pp p = ⋅ ⋅ ⋅ n!

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Es sind alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 zu bestimmen, für die n! eine Quadratzahl ist. Ohne
Beweis darf der „Satz von Erdös“ benutzt werden, demzufolge für jede natürliche Zahl n ≥ 2
zwischen n und 2n stets eine Primzahl liegt.
Lösung:
Offensichtlich gilt die Behauptung für n = 0, weil 0! = 1 = 12 ist, und für n = 1, denn 1! = 1 = 12 .
α
Nach der kanonischen Primfaktorzerlegung sei n! = p1 1 ⋅ p 2
α2
⋅ ... ⋅ p t αt .
Angenommen es würde n! = x 2 gelten, dann müssten alle Exponenten α k für 1 ≤ k ≤ t gerade
Zahlen sein.
Mit Hilfe des „Satzes von Erdös“ soll nun bewiesen werden, dass α t = 1 ist, woraus für n ≥ 2
folgt, dass n! keine Quadratzahl sein kann.
1. Fall: n ist eine gerade Zahl.
Weil p t ≤ n und für p t = n offenbar α t = 1 ist, darf angenommen werden p t < n . Nach dem
n
n
„Satz von Erdös“ folgt < p t < n und es exstiert eine Primzahl q mit < q < n . Da p t die
2
2
n
α
α
α
größte Primzahl ist, die in n! = p1 1 ⋅ p 2 2 ⋅ ... ⋅ p t t vorkommt, gilt q ≤ p t ⇒ < q ≤ p t < n .
2
m
Angenommen es gilt α t ≥ 2 , also α t ≠ 1 , dann existiert ein m mit
< p t < m < n , wobei
2
m
m
n
p t m und
∈ ` gilt. Daraus folgt
≥ 2 ⇔ m ≥ 2 ⋅ p t > 2 ⋅ = n . Die Annahme α t ≥ 2
pt
pt
2
führt also zu einem Widerspruch, woraus folgt, dass α t = 1 sein muss.
2. Fall: n ist eine ungerade Zahl.
n −1
n −1
Dann gibt es ein
∈ ` , was nach dem „Satz von Erdös“
< p t ≤ n − 1 < n ergibt, oder,
2
2
n −1
umgeformt, indem allgemein 1 addiert wird,
+ 1 < pt + 1 ≤ n < n + 1 .
2
n −1
< p t < m < n wobei p t + 1 m
Angenommen es gilt α t ≥ 2 , dann existiert ein m mit mit
2
m
∈ ` gilt. Daraus folgt
und
pt + 1
m
⎛ n −1 ⎞
⎛ n −1+ 2 ⎞
≥ 2 ⇔ m ≥ 2 ⋅ (p t + 1) = 2 ⋅ ⎜
+ 1⎟ = 2 ⋅ ⎜
⎟ = n + 1 . Die Annahme α t ≥ 2 führt
pt + 1
2
⎝ 2
⎠
⎝
⎠
also auch in diesem Fall zu einem Widerspruch, woraus folgt, dass α t = 1 sein muss.
Insgesamt heißt das: Für n ≥ 2 ist n! niemals eine Quadratzahl.
Was zu beweisen war.