Biostatistik, Sommer 2017 - staff.uni

Biostatistik, Sommer 2017
Prof. Dr. Achim Klenke
http://www.aklenke.de
7. Vorlesung: 02.06.2017
1/52
Inhalt
1
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
2
Verteilungen
Diskrete
Stetige
2/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel
Wir werfen einen fairen sechsseitigen Würfel, nennen das
Ergebnis X und betrachten die Ereignisse
A := {X ≤ 3} = Augenzahl Drei oder kleiner“,
”
B := {X ∈ {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade“.
”
Offenbar ist P[A] = 21 und P[B] = 12 . Wie groß ist aber die
Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn wir schon wissen, dass
A eintritt?
Wenn A eintritt, nimmt X die Werte 1,2,3 mit gleicher
Wahrscheinlichkeit an. Also: gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
1/3.
3/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition
Seien A und B Ereignisse. Wir definieren die bedingte
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, gegeben, dass A
eintritt, durch


 P[A ∩ B] ,
falls P[A] > 0,
P[A]
P[B |A] =


0,
sonst.
4/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel (Fortsetzung)
A := {X ≤ 3} = Augenzahl Drei oder kleiner“,
”
B := {X ∈ {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade“.
”
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B eintritt, gegeben, dass A
eintritt, ist
P[B |A] =
P[A ∩ B]
P[X = 2]
1/6
1
=
=
= .
P[A]
P[X ∈ {1, 2, 3}]
1/2
3
5/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel 2: Zweifacher Würfelwurf
X1 = Augenzahl erster Wurf, X2 = Augenzahl zweiter Wurf,
S = X1 + X2 = Augensumme.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Wurf
höchstens eine Drei ist, wenn die Augensumme genau Acht ist?
A := {S = 8} = (X1 , X2 ) ∈ {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} ,
B := X1 ∈ {1, 2, 3} .
P[B |A] =
P[A ∩ B]
P[(X1 , X2 ) ∈ {(2, 6), (3, 5)}]
2/36
2
=
=
= .
P[A]
P[S = 8]
5/36
5
6/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Totale Wahrscheinlichkeit
Beispiel
Der Lehrer lässt heute einen Englischtest schreiben und wählt
zufällig aus, ob es ein Aufsatz (20%) wird, ein Diktat (70%) oder
eine Inhaltsangabe (10%). Ihre Chancen für eine Eins sind
unterschiedlich: 90% bei einem Aufsatz, 10% bei einem Diktat
und 30% bei einer Inhaltsangabe.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Eins
schreiben?
Angenommen, Sie haben eine Eins, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Aufsatz geschrieben wurde?
7/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Totale Wahrscheinlichkeit
Beispiel (Fortsetzung)
A1 = Aufsatz“, A2 = Diktat“, A3 = Inhaltsangabe“
”
”
”
B = Sie haben eine Eins“.
”
i
P[Ai ] P[B |Ai ]
P[B ∩ Ai ]
P[Ai |B]
1
2
3
0.2
0.7
0.1
Summe
1
0.9
0.1
0.3
0.18
0.07
0.03
P[B] = 0.28
0.18/0.28 = 0.64
0.07/0.28 = 0.25
0.03/0.28 = 0.11
1
Die W’keit, eine Eins zu schreiben ist P[B] = 0.28.
Die W’keit, dass der Test ein Aufsatz war, gegeben, dass Sie
eine Eins haben, ist P[A1 |B] = 0.64.
8/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bayes’sche Formel
Satz (Bayes’sche Formel)
Seien A1 , . . . , An Alternativen und B ein Ereignis. Dann gilt
P[B |Ak ] P[Ak ]
P[Ak |B] = Pn
.
i=1 P[B |Ai ] P[Ai ]
Speziell ist
P[A|B] =
P[B |A] P[A]
.
P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ]
9/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bayes’sche Formel
Beispiel
Es sind 0.5% der Bevölkerung mit HIV infiziert (Prävalenz).
Ein Test erkennt eine HIV Infektion mit 95%
Wahrscheinlichkeit (Sensitivität).
Bei einer nicht-infizierten Person schlägt der Test mit
Wahrscheinlichkeit 6% dennoch an (Spezifität 94%).
(i) Bei wie viel Prozent aller getesteten Personen schlägt der
Test an (korrekt oder fehlerhaft)?
(ii) Bei einer zufällig gewählten Person schlägt der Test an. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person
tatsächlich krank ist?
10/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bayes’sche Formel
Beispiel (Fortsetzung)
A = Person infiziert“, B = Test schlägt an“,
”
”
Prävalenz: P[A] = 0.005
Sensitivität: P[B |A] = 0.95
Spezifität: P[B c |Ac ] = 0.94, also P[B |Ac ] = 0.06.
(i) Totale Wahrscheinlichkeit:
P[B] = P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ]
= 0.95 · 0.005 + 0.06 · 0.995 = 0.064 = 6.4%.
11/52
Wahrscheinlichkeit
Bayes’sche Formel
Bayes’sche Formel
Beispiel (Fortsetzung)
A = Person infiziert“, B = Test schlägt an“,
”
”
Prävalenz: P[A] = 0.005
Sensitivität: P[B |A] = 0.95
Spezifität: P[B c |Ac ] = 0.94, also P[B |Ac ] = 0.06.
(ii) Bayes’sche Formel: Gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
P[A|B] =
=
P[B |A] P[A]
P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ]
0.95 · 0.005
= 0.074 = 7.4%.
0.95 · 0.005 + 0.06 · 0.995
12/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale
100 Samenkörner. Wie viele keimen nach zwei Tagen?
Modellannahme: Das Keimen ist unabhängig voneinander und
mit Wahrscheinlichkeit p der Fall.
Mathematische Formulierung: X1 , X2 , . . . , X100 Zufallsvariablen
mit Wertebereich W = {0, 1}.
1,
falls i-ter Samen gekeimt hat,
Xi =
0,
sonst.
Modellannahme liefert: Zufallsvariablen sind unabhängig und
P[Xi = 1] = p für jedes i = 1, . . . , 100. (Bernoulli-Verteilung).
S :=
100
X
Xi = Anzahl gekeimte Samen.
i=1
Welche Verteilung hat die Zufallsvariable S?
13/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (2)
Zufallsvariablen sind unabhängig und P[Xi = 1] = p für jedes
i = 1, . . . , 100.
S :=
100
X
Xi = Anzahl gekeimte Samen.
i=1
P[S = 0] = P[X1 = 0 und X2 = 0 und ... und X100 = 0]
"100
#
\
{Xi = 0}
=P
i=1
= P[X1 = 0]100 = (1 − p)100 .
14/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (3)
P[S = 1] = P[X1 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1]
+ P[X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 2]
..
.
+ P[X100 = 1 und Xi = 0 für i 6= 100]
=100 P[X1 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1]
=100 p(1 − p)99 .
15/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (4)
P[S = 2] = P[X1 = X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 2]
+ P[X1 = X3 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 3]
..
.
+ P[X99 = X100 = 1 und Xi = 0 für i 6= 99, 100]
1
=100 · 99 · P[X1 = X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 2]
2
100 · 99 2
=
p (1 − p)98 .
2
16/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (5)
100 · 99 · 98 P[S = 3] =
P X1 = X2 = X3 = 1 und
2·3
Xi = 0 für i 6= 1, 2, 3
100 · 99 · 98 3
p (1 − p)97 .
=
2·3
17/52
Verteilungen
Diskrete
Anzahl der Erfolge
Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (6)
Für jedes k = 0, . . . , 100 gilt
P[S = k] = b100,p (k)
100 · 99 · · · (100 − k + 1) k
:=
p (1 − p)100−k .
2 · 3··· · k
b100,p heißt Binomialverteilung mit Parametern 100 und p.
18/52
Verteilungen
Diskrete
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Binomialverteilung b100,0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 19/52
Verteilungen
Diskrete
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Binomialverteilung b100,0.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 20/52
Verteilungen
Diskrete
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Binomialverteilung b100,0.8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 21/52
Verteilungen
Diskrete
0.00
0.10
0.20
0.30
Binomialverteilung b100,0.98
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 22/52
Verteilungen
Diskrete
Allgemeine Form der Binomialverteilung
Sei S die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen
Zufallsexperimenten, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit
p einen Erfolg zeigen. Dann gilt für k = 0, . . . , n
n k
P[S = k] = bn,p (k) :=
p (1 − p)n−k ,
k
wobei der Binomialkoeffizient
n
n!
=
k!(n − k )!
k
die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, k Objekte aus n
Objekten auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge).
bn,p heißt Binomialverteilung mit Parametern n und p.
23/52
Verteilungen
Diskrete
Seltene Ereignisse
Beispiel
In Deutschland werden pro Jahr im Mittel 8 Blitztote registriert.
Wie groß ist Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in diesem Jahr
genau 5 Blitztote gibt?
Annahme: Für jeden der n = 80 000 000 Bundesbürger besteht
die gleiche Wahrscheinlichkeit p, dieses Jahr vom Blitz getroffen
zu werden. Die Ereignisse sind unabhängig. Im Mittel werden
also np = 8 Menschen vom Blitz getroffen. Es folgt
p = 8/80 000 000 = 10−7 . Also ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
b80 000 000,10−7 (5) = 0.0916.
24/52
Verteilungen
Diskrete
Poissonverteilung
Bezeichnet S die Anzahl von Erfolgen bei sehr kleiner
Erfolgswahrscheinlichkeit p und sehr großer Anzahl von
Versuchen n, und ist λ := pn, so gilt (approximativ)
λk
für k = 0, 1, 2, . . . .
k!
Diese Verteilung heißt Poissonverteilung Poiλ mit Parameter λ.
Der Parameter λ gibt die mittlere Anzahl von Erfolgen an.
P[S = k] = e−λ
Beispiel Blitztote
Anzahl der Blitztoten ist etwa Poisson-verteilt mit λ = 8.
Wahrscheinlichkeit für genau 5 Blitztote ist also etwa
Poi8 (5) = e−8
85
= 0.0916.
5!
Vergleich mit exakter Rechnung: sehr gute Näherung.
25/52
Verteilungen
Diskrete
Poissonverteilung
Beispiel: Radioaktiver Zerfall
Pro Sekunde misst ein Geigerzähler im Mittel 3 radioaktive
Zerfälle. Anzahl X der Zerfälle in einer gegebenen Sekunde ist
zufällig. Verteilung von X ?
Zerlegung in Mikrosekunden: in jeder Mikrosekunde mit
Wahrscheinlichkeit 3/1 000 000 ein Zerfall. Seltene Ereignisse,
unabhängig nach dem Paradigma der Physik Atome altern
”
nicht“.
Also ist X Poisson-verteilt mit Parameter 3.
26/52
Verteilungen
Diskrete
Poissonverteilung
Beispiel: Morde in New York
In den ersten 320 Tagen des Jahres 2012 wurden in New York City 400
Tote durch Gewaltverbrechen registriert. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag exakt k Tote
registriert werden?
Modellierung: Poissonverteilung mit Parameter λ = 400
= 1.25. Also
320
P[ exakt k Tote ] = e−1.25
1.25k
.
k!
Speziell ist
P[ kein Toter ] = e−1.25 = 0.287.
Die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein ganzes Jahr lang an jedem
Tag mindestens ein Toter registriert wird, ist demnach
p = (1 − e−1.25 )365 = 3.07 × 10−54 .
27/52
Verteilungen
Diskrete
Hypergeometrische Verteilung
Definition
In einer Population der Größe N tragen K Individuen ein
bestimmtes Merkmal. Nacheinander werden n Individuen (ohne
Rücklegen) untersucht. Sei X die Anzahl der Beobachtungen
des Merkmals unter diesen n Individuen.
Dann ist
K
N −K
k
n−k
P[X = k] = HypK ,N−K ,n (k) :=
.
N
n
HypK ,N−K ,n heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern
K , N − K und n.
28/52
Verteilungen
Diskrete
Hypergeometrische Verteilung
Beispiel
Wie groß ist beim Skat die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
Geber genau drei Asse erhält?
N = 32, K = 4, n = 10.
Wahrscheinlichkeit ist
4 28
66
3
7
Hyp4,28,10 (3) = = . . . =
= 0.0734.
32
899
10
29/52
Verteilungen
Diskrete
Zusammenfassung wichtiger diskreter Verteilungen
Wartezeit auf ersten Erfolg: geometrische Verteilung
γp (k) = (1 − p)k p,
für k = 0, 1, 2, . . . .
Anzahl der Erfolge unabhängiger Versuche:
Binomialverteilung
n k
p (1 − p)n−k für k = 0, . . . , n.
bn,p (k) =
k
Anzahl der Erfolge seltener Ereignisse mit Mittel λ:
Poissonverteilung
Poiλ (k) = e−λ
λk
,
k!
für k = 0, 1, 2, . . . .
Anzahl gezogener markierter Objekte (ohne Rücklegen):
Hypergeometrische Verteilung
K
N −K
k
n−k
HypK ,N−K ,n (k ) :=
.
N
n
30/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Die Verteilung mit Dichte
1
2
f (t) = √ e−t /2 ,
2π
t ∈ R,
heißt Standardnormalverteilung N0,1 .
31/52
Verteilungen
Stetige
0.3
0.4
Dichte der Standardnormalverteilung
0.0
0.1
0.2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
32/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Die Verteilung mit Dichte
1
2
f (t) = √ e−t /2 ,
2π
t ∈ R,
heißt Standardnormalverteilung N0,1 .
Ist Z standardnormalverteilt, dann ist
1
P[Z ≤ x] = Φ(x) := √
2π
Z
x
e−t
2 /2
dt.
−∞
Die Werte der Verteilungsfunktion
Φ(x) = P[Z ≤ x],
x ∈ R,
sind tabelliert für x ≥ 0. Z.B. im Tabellenwerk, das online steht.
Für x < 0 benutzt man
Φ(x) = 1 − Φ(−x).
33/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Sei Z standardnormalverteilt.
Satz
P[Z ≤ x] = Φ(x) = 1 − Φ(−x).
P[Z ≥ x] = 1 − Φ(x) = Φ(−x).
P[x1 ≤ Z ≤ x2 ] = Φ(x2 ) − Φ(x1 )
für x1 < x2 .
34/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Sei Z standardnormalverteilt.
P[Z ≤ 1.55] = Φ(1.55) =
35/52
Tabelle Normalverteilung Φ
x
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
1
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
2
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
3
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
4
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
5
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
6
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
7
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
8
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
9
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.7157
.7486
.7794
.8079
.8340
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9485
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9762
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
.9773
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9865
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2.50
2.60
2.70
.9938
.9953
.9965
.9940
.9955
.9966
.9941
.9956
.9967
.9943
.9957
.9968
.9945
.9959
.9969
.9946
.9960
.9970
.9948
.9961
.9971
.9949
.9962
.9972
.9951
.9963
.9973
.9952
.9964
.9974
Verteilungen
Stetige
Tabelle Normalverteilung Φ
x
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
0
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
1
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
2
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
3
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
4
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
5
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
6
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
7
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
8
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
9
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9485
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9762
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
.9773
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9865
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9941
.9956
.9967
.9976
.9983
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9949
.9962
.9972
.9980
.9985
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
Also: Φ(1.55) = 0.9394.
37/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Sei Z standardnormalverteilt.
P[Z ≤ 1.55] = Φ(1.55) = 0.9394.
38/52
Verteilungen
Stetige
0.3
0.4
Standardnormalverteilung P[Z ≤ 1.55] = 0.9394
0.0
0.1
0.2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
39/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Sei Z standardnormalverteilt.
P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = Φ(2.04) − Φ(−1.23).
Φ(2.04) =
Φ(−1.23) = 1 − Φ(1.23) =
40/52
Verteilungen
Stetige
Tabelle Normalverteilung Φ
x
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
0
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
1
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
2
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
3
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
4
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
5
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
6
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
7
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
8
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
9
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9485
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9762
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
.9773
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9865
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9941
.9956
.9967
.9976
.9983
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9949
.9962
.9972
.9980
.9985
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
Also: Φ(2.04) = 0.9793.
41/52
Verteilungen
Stetige
Tabelle Normalverteilung Φ
x
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
0
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
1
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
2
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
3
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
4
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
5
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
6
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
7
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
8
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
9
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9485
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9762
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
.9773
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9865
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9941
.9956
.9967
.9976
.9983
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9949
.9962
.9972
.9980
.9985
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
Also: Φ(1.23) = 0.8907.
42/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Sei Z standardnormalverteilt.
P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = Φ(2.04) − Φ(−1.23).
Φ(2.04) = 0.9793
Φ(−1.23) = 1 − Φ(1.23) = 1 − 0.8907 = 0.1093.
Und damit
P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = 0.9793 − 0.1093 = 0.87.
43/52
Verteilungen
Stetige
0.3
0.4
Standardnormalverteilung P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = 0.87
0.0
0.1
0.2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
44/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Sei Z standardnormalverteilt.
P[Z ≥ 2] = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9773 = 0.0227.
45/52
Verteilungen
Stetige
0.3
0.4
Standardnormalverteilung P[Z ≥ 2] = 0.0227
0.0
0.1
0.2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
46/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Die Verteilung mit Dichte
1
2
f (x) = √ e−x /2 ,
2π
x ∈ R,
heißt Standardnormalverteilung N0,1 .
Ist Z standardnormalverteilt und µ ∈ R, σ > 0, so hat
X := µ + σZ die Dichte
1
2
2
e−(x−µ) /2σ .
fX (x) = √
2πσ 2
Die Verteilung von X heißt Normalverteilung Nµ,σ2 .
47/52
Verteilungen
Stetige
0.08
0.10
Dichte der Normalverteilung 110 + 4Z
0.00
0.02
0.04
0.06
4
94
98
102
106
110
114
118
122
126
48/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Sei X ∼ Nµ,σ2 . Dann ist X = µ + σZ mit Z
standardnormalverteilt. Also ist
X ≤ x ⇐⇒ µ + σZ ≤ x ⇐⇒ Z ≤
x −µ
.
σ
Satz
P[X ≤ x] = Φ((x − µ)/σ) = 1 − Φ(−(x − µ)/σ).
P[X ≥ x] = 1 − Φ((x − µ)/σ) = Φ(−(x − µ)/σ).
P[x1 ≤ X ≤ x2 ] = Φ((x2 − µ)/σ) − Φ((x1 − µ)/σ)
für x1 < x2 .
49/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel
Die Größe von fünfjährigen Mädchen ist im Mittel 110cm mit
einer Standardabweichung von 4cm. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mädchen
mindestens 103cm aber höchstens 120cm groß ist?
Annahme: Größe ist normalverteilt, also X ∼ Nµ,σ2 mit µ = 110
und σ = 4.
P[103 ≤ X ≤ 120] = Φ((120 − 110)/4) − Φ((103 − 110)/4)
= Φ(2.5) − Φ(−1.75) = Φ(2.5) − 1 + Φ(1.75)
= 0.9938 − 1 + 0.9599 = 0.9537.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 95%.
50/52
Verteilungen
Stetige
Verteilungen mit Dichte
Normalverteilung
Beispiel (Fortsetzung)
X ∼ Nµ,σ2 mit µ = 110 und σ = 4.
Alternative Berechnung mit R:
P[103 ≤ X ≤ 120] = P[X ≤ 120] − P[X ≤ 103]
= 0.954.
> pnorm( q=120, mean=110, sd=4 )
- pnorm( q=103, mean=110, sd=4 )
[1] 0.9537312
51/52
Verteilungen
Stetige
0.08
0.10
Normalverteilung P[103 ≤ 110 + 4Z ≤ 120] = 0.9537
0.00
0.02
0.04
0.06
4
94
98
102
106
110
114
118
122
126
52/52