TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT ¨Ubungsaufgaben zur

A
Fachbereich Mathematik
Dr. J. Creutzig
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
Übungsaufgaben zur Vorlesung ,,Gaußprozesse”
1. Blatt
Gruppenübungen
G 1: Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man verallgemeinere Teil (v) von Satz 1.4
wie folgt: Ist ξi , i ≤ n, eine Folge unabhängiger, N (0, 1)–verteilter Zufallsgrößen von Ω nach
P
P
2 1/2 ·ξ . Man folgere insbesondere, daß für
R, und ri ∈ R, so ist i≤n ri ξi verteilt wie
1
i≤n ri
jedes p ≥ 1 der von ξi , i = 1, . . . in Lp erzeugte abgeschlossene lineare Teilraum isometrisch
isomorph zu `2 ist. Hierbei ist Lp der normierte lineare Raum aller Zufallsgrößen ξ : Ω →
1/p
, und `2 der Banachraum aller Folgen (ai )i∈N mit k(ai )k`2 :=
R mit kξkLp := E |ξ|p
1/2
P
2
< ∞. (Dieser Teilraum ist sogar komplementiert, siehe z.B. Pisier, “The
i∈N |ai |
volukme of convex Bodies and Banach space Geometry”, p.15.)
G 2: Nach Satz 1.4 ist die Summe zweier unabhängiger normalverteilter Größen wieder
normalverteilt. Gilt dies auch für nicht unabhängige Zufallsgrößen?
G 3: Man berechne für n ∈ N das n–te zentrierte Moment E (ξ −a)n einer N (a, σ 2 )–verteilten
Größe.
G 4: a) Bestimmen Sie für eine N (a, σ 2 )–verteilte Zufallsgröße ξ zweiseitige Abschätzungen
für die Wahrscheinlichkeit P(|ξ − a| > T ).
b) Um den Mittelwert einer normalverteilten Zufallsgröße zu bestimmen,
erzeugen wir n
P
−1
unabhn̈gige Realisierungen x1 , . . . , xn von ξ, und setzen ā := n ( i≤n xi ). Nutzen Sie a),
um zweiseitige Abschätzungen für
P(|ā − a| > q)
zu finden. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der durch die übliche Chebycheff–Abschätzung
gewonnenen Ungleichung
σ2
P(|ā − a| > q) ≤ 2 .
nq
1
Hausübung
H 1: Zur Simulation normalverteilter Zufallsgrößen gibt es viele Vorschläge, man vergleiche
z.B. D. Knuth, “The Art of Computer Programming”, Bd.2, S.122–132, Moeschlin et al.,
“Experimental Stochastics”, p.64–71, und Gentle, “Random Number Generation and Monte
Carlo Methods”, p.88–92. Die meisten basieren auf der Annahme, man könne bereits eine
Folge von i.i.d. gleichverteilten [0, 1]–wertigen Zufallsgrößen simulieren. Sei also im folgenden U1 , U2 , . . . eine Folge von i.i.d. [0, 1]–gleichverteilten Zufallsgrößen. Wir betrachten vier
verschiedene Möglichkeiten:
(a) (Zentraler Grenzwertsatz) Man bilde
ξn := p
n
X
1
2n/3
(2Ui − 1) ;
i=1
für hinreichend großes n ist die Verteilung von ξn der einer N (0, 1)–Verteilung ähnlich.
(b) (Generische Methode) Mit der Verteilungsfunktion Φ der Normalverteilung berechnen
wir
ξ := Φ−1 (U1 ) ,
dann ist ξ normalverteilt.
(c) (Polarmethode, Box/Muller/Marsaglia): Es sei Vi = 2Ui − 1. Wir wählen den kleinsten
(zufälligen) Index i0 mit Si0 := V2i2 0 + V2i2 0 +1 ≤ 1, und setzen
s
ξ1 := V2i0
s
−2 ln Si0
,
Si0
ξ2 := V2i0 +1
−2 ln Si0
.
Si0
Dann sind ξ1 , ξ2 unabhängig und N (0, 1)–verteilt.
(d) (Box-Mueller-Methode): Wir setzen
p
r := −2 log(1 − U1 ) ,
ϕ := 2πU2 .
Dann sind
ξ1 := r cos(ϕ),
ξ2 := r sin(ϕ)
unabhaengig und standardnormalverteilt.
Aufgaben:
(i) Zeigen Sie, daß bei Methode (c) und (d) ξ1 , ξ2 tatsächlich unabhängig und N (0, 1)–
verteilt sind.
Hinweis: Man berechne die Verteilungen von Winkel und Radius eines zweidimensionalen Vektors von unabhängigen, N (0, 1)–verteilten Zufallsgrößen. Dieser hat die Dichte
p(x1 , x2 ) = (2π)−1 exp −(x21 + x22 )/2 .
Nun benutze man den Satz: Die Verteilung einer Zufallsvariablen (ϑ, r) in [0, 2π) ×
[0, ∞) ist durch die Verteilungsfunktion F (ϑ0 , r0 ) := P(ϑ < ϑ0 , r < r0 ) bereits eindeutig
bestimmt.
2
(ii) Diskutieren Sie die Vor– und Nachteile der vier Verfahren aus Sicht der Implementierung.
(iii) Testen Sie in der mathematischen Software Ihrer Wahl die Implementierung der Normalverteilung, z.B. indem Sie folgende Hypothesen mit statistischen Tests prüfen, oder
heuristisch, indem Sie die Ergebnisse vieler Versuche in einer Graphik darstellen.
p
1. Sind ξ1 , . . . , ξ2n die Ergebnisse von 2n Aufrufen, so sind die Zufallsgrößen (ξ1 , ξ2 )/ ξ12 + ξ22 , . . . ,
unabhängig und gleichverteilt auf dem Einheitskreis.
√
√
√
2. Die Folge (ξ1 + ξ2 )/ 2, (ξ1 − ξ2 )/ 2, . . . , (ξ2n−1 − ξ2n )/ 2 ist eine Folge von
i.i.d. N (0, 1)–Größen, also genau so verteilt wie die ursprüngliche Folge.
3. Ist εi eine
P Bernoullifolge (also i.i.d. mit P(εi = 1) = P(εi = −1) = 1/2), so ist die
Summe i≤n εi · ξi eine N (0, n)–verteilte Zufallsgröße.
Versuchen Sie auch in Erfahrung zu bringen, welches Verfahren Ihre Software anwendet.
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