Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt Nr. 10
29. Juni 2012
37. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf N0 = {0, 1, 2, ...} sei durch (pk )k∈N0
beschrieben, d.h., µ[{k}] = pk , k ∈ N0. Die erzeugende Funktion φµ von
µ ist definiert durch
φµ (s) =
∞
X
pk sk ,
s ∈ [0, 1].
k=0
(a) Bestimmen Sie die erzeugenden Funktionen von geometrischer Verteilung und von Poisson-Verteilung!
(b) (∗) Welche Informationen über µ liefern Ihnen die n-ten Ableitungen,
n = 0, 1, . . . , von φµ in 0 und in 1? Wann existieren diese Ableitungen?
38. Sei Q = [0, 1] × [0, 1] und A ⊆ Q ein Gebiet mit der Fläche |A|. Sei außerdem Xn, n ∈ N, eine Folge unabhängiger, in Q gleichverteilter Zufallsvariablen und sei Yn = IA(Xn), n ∈ N. Bestimmen Sie die Erwartungswerte
P
und die Varianzen der Zufallsvariablen SN = (1/N ) N
k=1 Yk , N ∈ N!
Inwiefern ist Ihr Resultat praktisch anwendbar?
39. In einer durch Erdbeben gefährdeten Region werden an n aufeinanderfolgenden Tagen a1, . . . , an Erdstöße gemessen. Modellieren Sie die Anzahl
der Erdbeben an einem durchschnittlichen Tag und geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für die mittlere Anzahl der Erdbeben pro Tag
an!
40. (∗) Seien m > 0 und α ≥ 1. Konstruieren Sie eine integrable reellwertige
Zufallsvariable X mit dem eindeutigen Median m und dem Erwartungswert µ = αm!
Hinweis: Die mit (∗) gekennzeichneten Aufgabenteile werden nicht gewertet!
Abgabetermin: 12. Juli 2012, 1100 Uhr
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt Nr. 11
6. Juli 2012
Hinweis: Dieses Aufgabenblatt wird nicht mehr gewertet!
41. Sei h : R → R ein Polynom. Beschreiben Sie ein Monte-Carlo Verfahren
R∞
zur numerischen Bestimmung von −∞ dx exp(−x2)h(x)! Zeigen Sie die
Konvergenz des Verfahrens!
42. Bestimmen Sie das dritte und vierte Moment einer Normalverteilung mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2!
43. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X 2] < ∞. Für welche a ∈ R
ist die mittlere quadratische Abweichung E[(X − a)2] minimal?
44. Beim zweimaligen unabhängigen Wurf eines Würfels seien X1 und X2 die
Augenzahlen. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P[max{X1, X2} = k|X1 = l],
45.
46.
47.
48.
k, l ∈ N!
Erläutern Sie Ihre Ergebnisse und geben Sie diese in einer übersichtlichen
Tabelle an!
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß bei einem dreimaligen,
unabhängigen Werfen eines Würfels mindestens einmal eine 3 erscheint,
unter der Bedingung, daß auch zumindest eine 6 geworfen wird?
Betrachten Sie den Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), P), wobei P
die Gleichverteilung auf [0, 1] ist. Konstruieren Sie auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum eine Folge von Zufallsvariablen Xn, n = 1, 2, . . . , so daß
(i) P[Xk = 0] = P[Xk = 1] = P[Xk = 2] = P[Xk = 3] = 1/4,
k = 1, 2, . . . , und
(ii) die Zufallsvariablen Xn, n ∈ N, stochastisch unabhängig sind!
X und Y seien unabhängige, N0-wertige Zufallsvariablen mit P[X = k] =
P[Y = k] = (1 − p)k p, k ∈ N0, wobei p ∈ (0, 1). Berechnen Sie P[X =
k|X + Y = l], k, l ∈ N0!
Xn, n ∈ N, seien nicht f.s. konstante, i.i.d. Zufallsvariablen. Existiert für
einen der üblichen Konvergenzbegriffe limn→∞ Xn?
49. In einem Industriebetrieb seien N gleichartige Maschinen, die unabhängig
voneinander arbeiten, in Betrieb. Stellen Sie ein einfaches, aber sinnvolles
Modell für die Zeiten Tn , n = 1, . . . , N , bis zu ihrem jeweiligen Ausfall
vor! Welche Verteilung besitzt die Zeitdauer T = min{Tn : n = 1, . . . , N }
bis zum ersten Ausfall einer Maschine? (Hinweis: Berechnen Sie hierzu
P[T > s], s ≥ 0!)
50. Konstruieren Sie jeweils zwei reellwertige Zufallsvariablen X und Y auf
einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), so daß X und Y die gleiche
Verteilung Q besitzen und
(a) P[X = 0] = 0 und P[X = −Y ] = 1, bzw.
(b) P[X ∈ {−1, 1}] = 0 und P[XY = 1] = 1.
(c) Lösen Sie (a) und (b) unter der zusätzlichen Bedingung, daß Q eine
Dichte (bzgl. des Lebesguemaßes) besitzt!
51. Tante Elfriede hat für einen zukünftigen Tag ihren Besuch angekündigt,
wobei sie evtl. noch Onkel Wilhelm mitbringen wird. Geben Sie zur Beschreibung der in Tagen gezählten Zeitdauer bis zum Besuch und der
Anzahl der dann erscheinenden Personen ein mathematisches Modell an!
Berücksichtigen Sie hierbei, daß Tante Elfriede zwar sehr vergeßlich ist,
ihren Besuch mit Sicherheit aber nicht vergessen wird. Begründen Sie Ihr
Modell!
52. Eine reellwertige Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion


falls u < −1,

0,
FX (u) = P[X ≤ u] = 1/4,
falls − 1 ≤ u < 2,


1−exp(−λ(u−2))/2, falls u ≥ 2.
(a) Beschreiben Sie die Verteilung PX der Zufallsvariable X, indem Sie
evtl. vorhandene Atome oder Bereiche, in denen PX eine Dichte f
(bzgl. des Lebesguemaßes) besitzt, angeben! Berechnen Sie gegebenenfalls f !
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X]!
53. Seien x1, . . . , xN viele zufällige“ Zahlen mit 2 Nachkommastellen. Mr.
”
P
Lazy benutzt als Schätzer für die Summe dieser Zahlen die Formel N
k=1 xk
PN
∼ k=1⌊xk ⌋+N/2. In welchen Situationen ist diese Formel sinnvoll, wann
nicht?