c LehrstuhlfürTechnischeElektrophysik

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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Skriptum zur Vorlesung
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Elektrizität und Magnetismus
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Dozent: Prof. Dr. G. Wachutka
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8. Juni 2011
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
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2. Stationäre Ströme
2.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld . . . . . . . . . .
2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum . . . . . .
2.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell) . . . . . . . .
2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . .
2.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung . . . . . . .
2.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form: . . . . . . . .
2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung . . . . . . . . . .
2.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung . . . . . . . . .
2.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes . . . . . . . .
2.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen
2.4.4. Die elektrische Übertragungsstrecke . . . . . . . . . . .
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1. Elektrostatik
1.1. Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern . . .
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien . . .
1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Gaußsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Raumladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Oberflächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)
1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung .
1.6.5. Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Kondensatoraggregate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4. Elektrische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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0. Vorbemerkungen
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
4. Induktion
4.1. Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Elektromotorische Kraft in bewegten leitfähigen Medien . . . . . . . . . . .
4.1.2. Induzierte elektrische Spannung in bewegter Leiterschleife . . . . . . . . . .
4.1.3. Unipolar-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Induzierte Spannung in ruhender Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Maxwellsche Verallgemeinerung: Differentielle Form des Induktionsgesetzes
4.3. Allgemeine Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Mathematische Grundlagen
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3 . . . . . . . . . . .
A.1.1. Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2. Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3. Basis, Koordinatensystem . . . . . . . . .
A.1.4. Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.5. Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren . . . . . . .
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En .
A.2.1. Definition des Wegintegrals . . . . . . . .
A.2.2. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . .
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3. Magnetostatik
3.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Lorentzkraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Bewegung eines geladenen Massepunktes im konstanten Magnetfeld
3.1.3. Lorentzkraft auf eine Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter . . . . . . . . . .
3.2.1. Kraft auf einen Leiter mit beliebiger Gestalt . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Kraft auf linienförmige Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Drehmoment auf eine Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Permanentmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~
3.4. Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des B-Feldes
. . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Erzeugung magnetostatischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz (quasistationäre Form) . . . . .
3.5.2. Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Permeabilität und magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . .
3.6. Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes . . . . . . . . .
3.6.2. Kraft zwischen zwei parallelen geraden Drähten . . . . . . . . . . .
~
3.6.3. H-Feld
einer allgemeinen zylindersymmetrischen Stromverteilung .
3.7. Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes (nach Maxwell) . . . . . .
3.7.2. Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in differentieller Form
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A.3. Totale Ableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1. Linearformen und dualer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen . . . . . . . . . . .
A.3.3. Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem):
A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve: . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1. Kartenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2. Begleitendes n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . . . . . . .
A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen . . . . . . . . . .
A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern . . . . . . . .
A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld
A.6. Flächenintegrale im E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3 . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.3. Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . .
A.7. Divergenz - Gaußscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.1. Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . .
A.7.3. Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . .
A.7.5. Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Rotation und Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.1. Rotationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.2. Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . .
n
Inhaltsverzeichnis
M
Inhaltsverzeichnis
0 VORBEMERKUNGEN
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0. Vorbemerkungen
Beispiele:
Maßzahl
=
=
20
5
×
Maßeinheit
km
h
Zoll (inch)
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U
v
L
=
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Physikalische Größe
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(i) Eine physikalische Größe (z.B. die Geschwindigkeit v oder die Länge L) wird durch eine
Maßzahl in Verbindung mit einer Maßeinheit beschrieben.
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(ii) Für eine physikalische Größe existieren zumeist mehrere unterschiedliche Maßeinheiten.
Um physikalische Größen und physikalische Zusammenhänge einheitlich zu definieren, wurde 1960 ein kohärentes System von Maßeinheiten geschaffen, die sogenannten SI-Einheiten
(système internationale des unités). In diesem System werden 7 voneinander unabhängige
Basiseinheiten definiert, aus denen die Maßeinheiten für alle übrigen physikalischen Größen
abgeleitet werden können.
Einheit
Länge
Zeit
Masse
elektr. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Meter
Sekunde
Kilogramm
Ampère
Kelvin
Candela
Mol
Abkürzung (Symbol)
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Größe
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Die 7 Basiseinheiten sind folgende:
m
s
kg
A
K
cd
mol
%
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für
Abgeleitete Maßeinheiten ergeben sich durch Produkt- und Quotientenbildung unmittelbar
aus der Definitionsgleichung für eine physikalische Größe. Sie sind also Bestandteil der physikalischen Begriffsbildung, oftmals in Verbindung mit der Aufstellung eines physikalischen
Gesetzes.
Beispiele sind:
Größe
Geschwindigkeit
Kraft
Arbeit
Leistung
Ladung
elektrische Spannung
Einheit
=
=
=
=
=
=
Länge
Zeit
m
s
Masse × Beschleunigung
Kraft × Weg
Arbeit
Zeit
Stromstärke × Zeit
Arbeit
Ladung
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1 N (Newton) = 1kg × 1 sm2 = 1 kgs2m
1 J (Joule) = 1 N × 1 m = 1 Nm
1 W (Watt) = 1 J/1 s = 1 Js
1 C (Coulomb) = 1As
m2
m2
1 V (Volt) = 1 J/1 C = 1 kg
= 1 kg
s2 A s
A s3
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(iii) Größengleichungen sind Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die durch mathematische Gleichungen dargestellt werden und unabhängig vom Basiseinheitensystem gelten.
Die Gleichheit von von physikalischen Größen beinhaltet, dass man sie in derselben Maßeinheit ausdrücken kann und ihre Maßzahlen übereinstimmen. Mit solchen Größengleichungen
kann mann dann auch verscheidene Maßinheiten für dieselbe physikalische Größe ineinander
umrechnen:
n
0 VORBEMERKUNGEN
v=
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U
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Beispiel 1:
Die Geschwindigkeit v, die sich aus dem Verhältnis von zurückgelegter Weglänge L
zur benötigten Zeit t ergibt, ist über die Größengleichung
L
t
1 Seemeile
1000 m
1,852 km
km
m
= 1,852
=
= 1,852
= 0,514 .
1 Stunde
1h
3600 s
s
| {z h }
1 Knoten
tro
v=
ph
ys
ik
definiert. Die Umrechung von Nicht-SI-Einheiten in SI-Einheiten erfolgt beispielsweise so:
ch
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Beispiel 2:
Die kinetische Energie eines zweifach geladenen Ions mit der Ladung Q = 2qel , das
in einem Ionenbeschleuniger mit der Spannung U = 20 kV beschleunigt wird, ergibt
sich aus dem Produkt von Ladung Q und Spannung U :
Wkin = Q · U = 2qel · 20 kV
Te
ch
nis
mit
qel = |e| = 1,602 × 10−19 C (Elementarladung)
=⇒ Wkin = 6,408 × 10−15 C · V = 6,408 × 10−15 J in SI-Einheiten.
c
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uh
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für
Ein Teilchenphysiker oder Elektroingenieur verwendet aber oft lieber die Darstellung
Q U
Q U
· · eV =
·
· keV = 2 · 20 keV = 40 keV
Wkin =
e V
e kV
Die Einheit keV ist zwar keine SI-Einheit, aber für die Praxis sehr anschaulich.
7
0 VORBEMERKUNGEN
da
10−1
dezi
d
centi
c
102
hekto
h
10−2
103
kilo
k
10−3
milli
m
mikro
µ
n
mega
M
10−6
109
giga
G
10−9
nano
T
10−12
piko
p
femto
f
1012
tera
-T
U
106
peta
P
10−15
1018
exa
E
10−18
atto
a
Z
10−21
zepto
z
ph
ys
zetta
ik
1015
1021
Tabelle 2: 10n , n < 0
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
Tabelle 1: 10n , n > 0
8
ün
deka
M
101
ch
e
n
(iv) Größenordnungen
Durch Voraustellen der folgenden Symbole vor eine SI-Einheit lassen sich Zehnerpotenzen
leichter und und für die Praxis anschaulicher ausdrücken:
1 ELEKTROSTATIK
1. Elektrostatik
ch
e
Bis heute sind nachfolgende experimentelle Erfahrungen über elektrische Ladungen gesammelt
worden:
n
1.1. Elektrische Ladung
M
ün
(i) Ladung ist eine fundamentale Eigenschaft aller Elementarteilchen (wie Masse, Spin,
Charm, Flavor, Color) Sie ist die Quelle für die elektrische (genauer gesagt: elektromagnetische) Wechselwirkung, eine der vier Grundkräfte der Physik (neben starker und schwacher
Wechselwirkung sowie der Gravitation).
-T
U
(ii) Es gibt zwei Klassen von Ladungen, positive und negative. Dabei gilt, dass sich gleichnamige
Ladungen abstoßen und ungleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen.
ph
ys
ik
(iii) Die elektrische Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten. Dies bedeutet, dass positive und negative Ladungen nur paarweise erzeugt bzw. vernichtet werden
können,
z.B. Materie ↔ Antimaterie, (“echte” Teilchen)
oder Elektron ↔ Loch = Defektelektron (“Quasi-Teilchen”).
tro
(iv) Ladung ist quantisiert:
Elementarladung (= Betrag der Ladung eines Elektrons): |e| = qel = 1, 602 · 10−19 C,
ek
wobei 1 Coulomb = 1C = 1As .
ch
e
El
Alle (trennbaren) Elementarteilchen besitzen ein ganzzahliges Vielfaches von qel als elektrische Ladung:
qE = ±NE · qel
mit NE ∈ N .
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
Hadronen (wie die Baryonen, Proton und Neutron) bestehen ihrerseits aus Quarks mit Ladung
e
qQ = ±NQ ·
mit NQ = 1 oder 2 ,
3
welche aber nur gebunden vorkommen.
9
1.2 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
1 ELEKTROSTATIK
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
n
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz
M
ün
ch
e
Zwei diskrete Ladungen q1 am Ort ~r1 üben gegenseitig eine Kraft aufeinander aus. Sei F~1←2 die
Kraft, welche die Ladung q1 durch die Anwesenheit der Ladung q2 erfährt, und F~ 2←1 die Kraft,
die q2 durch q1 erfährt. Sind beide Ladungen in Ruhe (Elektrostatik), dann gelten folgende experimentelle Erfahrungen:
F~2←1 = −F~1←2
-T
U
(i) Nach dem Newtonschen Prinzip “actio = reactio” gilt
Die Richtung beider Kräfte ist parallel zum Abstandsvektor ~r2 − ~r1 .
|q1 · q2 |
|~r2 − ~r1 |2
I
r2 < rI
1
El
ε0 heißt “Dielektrizitätskonstante des Vakuums”,
oder auch “Vakuum-Permittivität”
O
Abb. 1.1: Kraftwirkung zwischen zwei
Punktladungen
ch
e
Te
ch
nis
+
ek
tro
mit der elektrostatischen Kraftkonstanten
1
γe =
4π · ε0
As
mit ε0 = 8, 854 · 10−12
Vm
ph
ys
|F~2←1 | = |F~1←2 | = γe
ik
(ii) Die Stärke der Kräfte beträgt
(iii) Ob sich die beiden Ladungen q1 und q2 abstoßen oder anziehen, hängt von den Vorzeichen
der beiden Ladungen ab. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige ziehen
sich an:
=
=
sgn (q2 )
− sgn (q2 )
⇔
⇔
Abstoßung
Anziehung
für
sgn (q1 )
sgn (q1 )
hr
st
uh
l
Die Aussagen (i) - (iii) lassen sich in kompakter Form als Vektorgleichung zusammenfassen. Beachtet man, dass (~r2 − ~r1 )/|~r2 − ~r1 | der Einheitsvektor ist, welcher vom Ort ~r1 zum Ort ~r2 weist,
so gilt:
F~2←1 = −F~1←2 =
q1 · q2
1
·
· (~r2 − ~r1 )
4π · ε0 |~r2 − ~r1 |3
(1.1)
c
Le
Dies ist das Coulombsche Gesetz in vektorieller Form.
1.2.2. Superpositionsprinzip
Eine Anordnung von N Ladungen qi (i = 1, ..., N ) an den Orten ~ri (i = 1, ..., N ) übt auf eine
weitere Ladung q am Ort ~r eine elektrische Kraft F~q (~r) aus, die man durch Vektoraddition der
Coulomb-Kräfte erhält, welche die Ladungen qi auf q ausüben. Es gilt also:
10
ch
e
i=1
..
.
q · qi
1
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0 | ~r − ~ri |3
ün
F~q (~r) =
N
X
1.3 Elektrische Feldstärke
n
1 ELEKTROSTATIK
N
X
q
qi
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1 |
{z
}
+
F~q (~r) =
-T
U
M
bzw.
O
(1.2)
Abb. 1.2: Superpositionsprinzip
ik
Quellen des Kraftfeldes
ek
tro
ph
ys
Die Kräfte auf eine Ladung q addieren sich also in solcher Weise vektoriell, dass die elektrischen
Kräfte auf die Ladung q, die durch jede andere Ladung qi verursacht werden, ungestört überlagert
werden.
El
1.3. Elektrische Feldstärke
ch
e
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes
Te
ch
nis
Die Gleichung 1.2 lässt sich auch so interpretieren, dass eine gegebene Ladungsträgerverteilung
~ r) erzeugt.
(qi , r~i )i=1...N auch ohne Vorhandensein der Ladung q an jedem Ort ~r ein “Kraftfeld” E(~
Bringt man eine “Testladung” q an den Ort ~r, so gilt
~ r) ,
F~q (~r) = q · E(~
für
~ r) folgt:
woraus die Definition von E(~
~ r) := 1 F~q (~r) .
E(~
q
hr
st
uh
l
Das von (qi , r~i )i=1...N erzeugte elektrische Feld lautet damit explizit:
~ r) =
E(~
N
X
qi
1
·
· (~r − ~ri ) .
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1
~ =
dim(|E|)
c
Le
Die physikalische Einheit des elektrischen Feldes ist dann
mit der Definition 1 Volt = 1V =
kg m 1
V
N
= 2 ·
=
As
s
As
m
kg m2
.
As3
11
(1.3)
1.3 Elektrische Feldstärke
1 ELEKTROSTATIK
1.3.2. Spezialfälle
n
(i) Monopolfeld: N = 1, eine Punktladung q0 am Ort ~r0 als Quelle:
1
q0
·
· (~r − ~r0 )
4π · ε0 |~r − ~r0 |3
ch
e
(1.4)
ün
~ r) =
E(~
-T
U
M
S. 6
-
ph
ys
ik
+
Abb. 1.3: Pfeildiagramm des elektrischen Feldes einer Punktladung q0 ,
mit q0 >0 (links) bzw. q0 <0 (rechts)
(1.5)
ch
e
El
ek
tro
(ii) Dipolfeld: N = 2, Punktladungen (Q, r~1 ) und (−Q, r~2 ) als Quellen:
S. 7_1
Q
1
1
~
E(~r) =
·
· (~r − ~r1 ) −
· (~r − ~r2 )
4π · ε0
|~r − ~r1 |3
|~r − ~r2 |3
G
Te
ch
nis
E = Tangentenvektor
−
an Feldlinie
G
E
G
E
G
E+
G
E
G
E−
uh
l
für
+
c
Le
hr
st
Abb. 1.4: Elektrische Feldlinien zweier ungleichnamiger, betragsmäßig gleicher
Punktladungen (Dipolfeld)
Beachte: Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern
~ r) kann man als “Pfeildiagramm” wie in Abb. 3 darstellen,
Vektorfelder wie das elektrische Feld E(~
~ r) anträgt. Dies kann aber recht unübersichtlich
indem man an jeden Ort ~r den Vektorpfeil E(~
12
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
ch
e
werden. Alternativ hierzu ist es oft zweckmäßiger eine Kurvenschar von “Feldlinien” zu zeichnen,
die dadurch definiert ist, dass die Tangentenvektoren an jedem Punkt einer Feldlinie das Vektorfeld
darstellen (siehe Abb. 1.4). Möchte man eine Feldlinie mit Parameterdarstellung λ 7→ ~r(λ) durch
einen gegebenen Punkt ~r0 berechnen, so muss man die Bestimmungsgleichung
-T
U
M
ün
d~r
~ r(λ)) , ~r(λ0 ) = ~r0
= E(~
dλ
lösen (= Differentialgleichung für ~r(λ)).
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
ph
ys
ik
1.4.1. Elektrische Arbeit
α)

dr
Abb. 1.5: Wegintegral
Te
ch
nis
mit ~r(0) = ~r1 und ~r(l) = ~r2 .
ch
e
(0, l) 3 s 7→ ~r(s)
El
ek
tro
(i) Definition der mechanischen Arbeit
Ein punktförmiges Teilchen wird unter dem Einfluss eines Kraftfeldes F~ (~r) längs eines Weges
C (P1 , P2 ) in E3 von P1 nach P2 bewegt (Abb. 5).
Die hierbei geleistete mechanische Arbeit ergibt sich
aus dem Integral über die Kraftkomponente tangential zum Weg C (P1 , P2 ). Um dieses zu berechnen, gehen
wir von einer Parameterdarstellung von C (P1 , P2 ) aus
mit der Bogenlänge s als Kurvenparameter:
Der Tangential-Einheitsvektor an die Kurve C (P1 , P2 ) ist
~t(s) = d~r ; d~r = 1 .
ds ds für
Das vektorielle Linienelement ist dann
uh
l
d~r = ~tds
hr
st
Die differentielle mechanische Arbeit, die längs eines Linienelements geleistet wird, ist nach
Abb. 1.5
dW = |F~ (~r(s))| cos α(s)ds = F~ (~r(s)) · ~t(s)ds .
c
Le
Die gesamte mechanische Arbeit ergibt sich dann als Integral
ˆl
W12 =
0
ˆl
F~ (~r(s)) · ~t(s) s =
|{z}
= dd ~rs
0
d~r
F~ (~r(s)) ds =
ds
ˆ
F~ (~r) · d~r .
(1.6)
C(P1 ,P2 )
(ii) Elektrische Arbeit
~ r) von P1 nach P2 längs C (P1 , P2 )
Wird eine Punktladung q in einem elektrischen Feld E(~
13
n
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
~ r) die elektrische Arbeit
bewegt, so wird wegen F~q (~r) = q · E(~
ˆ
~ r) · d~r
E(~
W12 = q
n
(1.7)
ch
e
C(P1 ,P2 )
ün
geleistet.
M
1.4.2. Elektrische Spannung
ph
ys
ik
-T
U
(i) Definition der elektrischen Spannung
Die elektrische Arbeit W12 ist nach Gl. 1.6 proportional zur Probeladung q , an der sie
geleistet wird. Dividiert man W12 durch q, so erhält man eine Größe, die nur vom elektrischen
~ r) abhängt. Diese heißt die elektrische Spannung zwischen P1 und P2 :
Feld E(~
ˆ
W12
~ · d~r
U12 =
=
E
(1.8)
q
C(P1 ,P2 )
tro
Physikalische Einheit (vgl. Abs. 1.3.1):
J
= 1V(olt)
As
ek
dim(U12 ) = 1
Te
ch
nis
ch
e
El
(ii) Grundgesetz der Elektrostatik
~
Bei einem elektrostatischen E-Feld
hängt die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2
nur von diesen selbst, jedoch nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1 , P2 ) ab; das
heißt (vgl. Abs A2.2):
Elektrostatische Felder sind konservativ!
für
Man drückt dies durch die folgende Schreibweise aus:
ˆP2
~ · d~r
E
U12 =
(1.9)
P1
hr
st
uh
l
Zum Beweis dieser Aussage kann man in kartesischen Koordinaten die “Integrabilitätsbedingungen” (siehe Abs. A.2.2):
∂Ej
∂Ei
=
(i, j = 1, 2, 3)
∂xi
∂xj
c
Le
für das in Gl. 1.4 gegebene Coulomb-Feld verifizieren.
(iii) Folgerung:
Durchläuft man einen Weg C(P1 , P2 ) in der Gegenrichtung, also von P2 nach P1 , so kehrt
sich beim Wegintegral die Richtung des Tangentenvektors um. Daher gilt:
ˆ
ˆ
~
~ · d~r = −U21
U12 =
E · d~r = −
E
(1.10)
C(P1 ,P2 )
C(P2 ,P1 )
14
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
(iv) Folgerung:
~
Ein elektrostatisches E-Feld
erfüllt für jede geschlossene Kurve C die Bedingung
ˆ
~ · d~r = 0
E
ch
e
(1.11)
ik
-T
U
M
ün
C
C̃(P2 ,P1 )
El
ek
C(P1 ,P2 )
tro
ph
ys
Zum Beweis wählen wir auf der Kurve C zwei Punkte P1 und P2 und zerlegen C in zwei
e 2 , P1 ).
Teilwege: C = C(P1 , P2 ) + C(P
Dann gilt:
ˆ
ˆ
ˆ
~ · d~r =
~ · d~r +
~ · d~r = U12 + U21 = U12 − U12 = 0
E
E
E
C
1.4.3. Elektrisches Potential
Te
ch
nis
ch
e
(i) Definition des elektrischen Potentials
~
Das Grundgesetz der Elektrostatik hat zur Konsequenz, dass das elektrostatische E-Feld
ein
Gradientenfeld ist. Nach Abs. A.5 bedeutet dies, dass es eine Potentialfunktion Φ(~r) gibt mit
der Eigenschaft:
~ r) = −gradΦ(~r)
E(~
(1.12)
für
~ r)
Nach Gl. (A5.4) lässt sich das elektrische Potential Φ(~r) aus dem elektrischen Feld E(~
folgendermaßen berechnen:
ˆP
~ · d~r
Φ(~r) = Φ(~r0 ) − E
(1.13)
uh
l
P0
hr
st
Hierbei ist P0 = O + ~r0 ein fest gewählter Referenzpunkt und P0 = O + ~r ein beliebiger
Aufpunkt. Der Potentialwert Φ(~r0 ) ist eine frei wählbare Konstante (Referenzpotential), das
oftmals zu Null gesetzt wird (Massepunkt, Nulleiter etc.).
Le
(ii) Zusammenhang mit der elektrischen Spannung
Die Potentialdifferenz
c
n
1 ELEKTROSTATIK
ˆP
ˆP0
~ · d~r =
E
Φ(~r) − Φ(~r0 ) = −
P0
~ · d~r = UP P
E
0
(1.14)
P
ist offenkundig die elektrische Spannung UP P0 zwischen dem Aufpunkt P und dem Referenzpunkt P0 . Allgemein kann man die Spannung U12 zwischen zwei Punkten P1 = O + ~r1 und
15
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
P2 = O + ~r2 bestimmen mit
U12 = Φ(~r1 ) − Φ(~r2 ) .
(1.15)
ch
e
n
Beweis: Wir verbinden P1 mit P2 mit einem Weg C(P1 , P2 ), der über den Referenzpunkt P0
führt:
-T
U
M
ün
C(P1 , P2 ) = C(P1 , P0 ) + C(P0 , P2 )
ˆP2
ˆP0
~ · d~r =
E
U12 =
P1
ˆP2
~ · d~r +
E
P1
|
~ · d~r
E
= Φ(P1 ) − Φ(P2 )
P0
{z
tro
Dann gilt:
ph
ys
ik
+
}
|
{z
}
−Φ(P2 )+Φ(P0 )
ek
Φ(P1 )−Φ(P0 )
Te
ch
nis
ch
e
El
(iii) Äquipotentialflächen
Wie in Abs. A5.5 dargelegt, ist für einen gegebenen konstanten Potentialwert Φ0 die Menge
F(Φ0 ) = {P = O + ~r | Φ(~r) = Φ0 } eine zweidimensionale Fläche in E3 , die Äquipotenti~ = −gradΦ stehen
alfläche zu Φ0 . Der Gradient gradΦ und damit das elektrische Feld E
immer senkrecht auf den Tangentialebenen an F(Φ0 ), sind also kollinear zur Oberflächennormale. Variiert man Φ0 , so erhält man eine Schar von Äquipotentialflächen, die alle von
den elektrischen Feldlinien senkrecht geschnitten werden.
(iv) Beispiel: Coulombpotential einer Punktladung
Wir wollen das elektrische Potential einer Punktladung Q am Ort PQ = O +~rQ bestimmen.
Diese erzeugt das elektrische Feld (vgl. Gl. 1.4)
uh
l
für
~ r) = Q · (~r − ~rQ )
E(~
4πε0 |~r − ~rQ |3
Für einen gegebenen Aufpunkt P = O + ~r
legen wir eine Gerade durch PQ und P ,
über die wir das Wegintegral von P zum
Referenzpunkt P0 ausführen wollen. P0 liege
auf dieser Geraden; er wird schließlich ins
Unendliche verschoben.
+
c
Le
hr
st
+

P = O+r
Es ist also das Wegintegral
ˆP0
ˆP0
~ · d~r = Φ(~r0 ) +
E
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
P
P
16
Q (~r − ~rQ )
· d~r
4πε0 |~r − ~rQ |3
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
zu berechnen.
Parametrisierung des Geradenstücks von P nach P0 :
ch
e
~r − ~rQ
; λ1 = |~r − ~rQ |; λ0 = |~r0 − ~rQ |
|~r − ~rQ |
M
mit ~e =
n
~r(λ) = ~rQ + λ~e; λ1 ≤ λ ≤ λ0
ün
C:
-T
U
Tangentialvektor:
ph
ys
~ r(λ)) = Q · λ~e = Q · ~e
E(~
4πε0 λ3
4πε0 λ2
Wegintegral:
ˆλ0
~ · d~r(λ) =
E
P
Q
Q
~e
· 2 · ~e dλ =
4πε0 λ
4πε0
λ1
ˆλ0
tro
ˆP0
ik
d~r
= ~e
dλ
Elektrisches Feld in Parameterdarstellung:
Q
1
1
1
dλ =
· −
+
λ2
4πε0
λ0 λ1
ek
λ1
El
Damit folgt:
1
1
−
|~r − ~rQ | |~r0 − ~rQ |
(1.16)
ch
e
Q
·
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
4πε0
Te
ch
nis
Üblicherweise schiebt man den Bezugspunkt ins Unendliche |r~0 | → ∞, und setzt Φ(~r0 ) = 0;
es gilt dann:
Φ(~r) =
1
Q
·
4πε0 |~r − ~rQ |
(1.17)
Die Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugeloberflächen mit Zentrum ~rQ .
⇔
für
Φ(~r) = const. = Φ0
|~r − ~rQ | =
Q
1
·
4πε0 Φ0
(1.18)
hr
st
uh
l
(v) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N :
Mit Anwendung des Superpositionsprinzips und Gleichung (1.17) ergibt sich für das Potential
der Ladungsverteilung:
N
X
1
qi
Φ(~r) =
·
(1.19)
4πε0
|~r − ~ri |
c
Le
i=1
17
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
1 ELEKTROSTATIK
1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
ch
e
n
1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit
M
ün
Ein elektrisch polarisierbares Material, auch “Dielektrikum” genannt, hat die Eigenschaft, dass ein
von außen einwirkendes elektrisches Feld im Material auf einer atomaren Längenskala elektrische
Dipole induziert oder bereits vorhandene gleichorientiert. Durch Überlagerung der hierbei erzeugten atomistischen Dipolfelder wird ein zusätzliches makroskopisches elektrisches Feld generiert, das
sich dem äußeren Feld überlagert und dieses abschwächt (“abschirmt”).
-T
U
Dadurch erfährt eine Probeladung eine verminderte elektrische Kraft. Falls die elektrische Polari~
sierung proportional zum äußeren E-Feld
erfolgt, spricht man von einem linearen Materialgesetz.
In diesem Fall gilt:
ik
In einem Dielektrikum gilt das Coulombsche Gesetz, aber mit einer verringerten Kraftkonstanten:
=ε
(1.20)
tro
Da die Kraftwirkung abgeschwächt wird, gilt εr ≥ 1.
ph
ys
N
X
1 ~
q
qi
F~q (~r) =
· Fq,vac (~r) =
·
(~r − ~ri )
εr
4π ε0 εr
|~r − ~ri |3
|{z} i=1
ek
Das Produkt ε0 εr wird als dielektrische Konstante (oder elektrische Permittivität) bezeichnet; εr heißt relative dielektrische Konstante und ε0 ist die dielektrische Konstante des Vakuums.
ch
e
El
Typische Werte für εr sind:
:
:
:
:
Te
ch
nis
Gase(Luft)
organische Materialien, Öl
Wasser
Keramik-Werkstoffe
(high-k-Materialien)
εr
εr
εr
εr
= 1, 0005 . . . 1, 0010
= 1, 5 . . . 10
= 81
= 103 . . . 104
für
1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld
c
Le
hr
st
uh
l
~ r) zu
(i) Das Kraftgesetz (1.20) legt es nahe, die rechte Seite in der Form F~q (~r) = q · 1ε · D(~
~ r) lässt sich alleine aus der Kenntnis der felderzeugenden Lafaktorisieren. Der Term D(~
dungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N bestimmen, während die Polarisierbarkeit des umgebenden
Materials durch den Faktor 1ε berücksichtigt wird. Man definiert daher
~ r) = εE(~
~ r) = ε0 εr E(~
~ r)
D(~
(1.21)
als dielektrisches Verschiebungsfeld. Offenkundig gilt:
N
X
qi
~ r) = 1 ·
D(~
(~r − ~ri ).
4π
|~r − ~ri |3
(1.22)
i=1
In der Tat ist dieser Ausdruck allein durch die felderzeugende Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N
bestimmt und materialunabhängig.
18
1 ELEKTROSTATIK
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
ch
e
ün
M
∂V
-T
U
∂V
n
(ii) Wir betrachten nun ein dreidimensionales
Kontrollvolumen V , das von der geschlossenen Randfläche ∂V umhüllt wird. Bezeich~ die äußere Einheitsnormale auf ∂V ,
net N
so definiert man den “Verschiebungsfluss”
durch ∂V als das “Hüllflächenintegral”
(vgl. Abs. A6.3, Gl. A6.7))
ˆ
ˆ ~
~ ·N
~ da
D d~a =
D
(1.23)
ik
1.5.3. Gaußsches Gesetz
tro
ph
ys
(i) Mit Hilfe des Verschiebungsflusses lässt sich ein zentrales Gesetz der elektrischen Feldtheorie formulieren, das “Gaußsche Gesetz über die eingeschlossene Ladung”. Wir demonstrieren
dieses Gesetz am einfachsten Fall, nämlich dem Verschiebungsfeld einer am Ursprung befindlichen Punktladung Q.
Dieses lautet:
El
ek
~ r) = 1 · Q · ~r mit r = |~r|
D(~
4π r3
Als Kontrollvolumen nehmen wir eine Kugel K(O, R) um
den Ursprung mit Radius R. Die Hüllfläche ist dann die
Kugeloberfläche
ch
e
 
d a = Nda
∂K(O, R) = {O + ~r ∈ E3 |~r| = R},
Te
ch
nis
+
mit dem äußeren Normaleneinheitsvektor
~ = ~er = ~r ,
N
r
für
und dem vektoriellen Oberflächenelement
~r
da.
r
uh
l
~ da =
d~a = N
hr
st
Der Verschiebungsfluss durch die Hüllfläche ∂K(O, R) ist dann
c
Le
ˆ
∂K(O,R)
~ d~a = Q ·
D
4π
ˆ
∂K(O,R)
~r ~r
Q
· da =
3
4πR2
|r {z r}
1
= 12
r2
R
ˆ
da = Q ·
4πR2
= Q.
4πR2
(1.24)
∂K(O,R)
Die detaillierte Ableitung dieses Ergebnisses findet sich in Abs. A6.4.
(ii) Verallgemeinerung (ohne Beweis):
Sei nun eine Punktladung Q an beliebigem Ort P0 = O + ~r0 positioniert, und das Kontrollvolumen V und seine Hüllfläche ∂V seien von allgemeiner Gestalt. Das von Q erzeugte
19
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
1 ELEKTROSTATIK
Verschiebungsfeld lautet
(
~ d~a =
D
Q
0
für
für
ch
e
P0 ∈ V \ ∂V
P0 ∈
/ V \ ∂V
∂V
ün
ˆ
(1.25)
(1.26)
M
Dann gilt:
n
Q
~ r) = 1 ·
(~r − ~r0 )
D(~
4π |~r − ~r0 |3
X
(1.27)
ph
ys
~
ri ∈V
qi
ik
Q(V ) :=
-T
U
(iii) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen)
Wir betrachten eine beliebige diskrete Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1...N und ein allgemein
geformtes Kontrollvolumen V mit Hüllfläche ∂V . Mit
ek
∂V
tro
bezeichnen wir die von der Hüllfläche ∂V im Inneren von V eingeschlossene Ladung; d.h. in
der Summe werden genau diejenigen Quellpunkte ~ri gezählt, die in V enthalten sind.
Dann gilt:
ˆ
X
~ d~a = Q(V ) =
D
qi
(1.28)
~
ri ∈V
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
Diese Aussage ergibt sich durch Anwendung des Superpositionsprinzips (vgl. Abs. 1.2.2, Gl.
(1.22) und (1.26)).
20
1 ELEKTROSTATIK
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen
ch
e
n
1.6.1. Raumladungsdichte
M
ün
Diskrete Punktladungsverteilungen gibt es nur auf einer atomistischen Längenskala (< 1nm). Auf
technisch relevanten Längenskalen betrachtet man aber sehr viele Ladungsträger pro Volumeneinheit (z.B. 1022 Elektronen pro cm3 in einem Leiter), sodass es sinnvoll ist, von einer kontinuierlich
verteilten Ladungsträgerkonzentration auszugehen. Um diese zu beschreiben, umgibt man einen
Ort ~r mit einem Volumen ∆V (~r) und führt eine Raumladungsdichte %(~r) ein als
Zahl der Ladungen (netto) in ∆V (~r)
|∆V (~r)|
für |∆V (~r)| → 0
-T
U
ρ(~r) =
Mathematisch präziser lautet die Definition wie folgt:
ph
ys
ik
ρ(~r)d3 r (= ρ(x, y, z) dxdydz ist in kartesischen Koordinaten) ist die im Volumenelement d3 r enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Kontrollvolumina
V gilt:
ˆ
ρ(~r)d3 r
Q(V ) =
tro
V
(1.29)
ist die im Volumen V eingeschlossen Ladung. In differentieller Form heisst dies:
ek
Q(∆V (~r))
r)|
|∆V (~
r)|→0 |∆V (~
lim
(1.30)
ch
e
El
ρ(~r) =
Te
ch
nis
1.6.2. Oberflächenladungsdichte
für
Manchmal sind die elektrischen Ladungen in einer sehr dünnen Schicht entlang der Oberfläche
eines Körpers oder der Grenzfläche zwischen zwei aneinandergrenzenden Materialien verteilt. In
diesem Fall führt man auf einer zweidimensionalen Fläche S eine Flächenladungsdichte σ(~r) ein,
indem man einen Ort ~r auf S mit einem kleinen Flächenstück ∆A(~r) umgibt und definiert
Zahl der Ladungen in ∆A(~r)
|∆A(~r)|
für |∆A(~r)| → 0 .
uh
l
σ(~r) =
Ist da das skalare Oberflächenelement auf der Fläche S (vgl. Abs. A6.3), so gilt:
ˆ
σ(~r) da = Q(A)
(1.31)
A
c
Le
hr
st
σda ist die im Flächenelement da enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Teilflächenstücke A ⊂ S gilt:
ist die in der Fläche A enthaltene Ladung. In differentieller Form heißt das:
σ(~r) =
lim
|∆A(~
r)|→0
21
Q(∆A(~r))
|∆A(~r)|
(1.32)
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1 ELEKTROSTATIK
1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)
ch
e
n
(i) Das in Gl. (1.28) für Punktladungen formulierte Gaußsche Gesetz bleibt für kontinuierlich
verteilte Ladungen mit einer Raumladungsdichte ρ(~r) gültig, wenn man für die eingeschlossene Ladung Q(V ) den Ausdruck 1.29 einsetzt. Das Gaußsche Gesetz lautet dann:
ph
ys
~
(ii) Sind die das D-Feld
erzeugenden Ladungen auf einer
Fläche S konzentriert mit einer Flächenladungsdichte
σ(~r) , dann gilt für jedes Kontrollvolumen V , das die
Fläche S schneidet:
ˆ
ˆ
~
D d~a = Q(V ∩ S) =
σ(~r) da
(1.34)
ik
V
∂V
El
ek
tro
S∩V
∂V
-T
U
M
ün
~ r) derart, dass
Eine Raumladungsverteilung σ(~r) erzeugt ein Verschiebungsfeld D(~
für beliebige Kontrollvolumina V mit der Hüllfläche ∂V gilt:
ˆ
ˆ
~
D d~a = Q(V ) = ρ(~r) d3 r
(1.33)
ch
e
(iii) Einen Spezialfall stellt die Oberfläche S eines idealen Leiters dar. Dessen Inneres ist in der
~ = 0.
Elektrostatik feldfrei, also D
für
Te
ch
nis
Als Kontrollvolumen V wählen wir eine kleine dünne
Platte, deren Oberseite außerhalb des Leiters parallel
zur Leiteroberfläche S verläuft, während die Unter~
seite im Leiter selbst verläuft. Das D-Feld
außerhalb
des Leiters steht senkrecht auf seiner Oberfläche (vgl.
Abs. 1.4.3 (iii)) also parallel zur äußeren Einheitsnor~.
malen N
c
Le
hr
st
uh
l
Lässt man die Plattendicke gegen null gehen, so erhält man aus Gl. (1.34) für jedes kleine
Flächenstück A ⊂ S:
ˆ
ˆ
~ d~a =
D
A
ˆ
~ ·N
~ da =
D
A
σ da
A
~ ·N
~ den einseitigen Grenzwert vom Außenraum des Leiters bezeichnet. Da A
wobei D
beliebig gewählt werden kann, folgt:
~ ·N
~ =σ
D
22
(1.35)
1 ELEKTROSTATIK
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
ün
ch
e
(i) Nach Gleichung (1.33) gilt zwischen der Raumladungsdichte ρ(~r) und dem hiervon erzeugtem
~ r) der Zusammenhang
Verschiebungsfeld D(~
ˆ
ˆ
~
D d~a = ρ d3 r
n
1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung
V
M
∂V
-T
U
für jedes Kontrollvolumen V . Andererseits können wir mit dem Integralsatz von Gauß (vgl.
Abs. A7.3) den Verschiebungsfluss durch ∂V in ein Gebietsintegral über V verwandeln:
ˆ
ˆ
~
~ d3 r,
D d~a = div D
ˆ
~ d3 r =
div D
ρ d3 r
ph
ys
ˆ
Damit erhalten wir:
V
V
ik
V
∂V
(1.36)
El
ek
~ =ρ
div D
tro
Da diese Gleichheit für beliebige Kontrollvolumina V gilt, müssen die Integranden übereinstimmen, und wir erhalten das Gaußsche Gesetz in differentieller Form:
Te
ch
nis
ch
e
~
~ = − grad Φ. Außerdem sind D
~ und
(ii) In der Elektrostatik ist das E-Feld
ein Gradientenfeld: E
~
~
~
E über das Materialgesetz D = εE verknüpft. Eingesetzt in Gl. (1.36) ergibt sich damit die
Poissongleichung:
div(ε grad Φ) = −ρ
(1.37)
ist überdies ε nicht ortsabhängig, so ergibt sich:
div(grad Φ) = −
ρ
ε
für
Mit dem Laplace-Operator (vgl. Abs. A7.5)
∆Φ := div(grad Φ)
hr
st
uh
l
ergibt sich schließlich die Poissongleichung in vereinfachter Form als
∆Φ = −
2
(1.38)
2
∂
∂
∂
(In kartesischen Koordinaten gilt: ∆ = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2 )
Diese Gleichung bildet den Ausgangspunkt zur Berechnung elektrostatischer Felder für praxisrelevante Anwendungen. Hierbei werden für eine vorgegebene Ladungsverteilung ρ(~r) Lösungen Φ(~r) auf einem meist endlichen Teilgebiet Ω ⊂ E3 gesucht, auf dessen Rand ∂Ω
Vorgaben für Φ gemacht werden. Systematische Lösungsverfahren können aber im Rahmen
dieser Vorlesung nicht behandelt werden.
Le
c
2
ρ
ε
23
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1 ELEKTROSTATIK
1.6.5. Coulomb-Potential
Φ(~r) =
ch
e
n
(i) Will man für eine gegebene diskrete Ladungsverteilung (qi , ~ri )1...N das elektrische Potential
Φ(~r) bestimmen, haben wir mit Gl. (1.19) bereits die Lösung gefunden:
n
X
1
qi
·
4πε0
|~r − ~ri |
(1.39)
ün
i=1
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
Dieses Potential löst also die Poissongleichung (1.38) in E3 \ {P1 . . . PN }, wobei Pi = O + ~ri
die Quellpunkte der erzeugenden Ladungen sind. Es erfüllt überdies die “Randbedingung”
Φ(~r) → 0 für |~r| → ∞.
Leider ist diese Lösung nur von geringem praktischen Nutzen, weil sie die Kenntnis aller
felderzeugenden Ladungen voraussetzt. In der Praxis hat man aber meist andere Vorgaben:
Die Ladungen befinden sich beispielsweise auf einem Leiter, auf dem sie frei beweglich sind
und sich selbst konsistent räumlich so anordnen, dass der Leiter im Inneren feldfrei, also ein
Äquipotentialgebiet bildet (vgl. Abs. 1.7.1).
Dennoch wollen wir Gl. (1.39) auf den Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ(~r)
verallgemeinern, weil das so konstruierte “Coulomb-Potential” für viele feldtheoretische Herleitungen wesentlich ist.
ch
e
El
ek
(ii) Wir suchen also das elektrische Potential Φ(~r) zu einer überall in E3 definierten kontinuierlichen Ladungsträgerverteilung ρ(~r). Statt hierzu die Poissongleichung (1.38) zu lösen, gehen
wir von Gl. (1.39) aus. Wir stellen uns vor, dass ρ(~r) durch eine quasikontinuierliche, diskrete
Ladungsträgerverteilung (qi , ~ri )1...N mit N → ∞ entstanden ist. Hierbei wird qi um einen
Punkt ~ri so “verschmiert”, dass die im Volumen d3 r um den Punkt ~ri enthaltene Ladung
dQ(~ri ) gleich qi ist:
qi = dQ(~ri ) = ρ(~r)d3 r
Te
ch
nis
Hieraus ergibt sich dann die folgende Substitutionsregel für die Summation über Ausdrücke
der Form func(~ri ; Parameter)qi :
ˆ
X
func(~ri ; Parameter)qi → func(~ri ; Parameter)ρ(~r)d3 r
(1.40)
i
E3
uh
l
für
Für Gl. (1.39) bedeutet dies:
1
Φ(~r) =
4πε
ˆ
ρ(~r0 ) 3 0
d r
|~r − ~r0 |
(Coulombpotential)
(1.41)
E3
c
Le
hr
st
Das Coulomb-Potential löst ∆Φ = − ρε im E3 , und erfüllt die Randbedingung Φ(~r) → 0
für |~r| → ∞.
~ r) kann man gemäß E
~ = − grad Φ
(iii) Das von der Raumladung ρ(~r) erzeugte elektrische Feld E(~
aus Gl. (1.41) berechnen. Einfacher ist es jedoch, vom Feld der quasikontinuierlich verteilten
Punktladungen Gl. (1.3) auszugehen und durch die Substitutionsregel (1.40) anzuwenden.
Man erhält so das Coulomb-Feld
ˆ
1
~r − ~r0
~
E(~r) = −
ρ(~r0 ) d3 r0 .
(1.42)
4πε
|~r − ~r0 |3
E3
24
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
~ = −∇Φ = 0
E
⇔
Φ = constans
-T
U
M
ün
ch
e
(i) In einem Leiter sind extrem viele frei bewegliche Ladungsträger vorhanden (≈ 1021 - 1023
Elementarladungen pro cm3 ). Diese arrangieren sich im elektrostatischen Gleichgewicht so,
dass kein elektrisches Feld erzeugt wird und ihre Ladungen exakt von der Hintergrundladung
des leitenden Mediums kompensiert wird. Es gibt daher keine Raumladung (lokale Neutralität). Eine Störung des feldfreien Zustandes wird sofort durch den Effekt der dielektrischen
Abschirmung ausgeglichen. Die Feldfreiheit im Inneren des Leiters impliziert, dass dieser
mitsamt seiner Oberfläche ein Äquipotentialgebiet darstellt:
n
1.7.1. Influenz
ph
ys
ik
~
(ii) Wird ein Leiter einem äußeren E-Feld
ausgesetzt, so bleibt in seinem Inneren das elektrostatische Gleichgewicht bestehen. Dazu muss aber durch eine Ladungsträgerverschiebung an
seiner Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte σ(~r) induziert werden, deren Feld das von
außen einwirkende Feld exakt kompensiert. Diesen Vorgang nennt man Influenz.
Die Situation lässt sich durch folgende Bedingungen charakterisieren:
tro
~ =0
a) Im Inneren des Leiters gilt E
ek
b) Das elektrische Feld im Aussenraum trifft im rechten Winkel auf die Leiteroberfläche:
~ ⊥ Leiteroberfläche
E
Te
ch
nis
ch
e
El
c) Die auf der Leiteroberfläche induzierte Oberflächenladung genügt der Bedingung
~ ·N
~ (im Grenzwert von außen, vgl. Gl. (1.35))
σ=D
++
+
+
+
+
Abb. 1.6: Influenz
c
Le
hr
st
uh
l
für
- --
25
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
1.7.2. Elektrische Kapazität
M
ün
ch
e
n
(i) Definition der Kapazität einer Zweileiteranordnung
Man betrachtet zwei Leiter L1 und L2 mit unterschiedlichen elektrischen Potentialen Φ1 und
Φ2 . Die elektrische Spannung zwischen beiden Leitern berechnen wir, indem wir von einem
Punkt auf Leiter 1 ausgehend einer Feldlinie zum Leiter 2 folgen:
ˆL2
-T
U
~ d~r
E
U12 = Φ1 − Φ2 =
L1
ik
!
! (r ) = !2
tro
Leiter 2
ek
Ladung + Q

E = −∇Φ
Ladung - Q
El
!
! ( r ) = !1
ph
ys
Leiter 1
ch
e
hier : !1 > ! 2
Te
ch
nis
Abb. 1.7: Kapazität
H
um
L1
H
um
L1
uh
l
für
Die auf den Leiter L1 befindliche Ladung Q sei gegengleich zu der Ladung −Q auf Leiter 2. Wir bestimmen sie, indem wir eine Hüllfläche H um den Leiter L1 legen und den
Verschiebungsfluss berechnen:
ˆ
ˆ
~
~ d~a
Q=
D d~a =
εE
c
Le
hr
st
Hierbei ist εdie Permittivität des Materials zwischen den beiden Leitern. Die Kapazität ist
definiert als
Q
C=
(1.43)
U12
Die Kapazität hängt nur von der Geometrie der Leiteranordnung und der Permittivität des
Dielektrikums ab, nicht aber von der angelegten Spannung U12 . Dies erkennt man unmittelbar aus der Darstellung
´
~ d~a
εE
C = ´HL2
(1.44)
~ d~r
E
L1
~ um denselben
Wird die Spannung um einen Faktor verändert, ändert sich der Betrag von E
Faktor in Zähler und Nenner von Gl. 1.44, sodass C unverändert bleibt.
26
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
-T
U
M
ün
ch
e
n
(ii) Beispiel 1: Plattenkondensator:
Ein Plattenkondensator ist aus zwei ebenen parallelen Leiterplatten mit der Fläche A und Plattenabstand d aufgebaut, zwischen dem sich ein Dielektrikum mit der Permittivität ε befindet. Die Platten werden mit gegengleichen Ladungen ±Q aufgeladen. Das entstehende elektrische Feld
~ zwischen den Platten ist konstant und steht senkrecht
E
auf den Platten. (Streufelder am Rand der Platten werden
vernachlässigt).
Die elektrische Spannung ist dann
ˆL2
~ d~r = Ez · d
E
U12 =
L2
ph
ys
ik
und die Ladung Q ist
ˆ
~ d~a = Dz · A = ε · Ez · A
Q= D
tro
H
Abb. 1.8: Plattenkondensator
Q
A
=ε·
U12
d
(1.45)
ch
e
C=
El
ek
Damit ergibt sich für die Kapazität:


E = Ez ez
Te
ch
nis
Offenkundig ist dieser Ausdruck nur von ε und der Geometrie des Kondensators abhängig.
c
Le
hr
st
uh
l
für
(iii) Beispiel 2: Kugelkondensator:
Ein Kugelkondensator besteht aus einem inneren Kugelförmigen Leiter mit Radius a, der konzentrisch in
einer Hohlkugel eines äußeren Leiters mit Hohlkugelradius b > a angeordnet ist. Im Zwischenraum a ≤ r ≤ b
befindet sich ein Dielektrikum mit Permittivität ε.
Eine Ladung Q auf der Innenkugel mit Gegenladung
−Q auf der Außenkugel generiert ein kugelsymmetri~
~ r) = E(r)~er im Dielektrikum. Nach
sches E-Feld
E(~
dem Gaußschen Gesetz gilt:
ˆ
~ d~a = ε · E(r)4πr2 für a ≤ r ≤ b
Q=
D

D
b
-Q

 
Feld: E = E r ⋅ er
()
|~
r|=r
a≤r≤b
woraus folgt:
E(r) =
Q
a
Q
1
·
4πε r2
Abb. 1.9: Kugelkondensator
27
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
Damit erhalten wir für die Spannung Uab zwischen den Leitern
ch
e
ün
Uab
ˆb
Q
1
= E(r) dr =
·
dr
4πε
r2
a
a
Q
Q b−a
1 1
=
=
·
−
·
4πε
a b
4πε
ab
n
ˆb
Q
a·b
= 4πε
Uab
b−a
(1.46)
-T
U
C=
M
Damit folgt für die Kapazität
ph
ys
ik
1.7.3. Kondensatoraggregate
ek
tro
(i) Parallelschaltung:
Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci )i=1...N parallel zusammengeschaltet. Sie
werden bei Anlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei an
allen Kondensatoren die selbe Spannung U anliegt. Es gilt:
Qi = U ·
i=1
N
X
Ci
i=1
Te
ch
nis
ch
e
El
Qi = Ci · U ⇒ Qtotal =
N
X
für
Abb. 1.10: Parallelschaltung von Kondensatoren
N
Qtotal X
Cp =
=
Ci
U
(1.47)
i=1
c
Le
hr
st
uh
l
Daraus ergibt sich als Ersatzkapazität Cp für die Parallelschaltung:
(ii) Serienschaltung:
Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci )i=1...N in Reihe geschaltet. Sie werden bei
Anlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei aus Gründen
der Ladungserhaltung alle Qi denselben Wert Qi = Q haben müssen. Die Gesamtspannung U
teilt sich additiv auf die Teilspannungen Ui auf, die an den einzelnen Kondensatoren anliegen.
Es gilt also:
N
N
N
X
X
X
Q
Q
1
Ui =
⇒ U=
Ui =
=Q
Ci
Ci
Ci
i=1
28
i=1
i=1
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
ün
ch
e
n
1 ELEKTROSTATIK
-T
U
Daraus ergibt sich der Kehrwert der Ersatzkapazität Cs für die Serienschaltung:
M
Abb. 1.11: Serienschaltung von Kondensatoren
N
X 1
1
=
Cs
Ci
i=1
(1.48)
~ 1| =
|E
ek
⇒
U
~ 2|
= |E
d
El
~ 1 | · d = |E
~ 2| · d
U = |E
tro
ph
ys
ik
(iii) Parallele dielektrische Medien:
Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d und in seinem Inneren
zwei parallel angeordnete Dielektrika mit den Permittivitäten ε1 und ε2 . Die Plattenflächen,
die zu den jeweiligen Dielektrika gehören, werden mit A1 und A2 und die am Kondensator
anliegende Spannung mit U bezeichnet. Unter Vernachlässigung von Streufeldern sind das
~
~
E-Feld
und D-Feld
in den beiden Dielektrika jeweils konstant. Es gilt also:
Mit Gl. (1.35) erhalten wir für die Flächenladungsdichte σi auf den beiden Plattenbereichen
ch
e
~ 1 | = ε1 · U
σ1 = |D
d
Te
ch
nis
und
~ 2 | = ε2 · U
σ2 = |D
d
woraus sich die Gesamtladung ergibt zu:
U
(ε1 A1 + ε2 A2 )
d
c
Le
hr
st
uh
l
für
Q = Q1 + Q2 = σ1 A1 + σ2 A2 =
Abb. 1.12: Parallele dielektrische Medien
Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Kapazität der gesamten Anordnung:
C=
Q
ε 1 A 1 ε2 A 2
=
+
U
d
d
29
(1.49)
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
ε1 A1
d
und
C2 =
ε2 A2
d
⇒ C = C1 + C2
ch
e
C1 =
n
Man erkennt, dass sich diese Anordnung verhält wie die Parallelschaltung zweier Plattenkondensatoren mit den Kapazitäten
ik
Q
~ 2|
= |σbottom | = |D
A
tro
ph
ys
~ 1 | = |σtop | =
|D
-T
U
M
ün
(iv) Serielle dielektrische Medien:
Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d = d1 + d2 , wobei der
Zwischenraum mit zwei seriell geschichteten Dielektrika der Dicke d2 und d2 und den Permittivitäten ε1 und ε2 ausgefüllt ist. Die Plattenfläche ist A. Legt man an die Platten eine
Spannung U an, so bauen sich in den beiden dielektrischen Schichten die jeweils konstanten
~ 1 und E
~ 2 sowie D
~ 1 und D
~ 1 auf. Die Oberflächenladungsdichten an der oberen und
Felder E
unteren Platte sind konstant; mit Gl. (1.35) folgt:
ch
e
El
ek


D2 = ε 2 E2
Te
ch
nis
Abb. 1.13: Serielle dielektrische Medien
~
Durch Integration über das E-Feld
zwischen den beiden Platten ergibt sich andererseits
~ 1 |d1 + |E
~ 2 |d2 =
U = U1 + U2 = |E
~ 1|
~ 2|
|D
|D
d1 +
d2
ε1
ε2
uh
l
für
Fassen wir beide Gleichungen zusammen, erhalten wir
Q d1 d2
+
U=
A ε1
ε2
c
Le
hr
st
das heißt:
C=
Q
=
U
d1
ε1
A
+
d2
ε2
(1.50)
Man kann dieses Ergebnis als Reihenschaltung zweier Plattenkondensatoren mit den Kapazitäten
ε1 A
ε2 A
1
1 −1
C1 =
und C2 =
⇒ C=
+
d1
d2
C1 C2
interpretieren.
30
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
L1
El
ek
tro
ph
ys
ik
L2
-T
U
M
ün
ch
e
(i) Energie eines aufgeladenen Kondensators:
Wir betrachten einen aus zwei Leitern L1 und L2 aufgebauten Kondensator. L1 sei mit der
positiven Ladung Q geladen, L2 mit −Q, und zwischen beiden Leitern liege die elektrische
Spannung U (Q). Um den Kondensator weiter aufzuladen, muss Q um ∆Q > 0 erhöht werden.
Dies kann geschehen indem die Ladungsmenge ∆Q entgegen der elektrostatischen Kraft
~ von L2 nach L1 transportiert wird; die hierbei aufzubringende mechanische Arbeit
∆Q · E
∆Wmech wird als Zuwachs an elektrischer Energie ∆Wel im Kondensator verzeichnet und
beträgt
ˆL2
ˆL1
~ d~r = ∆Q · U (Q)
~
∆Wel = −∆Wmech = − ∆Q · E d~r = ∆Q · E
n
1.7.4. Elektrische Feldenergie
ch
e
Abb. 1.14: Zwei geladene Leiter
Te
ch
nis
Der differentielle Energiezuwachs beim Laden des Kondensators von Q zu Q + dQ beträgt
also
dWel = U (Q) dQ
für
Lädt man den Kondensator vom leeren Zustand Q = 0 bis zur Endladung Q auf, ergibt sich
ein Energieinhalt von
ˆQ
Wel = U (Q0 ) dQ0
(1.51)
0
hr
st
uh
l
Im Falle eines idealen Kondensators mit Kapazität C gilt U (Q) = Q/C, woraus folgt:
ˆQ
Wel =
Q0
1 Q2
dQ0 = ·
C
2 C
0
c
Le
Alternative Darstellungen sind:
Wel =
1 Q2
1
1
·
= · U · Q = · C · U2
2 C
2
2
(1.52)
(ii) Energiedichte des elektrischen Feldes:
Eine physikalisch interessante Frage ist es nun, wo die elektrische Energie im Kondensator
31
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
ch
e
n
gespeichert ist. Es ist naheliegend anzunehmen, dass die Energie als Polarisationsenergie im
Dielektrikum abgespeichert ist, also über dieses mit einer räumlich verteilten Energiedichte
wel (~r) verteilt ist. Betrachten wir einen Plattenkondensator mit Plattenfläche A und Plattenabstand d, so können wir die im Volumen V = A · d gespeicherte Energie ausdrücken in
der Form
Q
A
-T
U
G
E
d
−Q
Hieraus ergibt sich als elektrische Energiedichte
Wel
1 ~
~ = ε · |E|
~ 2 = 1 · |D|
~ 2
= · |E|
· |D|
V
2
2
2ε
ph
ys
wel =
M
1
1 ~
~ · A = 1 · |E|
~ · |D|
~ ·V
· U · Q = · |E|
· d · |D|
2
2
2
ik
Wel =
ün
S. 25_2
(1.53)
ek
tro
Dies ist in der Tat auch das Ergebnis, das man aus allgemein gültigen feldtheoretischen
Überlegungen erhält, nämlich
1 ~ ~
wel = · E
·D
(1.54)
2
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
Interessant ist nun, dass auch im materiefreien Raum diese Beziehung gilt. Das elektrische
Feld selbst ist also der Träger der Feldenergie!
32
A. Mathematische Grundlagen
ch
e
n
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3
ün
A.1.1. Struktur
-T
U
M
In der analytischen Geometrie wird der dreidimensionale, kontinuierliche Ortsraum als reeller,
affiner Raum E3 aufgefasst, der aus der Menge aller Positionen (Orte, Punkte) besteht. E3 dient
also als Modell für einen flachen, dreidimensionalen Kosmos und jeder Ort P entspricht genau
einem Element von E3 .
E3 hat folgende Struktur:
ph
ys
ik
(i) Zu E3 gibt es einen reellen, 3-dimensionalen Vektorraum, dessen Elemente “gerichtete Strecken” zwischen je zwei Punkten aus E3 sind.
−−→
Präziser: Jedem Paar (P, Q) mit P, Q ∈ E3 ist eindeutig ein mit P Q bezeichneter Vektor so
zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind:
∃1
P ∈E3
~ ∈V3
V
Q∈E3
−→
~ =−
V
PQ
ch
e
Te
ch
nis
P,Q,S∈E3
∀
−−→ ~
PP =0
∀
;
P ∈E3
−−→
−−→
QP = −P Q
P,Q∈E3
hr
st
uh
l
für
(ii) Daraus folgt unmittelbar:
c
Le
(iii) Der Vektorraum V3 ist “euklidisch”, d.h. er hat ein Skalarprodukt
h.|.i : V3 × V3 → R (=positiv-definite symmetrische Bilinearform),
und damit eine Norm (“Betrag”)
k.k =
p
h.|.i,
mit deren Hilfe man Längen und Winkel in E3 messen kann.
+
+
−−→ −→ −→
P Q + QS = P S
∀
+
+
~ )
(Schreibweise: Q = P + V
(A2)
+
ek
∀
El
∀
tro
(A1)
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
n
• Längenmessung:
Länge = Abstand zweier Punkte = Betrag des Ver−−→
bindungsvektors P Q:
q
−−→
−−→ −−→
−−→
|P Q| := hP Q|P Qi = kP Qk
| {z }
Norm
-T
U
+
−−→ −→
−−→ −→
hP Q|P Ri
cos(α) = cos(]P Q, P R) = −−→
−→
kP Qk · kP Rk
+
M
−−→
−→
• Winkelmessung: Winkel zwischen P Q und P R gemäß
ebener Trigonometrie
ün
+
ph
ys
ik
~ |W
~ i =: V
~ ·W
~
Übliche Schreibweise für Skalarprodukte: hV
ek
tro
~,V
~ ,W
~ ) kann man mittels der Orientierungsfunktion
(iv) V3 ist “orientiert”, d.h. jedem 3-Bein (U
~
~
~
~
~
~
or(U , V , W ) := sgn(det(U , V , W )) einen Schraubsinn zuordnen. Da die Determinante dreier
~,V
~ ,W
~ ) = (U
~ ×V
~ )· W
~ als Spatprodukt ausgerechnet werden kann, gilt:
Vektoren gemäß det(U
und man entscheidet dann:
El
~,V
~ ,W
~ ) = sgn((U
~ ×V
~)·W
~ ))
or(U
Te
ch
nis
ch
e
~ ×V
~)·W
~ > 0 ⇒ rechts - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
~ ×V
~)·W
~ < 0 ⇒ links - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
A.1.2. Ursprung
für
In E3 kann man einen Punkt O ∈ E3 fest als “Koordinaten-Ursprung” wählen. Jedem Punkt
P ∈ E3 wird dann “eineindeutig” (=bijektiv) ein Ortsvektor
−→
~r(P ) := OP
+
O+
~r(P ) 7→ P = O + ~r(P )
hr
st
uh
l
mit der entsprechenden Umkehrabbildung
c
Le
zugeordnet.
72
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
Wählt man in V3 eine Basis (b~1 , b~2 , b~3 ), so lässt sich jeder Punkt P ∈ E3 durch seine “Koordinaten”
(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 eineindeutig darstellen, gemäß
ün
~r(P ) = x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
bzw.
M
P = O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
-T
U
Dabei heißt (O, b~1 , b~2 , b~3 ) “Koordinatensystem”.
ph
ys
ik
Ist (b~1 , b~2 , b~3 ) eine Orthonormalbasis, d.h. es gelte
(
1 für i = j
b~i · b~j = δij =
0 für i 6= j
so heißt es “kartesisches Koordinatensystem”.
tro
Übliche Schreibweisen hierfür sind:
ek
(O, e~1 , e~2 , e~3 ), bzw. (O, e~x , e~y , e~z )
El
Jeder Ortsvektor ist dann darstellbar als
ch
e
~r(P ) = x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 , bzw. ~r(P ) = xe~x + y e~y + z e~z
Te
ch
nis
Oft werden P ∈ E3 , ~r(P ) ∈ V3 und die kartesischen Koordinaten (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 bzw.
(x, y, z)T ∈ R3 synonym verwendet (oder schlampigerweise sogar miteinander identifiziert).
Kartesische Koordinatensysteme mit orthonormierten Basisvektoren (e~1 , e~2 , e~3 ) haben den großen
Vorteil, dass man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren sehr leicht aus seinen Komponenten
berechnen kann:
für
~ =
Ist U
uh
l
~ ·V
~ =
so folgt U
~ =
Ui~ei und V
i=1
3 X
3
X
3
X
3
X
Vj ~ej ,
j=1
Ui Vj ~ei · ~ej =
i=1 j=1
~ ·V
~ =
also U
hr
st
3
X
3 X
3
X
Ui Vj δij =
i=1 j=1
3
X
Ui Vi ,
i=1
Ui V i
i=1
c
Le
Desweiteren lassen sich die kartesischen Komponenten eines Vektors sehr leicht berechnen:
~ =
Ist V
3
X
~
Vj ~ej , so gilt: Vj = ~ej · V
j=1
73
n
A.1.3. Basis, Koordinatensystem
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.4. Skalarfeld
ch
e
n
Ein Skalarfeld auf E3 ist eine Abbildung Φ : E3 → R ; P 7→ Φ(P ). Dieser Abbildung kann bei fest
gewähltem Koordinaten-System (O, b~1 , b~2 , b~3 ) die “Koordinatendarstellung”
ün
Φ̃(x1 , x2 , x3 ) := Φ(O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3 )
M
bijektiv zugeordnet werden. Meist wird schlampigerweise zwischen Φ und Φ̃ nicht unterschieden!
Ein Vektorfeld auf E3 ist eine vektorwertige Abbildung
ik
~ : E3 → V3 ; P 7→ V
~ (P )
V
-T
U
A.1.5. Vektorfeld
ph
ys
~ (P )
Bei fest gewähltem Koordinatensystem (O, b~1 , b~2 , b~3 ) kann man sowohl den Ort ~r(P ) als auch V
~
~
~
nach der Basis (b1 , b2 , b3 ) entwickeln:
tro
~˜ (x1 , x2 , x3 ),
~ (P ) = V
~ (O + x1~b1 + x2~b2 + x3~b3 ) =: V
V
ek
~˜ (x1 , x2 , x3 ) = V1 (x1 , x2 , x3 ) · ~b1 + V2 (x1 , x2 , x3 ) · ~b2 + V3 (x1 , x2 , x3 ) · ~b3
V
El
Die Zuordnung
ch
e
~ (P ) V (x), mit V : R3 → R3 (“ V
~ in b-Koordinaten”)
V
Te
ch
nis
(x1 , x2 , x3 )T = x 7→ (V1 (x), V2 (x), V3 (x))T = V (x) ∈ R3
c
Le
hr
st
uh
l
für
~˜ (x) und V (x)
~ (P ), V
ist eineindeutig. Auch hier wird meist schlampigerweise nicht zwischen V
unterschieden.
74
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren


wobei der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten wie folgt dargestellt wird:
ph
ys
ik
~r(P ) = r · cos(ϕ) · ~ex + r · sin(ϕ) · ~ey + z · ~ez = r · ~er (ϕ) + z · ~ez
ek
tro
z
Te
ch
nis
ch
e
El
P
y
für
x
uh
l
Abb. A.1: Definition der Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)
Φ̃(r, ϕ, z) = Φ(O + r · ~er (ϕ) + z · ~ez )
Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:
~˜ (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z)~er (ϕ) + Vϕ (r, ϕ, z)~eϕ (ϕ) + Vz (r, ϕ, z)~ez ,
V
c
Le
hr
st
Skalarfeld in Zylinderkoordinaten:
sowie
T
V (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z), Vϕ (r, ϕ, z), Vz (r, ϕ, z)
75
ch
e
ün
→ ist rechtsorientierte Ortonormalbasis!
-T
U



M
Beispiel: “Zylinderkoordinaten”:
~er (r, ϕ, z) = cos(ϕ) · ~ex + sin(ϕ) · ~ey
~eϕ (r, ϕ, z) = − sin(ϕ) · ~ex + cos(ϕ) · ~ey
~ez (r, ϕ, z) = ~ez
n
Oft führt man auch ortsabhängige Basisvektoren von V3 ein (“begleitendes Dreibein”), d.h.
~ (P ) an jedem Punkt P nach dem
(~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )), und entwickelt ~r(P ) und V
Koordinatensystem (O, ~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )). ( “krummlinige Koordinaten”, vgl. Abs. A.4)
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
q
~ |V
~i
hV
n
~k=
kV
ch
e
Über die Norm in V3
lässt sich der Abstand zweier Vektoren als die Größe
ün
~ −V
~k
kU
-T
U
M
definieren. Damit lassen sich die Konzepte der Differentialrechnung einführen (Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc.).
ph
ys
ik
~ (t) einer reellen Variablen t.
Beispiel 1: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion V
~ (t)
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann konvergiert definitionsgemäß V
~0 ∈ V3 genau dann, wenn die reelle Funktion t 7→ ||V
~ (t) − V
~0 ||
bei t0 zum Grenzwert V
für t → t0 gegen 0 konvergiert.
Formale Schreibweise:
~ (t) = V
~0 :⇔ lim kV
~ (t) − V
~0 k = 0
lim V
t→t0
tro
t→t0
ch
e
El
ek
Beispiel 2: Ableitung einer vektorwertigen Funktion ~a(t) einer reellen Variablen t.
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann definiert man die 1. Ableitung von
~a(t) bei t0 über den Grenzwert
d~a
1
(t0 ) := lim
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) ,
∆t→0 ∆t
dt
Te
ch
nis
Dies ist zur Aussage äquivalent, dass es ein einen Vektor
d~a
d t (t0 )
∈ V3 gibt mit
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) d~a
−
(t0 )
lim =0
∆t→0
∆t
dt
c
Le
hr
st
uh
l
für
Beispiel 3: Die 1. Ableitung gestattet folgende Interpretation:
Wir betrachten eine Kurve C(P1 , P2 ) von P1 ∈ E3 nach P2 ∈ E3 , indem wir ~r(t) als
Ortsvektor eines Punktes P (t) = O +~r(t) auffassen, der sich im Zeitintervall [t1 , t2 ] vom
Anfangspunkt P1 = O + ~r(t1 ) zum Endpunkt P2 = O + ~r(t2 ) bewegt.
+
+
+
O
Abb. A.2: Punkt P wandert entlang der Kurve C(P1 , P2 ) mit der Zeit t als Kurvenparameter
76
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
~r(t) ist also eine Parameterdartellung von C(P1 , P2 )
n
[t1 , t2 ] 3 t 7→ O + ~r(t) ∈ C(P1 , P2 )
ch
e
mit der Zeit t als Kurvenparameter. Mit
ün
1
d~r
(t) = lim
~r(t + ∆t) − ~r(t)
~v (t) :=
∆t→0 ∆t
dt
ph
ys
[λ1 , λ2 ] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3
ik
-T
U
M
erhält man die vektorielle Geschwindigkeit zur Zeit t, mit der sich der Punkt P (t)
bewegt. ~v (t) ist ein Tangentialvektor an die Kurve C(P1 , P2 ) im Punkt P (t).
Die Darstellung der Kurve C(P1 , P2 ) kann man auch mit Hilfe einer Parameterdarstellung ~r(λ) erfolgen, wobei λ nicht die Zeit, sondern eine andere Größe ist (Bogenlänge,
Winkel o.ä.). Es muss nur gelten:
sodass
tro
P (λ) = O + ~r(λ) ∈ C(P1 , P2 )
ek
P1 = O + ~r(λ1 ); P2 = O + ~r(λ2 )
ch
e
El
Dann ist ein Tangentenvektor am Punkt P (λ) = O + ~r(λ) gegeben durch
d~r
1
(λ) = lim
~r(λ + ∆λ) − ~r(λ)
∆λ→0 ∆λ
dλ
Te
ch
nis
Drückt man den Ortsvektor ~r(λ) durch seine Koordinaten (x1 (λ), x2 (λ), x3 (λ)) bezüglich einer nicht-ortsabhängigen Basis (~b1 , ~b2 , ~b3 ) aus:
~r(λ) =
3
X
xi (λ)~bi
i=1
für
so kann man die 1. Ableitung von ~r(λ) folgendermaßen konkret ausrechnen:
3
d~r
1 X
(λ) = lim
·
∆λ→0 ∆λ
dλ
hr
st
uh
l
i=1
X
3 xi (λ + ∆λ) − xi (λ) ~
~
lim
xi (λ+∆λ)−xi (λ) ·bi =
·bi
∆λ→0
∆λ
i=1
=
3
X
dxi
dλ
i=1
(λ)~bi
3
X dxi
d~r
=
(λ)~bi
dλ
dλ
i=1
c
Le
das heißt:
77
A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En
ch
e
n
Im Folgenden betrachten wir Sachverhalte, die für beliebige Raumdimensionen n ∈ N formuliert
werden können. Für die Vorlesung “Elektrizität und Magnetismus” sind allerdings nur die Fälle
n = 2 und n = 3 relevant.
M
ün
Desweiteren wollen wir nicht mehr streng zwischen den Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren
−→
~r(P ) = OP ∈ Vn unterscheiden, sondern wir denken uns einen passend gewählten Koordinatenursprung fest eingeführt, auf den wir alle Ortsvektoren beziehen.
-T
U
A.2.1. Definition des Wegintegrals
ph
ys
ik
Gegeben ist ein Weg C(P1 , P2 ) von P1 ∈ En nach P2 ∈ En mit einer “glatten” (d.h. differenzierbaren) Parameterdarstellung
R ⊃ (λ0 , λ1 ) 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ Vn
−−→
−−→
~r(λ1 ) = OP1 , ~r(λ2 ) = OP2
sowie einem Vektorfeld F~ (~r):
Vn ⊃ Ω 3 ~r 7→ F~ (~r) ∈ Vn
ek
tro
wobei die Kurve ~r(λ) ganz in Ω enthalten sein muss. Man berechnet das Wegintegral von F~ (~r)
entlang C(P1 , P2 ) über die Parameterdarstellung ~r(λ) wie folgt:
ˆ
ˆλ1
d~r
dλ
F~ (~r(λ)) ·
dλ
(A.2.1)
λ0
ch
e
C(P1 ,P2 )
El
F~ (~r) · d~r =
Te
ch
nis
Man kann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung ist, solange die Orientierung P1 → P2 beim Durchlaufen der Kurve C(P1 , P2 ) beibehalten
wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ortonormalbasis (~e1 , . . . , ~en ) wird die ParameterP
darstellung ~r(λ) = nj=1 xj (λ)~ej über die Koordinatenfunktionen (x1 (λ), . . . , xn (λ)) realisiert und
Pn
ej dargestellt (vgl. Abs. A.1.5). Das Wegintegral
das Kraftfeld als F~ (~r) =
j=1 Fj (x1 , . . . , xn )~
berechnet sich dann wie folgt:
ˆλ1 dx1
dxn
~
F (~r) · d~r =
F1 (x1 (λ), . . . , xn (λ)) ·
+ . . . + Fn (x1 (λ), . . . , xn (λ)) ·
dλ
dλ
dλ
für
ˆ
uh
l
C(P1 ,P2 )
λ0
(A.2.2)
hr
st
Wichtige Bemerkung:
c
Le
Im Allgemeinen hängt ein Wegintegral von P1 nach P2 von der Wahl des verbindenden Weges
C(P1 , P2 ) ab!
78
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En
A.2.2. Konservative Kraftfelder
ch
e
n
Ein Kraftfeld F~ (~r) heißt konservativ, wenn das Wegintegral
ˆ
F~ (~r) · d~r
ün
C(P1 ,P2 )
M
nur von P1 und P2 , aber nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1 , P2 ) abhängt. In diesem
Fall macht folgende Schreibweise einen Sinn:
ˆ
ˆP2
P1
F~ · d~r
-T
U
F~ · d~r :=
C(P1 ,P2 )
∂Fj
∂Fi
F~ (~r) konservativ ⇔
=
∂xi
∂xj
ph
ys
ik
Ist der Definitionsbereich Ω ⊂ Vn des Vektorfeldes F~ (~r) ein einfach zusammenhängendes Gebiet,
so gilt in kartesischen Koordinaten folgendes Kriterium:
für i, j = 1, . . . , n; i 6= j
tro
Dieses Kriterium sei im zweidimensionalen Raum (n = 2) an zwei Beispielen illustriert.
El
ek
Beispiel 1:
∂Fy
∂Fx
= 1;
= −1
∂x
∂y
Te
ch
nis
⇒
ch
e
F~ (x, y) = −y~ex +x~ey , also Fx (x, y) = −y und Fy (x, y) = x
⇒ F~ (x, y) ist nicht konservativ!
Beispiel 2:
für
F~ (x, y) = x~ex +y~ey , also Fx (x, y) = x und Fy (x, y) = y
uh
l
⇒
∂Fy
∂Fx
=0=
∂x
∂y
c
Le
hr
st
⇒ F~ (x, y) ist konservativ!
79
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3. Totale Ableitung und Gradient von Skalarfeldern
ch
e
(i) Eine Linearform auf dem euklidischen Vektorraum Vn ist eine lineare Abbildung
n
A.3.1. Linearformen und dualer Raum
ün
l : Vn → R, ~v 7→ l(~v )
-T
U
M
Die Linearformen auf Vn bilden einen n-dimensionalen reellen Vektorraum Vn∗ ,
mit der Addition
(l1 + l2 )(~v ) := l1 (~v ) + l2 (~v )
und der skalaren Multiplikation
(αl)(~v ) := α · l(~v )
wobei α ∈ R. Vn∗ heißt auch “dualer Raum zu Vn ”.
tro
Dabei wird jedem ~u ∈ Vn die Linearform
ph
ys
ik
(ii) Über das Skalarprodukt h.|.i auf Vn gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen Vn
und Vn∗ , d.h. eine bijektive strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektoren und Linearformen:
Vn 3 ~u lu ∈ Vn∗
ek
lu := h~u|.i ∈ Vn∗
El
zugeordnet, d.h. es gilt:
∀~v ∈ Vn :
lu (~v ) := h~u|~v i.
Te
ch
nis
ch
e
Umgekehrt gibt es zu jeder Linearform l ∈ Vn∗ genau einen Vektor ~ul mit
∀~v ∈ Vn :
l(~v ) = h~ul |~v i
Explizite Berechnung von ~ul :
Sei (~e1 , ~e2 , . . . ~en ) eine Orthonormalbasis in Vn , d.h. h~ei |~ej i = δij .
uh
l
für
Für eine gegebene Linearform l ∈ Vn∗ berechnen wir lj = l(~ej ) (j = 1, . . . n) und bilden
~l∗ =
n
X
lj ~ej =
j=1
n
X
j=1
Dann gilt:
c
Le
hr
st
~ul = ~l∗
80
l(~ej )~ej
(A.3.1)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
j=1
n
X
=h
j=1
ün


n
n
n
X
X
X
l(~v ) = l 
vj ~ej  =
vj l(~ej ) =
lj h~ej |~v i
j=1
M
∀~v ∈ Vn :
ch
e
n
Beweis:
P
Jedes ~v ∈ Vn hat die Darstellung ~v = nj=1 vj ~ej mit vj = h~ej |~v i .
Damit folgt:
lj ~ej |~v i = h~l∗ |~v i q.e.d.
ph
ys
ist somit die Umkehrabbildung der isomorphen Abbildung
ik
Das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis.
Die isomorphe Abbildung
Vn∗ 3 l 7→ ~l∗ ∈ Vn
-T
U
j=1
12d
tro
Vn 3 ~u 7→ lu = h~u|.i ∈ Vn∗
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen
hr
st
Abb. A.3: Lineare Approximation eines Skalarfeldes
c
Le
(i) Ein skalares Feld Φ : En → R ist (total) differenzierbar am Punkt P ∈ E3 , wenn es linear
approximierbar ist. Dies bedeutet, es gibt eine Linearform lP : Vn → R, sodass der folgende
Limes existiert und verschwindet:
Φ(P + ∆~r) − Φ(P ) − lP (∆~r)
lim
=0
(A.3.2)
|∆~r|
∆~
r→0
Diese Linearform lP ist dann eindeutig bestimmt, und wird mit DΦ oder dΦ bezeichnet. Sie
heißt die 1. Ableitung von Φ oder das totale Differential von Φ (“Fréchet-Ableitung”).
81
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
−−→
(ii) Der zu der Linearform dΦ kanonisch zugeordnete Vektor dΦ∗ aus Vn heißt “Gradient von
Φ bei P ”. Folgende Schreibweisen sind üblich:
n
−−→∗
→
−
∂Φ
dΦ = grad Φ = ∇Φ =
∂~r
ch
e
(A.3.3)
M
→
−
∂Φ
(P )|~ni
dΦP (~n) = hgrad Φ(P )|~ni = h ∇Φ(P )|~ni = h
|
{z
}
|
{z
}
| ∂~r {z }
grad Φ(P ) · ~n
→
−
∇Φ(P ) · ~n
(A.3.4)
-T
U
∀
~
n∈Vn
ün
Es gilt also:
∂Φ
∂~
r (P )
· ~n
tro
ph
ys
ik
Die Abbildung En 3 P 7→ grad Φ(P ) ∈ Vn ist also ein Vektorfeld auf En ; es weist stets
in die Richtung des steilsten Anstiegs von Φ (vgl. A.3.3).
El
ek
A.3.3. Richtungsableitung
ch
e
(i) Sei P ∈ En und ~n ∈ Vn eine Richtung, die eine
Gerade durch P in Richtung von ~n festlegt. Sie
hat die Parameterdarstellung:
Te
ch
nis
+
R 3 α 7→ ~r(α) = ~r(P ) + α · ~n ∈ Vn
+O
bzw. P (α) = P + α · ~n ∈ En
uh
l
für
Sei Φ(P ) ein differenzierbares Skalarfeld, dessen Definitionsbereich ein Stück der Gerade um
P enthält. Dann ist Φ entlang der Geraden bei P als eindimensionale Funktion
(−, ) 3 α → Φ(P + α~n)
c
Le
hr
st
bei α = 0 differenzierbar. Die gewöhnliche Ableitung
d
Φ(P + α~n)
dα
α=0
heißt “Richtungsableitung von Φ nach ~n ” und wird mit
∂Φ ∂n bezeichnet.
P
Mit Hilfe des Gradienten kann man sie folgendermaßen berechnen:
∂Φ = hgrad ΦP |~ni = grad ΦP · ~n
∂n P
82
(A.3.5)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
Beweis:
Φ(P + α~n) − Φ(P ) − (grad Φ · α~n)
=
α|~n|


1 
Φ(P + α~n) − Φ(P )
=
lim
− grad Φ · ~n
|~n| α→0
α
|
{z
}
∂Φ ∂n P
0 = lim
M
ün
ch
e
n
α→0
-T
U
(ii) grad ΦP zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von Φ. Ist nämlich ϕ der Winkel
zwischen einem beliebigen Richtungsvektor ~n und grad ΦP , so gilt für den steilsten Anstieg:
∂Φ max
; ~n ∈ Vn , |~n| = 1 = max | grad ΦP | · |~n| · cos ϕ = | grad Φ|
0≤ϕ<2π
∂n P
ph
ys
ik
Da das Maximum für ϕ = 0 angenommen wird, folgt ~n grad ΦP für die Richtung des
steilsten Anstiegs.
El
ek
tro
(iii) Für P ∈ En betrachtet man die Menge aller Punkte, die denselben Φ-Wert haben wie
Φ(P ). Für eine differenzierbare Funktion Φ mit grad Φ(P 0 ) 6= 0 ist diese Menge eine (n − 1)
dimensionale Fläche FP = {P 0 ∈ En |Φ(P 0 ) = Φ(P )}, die P enthält. Legt man am Punkt P
die Tangentialebene TP an FP , so steht grad ΦP senkrecht auf TP (vgl. Abs. A5.5).
ch
e
A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem):
für
Te
ch
nis
(i) Wählt man ein kartesisches (d.h. orthonormales) Koordinatensystem (O, ~e1 , ~e2 , . . . , ~en ) mit
der Darstellung des Ortsvektors gemäß
~r(P ) = x1~e1 + x2~e2 + . . . + xn~en ,
so kann man ein differenzierbares Skalarfeld Φ durch seine Koordinatendarstellung
Φ̃(x1 , . . . , xn ) = Φ(O + x1~e1 , . . . , xn~en )
beschreiben. Die Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien durch einen Punkt
P , α 7→ ~r(P ) + α~ej heißen “partielle Ableitungen von Φ nach xj ” und werden mit
∂Φ ,
oder
∂
Φ
j
∂xj P
P
uh
l
bezeichnet.
c
Le
hr
st
(ii) In der kartesischen Koordinatendarstellung werden die Koordinatenlinien oft schlampig, aber
intuitiv einprägsam gemäß
xj 7→ x1~e1 + . . . + xj ~ej + . . . + xn~en
∂Φ
parametrisiert. Daher lässt sich ∂x
folgendermaßen aus der Koordinatendarstellung Φ̃(x1 , . . . , xn )
j
berechnen:
Φ̃(x1 , . . . xj + ∆xj . . . , xn ) − Φ̃(x1 , . . . , xn )
∂Φ = lim
(A.3.6)
∂xj P ∆xj →0
∆xj
(iii) Andererseits lässt sich nach Gl. (A.3.4) die partielle Ableitung auch aus grad Φp berechnen:
∂Φ = grad ΦP · ~ej
(A.3.7)
∂xj P
83
A.3 Totale Ableitung und Gradient
∂Φ
∂xj
die kartesischen Komponenten von grad Φ sind:
grad Φ =
n
X
∂Φ
· ~ej
∂xj
(A.3.8)
n
was bedeutet, dass
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
ch
e
j=1
84
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
~ als den formalen Differntialoperator
(iv) Führt man das Nabla-Symbol ∇
ch
e
n
~ := ~e1 ∂ + ~e2 ∂ + . . . + ~en ∂
∇
∂x1
∂x2
∂xn
ein, so kann man schreiben:
ün
~
grad Φ = ∇Φ
M
A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve:
d~r
dλ
ik
~n =
-T
U
(i) Die Richtungsableitung am Punkt P in eine Richtung ~n kann man auch dadurch gewinnen,
dass man eine Kurve durch P legt, deren Tangentialvektor in Richtung von ~n weist:
ph
ys
Präziser ausgedrückt:
Man wählt eine Parameterdarstellung
tro
R ⊃ (λ1 , λ2 ) 3 λ → ~r(λ) ∈ Vn
d~r
(λ0 ) = ~n 6= 0
dλ
El
~r(λ0 ) = ~r(P ) und
ek
so dass für ein λ0 ∈ (λ1 , λ2 ) gilt:
ch
e
Dann gilt für ein differenzierbares Skalarfeld Φ:
d
∂Φ · d~r (λ0 )
=
Φ(O
+
~
r
(λ))
=
grad
Φ
dλ
∂n P
dλ
λ=λ0
P
Te
ch
nis
(ii) Beweis:
λ→λ0
= lim
λ − λ0
·
|~r(λ) − ~r(λ0 )|
lim
λ→λ0
Φ(O + ~r(λ)) − Φ(O + ~r(λ0 ))
λ − λ0
uh
l
λ→λ0
Φ(O + ~r(λ)) − Φ(O + ~r(λ0 )) − dΦP (~r(λ) − ~r(λ0 ))
|~r(λ) − ~r(λ0 )|
für
0 = lim
(A.3.9)
− lim dΦP
λ→λ0
c
Le
hr
st
"
#
1
d
~
r
(λ)
−
~
r
(λ
)
0
=
− dΦP lim
~r(λ)−~r(λ0 ) · dλ Φ(O + ~r(λ))
λ→λ0
λ − λ0
λ=λ0
limλ→λ0 λ−λ0 
1
= d~r (λ0 )
dλ
| {z }


 d
d~r


·  Φ(O + ~r(λ))
− dΦP
(λ0 ) 
dλ
 dλ

λ=λ0
|
{z
}
=0
6=0
85
(~r(λ) − ~r(λ0 )
λ − λ0
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
kann man sich Gleichung (A.3.9) leicht als “Ketten-
ün
∂Φ
∂~
r
M
(iii) Mit Hilfe der Schreibweise grad Φ =
regel” merken:
ch
e
n
also folgt die Behauptung:
d~r
d
d~r
∂Φ Φ(O + ~r(λ))
= dΦP
(λ0 ) = grad ΦP ·
(λ0 ) = grad ΦP · ~n =
dλ
dλ
dλ
∂n P
λ=λ0
ik
In kartesischen Koordinaten gilt
n
n
X
X
dxj
d~r
∂Φ
· ~ej und
=
· ~ej
∂xj
dλ
dλ
ph
ys
grad Φ =
(A.3.10)
-T
U
d
∂Φ d~r
Φ̃(~r(λ)) =
·
dλ
∂~r dλ
j=1
j=1
woraus folgt:
n
tro
X ∂Φ dxj
d
Φ̃(~r(λ)) =
·
dλ
∂xj dλ
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
j=1
86
(A.3.11)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Krummlinige Koordinaten
A.4. Krummlinige Koordinaten
ch
e
n
A.4.1. Kartenabbildung
-T
U
M
ün
(i) In einem Teilgebiet Ω ⊂ En (meist Ω = En ) wird jedem Punkt P ∈ Ω eineindeutig ein Satz
von n reellen Koordinatenwerten (u1 (P ), u2 (P ), . . . , un (P )) = u(P ) ∈ Rn zugeordnet. Die
Koordinatenwerte liegen in einem Gebiet G ⊂ Rn , und die Punkte P ∈ Ω werden also durch
die “Kartenabbildung”
G 3 (u1 , u2 , . . . , un ) 7→ P (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Ω ⊂ En
bijektiv parametrisiert. Dies induziert eine Darstellung des Ortsvektors gemäß
(A.4.1)
ph
ys
ik
P (u1 , u2 , . . . , un ) = O + ~r(u1 (P ), u2 (P ), . . . , un (P ))
tro
Durchlaufen die “krummlinigen Koordinaten” (u1 , u2 , . . . , un ) das Kartengebiet G, so
durchläuft der Ortsvektor ~r(u1 , u2 , . . . , un ) bijektiv alle Punkte in Ω. Die Kurvenscharen mit
Parameterdarstellung
uj 7→ ~r(u1 , . . . , uj , . . . , un )
ek
heißen Koordinatenlinien.
El
(ii) Im Falle kartesischer Koordinaten umfasst die Karte G ganz Rn und die Kartendarstellung
lautet
ch
e
Rn 3 (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ P (x1 , x2 , . . . , xn ) = O + x1~e1 + x2~e2 + . . . + xn~en
Te
ch
nis
Die Koordinatenlinien sind die zu den Koordinatenachsen parallel verlaufenden Geraden
für
xj 7→ ~r(x1 , . . . , xj , . . . , xn ) = x1~e1 + . . . + xj ~ej + . . . + xn~en
uh
l
A.4.2. Begleitendes n-Bein
c
Le
hr
st
(i) Damit man mit krummlinigen Koordinaten vernünftig rechnen kann, muss die Koordinatenabbildung ~r(u1 , u2 , ..., un ) stetig differenzierbar sein. Dann existieren bei jedem Punkt P ∈ Ω
die Tangentialvektoren an die n Koordinatenlinien durch P
∂~
r
b~j (P ) =
für j = 1, . . . , n
(A.4.2)
∂uj P
Damit die Kartenabbildung G 3 (u1 , . . . , un ) 7→ ~r(u1 , . . . , un ) ein n-dimensionales Teilgebiet
Ω ⊂ En aufspannt, müssen die Tangentialvektoren ~bj (P ) eine Basis in Vn bilden. Diese ortsabhängige Basis (~b1 (P ), ~b2 (P ), . . . , ~bn (P )) heißt “begleitendes n-Bein” (vgl. Abs. A.1.6).
Im Allgemeinen ist diese Basis schiefwinklig, d.h. die Koordinatenlinien schneiden sich nicht
in rechten Winkeln.
87
A.4 Krummlinige Koordinaten
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
(ii) In der Praxis lässt sich der Rechenaufwand stark reduzieren, wenn das begleitende n-Bein
(~b1 (P ), ~b2 (P ), . . . , ~bn (P )) ein Orthogonalsystem bildet; es gilt dann:
n
(i, j = 1, . . . , n)
ch
e
~bi (P ) · ~bj (P ) = h2 (P )δij
j
mit
ün
hj (P ) := |~bj (P )|
1 ~
bi (P ) (i = 1, . . . , n)
hi (P )
(A.4.4)
-T
U
~eui (P ) :=
M
sodass die Basisvektoren
(A.4.3)
ik
eine “begleitende Orthonormalbasis” bilden. Die krummlinigen Koordinaten (u1 , u2 , . . . un )
heißen dann “orthogonale Koordinaten”. Im Folgenden wollen wir uns auf diesen Spezialfall beschränken.
P
El
~r(r, ϕ, z) = r cos ϕ·~ex +r sin ϕ·~ey +z·~ez
z
tro
Kartenabbildung:
ek
G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r; 0 ≤ ϕ < 2π; z ∈ R}
ph
ys
(iii) Ein Beispiel für krummlinige orthogonale Koordinaten sind die in Abschnitt A.1.6 erwähnten Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum E3 .
Koordinatenbereich:
ch
e
Koordinatenlinien:
r 7→ ~r(r, ϕ, z) Radialstrahlen senkrecht zur z-Achse
Te
ch
nis
ϕ 7→ ~r(r, ϕ, z) konzentrische Kreislinien um die z-Achse
y
z 7→ ~r(r, ϕ, z) Geraden parallel zur z-Achse
x
hr
st
uh
l
für
Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:
~br = ∂~r = cos ϕ · ~ex + sin ϕ · ~ey
∂r
∂~
~bϕ = r = −r sin ϕ · ~ex + r cos ϕ · ~ey
∂ϕ
~bz = ∂~r = ~ez
∂z
c
Le
Diese bilden ein Orthogonalsystem.
88
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Krummlinige Koordinaten
Normierungsfaktoren:
n
hr = |~br | = 1; hϕ = |~bϕ | = r; hz = |~bz | = 1
ch
e
Begleitende Orthonormalbasis:
ün
~er = cos ϕ · ~ex + sin ϕ · ~ey
~eϕ = − sin ϕ · ~ex + cos ϕ · ~ey
M
~ez = ~ez
-T
U
Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung
~r(r, ϕ, z) = r · ~er (ϕ) + z · ~ez
tro
ph
ys
ik
(iv) Ein weiteres wichtiges Beispiel für krummlinige Orthogonalkoordinaten sind die Kugelkoordinaten im E3 . Hier verwendet man zur Festlegung einer Position P den Abstand vom
Ursprung r = |~r(P )| sowie den Polarwinkel ϑ (=
ˆ geographische Breite) und den Azimutwinkel ϕ (=
ˆ geographische Länge).
y
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
z
x
für
Abb. A.4: Definition der Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)
hr
st
uh
l
Koordinatenbereich:
G = {(r, ϑ, ϕ)| 0 ≤ r; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π}
Le
Kartenabbildung:
~r(r, ϑ, ϕ) = r cos ϕ sin ϑ~ex + r sin ϕ sin ϑ~ey + r cos ϑ~ez
c
Koordinatenlinien:
r 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
vom Ursprung ausgehende Halbgeraden
ϑ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
Längenkreise (Halbkreise)
ϕ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
Breitenkreise
89
A.4 Krummlinige Koordinaten
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
-T
U
ch
e
M
Diese bilden ein Orthogonalsystem.
Normierungsfaktoren:
ün
~br = ∂~r = cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · ~ez
∂r
∂~
~bϑ = r = r cos ϕ cos ϑ · ~ex + r sin ϕ cos ϑ · ~ey − r sin ϑ · ~ez
∂ϑ
~bϕ = ∂~r = −r sin ϕ sin ϑ · ~ex + r cos ϕ sin ϑ · ~ey
∂ϕ
n
Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:
hr = |~br | = 1; hϑ = |~bϑ | = r; hϕ = |~bϕ | = r sin ϑ
Begleitende Orthonormalbasis:
ik
~er = cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · ~ez
ph
ys
~eϑ = cos ϕ cos ϑ · ~ex + sin ϕ cos ϑ · ~ey − sin ϑ · ~ez
~eϕ = − sin ϕ · ~ex + cos ϕ · ~ey
tro
Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
~r(r, ϑ, ϕ) = r · ~er (ϑ, ϕ)
90
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Krummlinige Koordinaten
ün
ch
e
Sei (~eu1 , . . . , ~eun ) das orthonormierte begleitende n-Bein in einem krummlinigen orthogonalen
Koordinatensystem und Φ : Ω → R ein differenzierbares Skalarfeld. Dann lässt sich an jedem
Punkt P ∈ Ω der Vektor grad ΦP durch die Orthonormalbasis (~eu1 (P ), . . . , ~eun (P )) ausdrücken
(vgl. Abs. A.1.3):
n
X
grad ΦP =
(grad ΦP · ~euj (P ))~euj (P )
(A.4.5)
n
A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten
M
j=1
-T
U
Das Skalarfeld hat in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung
e 1 , . . . , un ) = Φ(O + ~r(u1 , . . . , un )).
Φ(u
ph
ys
∂ Φ̃
∂~r (u(P )) = grad ΦP ·
∂uj
∂uj P
ik
Die Richtungsableitung von Φ entlang der uj -Koordinatenlinie uj 7→ ~r(u1 , . . . , uj , . . . , un ) ist dann
e nach uj . Denn nach Gl. (A.3.9) gilt:
identisch mit der partiellen Ableitung von Φ
Wegen (A.4.2) folgt dann weiter
tro
∂ Φ̃
(u(P )) = hj (P ) grad ΦP · ~euj (P )
∂uj
Te
ch
nis
erhalten, oder in Kurzschreibweise:
ch
e
j=1
1 ∂ Φ̃
(u(P ))~euj (P )
hj (P ) ∂uj
El
grad ΦP =
n
X
ek
woraus wir mit (A.4.5) schließlich
n
X
1 ∂Φ
~eu
hj ∂uj j
j=1
c
Le
hr
st
uh
l
für
grad Φ =
91
(A.4.6)
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen
ch
e
n
Im Folgenden wird die strenge Unterscheidung zwischen Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren
~ r).
~r(P ) ∈ Vn aufgehoben. Ein Skalarfeld wird mit Φ(~r) notiert, ein Vektorfeld mit E(~
ün
A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen
~ = − grad Φ
E
~ = −∇Φ bzw. E
~ = − ∂Φ .
Alternative Schreibweisen sind E
∂~
r
-T
U
M
~ r) heißt Gradientenfeld,
(i) Definition: Ein auf einem Gebiet Ω ∈ En definiertes Vektorfeld E(~
wenn es eine ebenfalls auf Ω definierte “Potentialfunktion” Φ(~r) gibt mit der Eigenschaft
(A.5.1)
ph
ys
ik
(ii) Eindeutigkeit einer Potentialfunktion:
~ = −∇Φ ist das Potential Φ(~r) nur bis auf eine reelle Konstante
Aus der Bedingung E
eindeutig bestimmt, denn Φ(~r) und Φ̂(~r) = Φ(~r) + c mit c ∈ R liefern dasselbe Vektorfeld
~ r):
E(~
∇Φ̂ = ∇Φ + |{z}
∇c = ∇Φ
tro
=0
ek
A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion:
Es gilt also
Te
ch
nis
ch
e
El
(i) Kriterium für die Existenz einer Potentialfunktion:
~ ein Gradientenfeld, also E
~ = −∇Φ mit einer Potentialfunktion Φ(~r). In einem karSei E
tesischen Koordinatensystem (O, ~e1 , . . . , ~en ) mit kartesischen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) hat
man
n
n
X
X
∂Φ
~
~ej und E =
Ej ~ej
∇Φ =
∂xj
j=1
j=1
Ej = −
∂Φ
∂xj
(j = 1, . . . , n)
für
Falls die Potentialfunktion zweimal stetig differenzierbar ist, gilt dann:
∂Ej
∂Ek
∂2Φ
∂2Φ
=−
=−
=
∂xj
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
∂xk
c
Le
hr
st
uh
l
Die 12 n(n − 1) “Integrabilitätsbedingungen”
∂Ej
∂Ek
=
∂xj
∂xk
(j, k = 1, . . . , n)
(A.5.2)
~ r) ein Gradientenfeld ist.
sind also notwendige Bedingungen dafür, dass E(~
In Abschnitt A.8 wird im dreidimensionalen Raum (n = 3) die Rotation eines Vektorfel~ eingeführt. In einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) lauten dessen
des rot E
Komponenten:
~e , ~e , ~e y
z
x
∂Ey
∂Ey
∂Ez
∂Ex ∂Ez
∂Ex
~
rot E = ∂x , ∂y , ∂z =
−
· ~ex +
−
· ~ey +
−
· ~ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Ex , Ey , Ez 92
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
Damit ist für n = 3 Gleichung (A.5.2) äquivalent zu
~ =0
rot E
(bzw.
∂Ej
∂Ek
=
∂xk
∂xj
(j, k = 1, 2, 3) in kartesischen Koordinaten)
M
~ =0
rot E
ün
ch
e
(ii) Es gilt auch die Umkehrung (ohne Beweis):
~ : Ω → V3 ein Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet Ω ⊂ E3 mit
Sei E
der Eigenschaft
n
(A.5.3)
mit
~ = −∇Φ.
E
ph
ys
Φ ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
ik
Φ:Ω→R
-T
U
Dann existiert eine Potentialfunktion
A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion
tro
~ eine Potentialfunktion Φ(~r) explizit berechnen.
Wir wollen für ein vorgegebenes Gradientenfeld E
~ r) mit der Eigenschaft rot E
~ = 0 im (einfach zusammenhängenden) Definitions• Gegeben: E(~
ek
bereich Ω ⊂ E3
El
~ = −∇Φ
• Gesucht: Φ(~r) mit E
Lösung:
+
Te
ch
nis
ch
e
Wähle einen festen “Bezugspunkt” P0 ∈ Ω, P0 = O + ~r0 , und verbinde ihn mit einem beliebigen Punkt P = O + ~r ∈ Ω durch eine (stückweise) glatte Kurve C(P0 , P ), die ganz in Ω
liegt. C(P0 , P ) habe die Parametrisierung:
[λ0 , λ1 ] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3
~r(λ1 ) = ~r
für
~r(λ0 ) = ~r0 ;

r0
+
ˆ
ˆλ1
~ d~r =
E
C(P0 ,P )
~ r(λ)) · d~r (λ) dλ =
E(~
dλ
λ0
c
Le
hr
st
uh
l
Dann gilt (vgl. Abs. A.2.1 und Abs. A.3.5):
ˆλ1
−∇Φ(~r(λ)) ·
d~r
(λ)
dλ
λ0
ˆλ1
=−
λ0
dΦ(~r(λ))
dλ = −Φ(~r(λ1 )) + Φ(~r(λ0 ))
| {z }
| {z }
dλ
~
r
93
~
r0
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Hieraus erhält man die gesuchte Funktion Φ(~r) als
ˆ
ˆP
~ d~r
E
n
(A.5.4)
ch
e
~ d~r = Φ(~r0 ) −
E
Φ(~r) = Φ(~r0 ) −
P0
C(P0 ,P )
M
ün
Bemerkungen:
-T
U
NB : Offenkundig ist die Herleitung von Gleichung (A.5.4) unabhängig von der speziellen Wahl
des Weges C(P0 , P ), mit dem P0 mit P verbunden wird, sofern nur das Gebiet Ω einfach
zusammenhängend ist.
ik
NB : Φ(~r0 ) ist die additive Konstante, über die das Potential Φ an einen Referenzwert am Punkt
P0 (“Masse”, “Ground”, “Erde”) angepasst (“geeicht”) werden kann.
ph
ys
A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern
tro
~ : Ω → Vn mit einem einfach zusammenhängenden DefinitiFür ein differenzierbares Vektorfeld E
onsbereich Ω ⊂ En sind folgende Aussagen äquivalent:
ch
e
~ = 0, falls n = 3
b) rot E
(j, k = 1, 2, . . . , n) in kartesischen Koordinaten
El
∂Ej
∂Ek
=
∂xJ
∂xk
ek
~ erfüllt die Integrabilitätsbedingungen
a) E
d)
P0
¸
C
~ · d~r ist wegunabhängig (d.h. E
~ ist konservativ)
E
~ · d~r = 0 für jede geschlossene Kurve C ⊂ Ω
E
für
e)
´P
Te
ch
nis
~ ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert ein Potential Φ : Ω → R mit E
~ = −∇Φ
c) E
A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld
hr
st
uh
l
~ : Ω → Vn eine Potentialfunktion Φ : Ω → R
Nehmen wir an, wir haben zu einem Gradientenfeld E
~ = −∇Φ. Für einen festen Potentialwert Φ0 ∈ R betrachten wir die
gefunden; es gilt also E
Äquipotentialfläche F(Φ0 ) := {P ∈ Ω | Φ(P ) = Φ0 }.
c
Le
Wir nehmen an, dass die Gleichung Φ(P ) = Φ0 Lösungen besitzt, also F(Φ0 ) 6= ∅, und dass ∇Φ
nirgendwo auf F(Φ0 ) verschwindet. Dann ist F(Φ0 ) eine (n − 1)-dimensionale Fläche in En ; d.h.
für n = 3 ist F(Φ0 ) eine zweidimensionale Fläche in E3 und für n = 2 eine eindimensionale Kurve
in E2 .
Legt man an einem Punkt P ∈ F(Φ0 ) die Tangentialebene TP (bzw. Tangente TP bei n = 2) an
~ ) senkrecht auf TP .
die Fläche F(Φ0 ), so steht ∇Φ und damit das Gradientenfeld E(P
~ weisen stets in Richtung der Oberflächennormalen zur ÄquipoDas heißt, ∇Φ bzw. E
tentialfläche F(Φ0 ).
94
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
−→
~r(λ0 ) = OP ,
d~r
(λ0 ) ~tP
dλ
ch
e
C : λ 7→ ~r(λ),
n
Dies kann man folgendermaßen einsehen:
Sei ~tP ∈ TP ein Tangentialvektor an F(Φ0 ) im Punkt P . Man kann eine Kurve C durch P legen,
die vollständig in F(Φ0 ) enthalten ist, und deren Tangentialvektor in die Richtung von ~tP weist:
-T
U
M
ün
Da das Potential Φ sich längs der Kurve C nicht ändert, ist λ 7→ Φ(~r(λ)) = Φ0 eine konstante
Funktion, und wir erhalten mit Gl. (A3.9)
d~r
dΦ(~r(λ)) = ∇Φ · (λ0 )
0=
~
dλ
λ0
P dλ
Also folgt:
∇ΦP ⊥ ~tP
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
Konsequenz für das elektrostatische Feld:
~ stets ein Gradientenfeld ist (E
~ = −∇Φ), steht E
~ somit
Da das statische elektrische Feld E
immer senkrecht zu den Äquipotentialflächen. Dies bedeutet, dass die elektrischen Feldlinien
die Äquipotentialflächen immer im rechten Winkel schneiden.
95
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.6. Flächenintegrale im E3
n
A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3
M
ün
ch
e
(i) Um eine zweidimensionale Fläche S als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes E3 zu
beschreiben, werden (ähnlich wie in Abschnitt A.4.1) jedem Punkt P ∈ S eineindeutig zwei
reelle Koordinatenwerte (u(P ), v(P )) ∈ R2 zugeordnet.
Diese (u, v)-Werte liegen in einem zweidimensionalen Gebiet G ⊂ R2 (Parametergebiet). Alle
Punkte P ∈ S werden über eine Parameterdarstellung
-T
U
G 3 (u, v) 7→ O + ~r(u, v) ∈ S
beschrieben. Durchlaufen die Flächenparameter (u, v) das Gebiet G, so durchläuft der Ortsvektor ~r(u, v) bijektiv alle Punkte von S.
ph
ys
ik
(ii) Die beiden Kurvenscharen mit Parameterdarstellung
u 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem v
tro
v 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem u
+
O
ch
e
El
ek
liegen jeweils in der Fläche S und heißen
die “u-Linien” bzw. “v-Linien”. Durch jeden
Punkt P ∈ S geht genau eine u-Linie und
eine v-Linie.
Te
ch
nis
A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale
uh
l
für
Wir nennen eine Fläche “glatt”, wenn die Parameterdarstellung ~r(u, v) stetig differenzierbar ist. In
diesem Fall existieren an jedem Punkt P ∈ S die beiden Tangentialvektoren an die u- und vLinie durch den Punkt P :
~tu (P ) := ∂~r ; ~tv (P ) := ∂~r (A.6.1)
∂u P
∂v P
Damit die Fläche S tatsächlich ein zweidimensionales Gebilde darstellt, dürfen die Richtungen von
~tu (P ) und ~tv (P ) nicht zusammenfallen, d.h. man muss fordern ~tu × ~tv 6= 0. Dann spannen ~tu (P )
und ~tv (P ) am Punkt P ∈ S eine zweidimensionale Ebene TP auf, die Tangentialebene.
Der Vektor ~tu (P ) × ~tv (P ) steht senkrecht auf der Tangentialebene TP , zeigt also in ihre Norma-
hr
st
lenrichtung. Normiert man ihn auf die Länge 1, erhält man den Normaleneinheitsvektor (oder
Oberflächennormale)
1
~ :=
N
(tu × tv )
(A.6.2)
~
|tu × ~tv |
c
Le
Offenkundig hat man zwei Möglichkeiten, die Oberflächennormale zu orientieren. Vertauscht man
~ sein Vorzeichen. Bei Flächen, die von einer Randkurve begrenzt werden
z.B. u mit v, ändert N
(z.B. eine Kreisscheibe), kann man diese Freiheit benutzen, um die Fläche zu orientieren (d.h.
eine Oberseite und Unterseite zu definieren). Bei geschlossenen Flächen, die ein dreidimensionales
Gebilde umhüllen (“Hüllflächen”), kann man eine “innere” uns “äußere” Normale definieren (die
äußere Normale weist in den Außenraum).
96
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ün
ch
e
(i) Ähnlich wie beim Kurvenintegral (vgl. Abs. A.2.1) berechnet man Integrale über eine Fläche
S über ihre Parameterdarstellung ~r(u, v). Hierzu muss man die Flächenberechnung auf S
auf die im Parametergebiet G umrechnen. Einem Rechteck mit Flächeninhalt ∆u · ∆v in der
(u, v)-Ebene entspricht ein trapezförmiges Flächenstück mit schiefwinkligen Seitenkanten
∂~
r
∂~
r
∆~ru = ∂u
∆u = ~tu · ∆u und ∆~rv = ∂v
∆v = ~tv · ∆v. Dieses Trapez hat einen Flächeninhalt
n
A.6.3. Oberflächenintegrale
M
∆A = |∆~ru × ∆~rv | = |~tu × ~tv |∆u · ∆v
(A.6.3)
ik
∂~r
∂~r ~
~
da := |tu × tv |dudv = ×
dudv
∂u ∂v
-T
U
d.h. |~tu × ~tv | ist der Maßstabsfaktor, mit denen Flächeneinheiten auf S in solche der (u, v)Ebene umgerechnet werden. Man führt daher ein skalares differentielles Oberflächenelement da ein gemäß
ˆ
ˆ
f da :=
∂~r
∂~r ×
f (~r(u, v))
dudv
∂u ∂v
G
(A.6.4)
tro
S
ph
ys
und definiert für eine skalare Funktion f : S → R das Oberflächenintegral als
El
ek
Man kann dann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung ist.
ˆ
~ da =
F~ · N
S
G
Te
ch
nis
ˆ
ch
e
(ii) Einen oftmals auftretenden Spezialfall stellt das “Flussintegral” dar. Gegeben ist hier ein
Vektorfeld F~ (~r), dessen Definitionsbereich die Fläche S einschließt. Integriert wird die Pro~ (~r), also die Größe F~ (~r) · N
~ (~r) (das ist also die
jektion von F~ (~r) auf die Flächennormale N
Komponente von F~ (~r), die die Fläche S senkrecht durchsetzt):
~tu × ~tv
F~ (~r(u, v)) ·
|~tu × ~tv | dudv =
|~tu × ~tv |
ˆ
F~ (~r(u, v)) ·
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
G
für
Es ist praktisch, hierzu das vektorielle differenzielle Oberflächenelement d~a einführen gemäß
∂~r
∂~r
~
~
d~a := (tu × tv )dudv =
×
dudv
(A.6.5)
∂u ∂v
Formal gilt dann:
uh
l
~ da
d~a = N
(A.6.6)
c
Le
hr
st
und man definiert dann den Fluss eines Vektorfeldes F~ durch die Fläche S als
ˆ
ˆ
F~ · d~a :=
S
ˆ
~ )da =
(F~ · N
S
F~ (~r(u, v)) ·
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
(A.6.7)
G
Ist S eine geschlossene Fläche, die ein dreidimensionales Gebiet V umhüllt (d.h. S ist der
~ als äußere Normale, so wirkt das Flussintegral
Rand von V , kurz S = ∂V ) und wählt man N
´
~ a auch als “Hüllflächenintegral” bezeichnet.
∂V F · d~
97
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche
S = ∂K(~0, R) = {P ∈ E3 |P = O + ~r
ch
e
n
(i) Wir wollen über die Oberfläche einer Kugel K(~0, R) mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
R integrieren. Die betrachtete Fläche S ist also der Rand der Kugel K(~0, R):
mit |~r| = R}
ik
-T
U
M
ün
S ist eine geschlossene Hüllfläche, welche die Kugel K(~0, R) umhüllt.
tro
ph
ys
y
ek
x
El
Abb. A.5: Parametrisierung einer Kugeloberfläche
mit Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ
Te
ch
nis
ch
e
(ii) Eine Parametrisierung von S erhält man mit Hilfe der Kugelkoordinaten (vgl. Abs. A.4.2(iv));
als Flächenparameter verwendet man den Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ bei konstant
gehaltenem Radialabstand r = R:
~r(ϑ, ϕ) = R(cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · e~z ) = R · ~er (ϑ, ϕ)
mit Parametergebiet G = {(ϑ, ϕ)| 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π}.
Tangentialvektoren:
uh
l
für
~tϑ = ∂~r = R(cos ϕ cos ϑ · ~ex + sin ϕ cos ϑ · ~ey − sin ϑ · e~z ) = R · ~eϑ (ϑ, ϕ)
∂ϑ
~tϕ = ∂~r = R(− sin ϕ sin ϑ · ~ex + cos ϕ sin ϑ · ~ey ) = R sin ϑ · ~eϕ (ϑ, ϕ)
∂ϕ
c
Le
hr
st
wobei (~er , ~eϑ , ~eϕ ) das begleitende orthonormierte 3-Bein in Kugelkoordinaten bezeichnet.
Normalenvektor auf S (unnormiert!):
~tϑ × ~tϕ = R2 sin ϑ ~eϑ × ~eϕ = R2 sin ϑ ~er
Dieser Vektor weist in den Außenraum der Kugel K(~0, R), also in die Richtung der äußeren
Normalen auf ∂K(~0, R). Wegen |~tϑ × ~tϕ | = R2 sin ϑ erhält man:
~ (ϑ, ϕ) = ~er (ϑ, ϕ)
Äußere Einheitsnormale: N
Skalare Oberflächenelement: da = |~tϑ × ~tϕ |dϑdϕ = R2 sin ϑ dϑdϕ
Vektorielles Oberflächenelement: d~a = (~tu × ~tv )dϑdϕ = R2 sin ϑ ~er dϑdϕ
98
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
(iii) Als Beispiel wollen wir den Fluss des Vektorfeldes
ch
e
n
~ r) = Q · ~r
D(~
4π r3
ün
(= dielektrisches Verschiebungsfeld einer im Ursprung platzierten Punktladung Q)
durch die Kugeloberfläche ∂K(~0, R) berechnen:
M
~ r(ϑ, ϕ)) = Q R~er (ϑ, ϕ) = Q ~er (ϑ, ϕ)
D(~
4π
R3
4πR2
ˆ
~ · d~a =
D
Q
Q
~er · ~er R2 sin ϑ dϑdϕ =
2
4πR
4π
Q
4π
ˆ2π
ˆπ
sin ϑ dϑ =
dϕ
0
0
Q
· 2π · 2 = Q
4π
ph
ys
=
sin ϑ dϑdϕ =
0
G
∂K
ˆ2π ˆπ
ik
ˆ
-T
U
~ durch ∂K(~0, R):
Also ist der Fluss von D
0
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
Dieses Beispiel illustriert den “Gaußschen Satz über die eingeschlossene Ladung” in elementarer Form.
99
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7. Divergenz eines Vektorfeldes im E3 und Gaußscher Integralsatz
n
A.7.1. Divergenzoperator
ün
ch
e
~ : Ω → V
~3 ein differenzierbares Vektorfeld. Zu einem Aufpunkt
Sei Ω ∈ E3 ein Gebiet und U
P = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor ~r betrachten wir eine “geschachtelte” Schar von Kontrollvolumina
V (~r), die den Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durch eine Kugel K(P, ) um P
mit Radius abschätzen lässt: P ∈ V (~r) ⊂ K(P, ).
Definition:
~ besitzt bei P eine Divergenz, wenn der Limes
U
ˆ
~ · d~a
U
(A.7.1)
ph
ys
∂V (~
r)
ik
1
→0 |V (~
r)|
~ (~r) = lim
div U
-T
U
M
Für → 0 schachteln die Kontrollvolumina V (~r) den Punkt P immer enger ein, wobei ihr Rauminhalt |V (~r)| gegen Null strebt.
existiert.
El
ek
tro
Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Hüllflächen ∂V (~r) , die P um~ betrachtet und diesen auf den Rauminhalt |V (~r)| norschließen, den Fluss des Vektorfeldes U
~ beispielsweise ein Strömungsfeld und div U
~ (~r) 6= 0, so hat das Strömungsfeld am Ort
miert. Ist U
~ ist die lokale Ergiebigkeit von U
~ ”).
P = O + ~r eine Quelle oder Senke (“div U
hr
st
+
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten
c
Le
Wir betrachten in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) einen Würfel W (~r) mit
dem Mittelpunkt P = O + ~r und achsenparallelen Kanten mit den Kantenlängen ∆x, ∆y, ∆z.
+
+
−
−
−
Die 6 Seitenflächen werden mit A+
x , Ay , Az , bzw. Ax , Ay , Az bezeichnet.
~ durch die Berandung des Würfels ∂W (~r) gilt:
Für den Fluss eines Vektorfeldes U


ˆ
ˆ
ˆ
X 
~ · ~eα da
~ · d~a =
~ · ~eα da −
U
U

 U
∂W (~
r)
α=x,y,z
A+
α
100
A−
α
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
ch
e
ün
-T
U
∂W (~
r)
M
Analog verfährt man mit den Termen für α = y und α = z und erhält:
ˆ
∂Uy
∂Ux
∂Uz
~
U · d~a ≈
(~r) +
(~r) +
(~r) · ∆x∆y∆z
∂x
∂y
∂z
n
Für α = x erhalten wir näherungsweise für hinreichend kleine Kantenlängen
ˆ
ˆ
∆x
∆x
, y, z) − Ux (x −
, y, z) ∆y∆z ≈
Ux dy dz −
Ux dy dz ≈ Ux (x +
2
2
A+
A−
x
x
∂Ux
(x, y, z)∆x∆y∆z
≈
∂x
∂W (~
r)
Damit haben wir in kartesischen Koordinaten die Darstellung
tro
∂Uz
∂Ux ∂Uy
+
+
∂x
∂y
∂z
(A.7.2)
ek
~ =
div U
ph
ys
ik
Das Würfelvolumen beträgt |W (~r)| = ∆x∆y∆z. Wir wählen eine Schar von Würfeln W (~r) mit
Kantenlängen ∆x = ∆y = ∆z = und erhalten
ˆ
1
~ · d~a = ∂Ux (~r) + ∂Uy (~r) + ∂Uz (~r)
div U (~r) = lim
U
→0 |W (~
r)|
∂x
∂y
∂z
El
Mit Hilfe des bereits in Abs. A.3.4 erwähnten Nabla-Operators
ch
e
~ := ~ex ∂ + ~ey ∂ + ~ez ∂
∇
∂x
∂y
∂z
Te
ch
nis
~ als formales Skalarprodukt von ∇
~ mit U
~ ausdrücken:
lässt sich die Divergenz div U
~ =∇
~ ·U
~
div U
~ also ( ∂ , ∂ , ∂ ),
Dieser Ausdruck ist so auszuwerten, dass man die kartesischen Komponenten von ∇,
∂x ∂y ∂z
~ , also (Ux , Uy , Uz ), wie in einem Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren miteinanmit denen von U
für
der verknüpft:
~ ·U
~ = ∂ Ux + ∂ Uy + ∂ Uz
∇
∂x
∂y
∂z
c
Le
hr
st
uh
l
und so den Ausdruck (A.7.2) erhält.
101
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7.3. Integralsatz von Gauß
-T
U
M
ün
ch
e
n
(i) Der Integralsatz von Gauß beinhaltet eine ganz wesentliche Aussage der Vektoranalysis.
Mit seiner Hilfe gelingt es, Flussintegrale über Hüllflächen in Volumenintegrale über das
eingeschlossene Gebiet umzuwandeln.
Er lautet:
Sei V ein geschlossenes Gebiet im E3 , das von
~ (~r)
der Hüllfläche ∂V berandet wird, und sei U
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, in dessen
Definitionsbereich V enthalten ist. Dann gilt:
ˆ
ˆ
~ d3 r =
div U
V
~ · d~a
U
(A.7.3)
ik
∂V
N
]
W (~rj )
tro
V =
ph
ys
(ii) Beweisskizze:
Man zerlegt V in hinreichend viele kleine Zellen W (~rj ) (j = 1, . . . , N ) mit
j=1
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
Zwei benachbarte Zellen W (~rj ) und W (~rk ) dürfen höchstens eine gemeinsame Grenzfläche
Ajk besitzen. Die am Rand ∂V benachbarten Zellen W (~rk ) besitzen mit diesem ein gemeinsames Randstück Aext,k ; ihre Vereinigung bildet den ganzen Rand:
[
Aext,k = ∂V
k
Man zerlegt nun das Volumenintegral in eine Summe über alle Zellen und wendet den Mittelwertsatz an:
ˆ
~ d3 r =
div U
j=1
~ d3 r ≈
div U
N
X
~ (~rj )|W (~rj )|
div U
(A.7.4)
j=1
W (~
rj )
für
V
ˆ
N
X
uh
l
Nach der Definition der Divergenz in Gl. (A.7.1) gilt für hinreichend kleine Zellen W (~rj )
näherungsweise
ˆ
~ (~rj ) · |W (~rj )| ≈
~ · d~a
div U
U
(A.7.5)
∂W (~
rj )
c
Le
hr
st
sodass wir erhalten:
ˆ
~ d3 r ≈
div U
N
X
j=1
V
ˆ
~ · d~a
U
(A.7.6)
∂W (~
rj )
Die Summe über die Randflächen ∂W (~rj ) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, der
die inneren Grenzflächen Ajk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren Randstücke
Aext,k enthält:
ˆ
N
X
X ˆ
X ˆ
~ · d~a =
~ · d~a +
~ · d~a
U
U
U
(A.7.7)
j=1
∂W (~
rj )
Ajk A
jk
102
Aext,k A
ext,k
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
ch
e
Bei der Summe über die inneren Grenzflächen treten Ajk und Akj immer paarweise auf,
wobei sich die beiden Flussintegrale
ˆ
ˆ
~ · d~a
~
U
(A.7.8)
U · d~a = −
Akj
Ajk
M
ün
exakt kompensieren. Der Betrag der inneren Grenzflächen in Gl. (A.7.7) ist daher Null. Für
den zweiten Term gilt:
ˆ
X ˆ
~
~ · d~a
U · d~a =
U
(A.7.9)
∂V
ext,k
-T
U
Aext,k A
Fassen wir Gl. (A.7.4) - (A.7.9) zusammen, erhalten wir im Limes |W (~rj )| → 0, N → ∞ die
Aussage
ˆ
ˆ
3
~
~ · d~a
div U d r =
U
V
ph
ys
ik
∂V
A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten
∂~r hj = (j = 1, 2, 3)
∂uj
El
1 ∂~r
;
hj ∂uj
ek
tro
(i) Sei G 3 (u1 , u2 , u3 ) = u 7→ ~r(u) ∈ V3 die Kartenabbildung für ein krummliniges orthogonales
Koordinatensystem (vgl. Abs. A.4)
Aus ihr erhält man die begleitende Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) gemäß
~euj =
Te
ch
nis
ch
e
Man kann (u1 , u2 , u3 ) so anordnen, dass die Basis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) rechts-orientiert ist. Dann
gilt:
~eu3 = ~eu1 × ~eu2 ; ~eu2 = ~eu3 × ~eu1 ; ~eu1 = ~eu2 × ~eu3
für
(ii) Wir betrachten im Kartengebiet G einen rechtwinkligen Quader R(u0 ) mit Zentrum
u0 = (u01 , u02 , u03 )
(siehe Abb. in Abs. A.7.2). Mittels der Kartenabbildung
G 3 u 7→ P (u) ∈ E3
wird der Quader R(u0 ) auf einen “verbogenen Quaders” Q(P0 ) mit Zentrum P0 = P (u0 ) im
E3 abgebildet. Dessen 6 Seitenflächen Sj± haben die Parameterdarstellungen:
∆u1
, u3 , u3 ) ∈ S1±
2
∆u2
0
A±
, u3 ) ∈ S2±
2 3 (u1 , u3 ) 7→ P (u1 , u2 ±
2
∆u3
0
A±
) ∈ S3±
3 3 (u1 , u2 ) 7→ P (u1 , u2 , u3 ±
2
hr
st
uh
l
0
A±
1 3 (u2 , u3 ) 7→ P (u1 ±
Le
woraus sich die folgenden vektoriellen Oberflächenelemente ergeben:
c
Auf S1± :
Auf S2± :
Auf S3± :
∂~r
∂~r
×
du2 du3 = ±h2 h3~eu2 × ~eu3 du2 du3 = ±h2 h3~eu1 du2 du3
∂u2 ∂u3
∂~r
∂~r
d~a = ±
×
du1 du3 = ±h1 h3~eu1 × ~eu3 du1 du3 = ±h1 h3~eu2 du1 du3
∂u1 ∂u3
∂~r
∂~r
d~a = ±
×
du1 du2 = ±h1 h2~eu1 × ~eu2 du1 du2 = ±h1 h2~eu3 du1 du2
∂u1 ∂u2
d~a = ±
103
n
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
(iii) Ein Vektorfeld F~ (~r) hat in der Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) die Komponentendarstellung
3
X
Fj (u) ~euj (u)
n
F~ (~r(u)) =
ch
e
j=1
mit
ün
Fj (u) = F~ (~r(u)) · ~euj
+
A+
2
ˆ
+
A+
3
A−
1
F1
F1
ˆ
F~ · ~eu2 h1 h3 du1 du3 −
| {z }
A−
2
F2
F~ · ~eu2 h1 h3 du1 du3
| {z }
F2
ˆ
F~ · ~eu3 h1 h2 du1 du2 −
| {z }
ik
ˆ
F~ · ~eu3 h1 h2 du1 du2
| {z }
ph
ys
A+
1
∂Q(Po )
-T
U
M
Damit lässt sich der Fluss durch den Rand ∂Q(P0 ) in u -Koordinaten wie folgt berechnen:
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
F~ · ~eu1 h2 h3 du2 du3
F · d~a =
F · ~eu1 h2 h3 du2 du3 −
| {z }
| {z }
A−
3
F3
F3
ek
tro
Wie in Abs A.7.2 erhält man im Kartenraum die Darstellung
ˆ
∂
∂
∂
~
F · d~a =
(h2 h3 F1 ) +
(h1 h3 F2 ) +
(h1 h2 F3 ) ∆u1 ∆u2 ∆u3
∂u1
∂u2
∂u3
El
∂Q(P0 )
R(u0 )
Te
ch
nis
Q(P0 )
ch
e
Der Rauminhalt |Q(P0 )| berechnet sich als
ˆ
ˆ ∂~r
∂~r
∂~r
3
×
·
du1 du2 du3 ≈ h1 h2 h3 ∆u1 ∆u2 ∆u3
|Q(P0 )| =
d r=
∂u1 ∂u2
∂u3
Eingesetzt in die Definitionsgleichung
1
∆ui →0 |Q(P0 )|
ˆ
div F~ (P0 ) = lim
F~ · d~a
∂Q(P0 )
für
folgt schließlich
1
h1 h2 h3
∂
∂
∂
(h2 h3 F1 ) +
(h1 h3 F2 ) +
(h1 h2 F3 )
∂u1
∂u2
∂u3
c
Le
hr
st
uh
l
div F~ =
104
(A.7.10)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
ch
e
(i) Sei Φ : Ω → R ein zweimal differenzierbares Skalarfeld. Dann ist grad Φ ein Vektorfeld auf
Ω, von dem man wiederum die Divergenz div(grad Φ) bilden kann. Dieser Ausdruck heißt
“Laplace-Operator” von Φ und wird mit dem Symbol 4 bezeichnet, also:
4Φ := div(grad Φ)
Mit Gl. (A.7.2) folgt dann
∂Φ
∂x
∂
+
∂y
∂Φ
∂y
∂
+
∂z
also
∂Φ
∂z
M
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(A.7.12)
tro
4Φ =
ik
ph
ys
∂
4Φ =
∂x
-T
U
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
ün
(A.7.11)
(ii) In kartesischen Koordinaten (x, y, z) hat grad Φ die Komponentendarstellung
grad Φ =
ek
(iii) In krummlinigen orthogonalen Koordinaten (u1 , u2 , u3 ) hat grad Φ die Darstellung
3
X
1 ∂Φ
~eu
hj ∂uj j
El
grad Φ =
ch
e
j=1
Mit Gl. (A.7.10) folgt dann:
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
1
∂
h2 h3 ∂Φ
∂
h1 h3 ∂Φ
∂
h1 h2 ∂Φ
4Φ =
+
+
h1 h2 h3 ∂u1
h1 ∂u1
∂u2
h2 ∂u2
∂u3
h3 ∂u3
105
n
A.7.5. Der Laplace-Operator
(A.7.13)
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8. Rotation eines Vektorfeldes im E3 und Integralsatz von Stokes
ün
M
ph
ys
ik
~ als rechtsorientierte EinheitsJedes Flächenstück A (~r) habe N
normale bezüglich der Randkurve ∂A (~r). Für → 0 schachteln
die Flächenstücke A (~r) den Punkt P immer enger ein, wobei
ihr Flächeninhalt |A (~r)| gegen Null strebt.
-T
U
~ : Ω → V3 ein differenzierbares
Sei Ω ⊂ E3 ein Gebiet und U
Vektorfeld. Zu einem Aufpunkt P = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor
~ betrachten wir eine “geschach~r und einem Einheitsvektor N
telte” Schar rechtsorientierter, ebener Flächenstücke A (~r), die
den Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durch
eine Kugel K(P, ) um P mit dem Radius abschätzen lässt:
P ∈ A (~r) ⊂ K(P, ).
ch
e
n
A.8.1. Rotationsoperator
Definition:
(A.8.1)
∂A (~
r)
El
ek
tro
~ besitzt bei P eine Rotation, wenn für jedes N
~ ∈ V3 , |N
~ | = 1 der Limes
U
ˆ
1
~
~
~ · d~r
N · rot U (~r) := lim
U
→0 |A (~
r)|
existiert.
ch
e
~ ist ein Vektorfeld Ω → V3 .
rot U
Te
ch
nis
Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Randkurven ∂A (~r), die P umschließen, die Zirkulation des Vektorfeldes betrachtet und diese auf die umschlossene Fläche |A (~r)|
~ ist die lokale Zirkulation von U
~ (~r)”
normiert. Man sagt daher: “rot U
für
~ mit curl U
~ bezeichnet.
Bemerkung: in der angelsächsischen Literatur wird die Rotation von U
uh
l
A.8.2. Integralsatz von Stokes
c
Le
hr
st
(i) Mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes kann man ein Wegintegral über eine geschlossene
Kurve in ein Flächenintegral über eine von der Kurve eingeschlossene Fläche umwandeln.
Er lautet:
Sei A ein orientierbares Flächenstück in E3 mit positiv
~ (~r) ein stetig diffeorientierter Randkurve ∂A und U
renzierbares Vektorfeld, in dessen Definitionsbereich A
enthalten ist. Dann gilt:
ˆ
ˆ
~ · d~a =
rot U
A
~ · d~r
U
(A.8.2)
∂A
106
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A(~rj )
ch
e
A=
N
]
n
(ii) Beweisskizze:
Man zerlegt A in hinreichend kleine Zellen A(~rj ) (j = 1, . . . , N ) mit
j=1
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
Zwei benachbarte Zellen A(~rj ) und A(~rk ) dürfen höchstens eine gemeinsame Randkante Cjk
besitzen. Die am Flächenrand ∂A
[
tro
benachbarten Zellen A(~rk ) besitzen mit diesem ein gemeinsames Kurvenstück Cext,k , wobei
die Vereinigung dieser Kurvenstücke die gesamte Randkurve ∂A ergibt:
Cext,k = ∂A
ek
k
~ · d~a =
rot U
ˆ
N
X
j=1
~ · d~a ≈
rot U
N
X
~ (~rj ) · N
~ |A(~rj )|
rot U
(A.8.3)
j=1
A(~
rj )
Te
ch
nis
A
ch
e
ˆ
El
Man zerlegt nun das Flächenintegral über A in eine Summe über alle Zellen und wendet den
Mittelwertsatz an
Nach Definition der Rotation in Gl. (A.8.1) gilt für hinreichend kleine Zellen A(~rj ) näherungsweise
ˆ
~ (~rj ) · N
~ |A(~rj )| ≈
~ · d~r
rot U
U
(A.8.4)
für
sodass wir erhalten:
∂A(~
rj )
ˆ
~ · d~a ≈
rot U
j=1
uh
l
A
ˆ
N
X
~ · d~r
U
(A.8.5)
∂A(~
rj )
c
Le
hr
st
Die Summe über die Randkurven ∂A(~rj ) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, der
die inneren Randkanten Cjk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren Kurvenstücke
Cext,k enthält:
ˆ
N
X
X ˆ
X ˆ
~
~
~ · d~r
U · d~r =
U · d~r +
U
(A.8.6)
j=1
Cjk C
jk
∂A(~
rj )
Cext,k C
ext,k
Bei der Summe über die inneren Randkanten treten Cjk und Ckj immer paarweise auf, wobei
sich die Wegintegrale
ˆ
ˆ
~
~ · d~r
U · d~r = −
U
(A.8.7)
Cjk
Ckj
107
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
∂A
ext,k
ch
e
Cext,k C
n
exakt kompensieren. Der Beitrag der inneren Randkanten in Gl. (A.8.6) ist daher Null. Für
den zweiten Term gilt:
ˆ
X ˆ
~
~ · d~r
U · d~r = U
(A.8.8)
A
M
ün
Fassen wir Gl. (A.8.3) - (A.8.8) zusammen, erhalten wir im Limes |A(~rj )| → 0, N → ∞ die
Aussage:
ˆ
ˆ
~
~ · d~r
rot U · d~a = U
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
-T
U
∂A
108
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
ch
e
Wir wählen in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) einen Aufpunkt P = O + ~r
~ bestimmen, wählen
mit ~r = x~ex + y~ey + z~ez . Wir wollen zunächst die z-Komponente von rot U
~ = ~ez in der Definitionsgleichung (A.8.1). Dazu legen wir um P ein Quadrat A (~r) in der
also N
x-y-Ebene mit P als Mittelpunkt und achsenparallelen Kanten der Länge ∆x = ∆y = .
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
Die 4 Kanten des Quadrats werden mit Cx+ , Cx− , Cy+ , Cy− bezeichnet (siehe Abbildung).
Cx−
Cx+
∂Aε (~
r)
x+ ∆x
2
ˆ
Te
ch
nis
=
x− ∆x
2
y+ ∆y
2
ˆ
+
Cy−
Cy+
∆y
Ux (x0 , y −
, z)dx0 −
2
~ · ~ey dy 0
U
~ · ~ey dy 0 −
U
~ · ~ex dx0 +
U
El
~ · ~ex dx0 −
U
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~ · d~r =
U
ch
e
ˆ
ek
Für hinreichend kleine Kantenlängen erhalten wir näherungsweise
x+ ∆x
2
ˆ
∆y
, z)dx0
2
Ux (x0 , y +
x− ∆x
2
∆x 0
, y , z)dy 0 −
Uy (x +
2
y− ∆y
2
y+ ∆y
2
ˆ
Uy (x −
∆x 0
, y , z)dy 0
2
y− ∆y
2
∆y
∆y
≈ Ux (x, y −
, z) − Ux (x, y +
, z) ∆x
2
2
∆x
∆x
+ Uy (x +
, y, z) − Uy (x −
, y, z) ∆y
2
2
∂Uy
∂Ux
≈−
(x, y, z)∆y∆x +
(x, y, z)∆x∆y
∂y
∂x
hr
st
uh
l
für
c
Le
Nach Division durch die Oberfläche |Aε (~r)| = ∆x∆y ergibt sich für → 0 :
ˆ
~ (~r) = lim 1
~ · d~r = ∂Uy (~r) − ∂Ux (~r)
=⇒ ~ez · rot U
U
ε→0 ∆x∆y
∂x
∂y
∂Aε (~
r)
109
n
A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
∂Uy
∂Uz
−
∂y
∂z
~ex +
∂Ux ∂Uz
−
∂z
∂x
~ey +
∂Uy
∂Ux
−
∂x
∂y
-T
U
~ := ~ex ∂ + ~ey ∂ + ~ez ∂
∇
∂x
∂y
∂z
(A.8.9)
ik
~ mit U
~ dar(Vektorprodukt) von ∇
formale Determinanten-Entwicklung
~ez ∂z Uz ph
ys
tro
ek
El
ch
e
Te
ch
nis
für
uh
l
hr
st
Le
c
110
~ez
M
Mit Hilfe des bereits in A.3.3 erwähnten Nabla-Operators
~ als formales äußeres Produkt
lässt sich die Rotation rot U
stellen, welches wie das Produkt zweier Vektoren über eine
ausgerechnet wird:
~e , ~e ,
y
x
~ =∇
~ ×U
~ = ∂x , ∂y ,
rot U
Ux , Uy ,
ün
~ =
rotU
ch
e
n
~ (~r) gewinnt man auf dieselbe Weise durch zyklische VertauDie x- und y-Komponente von rot U
schung von (x, y, z).
Als Ergebnis erhalten wir: