Serie 4 - Universität Basel

Einfürung in die Numerik
Prof. Dr. Marcus Grote
FS 2014
Universität Basel
Serie 4
Aufgabe 1 :
Sei f : R → R dreimal stetig differenzierbar. Zeige, dass
0
f
(x
+
h)
−
f
(x
−
h)
≤ Ch2 , 0 < h ≤ h0
f (x) −
2h
und bestimme C.
Aufgabe 2 :
a) Schreibe die folgenden Ausdrücke so um, dass die unvermeidbare Auslöschung
bei der Subtraktion zweier nahezu gleich grosser Zahlen vermieden wird:
1 − cos x
,x ≈ 0
i)
sin x√
−b + b2 − 4ac 2
ii)
, b 4ac
2a
b) Betrachte nun die quadratische Gleichung
x2 + 11x + 1.2121 = 0 .
(1)
Berechne die Lösung von (1) mit der Formel aus (ii) und ihrer Umformulierung
jeweils in dezimaler Gleitkommadarstellung mit fünf Stellen (d.h. β = 10, n = 5).
Was beobachtest du?
Aufgabe 3 (P):
a) Bestimme experimentell die (relative) Maschinengenauigkeit eps deines Rechners.
b) Verwende den zentralen Differenzenquotienten um die 1. Ableitung von x2 sin(x)
an der Stelle x0 = 1 mit Schrittweiten hi = 4−i , i = 1, 2, . . . , 30 zu berechnen.
Zeichne den Fehler bezüglich hi auf einer log-log-Skala.
Vergleiche den experimentell bestimmten Wert hmin , für den der Fehler minimal
ist, mit der theoretischen Voraussage
h∗min
'2
3 eps |f (x0 )|
|f 000 (x0 )|
1/3
.
Bitte wenden
Aufgabe 4 *:
Sei f : R → R viermal stetig differenzierbar. Zeige, dass
00
f
(x
+
h)
−
2f
(x)
+
f
(x
−
h)
f (x) −
≤ Ch2 ,
h2
h ≤ h0
und bestimme C.
Aufgabe 5 *:
a) Zeige, dass die relative Kondition des Skalarproduktes f : Rn × Rn →
R, f (x, y) = xT y gegeben ist durch
κ=2
|x|T |y|
|xT y|
b) Wähle zwei Vektoren x, y ∈ R5 und verifiziere für eine Störung von etwa 0.1%,
dass κ tatsächlich die Fortpflanzung des relativen Fehler beschreibt.
Aufgabe 6 *:
Sei P (x) das Interpolationspolynom n-ten Grades durch die äquidistanten Stützpunkte (xk , yk ), xk = x0 + kh, k = 0, 1, . . . , n. Zeige, dass
n
1 X
dn P
n−i n
(x) = n
(−1)
yi .
dxn
h i=0
i
Hierbei ist
n
n!
=
,
i
i!(n − i)!
0! = 1.
Hinweis: Wegen der Lagrangeschen Interpolationsformel, gilt
P (x) =
n
X
i=0
n
Y
λi yi (x − xj ),
1
,
j=0 (xi − xj )
λi = Qn
j=0
j6=i
i = 0, 1, . . . , n.
(2)
j6=i
Zeige, dass
(−1)n−i n 1
λi =
,
n!
i hn
i = 0, 1, . . . , n
und differenziere (2) n-mal nach x.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich unter dem Link
“Einführung in die Numerik” auf der Webseite
http://math.unibas.ch/institut/personen/profil/profil/person/nahum/
Abgabe: Montag, 24. März 2014, in der Vorlesung oder bis 16 Uhr im Fach.