200 Dynamik: Kräfte und Impuls 210 Ursache von Kräften 220 Fall
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200 Dynamik: Kräfte und Impuls 210 Ursache von Kräften 220 Fall- und Wurfbewegungen mit Luftwiderstand 230 Impuls um was geht es? Kräfte als Ursache von Beschleunigungen (da kommt die Physik ins Spiel) Kräfte als Impulsströme Beschreibung von Systemen mittels Kräfte und Impuls 211 Trägheit 211 Ziele • Trägheitsprinzip erklären können • Zentralkräfte bei Kreisbewegungen berechnen können 211 Theorie Kraftwirkung führt zu Beschleunigung: je grösser die Masse, desto gösser die Trägheit (es braucht mehr Kraft, um eine gewisse Beschleunigung zu erreichen a x Fx F ma m a y Fy a F z z 211 Theorie Kreisbewegung vt r r +r 211 Theorie Kreisbewegung vt (r r ) 2 (v t ) 2 r 2 r r +r 211 Theorie Kreisbewegung vt (r r ) 2 (v t ) 2 r 2 r r +r r 2 2r r r 2 (v t ) 2 r 2 211 Theorie Kreisbewegung vt (r r ) 2 (v t ) 2 r 2 r r +r r 2 2r r r 2 (v t ) 2 r 2 ( 2 r r ) r 211 Theorie Kreisbewegung vt (r r ) 2 (v t ) 2 r 2 r r +r r 2 2r r r 2 (v t ) 2 r 2 ( 2 r r ) r für r r 2 r r v 2 t 2 211 Theorie Kreisbewegung vt 2 r r v 2 t 2 r r +r 1 v2 2 r t 2 r 211 Theorie Kreisbewegung vt 2 r r v 2 t 2 r r +r 1 v2 2 1 2 r t at 2 r 2 211 Theorie Zentralkraft vt 2 r r +r v FZ m m aZ r 211 Theorie Winkelgeschwindigkeit ds v dt 211 Theorie Winkelgeschwindigkeit ds d v r dt dt 211 Theorie Winkelgeschwindigkeit ds d d r r v dt dt dt 211 Theorie Winkelgeschwindigkeit d ds d r r r v dt dt dt 211 Theorie Zentralkraft mit Winkelgeschwindigkeit vt 2 r r +r v FZ m m aZ r FZ mr 2 211 Theorie * FZ Zwei Perspektiven: ruhender Beobachter (Laborsystem) und Beobachter im rotierenden System vt r FZ r +r * FZ FZ 211 Theorie krummlinige Bewegungen az at az at 212 fundamentale Wechselwirkungen 212 Ziele • Analogie zwischen Gravitation und Elektrizität beschreiben können • Begriff fundamentale WW beschreiben können • Gravitationskräfte und elektrische Kräfte für Punktmassen bzw. Punkladungen berechnen können ‘‘Schwerebeschleunigung‘‘ g mME FMensch,Erde 2 nmME rmME Aus Gründen, die wir nicht detailliert besprechen, beziehen sich Distanzen in Gravitationsgesetzrechnungen (bei uns) immer auf die Distanz der jeweiligen Schwerpunkte der beiden Massen. ‘‘Schwerebeschleunigung‘‘ g mME ma 2 nmME rmME ME a 2 nmME rmME a const . g •Sie sehen, warum wir häufig g als "Erdbeschluenigung" bezeichnen. •Die Konstante g ist nicht wirklich konstant: Die obige Überlegung stimmt nur für eine perfekte Kugel mit einer Massendichte, die nur vom Abstand zum Mittelpunkt der kugel abhängt. Es stimmt aber fast. ‘‘Schwerebeschleunigung‘‘ g • In der Tat variiert g leicht. Hier sehen Sie eine Karte, die diese Variation illustriert. GRACE mission, NASA 212 Theorie mM FG 2 r Gravitation: Massen m und M, Gravitationskonstante 212 Theorie mM FG 2 r 1 qQ FE 2 4 0 r Gravitation: Massen m und M, Gravitationskonstante Elektrizität: Ladungen q und Q, Feldkonstante 0 212 Theorie mM FG 2 r Gravitation: Massen m und M, Gravitationskonstante Elektrizität: Ladungen q und Q, Feldkonstante 0 Wechselwirkung 1 qQ FE 2 4 0 r FmM FMm Physik und Kinematik: Zentralkräfte • • • Die Kräfte zwischen den Massenpunkten/Teilchen sind in der Regel Zentralkräfte: sie liegen auf der Richtung der Verbindungsachse zwischen den Teilchen. Dass die Kräfte Zentralkräfte sind, kann aus tieferliegenden (Symmetrie-) Gründen motiviert werden; es ist aber an sich nicht zwingend der Fall. Die Grösse der Kraft hängt i.A. vom Abstand zwischen den Teilchen ab. F12 F21 Zentralkräfte F12 F21 1 N intern K extern Fik ai Fij mi j i k intern Fij : Kraft auf Teilchen i, verursacht durch Teilchen j. extern Fik : Externe Kraft k (von K) auf Teilchen i. Superpositionsprinzip 4 F1 F1i i 2 Der tiefere Punkt des Superpositionsprinzips ist, dass alle Einwirkungen auf eine Masse als Summe von Paarwechselwirkungen verstanden werden können! Was Hans macht, kann verstanden werden durch den Einfluss den Vreni auf ihn hat plus den Einfluss, den Fritz auf ihn hat. Die Einflüsse von Fritz und Vreni addieren sich aber beeinflussen sich nicht! Elektrische Kräfte - + + + - - Elektrische Ladung • «Menge an Elektrizität» • Wechselwirkung: Die Kraftwirkung ist gegenseitig und geht auch durchs Vakuum (elektrisches Feld) • Anziehende Kräfte zwischen Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen • Abstossende Kräfte zwischen Ladungen mit gleichem Vorzeichen 212 Experiment Band- oder Van de GraafGenerator dQ IC dt IC Elektrische Ladung und Strom Strom= Ladungsfluss Ladung= Menge (Volumen) Elektrischer Strom, Stromstärke • Elektrische Ladung kann fliessen • wenn Ladung durch einen Draht fliesst, fliesst ein elektrischer Strom • Stromstärke entspricht der elektrischen Ladung, welche pro Zeit durch einen Leiter fliesst. • Die Stromstärke wird in Ampère (A) gemessen. • Bandgenerator: Ladestrom via Kunststoffband (wenige A) 213 Reibungskräfte 213 Ziele • Gleit- und Haftreibungskräfte für ein fache Beispiele berechnen können 213 Theorie FR G FN Gleitreibung 213 Theorie FR G FN Gleitreibung Haftreibung FR H FN 213 Theorie H G Holz auf Holz 0.4 0.6 Stahl auf Stahl 0.1 0.15 Pneu auf Asphalt Stahl auf Eis trockenem 0.6 0.014 1.0 0.027 221 freier Fall mit Luftwiderstand 221 Ziele • Fallbewegung als dynamischer Prozess verstehen können • Fallbewegung als dynamischer Prozess beschreiben können • Unterschied zwischen Differentialgleichung und Lösungsfunktion dieser DGL kennen 221 Theorie Fallbewegung ma FG ma Fi i ma mg 221 Theorie Fallbewegung ma FG ma mg dv g dt 221 Theorie Lösung für die Gleichung ma FG dv g dt 221 Theorie Lösung für die Gleichung ma FG dv g dt v (t ) g t c 221 Theorie Lösung für die Gleichung ma FG Kontrolle dv g dt v (t ) g t c d g t c g dt 221 Theorie Lösung für die Gleichung ma FG v (t ) g t c 1 2 s (t ) gt v 0 t s 0 2 221 Theorie Lösung für die Gleichung ma FG Kontrolle v (t ) g t c 1 2 s (t ) gt v 0 t s 0 2 d 1 2 gt v0t s0 gt v0 dt 2 FW ma FG 221 Theorie Mit Luftwiderstand: ma Fi FG FW i FW ma FG 221 Theorie Mit Luftwiderstand: ma Fi FG FW i Fw c w A 2 v 2 FW ma FG 221 Theorie Mit Luftwiderstand: ma Fi FG FW i Fw c w A 2 v 2 dv A 2 g cw v dt 2m FW v FW v 221 Theorie Was ist die Lösung von: dv v 2 dt FW v FW v 221 Theorie Was ist die Lösung von: dv d 1 2 v t t 2 dt dt v(t ) t 1 221 Theorie FW FW Was ist die Lösung von (horizontale Bewegung): v v dv A 2 cw v dt 2m 221 Theorie FW FW Was ist die Lösung von (horizontale Bewegung): v v dv A 2 cw v dt 2m A v v(t ) c w t c 2m 1 FW v FW v 221 Theorie Was ist die Lösung von (vertikale Bewegung): A 2 dv g cw v dt 2m FW v FW v 221 Theorie Was ist die Lösung von (verikale Bewegung): A 2 dv g cw v dt 2m Andere Variante: Numerische Lösung! FW v FW v 221 Theorie numerische Lösung von (horizontale Bewegung): A 2 dv g cw v dt 2m Einfaches schrittweises Verfahren (Euler) A 2 vn 1 vn vn vn g cw vn t 2m 221 Theorie Geschwindigkeit v / ms-1 221 Aufgaben 100 a) vana 80 b) vnum 60 a 40 b 20 0 0 2 4 6 Zeit t / s 8 10 222 Ballistische Kurven 222 Ziele • numerische Lösung bei der Überlagerung von Bewegungen finden • Probleme bei quadratischen Widerstands- / Kraftgesetzen bei der Beschreibung mehrdimensionaler Bewegungen kennen 222 Theorie Berechnungstabelle für Wurfbahn: 222 Theorie Wurfbahn mit Luftwiderstand: Ballistische Kurven 2000 1500 1000 500 0 0 -500 -1000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 231 Impulserhaltung 231 Ziele • Definition Impuls verstehen und mit Kräften in Verbindung bringen können • Kraft als Impulsstrom verstehen 231 Theorie Impuls: So etwas wie eine Bewegungsmenge? p mv 231 Theorie Impuls: So etwas wie eine Bewegungsmenge? p mv 231 Theorie Impuls und Kraft: dazwischen steckt eine zeitliche Ableitumg p mv dv dm v F m dt dt p mv 231 Theorie dv dm v F m dt dt Impuls und Kraft: dazwischen steckt eine zeitliche Ableitumg dm m v*dm dm dv*dm p=m*v m*dv v dv m p=m*v v dv 231 Theorie Kraftvektor - Impulsvektor p mv dp dv F m ma dt dt 231 Theorie Impuls und Zweikörperproblem FA FB mA mB 231 Theorie FA FB 0 Impuls und Zweikörperproblem FA FB mA mB 231 Theorie FA FB 0 Impuls und Zweikörperproblem dp dp A dp B 0 dt dt dt FA FB mA mB FA FB 0 231 Theorie Impulserhaltung dp dp A dp B 0 dt dt dt p p A p B const. FA FB 0 231 Theorie Impulserhaltung dp dp A dp B 0 dt dt dt p p A p B const. p A (t1 ) p B (t1 ) p A (t 2 ) p B (t 2 ) 231 Theorie m1,v1 Geschwindigkeit des Schwerpunktes m2,v2 m3,v3 ( m A m B )v m A v A m B v B m Av A mB vB v m A mB pi i m i i 231 Theorie Kraftstoss p FD dt FD(t) p Δpi FD (ti ) Δt i p Zeit t i 231 Aufgaben springender / hüpfender Ball h(t) / m Zeit t / s 232 Computersimulation von Impulsänderungen 232 Ziele • einfache (angetriebene) Systeme als kompartimentale Impulsmodelle abbilden können • Graphische Modelleditoren zur Modellierung und Simulation einsetzen können 232 Theorie einfaches System mit Antrieb dp u v(t ) dt FS m dp p u dt m 232 Theorie Lösen der Gleichung durch Substitution dp p u dt m FS m (t ) u p / m 232 Theorie Lösen der Gleichung durch Substitution dp p u dt m FS m (t ) u p / m p / m 232 Theorie Lösen der Gleichung durch Substitution dp p u dt m FS m (t ) u p / m p / m d dt m 232 Theorie Lösen der Gleichung d dt m FS m Ansatz: (t ) c e t m 232 Theorie Rücksubstitution (t ) c e FS m t m p (t ) mu m (t ) 232 Theorie Rücksubstitution (t ) c e FS m t m p (t ) mu m (t ) p (t ) mu mc e t m 232 Theorie Bestimmung des Anfangswertes p (t ) mu mc e FS m t m t 0s p(t 0 s ) p (0s ) p0 232 Theorie Bestimmung des Anfangswertes p (t ) mu mc e FS m t m t 0s p(t 0 s ) p (0s ) p0 p (t ) mu mu p 0 e t m v 60 45 30 15 0 0 20 v : Current 40 60 80 100 120 Time (Second) 140 160 180 200 m/s Anfangssteigung v 60 Gleichgewicht 45 30 15 0 0 20 v : Current 40 60 80 100 120 Time (Second) 140 160 180 200 m/s 232 Theorie graphische Modelleditoren Billanzgrösse (Ladung auf einer Fläche des Kondensators) Q U R C dQ/dt Q Abfluss (Änderung der Ladung pro Zeiteinheit Strom) Pfeil für Abhängigkeit dQ/dt C R Konstante Grössen (Kapazität, Widerstand) U Abhängige Grösse (elektrische Spannung) 233 Simulation eines Raketenfluges 233 Ziele • Systeme mit veränderlicher Masse beschreiben bzw. modellieren können • graphische Modelleditoren zur Beschreibung / Modellierung und Simulation von Raketen einsetzen können 233 Theorie Repulsives Antriebssystem durch Ausstoss von Masse u-v1 m0-dm dm v1 233 Theorie Repulsives Antriebssystem durch Ausstoss von Masse 0 dm (u v1 ) (m0 dm) v1 u-v1 m0-dm dm v1 233 Theorie Schubkraft FS = u.dm/dt dm v1 u m0 dp mv1 u dm FS u-v1 m0-dm dm v1 233 Theorie Alle Kräfte dp m v m v FS FG FW dt m u FG FW u-v1 FW FS m0-dm dm v1 233 Theorie Alle Kräfte m v u m v m FG FW dv dm m (u v ) FG FW dt dt 233 Theorie Alle Kräfte dv dm m (u v ) FG FW dt dt (u v) dm A 2 m(t ) g cw v(t ) dt 2 233 Aufgaben 234 Simulation eines Zweikörperproblems 234 Ziele • 2-Dim.- Bewegungen modellieren und simulieren können • (Repetition Gravitation) p dp / dt Fi i 234 Theorie p dp / dt Fi 234 Theorie i dp mM r r 2 mM 3 dt r r r p dp / dt Fi 234 Theorie i dp mM r r 2 mM 3 dt r r r dvx 1 dpx x M 3 dt m dt r 1 dp y y M 3 dt m dt r dv y 234 Resultate
