Numerische Mathematik Übungsblatt 13.

Numerische Mathematik
Übungsblatt 13.
Abgabe am Dienstag, 12.07.2011
Aufgabe 1. (Zeilenäquilibrierung)
Unter einer Zeilenskalierung versteht man die Multiplikation eines Gleichungssystems
mit einer passenden Diagonalmatrix D = diag{di } von links: Ax = b → DAx = Db.
Eine solche Skalierung wird mit dem Ziel durchgeführt, die Kondition des Problems zu
verringern, sodass also cond(DA) ≤ cond(A).
Eine Zeilenäquilibrierung ist eine spezielle Form der Zeilenskalierung, bei der
kAk
di := P ∞ ,
j |aij |
i = 1, . . . , n,
gewählt wird. Die Matrix A ∈ Kn×n wird im folgenden als regulär vorausgesetzt und
D ∈ Kn×n sei die Diagonalmatrix zur Zeilenäquilibrierung von A. Zeige: Es gilt
a)
kDk−1
∞ cond∞ (A) ≤ cond∞ (DA) ≤ cond∞ (A).
Mit einer beliebigen Diagonalmatrix C ∈ Kn×n gilt außerdem
b)
cond∞ (DA) ≤ cond∞ (CA).
Aufgabe 2. (Vorkonditionierung)
a) Es seien {An }n∈N , {Bn }n∈N Folgen regulärer Matrizen An , Bn ∈ Cn×n , n ∈ N,
sodass für jedes n die Abschätzung kIn − An Bn k2 ≤ δ < 1 gilt.
Zeige, dass dann ein c > 0 mit cond2 (An Bn ) ≤ c existiert!
b) Die Umkehrung der Aussage in (a) gilt nicht:
Gib Folgen {An }n∈N , {Bn }n∈N mit cond2 (An Bn ) ≤ c an, sodass für alle n ∈ N die
Ungleichung kIn − An Bn k2 > 1 erfüllt ist!
Aufgabe 3. (Spektraläquivalenz)
Zwei Folgen {An }n∈N , {Bn }n∈N positiv definiter Matrizen An , Bn ∈ Cn×n , n ∈ N, heißen
spektraläquivalent, falls für jedes n Konstanten γn , Γn > 0 mit Γn /γn < c existieren,
sodass
γn (x, Bn x) ≤ (x, An x) ≤ Γn (x, Bn x)
für alle x ∈ Cn
gilt. Dabei darf c nicht von n abhängen.
Zeige, dass {An }n∈N und {Bn }n∈N genau dann spektraläquivalent sind, wenn eine Konstante c̃ existiert, sodass
λmax An Bn−1
≤ c̃
für alle n ∈ N.
λmin An Bn−1
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Numerische Mathematik, Blatt 13
Abgabe: 12.07.2011
Aufgabe 4. (Superlineare Konvergenz im CG-Verfahren*)
Es sei z ∈ C und ε > 0. Für eine Folge
{An }n∈N von Matrizen An ∈ Cn×n , n ∈ N, sei
dann νn (ε) := #σ(An ) ∩ C\Bε (z) die Anzahl der Eigenwerte von An , die außerhalb
der ε-Umgebung von z liegen. Man sagt außerdem, die Eigenwerte der Folge {An }n∈N
besitzen einen Cluster bei z, wenn für alle ε > 0 die Abschätzung νn (ε) < c(ε) mit einer
nur von ε unabhängigen Konstanten c gilt.
Zeige: Besitzt {An }n∈N einen Cluster bei z = 1, so konvergiert das CG-Verfahren superlinear. Das heißt, statt der Abschätzung kxk − xkA ≤ 2ck kx0 − xkA mit c < 1 gilt in
diesem Fall sogar
kxk − xkA ≤ 2ckk kx0 − xkA ,
ck → 0 für k → ∞.
Die folgende Programmieraufgabe ist freiwillig und geht nicht in die Wertung ein:
Programmieraufgabe. (CG-Verfahren mit Vorkonditionierung)
Implementiere das CG-Verfahren zur Lösung des Systems Ax = b! Dabei sei


−2 1
 
1


.
.
.
.

1
.
.
n×n
2  .. 


,
b := −h  .  ∈ Rn
A := 
∈R
.. ..

. 1
.
1
1 −2
mit n ∈ N und h = 2/(n + 1); als Abbruchkriterium diene kAx − bk2 < h2 und der
Startwert sei x0 = 0.
Führe zur Verbesserung des Verfahrens eine Vorkonditionierung der Matrix A mittels
Zeilenäquilibrierung (vgl. Aufgabe 1) durch! Vergleiche für beide Verfahren die benötigten
Iterationsschritte für n = 4, 16, 64, 256, 1024 sowie für jeweils zwei aufeinanderfolgende
Residuen den Quotienten der Normen!
Interpretation: Die Komponenten von x sollten die Lösung v der Differentialgleichung
−v̈(t) = 1,
t ∈ (−1, 1),
v(−1) = v(1) = 0,
approximieren. Mithilfe von Gnuplot kann die Lösung aus dem Verfahren visualisiert und
mit der echten Lösung v(t) = 21 (1 − t2 ) verglichen werden.
Freiwillige Bearbeitung der Programmieraufgabe ab dem 14.07.2011 im CIP-Pool
Öffnung des CIP-Pools während der vorlesungsfreien Zeit:
Auch während der vorlesungsfreien Zeit steht der CIP-Pool für die Studenten zur Nutzung
frei. Geöffnet ist dann i. d. R. dienstags und donnerstags zwischen 13 und 16 Uhr.
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Er spielt mit einem 9er-Dominospiel, das für alle möglichen Paare der Zahlen 0 bis 9 genau
einen Stein enthält.
Numerische Mathematik, Blatt 13
Abgabe: 12.07.2011
Wie viele Steine bleiben beim Bau solch einer Dominoschlange mit 9er-Dominosteinen
mindestens übrig?
Lösung der Knobelaufgabe vom vorigen Blatt.
Antwort:
Es bleiben
in jedem Fall
mindestens
vier
übrig.
Tipp:
Am Fenster
von Sebastians
Zimmer
hängt
einSteine
Weihnachtsstern.
Er weist den Weg
Begründung:
Das 9er-Dominospiel
besteht
aus 55 Steinen, was
sich geheimnisvolle
durch Abzählen Bezur Lösung!
Zwischen
dem Stern und
den Dominosteinen
gibt man
es eine
1
klarmachen
kann
oder
mit
Hilfe
der
Formel
(n
+
1)
·
n
ausrechnet,
wobei
n die Anzahl
ziehung. Außerdem hat Sebastian gerade ein 2Haus vom Nikolaus“ gezeichnet.
”
der verschiedenen Ziffern ist. Betrachte nun den folgenden Graphen:
Dabei seien die Knoten die Zahlen 0 bis 9, jede der 55 Kanten steht für einen Dominostein.
Gesucht ist also ein ununterbrochener (sog. Euler-)Zug durch den Graphen, der jede
Kante genau einmal abläuft. Das gelingt jedoch nur, wenn die Zahl der ausgehenden
Kanten (der Grad) aller Knoten bis auf zwei (Anfangs- und Endknoten) gerade ist, sonst
bleibt man irgendwann stecken (vgl. das „Haus vom Nikolaus“).
Im betrachteten Graphen haben jedoch alle Knoten den ungeraden Grad 11. Nimmt
man acht dieser Knoten je ein Kantenende weg, entfernt also insgesamt vier Kanten,
die zwischen je zwei dieser ungeraden Knoten verlaufen, so kann ein Kantenzug ohne
Kantenwiederholungen gefunden werden, der in einem der beiden verbliebenen Knoten
beginnt und im andern endet.
Die vier Kanten entsprechen vier Steinen. Man kann freilich auch mehr Kanten entfernen,
um für alle bis auf zwei Knoten gerade Knotengrade zu bekommen, nur können es eben
nicht weniger als vier sein.
Bemerkung: Diese Aufgabe stammt aus dem mathematischen Adventskalender
http://www.mathekalender.de
des Jahres 2005. Auf der angegebenen Seite findet man neben dem jeweils aktuellen
Kalender auch Lösungshefte für die vergangenen Jahre.
Präsenzaufgabe. (Unbeschränktheit der Kondition — ein Beispiel)
Es sei

−2

1
An := 


1
..
.
..
.

..


 ∈ Rn×n .

..
. 1
1 −2
.
Zeige, dass cond2 (An ) = O(n2 ) → ∞ für n → ∞!
Hinweis: In Aufgabe 3 von Blatt 13 der Einführung in die Numerik wurde gezeigt, dass
kπ
λk = −2 + 2 cos
,
k = 1, . . . , n,
n+1
gerade die n Eigenwerte der Matrix An sind.
–3–