I. Nicht erneuerbare Ressourcen

7
I.
Nicht erneuerbare Ressourcen
2.
Das Problem des Eigentümers einer Ressource
(Neher, CH. 4)
Probleme bei erschöpfbaren Ressourcen
a) Mengenknappheit und Qualitätsverschlechterung
b) Gleicht der technische Fortschritt die Erschöpfbarkeit durch Erfindung akzeptabler
Substitute aus?
c) Senkt der technische Fortschritt die Abbaukosten und die Kosten der Suche nach neuen
Reserven?
Problem des Bergwerksbesitzers:
Nicht abbauen oder zum Marktpreis p
verkaufen. Schonung der Ressourcen lohnt sich
eventuell, wenn der Preis in Zukunft steigt, d.h. ∆ p = pt +1 − pt > 0
Im Fall der Schonung der Ressource R:
Vermögenszuwachs ∆ p ⋅ R
Im Fall des Abbaus der Ressource:
Vermögenszuwachs = r ⋅ p ⋅ R
wobei der Erlös zum Zinssatz r angelegt wird.
Indifferenz zwischen Schonung und Abbau
∆p
= r oder
p
pɺ
=r
p
(Hotelling Regel)
(Gleichgewichtsbedingung für alle Anbieter der Ressource)
8
Der Marktpreis steigt mit
Pɺ = r P
P ( t ) = P ( 0 ) er t
c b gh
und die Nachfrage fällt gemäß X P t
Reserve - Restriktion:
z
T
(1)
c b gh
X P t dt = S
,
S-Ressourcenbestand
0
Annahme eines Choke - Preises P gemäß Fig. 4.3
Bedingung für den Preispfad bezüglich T:
P (T ) = P
(2)
mit
P ( t ) = P ( 0 ) er t
bg
Gesucht: P 0 und T die (1) und (2) erfüllen.
Preisanstieg im GG:
P (t ) = P (0) er t
⇒ x D ( P ) fällt
⇒ x S fällt wegen x S = x D
⇒ natürliche Ressourcen- Erhaltung
Fig. 4.2
9
Zur Niveaubestimmung der Variablen (z.B. P(t ) ) benötigt man Informationen über den
Bestand der Ressource, die Reserve
N.B.
∫
T
0
∫
Oder
T
0
X dt = S
X ( P ( 0 ) er t ) dt = S
bg
Gesucht: P 0 und T zur Bestimmung eines Abbaupfades zur Erschöpfung der Ressource.
Annahme (Fig. 4.3): Bei Choke-Preis P ist die Nachfrage null weil ein Substitut attraktiver
geworden ist (backstop–Technologie ). Beim Übergang zur backstop-Technologie muß die
Ressource erschöpft sein, denn ein späterer Verkauf der Restmenge zu P ist nicht optimal, da
man den Erlös der Ressource vorher bei Verkauf mit Zins hätte anlegen können.
bg
1. Positive Relationen zwischen P 0 und T aus der Ressourcenbeschränkung mit Hotelling
Regel:
T
S = ∫ X ( P ( 0 ) e r t ) dt
(1)
0
siehe SS Kurve in Fig. 4.4.
2. Negative Relation zwischen P ( 0 ) und T aus Choke–Preis Bedingung mit Hotelling
Regel:
P = P ( 0) er T
(2)
*
Siehe DD Kurve in Fig. 4.4; Ist P ( 0 ) niedrig so wird T lang bis P erreicht wird. P ( 0 )
10
und T * erfüllen beide Bedingungen.
Fazit: P steigt ⇒ X fällt ⇒ S wird langsamer abgebaut
⇒ automatische Schonung der Ressourcen.
P
P
t
T∗
Figure 4.3. An industrial substitute for the natural product can be produced at a constant
(choke) price P . The price of the natural product rises at the rate of interest. exhausting
c h
reserves when P is reached.
T
SS
(1)
T∗
DD
bg
P0
(2)
bg
P0
∗
c b gh and the time cT h it takes
∗
Figure 4.4. Simultaneous determination of the initial price P 0
for the initial price to rise to the industrial price when reserves are exhausted.
Figure 4.5
P(t)
D
The shaded area represents
the initial stock of ore. It is
exactly exhausted at the same
time T * that the price of the
natural product reaches the
price of the industrial
substitute.
bg
P∗ 0
D
x
P* (T ) = P
Time
s
T∗
T∗
Time
11
Probleme:
1. S ist unbekannt; Höhe unsicher
2. r wird "zu hoch" angesetzt. Teil der Ressource bleibt im Boden, wenn der Übergang zur
Backstop Technologie erfolgt.
af
⇒ P 0 müsste gesenkt werden und die Abbauraten in der Gegenwart waren höher als
bei niedrigem Zins und höherem P ( 0 ) .
P(t)
P
r hoch
r niedrig
P1 (0)
P 2 (0)
t
Fig. 4.6
T2 T1
Fig. 4.6: Bei höherem Zins steigt der Preis schneller (die Abbaumengen fallen schneller).
Daher ist ein niedriger Anfangspreis erforderlich, um beim höheren Zins einen Teilabbau zu
vermeiden.
Abbaukosten und Royalties
Royalty (Pacht) oder Wert des Eigentumsrechtes einer Einheit im Boden (Grundstückskosten
samt aller Nutzungsrechte des Ressourcenvorrats darunter)
qR = P − c
c - Abbaukosten als Portfolio-Anpassungskosten
Annahme: c = const
12
Kapitalgewinn der Ressource im Boden, wenn P steigt:
∆qR = ∆P − ∆c
Vermögenszuwachs im Fall der Schonung: ∆qR ⋅ R
mit
da
∆qR = ∆P
(3)
c = constant
Vermögenszuwachs im Fall des Abbaus: r ⋅ qR ⋅ R
(4)
(3)
⇒
Die Ressource im Boden muß im Wert steigen gemäß der Hotelling Regel; d.h.
(4)
qɺ R / q R = r wie im Fall des kostenlosen Abbaus. Der Wert des Aktivposten muß mit
dem Zinssatz r steigen qR (t ) = qR (0) ert .
Es ist
p ( t ) = qR ( t ) + c = qR ( 0 ) e rt + c ,
also
pɺ ( t ) = qɺ R ( t ) = r qR ( t )
und
pɺ ( t )
p (t )
=r
qR ( t )
p (t )
=r
qR ( t )
qR ( t ) + c
<r
13
Versuch einer Bestimmung des Wertes einer Grube (Mine)
Nutzen aus dem Besitz einer Mine:
π (t ) = p(t ) x(t ) − c ⋅ x(t ) = qR (t ) ⋅ x(t )
q R als Royalty, die der Grubenbesitzer an sich selbst bezahlt als Nettonutzen aus dem Besitz
der Ressource.
Gegenwartswert:
T
T
T
t =0
0
0
V = ∫ e − rtπ ( t ) dt = ∫ e − rt ( p − c ) x dt = ∫ e − rt qR ( t ) x ( t ) dt
Mittel zur Max. des Gegenwartswertes der Mine ist die Hotelling Regel:
qR ( t ) = qR ( 0 ) e rt
T
T
0
0
⇒ V = ∫ e − rt qR ( 0 ) ert x ( t ) dt = ∫ qR ( 0 ) x(t ) dt
Mit der Abbaubedingung:
∫
T
t =0
⇒
x ( t ) dt = S
V = qR ( 0 ) S
(4)
Wert der Mine
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Bemerkung: r fehlt, da der laufende Wert der Mine mit demselben Rate steigt (Hotelling
Regel) wie der Diskontfaktor abnimmt.
V
= P ( 0 ) − c ≈ qR
s
(4)
Der Wert der verbliebenen Ressource pro Einheit zu jedem Zeitpunkt entspricht dem
Gewinn/Royalty zu diesem Zeitpunkt.
Anwendung: (Test des Hotelling' schen Bewertungsprinzips)
Erklärt (4) einen wesentlichen Teil der beobachteten Variation im Marktwert der Reserven
von Mineralien? Miller und Upton verwenden Querschnittsdaten (über Firmen) und testen
Hotelling‘s Bewertungsprinzip mit dem Preis für Reserven (nicht Marktpreise für abgebaute
Mineralien). 39 Firmen mit Daten über geschätzte Reserven s, Verkaufspreise P und Kosten c
für die Produktion von Öl und Gas. Der Wert V der Öl und Gasfelder könnte über
Transaktionspreise bestimmt werden, diese sind aber selten. Als Proxi diente der Marktwert
der Aktien plus Wert der Außenstände der Firmen.
Regression:
V
=α + β
s
R 2 = 0.40
( P − c)
= −2.2 + 0.91 ( P − c )
⇒
Fig. 4.8
V
s
An empirical relation between market
values of mineral reserves and values
calculated using the Hotelling principle.
Value
..
20
..⋱
15
.. .
10
5
…∴
⋮⋱∴∴ ⋮⋱
∴∴⋮⋱.∴
p-c
5
10
Hotel
15
Marktwert der Ressource je EH entspricht in etwa dem gegenwärtigen Outputpreis
abzüglich Abbaukosten.
15
3.
Preisbildung bei Ressourcen (Neher, CH. 9, S. 162-173, dualer Ansatz)
Zentrales Problem der Ressourcenökonomik: Was ist der Wert der natürlichen Ressource und
wie entwickelt er sich (d.h. qR (t ) ).
Aufgabe eines Ressourcen-Managers: Der Abbauplan soll den Gegenwartswert der Ressource
maximieren. Dieser ist der diskontierte Wert eines Stromes von Gewinnen.
max V =
k x ( t )p
NB
z
T
0
a f
p ⋅ x − C x, R e − rt dt
Rɺ = − x
x - Kontrollvariable, R – Zustandsvariable.
Man bezieht die sich ergebende Änderung im Wert der Ressource mit in die Maximierung
ein:
bg bg
λ t ⋅ R t = Wert der natürlichen Ressource
λ - Schattenpreis, Ko - Zustandsvariable oder Ressourcenpreis.
Die Ressource ändert sich im Wert, wenn Preis oder Bestand sich ändern
b g
d
λ ⋅ R = λ ⋅ Rɺ + R ⋅ λɺ
dt
Dieser Wert wird zum Gewinn addiert
max
x, R
T
∫ ( px − C ( x, R ) ) e
0
− rt
+ λ ⋅ Rɺ + R ⋅ λɺ  dt
Nun wird jeder Term unter dem Integral zu jedem Zeitpunkt maximiert
max
x, R
N.B.
Rɺ = − x
( px − C ( x, R ) ) e
− rt
+ λ ⋅ Rɺ + R ⋅ λɺ
16
Wir schreiben:
max
( p ⋅ x − C ( x, R ) + λ e Rɺ ) e
max
p ⋅ x − C ( x, R ) + q ( − x ) ) e
(
rt
− rt
+ R ⋅ λɺ
oder
R
− rt
+ R ⋅ λɺ
mit
qR = λ ⋅ e rt
H
H-Hamiltonfunktion
Es ist λ ( t ) der Gegenwartswert des Schattenpreises der Ressource und qR ( t ) der laufende
Wert des Schattenpreises.
Optimierungsbedingungen:
(MP)
H x = ( p − qR ) − C x = 0 ;
(PB)
H R e − rt + λɺ = 0
(1) Es ist:
oder
d.h. p − qR = C x ( x, R )
λɺ = − H R e− rt = CR e− rt
qɺ R = λ ⋅ r ⋅ e rt + λɺ e rt = r ⋅ q R + e rt ⋅ λɺ
λɺ aus (PB) eingesetzt in (1):
qɺ R = r qR + e rt ( CR ⋅ e − rt ) = r qR + CR = r qR − H R
⇒
( PB )
qɺ R = r qR + CR ( x, R )
Wäre “>“ statt „=“, so stiege bei diesem Pfad von qR (t ) der Wert der Ressource im Boden
stärker an als der Ertrag auf der Bank abzüglich Wertverlust von R als Kostensenkungsfaktor.
Ferner:
(DC)
Rɺ = H qR
oder
Rɺ = − x
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Die 3 Bedingungen beschreiben nur die Bewegungen innerhalb des Systems. Zu lösen ist ein
System von 2 Differentialgleichungen. Man setze x aus (MP) in (PB) und (DC) ein:
qɺ R = f ( qR , R; p ) ,
Rɺ = h ( qR , R, p )
Doch wo soll das System hin und wo und wie soll es beginnen? R(0) ist bekannt, aber nicht
q R (0) . Wenn das System in T enden soll, müssen die "Transversality" Bedingungen in T
erfüllt sein.
(TC 1)
qR (T ) ⋅ R (T ) = 0 (der Kapitalstock darf keinen Wert zum Endzeitpunkt T haben)
(TC 2)
H T = π T + q R T ⋅ Rɺ T = 0
bg bg bg bg
Das Programm sollte beendet sein, wenn der Netto-cash-flow plus dem Wert der Investition
Null ist.
18
Ein 2 - Perioden Modell (Perman u.a., S. 510 f) aus gesamtwirtschaftlicher Sicht
(Makro) (Sozialer Planer)
t = 0,1
pt = a − b ⋅ xt
(− x = Rɺ )
p
a
KR aus der R.
Die N-Kurve impliziert, dass die R. entweder nicht essentiell ist
(x = 0 bei p = a) oder dass es eine Backstop-Technology gibt
(Substitut).
a-bx
a/b
xt
x
xt
= B ( xt ) = ∫ ( a − b ⋅ x ) dx
Benefit
0
b 2
xt
2
(Brutto-Benefit)
= a ⋅ xt −
Netto-Benefit
NBt = B ( xt ) − C ( xt )
Es sei
C ( xt ) = c ⋅ xt
NB ( xt ) = a ⋅ xt −
b 2
xt − c ⋅ xt
2
Ziel: Herleitung eines gesellschaftlich optimalen Abbauprofils ( ρ – gesellschaftliche
Diskontrate)
W = NB0 +
(1) NB

U1 
 ≈ U0 +

1+ ρ 

NB1
1+ ρ
x0 + x1 = S
max W = NB0 +
x0 , x1
NB1
1+ ρ
NB. x0 + x1 = S
19
L = W + λ ( x0 + x1 − S ) = a ⋅ x0 −
b 2
x0 − c ⋅ x0 +
2
b 2
x1 − c ⋅ x1
2
+ λ ( x0 + x1 − S )
1+ ρ
a ⋅ x1 −
FOC:
(2)
∂L
= a − b x0 − c + λ = 0
∂ x0
(3)
∂ L a − b x1 − c
=
+λ =0
∂ x1
1+ ρ
⇒
a − b x0 − c + λ =
⇒
p0 − c =
a − b x1 − c
+λ
1+ ρ
p1 − c
1+ ρ
( p1 − c ) − ( p0 − c ) = ρ
oder
( pt − c ) − ( pt −1 − c ) = ρ
p0 − c
pt −1 − c
Hotelling
p − c = Royalty
ρ – soz. Diskontrate bewertet die Zukunft versus Gegenwartsnutzen aus R.
Wählt die Gesellschaft ρ = 0.1 , dann erfordert ein effizientes Abbauprogramm einen
Nettoressourcenpreis-Anstieg von 10%.
Wie hoch sollte aber p0 in Periode 0 sein, wenn W maximiert werden soll?
p0 und p1 für ein optimales Abbauprogramm folgt aus:
p0 = a − b x0
p1 = a − b x1
x0 + x1 = S
p1 − c = (1 + ρ )( p0 − c )
4 Gleichungen für 4 Unbekannte p0 , p1 , x0 , x1
T = 2 vorgegeben
20
Mehrperiodenmodell (T endogen)
x
Es sei jetzt c = 0 oder gering und U ( x) = ∫ p ( x) dx .
0
Nutzen aus dem Konsum von R.
Es ist
p
dU
= p( x)
dx
(*)
p
U(x)
T
max W = ∫ U ( xt ) e − ρ t dt
{ xt },T
s.t.
0
x
Rɺt = − xt
t
T
0
0
mit Rt = S − ∫ xt dt ,
H = U ( x ) − qR ⋅ x
(PB)
qɺ R = ρ qR − H R = ρ qR
⇒
qR (t ) = e ρ t qR (0)
∫
x
xt dt = S
(MP)
H x = U x − qR = 0
⇒
U x ⋅ e− ρt = qR (0)
(disk. Grenznutzen muss zu jedem Zeitpunkt der gleiche sein) (anderenfalls verschiebe man
Abbau x von Periode mit geringem disk. Nutzen zu Periode mit höherem disk. Nutzen).
(*)
⇒
pt e − ρ t = constant = p0
⇒
pt = p0 e ρ t
⇒
pɺ t
=ρ
pt
Info für eine vollständige Lösung
p
Anfang (t=0)
p0 = ?
Mitte (t>0)
pt = p0 e ρt
x
x0 = ?
xt = ?
Abbauzeit
Ende (t=T)
pT = p0 e ρT
oder
= p = choke price
xT = ? = 0
T =?
Erforderlich für Antworten: Spezifikation von p ( x) , z.B. p ( x) = K e − ax bei Perman u.a.,
S. 516-517, Tab. 15.2 (siehe Skript S. 23)
x0 = x0 ( ρ , S , a ) , xt = xt ( ρ , a, T − t ) , T = T ( ρ , a, S ) .
21
4.
Intertemporal optimale Abbauprogramme
4.1.1 Kostenlose Produktion
(Neher. CH. 15, S. 271-281)
X = ∑ xi
Aggregierte Abbaumenge
T
∫ ( ∑ x ) dt ≤ S
Ressourcenbeschränkung:
i
0
Gesucht: Bedingungen, bei denen die gewinnmaximierenden Entscheidungen der einzelnen
Firmen zum optimalen Abbaupfad für die Branche führen.
Die i-te Firma maximiert:
T
V = ∫ P ⋅ xi ⋅ e − rt dt
(1)
Rɺ = − X
(2)
H = P ⋅ xi + qR ⋅ Rɺ = P ⋅ xi − qR ⋅ X
(3)
max
0
xi
⇒
H xi = 0
(MP)
(PB)
also
(Hotelling)
qɺ R = r qR
Pɺ = r P
Mengenrückgang folgt aus
PB
oder
b g
Pɺ = P ′ X Xɺ
rP
Xɺ =
P′ ( X )
MP
(DC)
c=0
qɺ R = r qR − H R
⇒
⇒
da
P = qR
⇒
P ( t ) = P ( 0 ) e rt
wegen P = P ( X )
Xɺ
= r ⋅ ε X ,P < 0
X
Rɺ = HqR = − X
Gemäß unserem Wohlfahrtsoptimierenden Problems im vorangegangenen Abschnitt und
diesem Abschnitt ergeben sich zwei verschiedene Effizienzbedingungen:
Pɺ
=ρ
P
und
Pɺ
=r
P
Die erste ergibt sich aus der Maximierung der sozialen Wohlfahrt, die letztere aus der privaten
Gewinnmaximierung. Bei ρ = r sind beide Lösungen gleichwertig.
22
4.1.2 Ressourcenabbau in einem monopolistischen Markt
T
max
Xt
NB
∫ P( X ) X e
− rt
dt
c=0
0
Rɺ = − X
T
∫
X dt = S
0
Aus demselben Grund wie im Fall der vollständigen Konkurrenz erhält man die
gewinnmaximale Lösung indem man einen Pfad für X so wählt, dass der diskontierte
marginale Gewinn zu jedem Zeitpunkt t derselbe ist:
Aus
H = P ( X ) X + qR ⋅ Rɺ
= P ( X ) X − qR ⋅ X
folgt für die FOC
dH
= MR − qR = 0
d X
(PB) qɺ R = r qR
⇒ qR ( t ) = qR ( 0 ) ert
Also
MR ( t ) = qR ( 0 ) e rt
oder
MR ( t ) e − rt = qR ( 0 ) = const.
Im Konkurrenzmarkt ist der Grenzerlös gleich dem Preis. Im monopolistischen Markt ist der
Preis nicht fix sondern hängt von der Wahl des Outputniveaus ab. Im monopolistischen Markt
soll der Grenzerlös (hier gleich Grenzgewinn) und nicht der Nettopreis oder die Royalty mit
dem Zinssatz steigen um den abdiskontierten Gewinn über die Zeit zu maximieren.
Die Lösung des Monopolproblems bei entsprechender Spezifizierung der Nachfragefunktion
P ( X ) findet man im Appendix 15.2 bei Perman u.a. (2003). Die Ergebnisse dieser
Berechnungen stehen in Tabelle 15.3.
23
4.1.3 Ein Vergleich zwischen einem Wettbewerbs- und einem monopolistischem
Abbauprogramm
Nachfolgend geben wir in Tabelle 15.2 und 15.3 aus Perman u.a. (2003), die optimalen
Lösungen für das soziale Wohlfahrtsoptimum, für das Modell der vollständigen Konkurrenz
und für den Monopolfall an. Bei Perman ist die Abbaumenge nicht x sondern R, und der
Marktzins nicht r sondern i.
24
Zuerst ist festzuhalten, dass der gewinnmaximale Abbauplan im Konkurrenzmodell mit dem
sozial optimalen Abbauplan zusammenfällt, wenn der Marktzins r ( = i ) und die soziale
Konsumdiskontrate gleich hoch sind.
Zweitens unterscheidet sich der gewinnmaximale Abbauplan im Fall der vollständigen
Konkurrenz von dem im Monopolfall, d.h. die Monopollösung ist suboptimal aus Sicht der
Wohlfahrtsmaximierenden Behörde.
Entsprechend der Wahl der funktionalen Form der Nachfragefunktion dauert es beim
Monopol
h = 1.6 mal länger die Ressource vollständig abzubauen als im Fall der
vollständigen Konkurrenz.
Wie Fig. 15.4 zeigt, wird der anfängliche Nettopreis im Monopolfall höher sein, und die Rate
des Preisanstieges wird langsamer sein. Der Abbau der Ressource wird anfangs im
Monopolfall langsamer sein, aber gegen Ende des Erschöpfungszeitpunktes schneller. Das
Monopol ist ein „Freund der Abbaugegner“, da es den Zeitpunkt der Erschöpfung der
Ressource in die Zukunft verschiebt. Diese Schlussfolgerung ist aber nicht zwingend. Nimmt
man eine isoelastische Nachfragekurve vom Typ
X = α ⋅ P −ε
an, so sind die
Abbauprogramme bei vollständiger Konkurrenz und beim Monopol identisch. In Fig. 15.4
reduziert der Monopolist anfänglich die Menge und erhöht den Preis im Vergleich zur
vollständigen Konkurrenz. Die Rate der Preiserhöhung wird jedoch langsamer sein als unter
vollständiger Konkurrenz. Schließlich ergibt sich eine Verlängerung des Zeithorizontes, über
den der Monopolist die Ressource abbaut.
25
4.1.4 Komparative dynamische Analyse im Modell des Ressourcenabbaus bei
kostenloser Produktion
Im Kapitel 15.6 von Perman u.a. (2003) werden folgende Auswirkungen bei Änderungen in
den Parametern des Grundmodells untersucht:
1. Die Auswirkung einer Erhöhung des Zinssatzes auf den optimalen Preis der Ressource
(Fig. 15.5 und Fig. 15.6).
2. Eine Erhöhung des Bestandes der Ressource (Fig. 15.7 und Fig. 15.8).
3. Die Auswirkung einer Nachfrageerhöhung nach der Ressource (Fig. 15.9).
4. Eine Preissenkung der backstop Technology (Fig. 15.10).
5. Ein Anstieg der Abbaukosten (Fig. 15.11 und Fig. 15.12).
26
27