040
2.4285
360
32
4
2·2·2·3·5·7
900
2821
1921
2.1344
121
27
3
2·2·3·3·5·5
960
3048
2088
2.175
168
28
3
2·2·2·2·2·2·3·5
1008
3224
2216
2.1984
200
30
3
2·2·2·2·3·3·7
1080
3600
2520
2.3333
360
32
3
2·2·2·3·3·3·5
1200
3844
2644
2.2033
244
30
3
2·2·2·2·3·5·5
1260
4368
3108
2.4666
588
36
4
2·2·3·3·5·7
1320
4320
3000
2.2727
360
32
4
2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11
1344
4064
2720
2.0238
32
28
3
2·2·2·2·2·2·3·7
1440
4914
3474
2.4125
594
36
3
2·2·2·2·2·3·3·5
1512
4800
3288
2.1746
264
32
3
2·2·2·3·3·3·7
1560
5040
3480
2.2307
360
32
4
2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 13
1584
4836
3252
2.0530
84
30
3
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11
1620
5082
3462
2.1370
222
30
3
2·2·3·3·3·3·5
1680
5952
4272
2.5428
912
40
4
2·2·2·2·3·5·7
1800
6045
4245
2.3583
645
36
3
2·2·2·3·3·5·5
1848
5760
3912
2.1168
216
32
4
2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11
1872
5642
3770
2.0138
26
30
3
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 13
1890
5760
3870
2.0476
90
32
4
2·3·3·3·5·7
62
ANHANG C. ZUSÄTZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME
Es folgen die ersten 3-fach abundanten Zahlen:
σ(n)
− 1 σ(n) − 4n
n
3.0519
1440
n
σ(n)
σ ∗ (n)
27720
112320
84600
50400
203112
152712
3.03
55440
232128
176688
60480
243840
65520
τ (n) ω(n)
Primfaktorzerlegung
96
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11
1512
108
4
2·2·2·2·2·3·3·5·5·7
3.1870
10368
120
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11
183360
3.0317
1920
112
4
2·2·2·2·2·2·3·3·3·5·7
270816
205296
3.1333
8736
120
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13
75600
307520
231920
3.0677
5120
120
4
2·2·2·2·3·3·3·5·5·7
83160
345600
262440
3.1558
12960
128
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11
85680
348192
262512
3.0638
5472
120
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17
90720
365904
275184
3.0333
3024
120
4
2·2·2·2·2·3·3·3·3·5·7
95760
386880
291120
3.0401
3840
120
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19
98280
403200
304920
3.1025
10080
128
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13
100800
409448
308648
3.0619
6248
126
4
2·2·2·2·2·2·3·3·5·5·7
105840
424080
318240
3.0068
720
120
4
2·2·2·2·3·3·3·5·7·7
110880
471744
360864
3.2545
28224
144
5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11
115920
464256
348336
3.0049
576
120
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 23
120120
483840
363720
3.0279
3360
128
6
2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13
120960
489600
368640
3.0476
5760
128
4
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3·5·7
128520
518400
389880
3.0336
4320
128
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17
131040
550368
419328
3.2
26208
144
5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13
138600
580320
441720
3.1870
25920
144
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 11
141120
564642
423522
3.0011
162
126
4
2·2·2·2·2·2·3·3·5·7·7
143640
576000
432360
3.0100
1440
128
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19
151200
624960
473760
3.1333
20160
144
4
2·2·2·2·2·3·3·3·5·5·7
163800
677040
513240
3.1333
21840
144
5
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 13
166320
714240
547920
3.2943
48960
160
5
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11
171360
707616
536256
3.1294
22176
144
5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17
176400
712101
535701
3.0368
6501
135
4
2·2·2·2·3·3·5·5·7·7
180180
733824
553644
3.0727
13104
144
6
2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13
181440
737616
556176
3.0653
11856
140
4
2·2·2·2·2·2·3·3·3·3·5·7
184800
749952
565152
3.0581
10752
144
5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 11
63
ANHANG C. ZUSÄTZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME
C.4
Weitere polyabundante Zahlen nach Stufe
Stufe: 4.1544
698377680
Stufe: 5.0426
21906018973959120
Stufe: 6.0260
231670423248528449368734087897360
Stufe: 7.0481
415162959838268519449701362544201670072707649123636775029636954320
Stufe: 8.0148
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Stufe: 9.0054
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Stufe: 10.001
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933099146449808612644581619909740011081877952015449209952391375513141581079817054438358793
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Stufe: 11.002
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765927635632912585681841268287476540333629727704372918364889435013414326474600833322844149
127741950356545516912149422633056271831086625500358708303616427905040521634470108381266533
478249257222961956191956804900513857059410593032612903461497717295350142221136047443005169
833952627250151652450269380696353154505894808913780466515803651031109645639571363544409453
814148259365456274215079653857767607230184371455544432029814994727361396293988788263878238
544891864008364636951238356752417422350636788178414978870034276768356330116685922272027738
303632949140605583827996964687840746426816949012531757859629019310830020793520361971338428
107434710278082080231794565018226229999045844644617659695909137834593555063223199544402293
627471061236168513961080518926000474243767337909299846409271039199841810967021344928667457
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Stufe: 12.000
169972178170319581235144888384810401090427761548670447017677437723748581148522624025275065
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772824048913584509284706689487063493075932450714161346811072083716752313428243546622787577
117269342053677216885788034434674733431745635936160739455767675334700686176188288263554612
641591462247987619245162545901588205839895436507485939202546586777203871096419698442880486
469330029502570801246668273792195197755309804476315815268866253768609084028824669257630667
711235026188173239729726306157826527512926682276127265111321482731433750342887124112326558
767264859927044500455068739257674779719877315254702226828238314964911671746273518555243497
371922960355956830874270338420966432236781931202925848139699302260965117799734072712705551
64
ANHANG C. ZUSÄTZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME
916156271869746971641737318815957137226919353910391634467438190542694945826411547300153784
283891134144056918013181476525268180256475558099440795017655644255217473936287988289342887
704711634216841045377740350261595957839254695821630259663249455167902791887897827197563235
969833424582313154976169391638926015107702068213805334433752633193922716638371399612962329
116758923167639404714803472846753107286042293735662122069483170170714366748320054369381489
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856724709557848095739995193292788353746836375479501001728350183407256090805721852725760195
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948171158338460596935941882754209327983897810137767330775063653852418491869372097487021065
946187674427503016809316525578956935243283040889376973212514450866160781893539744824896924
491920
Stufe: 13.000
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212654691881808925701698319865715959954983923328061058289381229327033305595429547474010810
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980677496731291248996282331801642651555243794441693070708491054783403972066628223322948058
986596499303270176542316021975168781487540661817731798040311638471672235332692718612523359
317232765900141323207342775935101046762381301983414713230785319661792093636605398132195146
104707930593095172273099831429704759796110308844123319306052849486613597901967234741355344
322356461659510241716353582386278129619814358663016479908224818343698775617304351344270891
182390798604700305889441929873062639776411502370144616319752559358184914081556064722693342
249238055095915123856765041856465176327730588452929668756807314051071262128626054113468982
917798984785354319063849628809480669507754560842537776295746249279183559404873802778835714
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189680378720942185377934907820450109284877960298784975026712849882539725333038968142953516
136727649932636722585162673135490963674854809269417935907816651848762337464882759585871738
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105025034155352874589603177211596247447549403148575257081630106045205781809364843553772391
387170385316880195085904779723256816431106088984926600369642554244099555360570600404067045
109419501012591056805656307070741939384126053249598517918951904452781574063217992860339399
960774790788615855035853833646059493032896786421326791784213780129046535299670931067747166
967340345021919927030951615078506412298857211908618013239614816190708297045062051131644047
213728299382736123838556931306298302007508545806855443356788682663107259173043683147102864
365920801963540535887652140522554915003248518448277830020356433989111634733155165454041108
450364270651005346949442112274754346449466317526888781559026666792167564360295551308852074
945076342180394792993371016717245275482319805508451816590301796745320408626169910511968246
755497402590024476579804546206149447217778196211736340769306724584803980495037986595305361
880334265886946589070943141235699157302582315031194790317254272786040648698280562772539452
090656403552410844659288532201962898725965450489408061235667857309390587248067260439941725
181741310280194994216617370194592870588907565119102976375598786959024880330534980760184738
423389219100627489605122842097250515922362901694501536836631303051662003777572371883643404
259271183044155057608744604969306789997892885529066162305197475522510761842956146131377342
687922230607226175371500550332685626128319679371455553935236770545621085811265156503457473
413483769135580112189183485339861920355215760007808697885249648523221674879735997529846405
550122228077602130543045361348078238432564091484726405060249065732948366206478873718192770
2571265971148641555047467708374170149199511862320
65
Anhang D
Symbol-, Beweis- und
Tabellenverzeichnis
D.1
Symbolverzeichnis
Anmerkung: Folgende Tabelle gibt Auskunft über einige verwendeten Symbole und Deren
Bedeutung, wobei sich an bestimmten Stellen die Bedeutung aufgrund des Kontextes
ändern. In diesem Fall ist immer die lokale Bedeutung vorzuziehen.
Zeichen
N, Z
n, m, a, b
σ(n),σ ∗ (n)
d,
i
PdQ
,
i, j, x, `, y, r, n, u
lim sup f (x)
Bedeutung
Menge der natürliche bzw. ganzen Zahlen
natürliche Zahlen
unechte Teilersumme, echte Teilersumme
der i-te Teiler einer Zahl
allgemeines Summenzeichen, Produktzeichen
Laufindices
Limes superior einer Funktion f (x)
x→∞
k, k(n),k 0
p, q, pn
αi , β
ω, ω 00
Z(p)
λ, λi
λ∗ , λ∗i
∆λ, ∆A λ
δλi
ζ(s)
c, c1 , c2
π, e, γ
δ0 , γ0 ,γ1 ,ν1
ε1 , ε2 , ε3 , κ,κ0 , κ00
bxc, dxe
ϕ, Pi
N 0 , N 00
π(x)
∼, ∝
ε,ξ
X(n)
O
Fi
S(n)
Verhältnis zwischen echter Teilersumme und Zahl, also σ(n)/n − 1
verschiedene Primzahlen
Exponenten von Primfaktoren
Anzahl der voneinander verschiedenen Primfaktoren einer Zahl
Summe aller reziproken Potenzen von p
eine polyabundante Zahl
Ausgangswert der Vielfache von polyabundanten Zahlen
konstante Steigung von λi
Abweichungsfunktion
die Riemannsche ζ-Funktion
Konstanten
festgelegte zahlentheoretische Konstanten
bestimmte Konstanten I
bestimmte Konstanten II
Abrundungs- und Aufrundungsfunktion
immer vorhandener Teil bzw. variierender Teil der Primfaktorzerlegung
untere und obere Schranke für erste polyabundante Zahl
Primzahlzählfunktion nach dem Primzahlsatz
asymptotisch gleich bzw. proportional zu
für nächstes λ∗ zu entfernende bzw. hinzuzufügende Komponente
Anzahl polyabundante Zahlen ≤ x
Landau-Symbol
Fibonacci-Zahl
siehe Seite 34
66
ANHANG D. SYMBOL-, BEWEIS- UND TABELLENVERZEICHNIS
D.2
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
Beweisverzeichnis
Beweis
Seite
Sollte eine einzige k-fach abundante Zahl existieren, dann existieren auch
8
unendlich weitere k-fach
abunante
Zahlen.
Es gilt lim supn→∞
σ(n)
n
− 1 = ∞.
9
Bei polyabundanten Zahlen muss ω ≥ 3.
Es gibt polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2 (ungerade).
Kombinationsgesetzte bzgl. Mutliplikation und Division
Kombinationsgesetzte bzgl. Addition und Subtraktion
Bis 107 treten keine Zwillinge (∆λi = 1) auf.
Für die n-te Primzahl pn gilt
10
12
14
14
19
20
pn > ln nn > ln n! > ln nn − n > 2n − 1 > n + 1
9
10
wobei die Ungleichung bzgl. pn immer asymptotische Gültigkeit besitzen.
π
Für ω(k) gilt ω(k) > 16
(k + 1)2 > k + 1.
Für das Produkt der Primzahlen gilt die Ungleichung (δ0 = 0, 393220)
ω
Y
ω−2
pj > 3 ln
(δ0 ω + 1) · ω! >
√
2
j=1
11
2 −2
13
14
15
> (ω + 1)!.
α00
α00
Die Exponenten αn00 einer Primzahl pn , sodass σ(pnn )/pnn ein Anteil von
mind. β = 0.9 an pn /(pn − 1) hat, sind α100 = 3, α200 = 2 α300 = 1, α400 = 1,
... , αi00 = 1.
3
9
1
2 <
Für die n-te Primzahl pn gilt
p
<
·
n
· n2 .
n
4
2
Für ω 00 (k) gilt ω 00 (k) < exp
24
δ0 γ0 (k + 1)2 + 1 · γ0 (k + 1)2 !.
k+1
3β 2 κ
, mit β = 0, 9 und κ := 0, 7.
Als obere Schranke für die erste k-fach poylabundante Zahl gilt mit β =
0, 9 und κ := 0, 7,
exp
9
00
N (k) < 72 ·
4
16
17
18
19
20
21
ω
Als untere Schranke für die erste k-fach poylabundante Zahl gilt, mit
π
δ0 := 0, 393220 und γ0 := 16
,
N 0 (k) > 3 · lnγ0 (k+1)
12
2ω
e
22
23
k+1
3β 2 κ
·
exp
π
2
k+1
3β 2 κ
27
29
30
32
! .
Für die Mindestteileranzahl gilt τk > 2 16 (k+1) .
Es werden auch ungerade Abstände auftreten.
Es ist ∆λ ≤ λ0 = 180.
Es könnte 1 ≤ ∆λ ≤ 4, sowie jeder mögliche Abstand existieren.
Jeder mögliche Abstand wird auftreten.
Der durchschnittliche Abstand von λi nimmt mit i −→ ∞ ab.
67
26
32
33
34
34
36
37
ANHANG D. SYMBOL-, BEWEIS- UND TABELLENVERZEICHNIS
Nr.
22
Beweis
Es gilt X(n) ≈
Seite
P∞ j n k
i=1
λ∗i
≈n·
P
1
λ∗ ≤n λ∗ .
38
P∞
Die Summe der reziproken polyabundanten Zahlen i=1 λ1i divergiert.
P
1
Die Summe der reziproken Ausgangswerte ∞
i=1 λ∗i divergiert (siehe [1]).
Es ist k(n!) > 2 mit n ≥ 6 und k(n!) > 3 mit n ≥ 10.
√
Damit n! k-fach abundant sein kann, muss n ≥ π8 (k + 1)2 ln 4π (k + 1) .
ist k-fach polyabundant.
n! mit n ≥ 49 exp 3k+3
6β 2 κ
39
39
40
41
41
38
Es gibt polyabundante Quadrate.
Es existieren polyabundante Zahlen, die sich als Summe von zwei Quadraten schreiben lassen.
Es gibt polyabundanten Zahlen, die sich als beliebige Potenzsumme, also
m
m
m
λ = am
1 + a2 + a3 + ... + ax , darstellen lassen.
Die Funktion k(n) ist keine multiplikative Funktion.
Die Funktion k 0 (n) ist eine multiplikative Funktion.
Es gilt die schöne Beziehung k(p · q) = k(p) · k 0 (q) + k(q).
Es gilt k 0 (n) = (ν ? w)(n) mit w(x) := x−1 .
Es gilt die Beziehung k 0 ? ι = τ ? w und k 0 ? ν = σ ? w.
Q
m m
i
>
Es gilt die Approximationsungleichung 1 · 2 · ... · m = m
.
e Qm i=1
c·m m
Es gilt die allgemeine Approximationsungleichung i=1 c · i > e
.
1 d·m
Qm
Es gilt die Approximation i=1 c · id ≥ c de·m
.
A
B
C
D
Es
Es
Es
Es
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
ist σ(pα · q β ) = σ(pα ) · σ(q β ).
P
P
ist b1a aj=0 bj = aj=0 b1j .
n+1
gilt 1 + x + x2 + ... + xn = x x−1−1 für x > 1 (siehe [5]
Q
gilt ζ(1) = p prim 1−1 1 = ∞ (vgl. [1] und [4]).
40
41
42
43
44
44
46
47
51
52
52
57
58
58
58
p
D.3
Nr.
Tabellenverzeichnis
Tabelle
Seite
1
Die ersten 2-fach abundanten Zahlen
6
2
Die ersten 3-fach abundanten Zahlen
6
3
Z(pi ) für einige pi
11
4
Kleinstes ω für k-fach abundante Zahlen
11
5
Kleinstes ω für ungerade k-fach abundante Zahlen
13
6
Übersicht: erste defiziente, vollkomene, abundante Zahlen
24
7
Weitere 2-fach abundante Zahlen
25
8
Weitere 3-fach abundante Zahlen
26
68
Abbildungsverzeichnis
1
Verlauf von σ ∗ (n) in Abhängigkeit von n ∈ [0, 300] . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Verlauf von k(n) in Abhängigkeit von n ∈ [0, 1000] . . . . . . . . . . . . . .
6
I.1
Verlauf von λi - grob i ∈ [1, 20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.2
Verlauf von λi - fein i ∈ [1, 2000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.3
Verlauf von δλi mit i ∈ [1, 830.000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.4
Verlauf des Abstands λi+1 − λi mit i ∈ [1, 1000] . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5
Verlauf des durchschn. Abstands ∆z λ(`) mit z = 1000 und ` ∈ [1, 800] . . . 18
I.6
Verteilung der bis i = 800000 vorkommenden Abstände . . . . . . . . . . . 18
II.1 Vergleich zwischen Approximationen von pn . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2 Vergleich von Approximationen mit ω ∈ [1, 100] - logarithmiert . . . . . . . 25
II.3 Verlauf von σ(pα )/pα in Abhängigkeit von α ∈ [1, 9] . . . . . . . . . . . . . 26
II.4 Durchschnittlicher Abstand ∆w λ∗ mit w = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.1 Verlauf von ln-Produkt und Approximation mit m ∈ [1, 100] . . . . . . . . 53
A.2 Visualisierung der Zahlenoszillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.3 Werte von g(x) mit x ∈ [1, 100] bei f (x) = 3x + 1 . . . . . . . . . . . . . . 56
C.1 Verlauf von Z(pi ) = pi /(pi − 1) mit i ∈ [1, 50] . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Q
C.2 Verlauf und Vergleich des Produkts ωi=1 Z(pi ) mit ω ∈ [1, 150] . . . . . . . 60
C.3 Vergleich zwischen mittlerem Primzahlabstand und Näherungen . . . . . . 60
69
Literaturverzeichnis
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[15] Wolf, M. ’Unexpected Regularities in the Distribution of Prime Numbers.’ www.ift.
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[16] Sedunova, Alisa, On the mean values of some multiplicative functions on the short
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70