Übungen zur Kombinatorik

Werner Kratz
Markus Wahrheit
SS/WS 04/05
27.01.2005
Blatt 14
Übungen zur Kombinatorik
Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 10.02.2005
53. Simultane diophantische Approximationen.
Beweise mit dem Dirichletschen Schubfachschluss: Für alle x = (xµ ) ∈ Rn , Q = mn mit
m ∈ N existieren q ∈ {1, . . . , Q} und P = (pµ ) ∈ Zn mit
p
µ
xµ − < 1 Q−1/n ≤ q −1− n1 für µ = 1, . . . , n.
q q
(6)
54. Regelmäßige Kettenbrüche.
Es sei x ∈ R. Die Kettenbruchentwicklung von x ordnet x induktiv eine Folge ξ1 , ξ2 , . . .
von reellen Zahlen und eine Folge a1 , a2 , . . . von ganzen Zahlen wie folgt zu:
Zunächst betrachten wir die Rekursion
pn+1 = pn−1 + an pn ,
qn+1 = qn−1 + an qn für n ∈ N
mit p0 = 1, q0 = 0, p1 = [x], q1 = 1 und
qn−1 x − pn−1 für n ∈ N,
an := qn x − p n falls qn x 6= pn ist. Im Fall qn x = pn bricht der Algorithmus im n-ten Schritt ab.
Desweiteren definieren wir ξ1 := x − [x] und
1
1
−
für n ∈ N,
ξn+1 :=
ξn
ξn
falls ξn 6= 0 ist, ansonsten bricht der Algorithmus im n-ten Schritt ab.
(a) Zeige:
(i) 0 ≤ ξn < 1 für alle n ∈ N, für die ξn existiert.
(ii)
qn x − p n
1
1
ξn = −
, an =
∈ N, ξn =
,
qn−1 x − pn−1
ξn
an + ξn+1
solange ξn 6= 0, d.h. qn x 6= pn gilt.
(iii)
1
x = [x] +
a1 +
a2 + · · · +
falls ξn 6= 0.
,
1
1
an + ξn+1
(iv)
pn+1
= [x] +
qn+1
1
a1 +
1
a2 + · · · +
1
an
für alle n ∈ N, für die diese Werte definiert sind.
(v)
(−1)n+1 (qn x − pn ) ≥ 0, |qn x − pn | < |qn−1 x − pn−1 |
für alle n ∈ N, für die diese Werte definiert sind.
(vi)
qn+1 pn − qn pn+1
q
p
= det n+1 n+1
qn
pn
= (−1)n
für alle n ∈ N, für die diese Werte definiert sind.
(vii)
x−
(−1)n+1
pn
1
pn
=
, |x − | ≤
1
qn
qn
qn qn+1
qn (qn−1 + ξn qn )
für alle n ∈ N, für die diese Werte definiert sind.
(viii) Die Kettenbruchentwicklung von x bricht genau dann ab, wenn x rational ist.
pn
(ix) Ist x irrational, so konvergiert
gegen x für n → ∞.
qn
(x) Es ist
"
√ !n
√ !n #
1
1+ 5
1− 5
qn ≥ √
−
2
2
5
für alle n ∈ N0 , für die qn existiert.
√
1+ 5
(b) Bestimme die Kettenbruchentwicklung für den goldenen Schnitt x =
.
2
(c) Berechne eine ganzrationale Approximation von e und π mittels der Kettenbruchentwicklung bis auf sechs Stellen nach dem Komma genau.
(14)
(*) 55. Zeige:
(i) N (q1 , q2 , 2) ≤ N (q1 − 1, q2 , 2) + N (q1 , q2 − 1, 2) für q1 ≥ 2, q2 ≥ 2, wenn man
N (q1 , 1, 2) = N (1, q2 , 2) := 1 definiert.
(q1 + q2 − 2)!
q1 + q2 − 2
=
für q1 ≥ 2, q2 ≥ 2.
(8)
(ii) N (q1 , q2 , 2) ≤
(q1 − 1)!(q2 − 1)!
q1 − 1
Hinweise zu diesen Aufgaben wird es ab Montag, den 07.02.2005,
auf der Homepage der Vorlesung geben.
URL: http://www.mathematik.uni-ulm.de/m5/wahrheit/kombinatorik/