¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik I/1 (inkl. Lösungen)

Institut für Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. Jörg Wensch
Dr. Ute Feldmann
Wintersemester 2016/17
Übungen zur Vorlesung Mathematik I/1 (inkl. Lösungen)
8. Woche
1. Bilden die komplexen Zahlen einen reellen Vektorraum? Wenn ja, geben Sie die Dimension und
eine Basis an. Finden Sie eine weitere Basis?
Hinweis: Die Elemente des Vektorraums sind komplexe Zahlen, also müssen die Basisvektoren
auch komplexe Zahlen (schließt reelle Zahlen ein) sein.
Lösung
Ja! dimreell C = 2, Basis: v1 = 1, v2 = i
weitere Basis: v1 = 1 + i, v2 = 1 − i
Check axiomatische Def.(reeller Vektorraum, VL 6/2/5):
+:V ×V →V :
z1 + z2 = z3
·:R×V →V :
α · z = αz
(i)(+, V = C) ist eine kommutative Gruppe, s. VL 3/1/2
∃ neutrales Element = 0 + 0i
(ii) α(z1 + z2 ) = αz1 + αz2
(iii) (α + β)z = αz + βz
(iv) α · (βz) = (α · β) · z
(v) 1 · z = z
⇒ alle Forderungen der Def. erfüllt.
2. Geben Sie Dimension und eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Höchstgrad 2 an. Was
ist der Nullvektor? Finden Sie eine weitere Basis!
Hinweis: Die Elemente des Vektorraums sind Polynome, also müssen die Basisvektoren auch
Polynome sein.
Lösung
dim(Poly n ≤ 2) = 3, Basis: v1 = 0x2 + 0x + 1, v2 = 0x2 + 1x + 0, v3 = 1x2 + 0x + 0
weitere Basis: v1 = x2 + x + 1, v2 = x + 1, v3 = 1
!
!
1
2
und v 2 =
bilden eine Basis von R2 . Bestimmen Sie für den Vektor
3. Die Vektoren v 1 =
2
1
!
x
v=
die Faktoren α1 , α2 bei der Darstellung als Linearkombination der Basisvektoren.
y
!
5
grafisch.
Veranschaulichen Sie die Situation für v =
4
Lösung
v =!α1 v1 + α2!
v2
1
x
+ α2
= α1
2
y
!
2
=
1
1 2
2 1
!
α1
α2
!
α1 + 2α2 ·(−1)
=
2α1 + α2 ·(2)
α1 eliminiert: → 2x − y = (2 − 2)α1 + (4 − 1)α2 → α1 =
α2 eliminiert: → 2y − x = (4 − 1)α1 + (2 − 2)α2 → α1 =
für x = 5, y = 4 → α1 = 1, α2 = 2
1
2x−y
3
2y−x
3
·(2)
·(−1)
Zusatz Gegeben ist eine Abbildung f : R2 × R2 7→ R mit
!
!
y1
x1
f (x, y) = f (
) = ax1 y1 + bx1 y2 + bx2 y1 + cx2 y2
,
y2
x2
mit a, b, c ∈ R
Unter welchen Bedingungen (an die Koeffizienten a, b, c) ist diese Abbildung ein Skalarprodukt?
Lösung VL 7/2/1:
• Bilinear: mit ’Hingucken’ X
• Symmetrisch: mit ’Hingucken’ X
!
• Positiv definit: f (x, x) = ax21 + 2bx1 x2 + cx22 > 0 (∗) für x 6= 0:
Wie man! leicht sieht, sind
! notwendige Bedingungen a, c > 0 (sonst wäre (∗) schon mit
0
x1
nicht erfüllt).
bzw. =
x=
0
x2
(∗) · a liefert:
⇔
a2 x21 + 2abx1 x2 + acx22 > 0
(ax1 + bx2 )2 + ac − b2 x22 > 0
⇔
ac − b2 > 0
(1)
| quadratische Ergänzung
f ist ein Skalarprodukt genau dann, wenn a, c > 0 ∧ (ac − b2 ) > 0.
2
(2)
(3)