Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorlesungen über Zahlentheorie
Carl Gustav Jacob Jacobi
Wintersemester 1836/37, Königsberg
Herausgegeben
von
Pranz Lemmermeyer und Herbert Pieper
DR. ERWIN RAUNER VERLAG
AUGSBURG 2007
Inhaltsverzeichnis
Teil I. Elementare Zahlentheorie
In Teil I handelt Jacobi die elementare Zahlentheorie ab: das Rechnen mit
Kongruenzen, den Satz von Euler-Fermat, den in der Vorlesung wichtigen
Satz von Wilson, sowie die Anfangsgründe der Potenzreste.
Vorlesung 1
3
Jacobi beginnt mit geschichtlichen Bemerkungen und erwähnt insbesondere Diophant und Fermat ah die Väter der Zahlentheorie. Aus der elementaren Zahlentheorie bringt er dann die Beweise von Euklid und Euler für die
Unendlichkeit der Primzahlen, ohne aber auf die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einzugehen. Schließlich führt er die Eulersche ip-Funktion ein
und gibt eine Formel für <p(n).
Vorlesung II
17
Zuerst geht es um die Multiplikativität der Eulerschen tp-Funktion, dann
gibt Jacobi den Gaufischen Beweis des kleinen Fermatschen Satzes ap =
a mod p sowie eine Modifikation des Eulerschen und Leibnizschen Beweises
via Binomialkoeffizienten. Dass Leibniz den Beweis besessen habe, bezweifelt
Jacobi.
Vorlesung III
23
Anfangs wird der Euler-Fermatsche Satz alf>ljm^ = 1 mod m für zu m
teilerfremde a bewiesen, dann das Rechnen mit Kongruenzen eingeführt und
die Bestimmung von o" 1 mod m mit Hilfe des euklidischen Algorithmus (bzw.
mit Kettenbruchentwicklung, wie Jacobi sich ausdrückt) erklärt. Es folgt die
Lösung linearer Kongruenzen und 'Bezoutdarstellung' px + qy = 1, wenn p
und q teilerfremd sind.
xiv
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung IV
31
Jacobi beweist den chinesischen Restsatz und weist auf die Analogie zur
Partialbruchzerlegung hin. Er erwähnt den euklidischen Algorithmus in Polynomringen k[X] einer Variablen und zeigt, daß eine Kongruenz /(#) =
0 mod p höchstens n Lösungen besitzt, wenn f ein Polynom vom Grad n ist.
Dann beweist er den Satz von Wilson und benutzt ihn um zu zeigen, daß
—1 quadratischer Rest'modulo Primzahlen der Form 4n+l ist. Er erwähnt das
Problem der Vorzeichenbestimmung in der Kongruenz C2^1)! = ±1 modp,
wenn p = 3 mod 4 prim ist, und weist auf den von ihm entdeckten (aber nicht
bewiesenen) Zusammenhang mit Klassenzahlen von <Q>(^/=p) hin.
Vorlesung V
Jacobi zieht Folgerungen aus der Faktorisierung
39
Xp-X - 1 = (X - 1)(X - 2) • • • (X - (p - 1)) modp
und beweist die im folgenden wichtige Kongruenz ]Ca=i ° m = 0 , - 1 mod p,
je nachdem (p — 1) \ m oder (p - 1) | m ist. Sein Beweis mittels formaler Potenzreihen unterscheidet sich vollkommen von dem heute üblichen, wo
man von der Summe im Falle (p — 1) \ m dadurch das Verschwinden modulo p zeigt, indem man sie mit einem am ^ 1 mod p multipliziert. Danach
folgt eine Diskussion der Anzahl der Zerlegungen einer Zahl in zwei Faktoren, im Zusammenhang mit der Lösung der Kongruenz x 2 = 1 mod p für
zusammengesetzte p.
Vorlesung VI
45
2
Es wird die Anzahl der Lösungen von x = 1 mod m bestimmt. Jacobi bemerkt, daß der Exponent der Gruppe (7,/mZ)x oft kleiner ist als die
Gruppenordnung f(m) = #(Z/mZ) x und gibt eine Verallgemeinerung des
Wilsonschen Satzes.
Vorlesung VII
51
Die n-ten Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom $n(X) werden
untersucht, ebenso die Kongruenz xn = 1 mod p. Jacobi gibt Eulers Gegenbeispiel zu Fermats Behauptung, die Zahlen 22 + 1 seien alle prim.
Vorlesung VIII
56
Es wird die Existenz von Primitivwurzeln modulo p bewiesen und deren
Anzahl bestimmt. Allgemein zeigt Jacobi, daß die Anzahl der primitiven Wur-
Vorwort der Herausgeber
xv
zeln von x* = 1 mod p gleich </?(/) ist. Zum Schluss gibt Jacobi einen neuen
Beweis des Gaußschen Satzes S / u v ( / ) = A.
Vorlesung IX
62
n
Diskussion von x = a mod p und Einführung m-ter Potenzreste. Unter
anderem zeigt Jacobi, daß die Kongruenz xn = a mod p genau eine Lösung
hat, wenn ggT(n,p — 1) = 1 ist, und dass sie für ggT(n,p — 1) = / entweder
keine Lösungen hat oder genau f.
Es wird das Rechnen mit quadratischen Resten erklärt, der erste Ergänzungssatz bewiesen, und Kriterien für die Bestimmung von ( - ) und ( - ) gegeben. Schließlich formuliert Jacobi das quadratische Reziprozitätsgesetz (ohne
Benutzung des Legendre-Symbols).
Teil II. Theorie der Kreisteilung oder Auflösung der reinen
Gleichungen
In Teil 2 bespricht Jacobi die Theorie der Gauß- und Jacobi-Summen und
erklärt Zusammenhänge mit Kongruenzen für gewisse Binomialkoeffizienten.
Vorlesung X
75
x
Jacobi bespricht die Auflösung von xZi = 0 nach Gauß. Dazu wählt er
eine primitive f-te Einheitswurzel a = £/ mit f | (p—l), eine Primitivwurzel
g modulo p, eine primitive p-te Einheitswurzel x = £p, und setzt
p-2
(a,x,g) = ^ o r ' x 9 ' .
J=O
Heute wählt man stattdessen einen Charakter \ '• (Z/pZ) * —>/z/ der Ordnung
f in die f-ten Einheitswurzeln, den man durch x(g) = Cf festlegt; man kann \
vermöge der Isomorphie (ÖK/P)X
— (Z/pZ) x für das durch p = (p, £P-i —g)
definierte Primideal p in K — Q(Cp-i) auch als f-ten
Potenzrestcharakter
auf (ÖK/P)X
interpretieren; damit ist dann automatisch x(<7) = x(Cp-i) =
=
Cf- In jedem Fall wird damit
xvi
Vorwort der Herausgeber
0=1
d.h. Jacobis Funktionen (a,x,g) sind bis auf das Vorzeichen das, was man
heute als Gaußsche Summen kennt.
Jacobis Satz (a,x9,g) = a~1(a,x,g) übersetzt sich dann in G(xY9 =
1
Cj G(x), wo og der durch £P H-> £$ und £p-i i-* £ P _I definierte Automorphismus von Q(CP(p-i)) ist. Jacobis Gleichung (l,x,g) — —1 entspricht der
Aussage G( t) = 1. Schließlich werden die Methoden von Gauß und Lagrange
zur Auflösung der Kreisteilungsgleichung verglichen.
Vorlesung XI
82
Jacobi erwähnt die Gaußsche Andeutung zur Lemniskatenteilung. Dann
formuliert er den ersten Hauptsatz
welcher dem heutigen G(x)G(x~1) = x{—l)p entspricht. Mit r = CP-I>
(rm,x) := (rm, x,g) und der Festlegung 1 + gk = gek mod p erhält Jacobi
(rm,x)(rn,x)
= (r(rm+n
(wobei der dem Index ^ ^ ( l + m ) entsprechende Summand ausgelassen wird),
was der bereits von Gauß gefundenen Relation
entspricht, wo J(x, ip) = — ]C?=o x(*)^(l ~ *) eine Jacobisumme bezeichnet.
Als Folgerung hieraus hält Jacobi fest, daß der Quotient
)X
>~
G(Xm+n)
eine Funktion von et ist, mit anderen Worten also Element von
Vorlesung XII
Hier bemerkt Jacobi allgemeiner, daß
88
gilt. Schließlich gibt er noch das Gaußsche Resultat (—l,x) = ±.\fp* mit
p* = (—l)^p-1^'2p, was unserem G(ip) = ± V P * entspricht, wo ij> der durch
ip-) definierte quadratische Charakter ist.
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung X I I I
xvii
93
Anwendungen des am Ende der letzten Vorlesung erwähnten Satzes von
Gauß über die quadratische Gaußsche Summe werden für später angekündigt.
Dann beweist Jacobi die beiden fundamentalen Gleichungen
und
J(xr,x)J(x~r,x)=p
für Charaktere x der Ordnung f. Aus diesen Gleichung wird abgeleitet, daß
Jacobisummen J(xr>x) und Gaußsche Summen G(x) den Betrag ^/p haben;
außerdem beweist Jacobi, daß jedes prime p = 4n + 1 die Summe zweier
Quadrate und das Vierfache jeder Primzahl p = 3n + l von der Form 62 + 3c2
ist.
Vorlesung XIV
99
Jacobi stellt fest, daß die Gleichung
.,n> _
G(Xm)G(xn)
invariant unter Vertauschung von m und n ist, und zieht Folgerungen für die
numerische Berechnung von Jacobisummen. Zein Ziel ist die Zurückführung
der Berechnung von Jacobisummen zu Charakteren der Ordnung n — p — 1
auf solche, deren Ordnung n teilt.
Vorlesung XV
105
X 1
wo
Hier zeigt Jacobi, daß J ( x \ x ) = J{x ~ ~\x)>
X ein Charakter der
Ordnung X\ (p— 1) ist. Weiter zeigt er, daß ij}k{ot) = ipi(ak) gilt, wenn ik =
1 mod A ist. Dies übersetzt sich zu o~k{J(xliX)) = J(xkiX)> wo CTfc der durch
ff
k(Cp) = Cp definierte Automorphismus von Q(Cp) ist. Wegen o-k(J(xl,x)) —
J(xlk>Xk) = J{XiXk) ist das heute aber eher eine Trivialität.
Vorlesung XVI
110
Mit Hilfe von quadratischen Jacobisummen wird gezeigt, daß sich Primzahlen p=\ mod t für £ = 3,4,7 in der Form p — x2 +£y darstellen lassen.
Jacobi bemerkt außerdem, daß dies die einzigen Werte von (. sind, für die
dies gilt.
xviii
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung XVII
116
Jacobi leitet diverse Beziehungen zwischen Jacobi-Summen her und macht
auf die Analogie zwischen Jacobi-Summen und der Beta-Funktion aufmerksam. Unter anderem beweist Jacobi, daß das Produkt der Jacobisummen
<Tk(J(xi/k,x)Wi(J(x(i+k)/l,x))
J(x\xk)J(.xi+k,xl),
=
wo die Brüche modulo X gelesen werden, invariant unter einer
von i, k, l ist.
Permutation
Vorlesung XVIII
120
X
von
Hier wird die Zerlegung von Potenzen G(x )
Gaußschen Summen zu
Charakteren der Ordnung A in Produkte von Jacobi-Summen diskutiert, und
zwar für X = 3, 5, 7, 11, 13, und 17.
Im einfachsten Fall X — 3 erhält man beispielsweise die bekannte Faktorzerlegung G(x) 3 = pJ{Xi X) fur einen Charakter der Ordnung 3, für X = 5
dagegen G{Xf = P^(J{x2 ,X2))J{x,X? •
Vorlesung XIX
Es folgen allgemeine Untersuchungen über die Faktorisierung von
und als weitere Beispiele X = 19 und 23.
Vorlesung XX
125
G(x)X,
131
Jetzt werden allgemeiner Gaußsche Summen zu Charakteren der Ordnung
X2, später auch allgemein Xa, für prime X betrachtet.
Vorlesung XXI
136
Schließlich bespricht Jacobi Gaußsche Summen zu Charakteren von Zweierpotenzordnung. Er erinnert daran, dass
G(x) = y / (- 1 ) (p ~ 1)/2 P firf = 2, und G(X) = y / ( ^ V = T ) p für f = 4
ist, wo x ein Charakter der Ordnung X ist. Danach beginnt Jacobi die Untersuchung von G(x) im Falle eines Charakters x der Ordnung / = 8. Die in
der Faktorisierung von G(x) 8 auftretenden Jacobisummen werden durch die
Zerlegungen von p = a2 + b2 und p = c2 + 2d2 ausgedrückt.
Vorlesung XXII
141
Jacobi schließt die Untersuchungen für Charaktere x der Ordnung f = 8
vorläufig ab, indem er zeigt, dass «7(x>x) — ±*(c + dy/—2 ) ist.
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung XXIII
xix
142
Jacobi zeigt, wie man die Gaußschen Summen der Ordnungen 5 und 8
für p = 41 berechnet.
Vorlesung XXIV
145
In dieser Vorlesung werden die in der letzten Vorlesung begonnenen Berechnungen weitergeführt.
Vorlesung XXV
148
Jacobi setzt die Berechnung von Jacobisummen zu Charakteren der Ordnung 8 fort. Unter anderem findet er für einen Charakter x modulo 41
sowie
J(x,x) = - 3 + 47=2 und J(X,X5) = 5 + 4i.
Vorlesung XXVI
152
Jacobi beweist seine beiden Hauptsätze über Jacobisummen. In moderner
Terminologie lauten diese:
1. Es gilt J(x m , Xn) = 0 mod p für x = (^), falls m + n< p - 1 ist.
2. Es gilt J(Xm,Xn) = {2(-P;l\Z2~n) m o d P,fallsm + n>p-l
ist.
Hieraus leitet er dann die Primzerlegung von Jacobisummen zu Charakteren der Ordnung 4 her und beweist für prime p = 4n + 1 = a2 + b2 mit
geradem b die Gaußsche Kongruenz
1
(2n
Vorlesung XXVII
157
2
2
Jacobi beweist für prime p = 4n+l = a +b mit geradem b die Kongruenz
b= ±
mod p.
Danach untersucht er entsprechende Probleme für Charaktere der Ordnung
8. Unter anderem findet er
I modp
n /
xx
Vorwort der Herausgeber
für prime p = 8n + 1.
Vorlesung XXVIII
160
Es werden Beziehungen zwischen Binomialkoeffizienten und Quotienten
von Gaußschen Summen untersucht.
Vorlesung XXIX
164
Hier leitet Jacobi weitere Relationen zwischen Gauss- und Jacobisummen
her.
Vorlesung XXX
167
In dieser Vorlesung leitet Jacobi, im wesentlichen unter Benutzung des
Satzes von Wilson und des kleinen Fermat, Kongruenzen zwischen Binomialkoeffizienten her, z.B.
(p-l2a\
= 3
\ n—a I
3a
(3a\
mod p
\a I
und
die erste für Primzahlen p = 3n + 1 und Zahlen 0 < a < n, die zweite für
Primzahlen p = 4n + 1 und Zahlen 0 < a < n. Aus ähnlichen Formeln, die
für größere Werte von a gelten, erhält man z.B. im Spezialfall die Kongruenz
für Primzahlen p = 12n + 1.
Als Folgerungen aus diesen Kongruenzen berechnet Jacobi einige Quotienten von Gaußschen Summen zu Charakteren der Ordnungen 12, 7 und
20.
Vorlesung XXXI
172
Jacobi folgert aus der Kreisteilung, daß prime p = 1 mod 20 sich in der
Formp — f2+5g2 schreiben lassen. Dann leitet er für Primzahlen p = 20n+l
die Kongruenz
_£=! n!(9n)!
5 4
^
her, die sich auch in der Form
Vorwort der Herausgeber
xxi
modp
schreiben lässt. Darauf außauend beweist er, daß für solche Primzahlen 5
quadratischer Rest ist. Schließlich gibt er noch einen Nachtrag für den oben
behandelten Fall p = 1 mod 3.
Vorlesung XXXII
178
Hier beweist Jacobi mit seiner in den vorangegangenen Vorlesungen entwickelten Methode (also elementar, ohne Verwendung der Kreisteilung) folgenden Spezialfall des quadratischen Reziprozitätsgesetzes: ist q ein ungera-
der Primteiler von p - 1, so gilt (*) = ( - l ) 2 ^ 1 4 ^ 1 = ( - l ) 2 ? 1 ^ (£).
Dies schreibt Jacobi so: Ist p = 1 mod 4 prim und q | (p — 1), dann gilt
(q/p) = 1. Ist p = 3 mod 4 prim und q | (p — 1), dann gilt (q*/p) = 1, wobei
q* = (—l)^ 9 " 1 ^ 2 ^ ist. Außerdem leitet er den zweiten Ergänzungssatz her.
Vorlesung XXXIII
182
Jacobi beweist einen weiteren Spezialfall des quadratischen Reziprozitätsgesetzes: sind p und q ungerade Primzahlen mit p = — 1 mod q, so ist
p —1
q 2 =•(-!)
p + 1 q—1
2
2
(modp).
Dann wird der quadratische Restcharakter von 5 modulo Primzahlen der
Form lOn + 3 hergeleitet, und schließlich formuliert Jacobi das quadratische
Reziprozitätsges etz.
Teil III. Anwendung der Kreisteilung auf die Zahlentheorie
Im dritten Teil wird die Theorie der Kreisteilung benutzt, um das kubische
und biquadratische Reziprozitätsgesetz zu beweisen; außerdem werden Resultate bewiesen, die eng mit der Dirichletschen Klassenzahlformel verknüpft
sind.
Vorlesung XXXIV
189
Jacobi beweist das quadratische Reziprozitätsgesetz mit Hilfe Gaußscher
Summen; zentraler Punkt ist die Kongruenz
-J mod q.
Dann geht es um den quadratischen Restcharakter von 2. Jacobis Beweis des
zweiten Ergänzungssatzes ist kompliziert, aber allem Anschein nach neu.
xxii
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung XXXV
194
Die Vorzeichenbestimmung der quadratischen Gaußschen Summe wird erwähnt; danach beginnt das Studium der zu Charakteren x vierter Ordnung
auf (Z/pZ) x gehörigen Gaußschen Summen mit p = An + 1 = a2 + b2.
Insbesondere zeigt Jacobi J(x, x) — a+bi mit a = 1 mod 4. Dann kehrt er zur
Gaußschen Kongruenz a =. — | (2^) mod p aus der XXIV*611 Vorlesung zurück
und zeigt, dass das Vorzeichen von a durch die Kongruenz a = 1 mod 4
bestimmt ist. Danach beginnt er damit, den biquadratischen Charakter von 2
herzuleiten.
Vorlesung XXXVI
199
Für prime p = 8n + 1 wird gezeigt, daß 2 genau dann biquadratischer
Rest modulo p ist, wenn p = x2 + 64y2 gilt.
Vorlesung XXXVII
202
Für den biquadratischen Charakter von 2 wird die Formel (2/p)± = ib^2
gegeben. Dann leitet Jacobi die beiden Fundamentaltheoreme für biquadratische Reste ab, nämlich
q—X
(a + bi)
2
p
q—1
4
= e (mod q),
sowie
(a + bi)*p*
=i-ü
P- (mod q),
je nachdem q = l mod 4 oder q = 3 mod 4 ist. Weiter ist e eine 4 t e Einheitswurzel mit e = q^'1^4 m o d p (genauer: mit e = ix<n9).
Danach behandelt Jacobi den biquadratischen Charakter von —3 und 5.
Unter anderem beweist er die beiden folgenden Sätze:
—3 ist biquadratischer Rest von den Primzahlen von der Form x2 +36y 2 ,
und nur quadratischer Rest von den Primzahlen 9x2 + 4y 2 .
5 ist biquadratischer Rest der Primzahlen x2 + lOOy2 und nicht biquadratischer Rest von den Primzahlen 25x2 + 4j/ 2 .
Vorlesung XXXVIII
207
Jacobi bespricht die Notwendigkeit, komplexe Zahlen der Form a + bi mit
a, b € Z als Moduln zuzulassen. Deren Einführung war das Hauptverdienst
der beiden Gaußschen commentationes.
Weiter beweist er den "kleinen Fermatschen Satz" im Ring der Gaußschen Zahlen, also (c + di)p~1 =. 1 (mod p) für prime p = 4n + 1, und
(c + di)p - 1 = 1 (mod p) für prime p = 4n — 1.
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung X X X I X
xxiii
211
Komplexe Primzahlen werden eingeführt und der kleine Fermatsche Satz
in "L[i\ bewiesen.
Vorlesung XL
215
Beweis des' quadratischen Reziprozitätsgesetzes in Z[i] einmal nach Dirichlet via Zurückführung auf das Reziprozitätsgesetz in Z, ein zweites mal
nach den von Jacobi aus der Kreisteilung hergeleiteten Formeln.
Vorlesung XLI
219
Es wird das biquadratische Restsymbol eingeführt, welches eine kompakte
Darstellung der beiden Fundamentaltheoreme erlaubt. Diese werden dann zur
Herleitung einiger von Dirichlet mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes bewiesenen Resultate benutzt.
Vorlesung XLII
225
Es wird ein weiteres von Dirichlets Ergebnissen besprochen und das Fehlen eines biquadratischen Reziprozitätsgesetzes bemängelt, welches dem quadratischen analog ist. Jacobi macht sich dann daran, dieses herzuleiten.
Vorlesung XLIII
230
Jacobi dringt zum biquadratischen Reziprozitätsgesetz vor, das er in der
folgenden Form ausspricht: Sind a + bi und a' + b'i teilerfremde komplexe
Zahlen mit ungeraden Normen p bzw. p', und sind a und a' von der Form
An— 1, dann gilt
-a' + b'i^
-a + bi ))
e^le^l
K
K
''
// -a + bi vv
^-a'
^-a' + b'i
b'iJJ
Danach beweist er den zweiten Ergänzungssatz in der Form
woS=
-a+4b-1 falls p = 8n + 1, und S = ^ ^
Vorlesung XLIV
falls p = 8n + 5.
236
Der euklidische Algorithmus in Z[i] erlaubt die "schnelle" Berechnung
biquadratischer Restsymbole.
xxiv
Vorwort der Herausgeber
Vorlesung XLV
240
Eindeutige Darstellung von Primzahlen in der Form rx2+sy2; Herleitung
der auf Gauß (!) zurückgehenden Kongruenz L(Pj^)\ = 1 modp, wo Ap =
L2 + 3M2.
Vorlesung XLVI.
245
Jacobi beweist das kubische
Reziprozitätsgesetz.
Vorlesung XLVII
249
Die Existenz eines euklidischen Algorithmus in Z[^] erlaubt die Berechnung von Restsymbolen mittels des Reziprozitätsgesetzes.
Vorlesung XLVIII
254
Seien X =. 3 mod 4 und p = An + 1 prim, sowie —X quadratischer Rest
modulo p. Dann ist p im quadratischen Zahlkörper Q(\/—A) zerlegt, und es
gilt Aph = x2 + Xy2 für x, y 6 N, wo h die ungerade Klassenzahl von k
bedeutet.
Jacobi beginnt hier seine Herleitung dieser Beziehung aus der Kreisteilung.
Vorlesung XLIX
259
Im Zusammenhang mit der Primidealzerlegung von Jacobisummen beginnt Jacobi, die Restklasse eines gewissen Produkts von Fakultäten modulo
p zu bestimmen.
Vorlesung L
263
Fortführung der Rechnungen aus der vorigen Vorlesung; das Resultat ist
die Kongruenz
t
i
\i—1
Hier ist X eine Primzahl von der Form An — 1 und p eine Primzahl von der
Form Xn + 1; weiter sind oi, . . . , O(^_i)/2 die minimalen positiven quadratische Reste modulo X bezeichnen und oi + . . . + <X(A-I)/2 = *A gilt.
Vorlesung LI
265
Jacobi beginnt damit zu untersuchen, inwieweit sich die bisherigen Ergebnisse auf Primzahlen p — Xn+1 ausdehnen lassen, wenn X = 1 mod 4 ist. In
Vorwort der Herausgeber
xxv
diesem Fall ist die Klassenzahl von Q(\/—X) gerade, was diverse Probleme
bereitet.
Vorlesung LII
268
Sei t die Anzahl der quadratischen Reste modulop im Intervall [^^,
^L],
und t' die Anzahl der quadratischen Nichtreste. Dann zeigt Jacobi, daß es
für prime X = 1 mod 4 und p = 1 mod 4A ganze Zahlen x, y gibt mit
Additamenta
274
In diesen Zusätzen werden weitere Ergebnisse über Gaußsche Summen
hergeleitet. Sein Hauptergebnis ist ein erster Schritt in Richtung der heute
nach Stickelberger benannten Kongruenz für Gaußsche Summen. Im Beweis
benutzt Jacobi erstmals zaghaft die p-adische Entwicklung des Logarithmus.
Mit Hilfe dieser Kongruenz beweist Jacobi dann von neuem seinen Hauptsatz über Jacobisummen aus der XXVfen Vorlesung.
Zusätze
289
Die deutsche Übersetzung der Additamenta (von E. Knobloch).
Biographische Daten
305
Literaturverzeichnis
Namensverzeichnis
Stichwortverzeichnis
307
328
330