1. Primzahlen und Teilbarkeit 2 Punkte 2. Gleichungen und

Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs
Sommersemester 2016
ANONYMER SELBSTTEST
(b) Welche Lösung für x erhält man in der Gleichung log3 (x3 ) − 8 = log27 (x)?
x1,2 = ±27 x = 27 x1,2 = ±312/5 x = 312/5
Nicht bearbeitet
Dieser Selbsttest ist anonym und beeinflusst in keiner Weise Ihre
Note. Er dient dazu, das Vorwissen der StudienanfängerInnen zu
bestimmen und das Angebot der Workshops auf Ihre Bedürfnisse
abzustimmen.
Füllen Sie alle Punkte gewissenhaft aus und betrügen Sie sich nicht
selbst durch die Verwendung von Hilfsmitteln!
Sollten Sie aus zeitlichen Gründen einzelne Fragen nicht beantworten
können, vermerken Sie dies durch die Angabe Nicht bearbeitet“.
”
Wenn Sie die Antwort nicht kennen, lassen Sie alle Felder frei.
1. Primzahlen und Teilbarkeit
(a)
(b)
4. Vektoren
(a)
(b)
2 Punkte
Welche Zahlen teilen sowohl 2 064 als auch 1 548?
0 1
258 817
Nicht bearbeitet
Was ist der größte gemeinsame Teiler von 2 064 und 1 548?
0 1 516 6 192
Nicht bearbeitet
(a)
Betrachte das Polynom p(x) = −2x − 5x + 3.
Wie viele unterschiedliche reelle Lösungen hat die Gleichung p(x) = 0?
0 1 2 3
Nicht bearbeitet
(b)
(b) In welcher Teilmenge der reellen Zahlen ist das Polynom p größergleich 0?
[−3, 1/2] (−∞, −3] ∪ [1/2, ∞) {} {−5/4}
Nicht bearbeitet
2 Punkte
4y 2
√
3
− 8yz +
−2z + 2y
vereinfacht?
p
(2y − 2z)11/15 15 (2y − 2z)11
Nicht bearbeitet
−  5/2 
8/3
√
15

13/3
 5/2 
8/3
2 Punkte
Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = −z 2 − z − 1 + i.
6. Gleichungssysteme
2 Punkte
Bestimmen Sie die Lösungen des Gleichungssystems
I: 2x + 2y
II: x − 3y
III: 2x − y

Welche der folgenden Aussagen gelten für jede komplexe Zahl z = a + bi ∈
C und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl z̄?
z + z̄ = 2a z z̄ < a2 + b2 iz = z̄ z − z̄ = −2b
Nicht bearbeitet
4z 2
(2y − 2z)1/15

13/3
x1 = i
x2 = −1 − i
Nicht bearbeitet
Welche Ausdrücke erhält man, wenn man
p
5

5. Komplexe Zahlen
2 Punkte
3. Funktionen
Nein
Welcher Vektor entspricht dem Kreuzprodukt
   
1/2
1
−3 × − 2 ?
3
2
−1

 
5
5
5/2 − 5/2
5/2
5/2
Nicht bearbeitet
2
(a)
Ist v = −2 −1 2 normiert? Ja
Nicht bearbeitet

2. Gleichungen und Ungleichungen
(a)
2 Punkte
x = −1
2y − 2z
y=1
Nicht bearbeitet
-1-
z=
2
3
− 2z
=
=
=
− 34
−4 .
−3
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ANONYMER SELBSTTEST
7. Trigonometrie
(b) Man wählt nun ein fixes Hemd aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass er in einer Woche (5 Arbeitstage) genau zweimal dieses Hemd trägt?
2 Punkte
Über ein Dreieck, dessen Seiten, gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, a, b und c
heißen seien folgende Informationen bekannt: Die Seite a ist √13 Längeneinheiten
und die Seite c ist eine Längeneinheit lang. Der Winkel, den die Seiten b und c
miteinander einschließen, beträgt π6 .
(a)
Berechnen Sie die Länge der fehlenden Seite (b) für alle Dreiecke, die diese
Bedingungen erfüllen.
b1 = √13
b2 = √23
729
p = 10000
Nicht bearbeitet
10. Differenzieren
(a)
Nicht bearbeitet
f (x) =
(b) Wie muss man die Länge der Seite a wählen, damit das Dreieck mit dem
oben gegebenen Winkel eindeutig bestimmt ist?
a = sin π6
a = √12 a = sin π4
a = 12
Nicht bearbeitet
8. Geraden und Ebenen
(a)
3
2 Punkte
g(x) = log(x2 + 2) + 2x3 sin(5x)
2
g 0 (x) = x22x
+2 + 2x (3 sin(5x) + 5x cos(5x))
Nicht bearbeitet
11. Kurvendiskussionen
2 Punkte
Die Wendetangente des Polynoms p(x) = ax3 + bx2 + cx + d sei gegeben durch
t(x) = 2x + 6. Bestimmen Sie die Koeffizienten von p unter den Annahmen, dass
p bei x = −1 seinen Wendepunkt annimmt und in x = 1 eine Nullstelle hat.
a = −1
b = −3
c = −1
d=5
Nicht bearbeitet
12. Extremwertaufgaben
Franz hat drei Anzüge, zehn Hemden und fünfzehn Krawatten. Wir nehmen
an, dass er jeden Morgen seine Garderobe zufällig und unabhängig vom Vortag
auswählt.
(a)
2
(b)
(b) Finden Sie die Koordinaten des Punktes P 0 , den man erhält, wenn man
P = (1, −3, 3) an der Ebene ε spiegelt.
P 0 = (−3, 5, −1)
Nicht bearbeitet
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
3x4
e2x2 +1
)
f 0 (x) = 12xe2x(1−x
2 +2
Nicht bearbeitet
2 Punkte
Finden Sie Konstanten a, b, c und d, sodass ax + by + cz = d für alle
Punkte jener Ebene ε gilt, auf der die Punkte (−1, 0, −1), (−1, 1, 1) und
(0, 1, 0) liegen.
a=1
b = −2
c=1
d = −2
Die Lösung ist nur bis auf ein Vielfaches ungleich null eindeutig bestimmt.
Nicht bearbeitet
2 Punkte
Bestimmen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an zwei aufeinanderfolgenden
Tagen dasselbe Outfit trägt?
1
p = 450
Nicht bearbeitet
-2-
(a)
2 Punkte
Welche Wahl von x ∈ (1, ∞) minimiert den Ausdruck x logx (e)?
x=e
Nicht bearbeitet
(b) Ein mit einer Flüssigkeit vollständig gefülltes Gefäß der Höhe h mit
vertikaler Wand steht auf einer horizontalen Ebene. Aus einer Öffnung in
der Gefäßwand, die in der Tiefe x unterhalb des Flüssigkeitsspiegels liegt,
dringt ein Flüssigkeitsstrahl. Nach dem Gesetz von√Torricelli verlässt die
Flüssigkeit das Gefäß mit der Geschwindigkeit v = 2gx.
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ANONYMER SELBSTTEST
Bestimmen Sie die Tiefe x, bei der der Flüssigkeitsstrahl die maximale
Weite erzielt.
x = h2
Nicht bearbeitet
13. Integrieren
2 Punkte
Bestimmen Sie folgende unbestimmte Integrale.
(a)
Z
sin2 (x) dx
cos(x)
sin2 (x) dx = x−sin(x)
+C
2
Nicht bearbeitet
R
(b)
Z
R
2x+1
3e
− log(x) dx =
Nicht bearbeitet
3e2x+1 − log(x) dx
3 2x+1
2e
− x log(x) + x + C
-3-
Workshop
Punktzahl:
Primzahlen und Teilbarkeit
2
Gleichungen und Ungleichungen
2
Funktionen
2
Vektoren
2
Komplexe Zahlen
2
Gleichungssysteme
2
Trigonometrie
2
Geraden und Ebenen
2
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
2
Differenzieren
2
Kurvendiskussionen
2
Extremwertaufgaben
2
Integrieren
2
Summe
26
Davon erreicht: