Das Additionstheorem der Functionen C^(x)

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942
Das Additionstheorem der Functionen C^(x)
L e o p o l d Gegenbauer,
c. M. k. Akad.
In einer in den
»Tran saction s
o f the Royal Society of
E d in b u r g h « 1 enthaltenen Abhandlung, betitelt »O n the transformation o f L a p l a c e ’s coefficients« hat Herr P l a r r vermittelst
eines SummationsVerfahrens für factorielle Ausdrücke, welches,
w ie in dem betreffenden Referate im »Jahrbuche über die F o rt­
schritte der Mathematik« mit Recht hervorgehoben wird, noth­
w e n d ig ein schw ierig es und verw ickeltes ist, die Gleichung
P n ( . « , — \ / x z— 1\ / * i ~ 1 cos ?) —
=
COS X'f
V
). = 0
direct ermittelt, eine einfache Bestimmung der in dieser Relation
auftretenden Constanten, bei w elch er die angegebene E n t w ic k ­
lungsform als bekannt angenommen wird, findet sich in der in
den »P ro ceed in g s
o f the R oyal
N o te des Herrn T a r l i n g t o n
Irish A c a d e m y « 2 enthaltenen
»O n
the determination o f the
numerical factors o f L a p l a c e ’s coefficients«. Dass unter der
eben erwähnten V oraussetzung auch die numerischen Coeffi­
cienten
in der entsprechenden Darstellung der eine V erall­
gem ein eru n g der Kugelfunctionen bildenden Functionen C'^ix),
w elch e
entweder
als
Coefficienten
1 A. a. 0 . 34. Band, S. 1 9 - 4 3 .
A . a. 0 . 6. Band, 189— 191.
der
En twicklu ng
von
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Additionstheorem
der Functionen
C'^(x).
943
(1 — 2 a x - h a z)~'' nach steigenden Potenzen von a, oder als die
„
mit den Factoren
2nr i (w 4 - v — i )
(n = 0 , 1 , 2 , . . . )
11 (v — 1)1J (n)
Näherungsnenner der
versehenen
regulären Kettenbruchentvvicklung der
hypergeometrischen Reihe
2v—-J
lF ( 1,
1+ 1 (1—y l) 2 dy
v + l,^"2) =
y—x
definirt werden können, sich ungemein leicht bestimmen lassen,
ersieht man einerseits aus meiner in der z w eiten Abtheilu ng
des 70. Bandes der Sitzungsberichte der mathematisch-natur­
wissenschaftlichen
Classe der kais. A ka dem ie
der W i s s e n ­
schaften veröffentlichten Ableitung derselben,1 anderseits geht
dies auch aus den folgenden Entwicklu ngen deutlich hervor.
Da nicht nur das durch die obige Gleichung
ausgedrückte
Additionstheorem der Kugelfunctionen, sondern auch das A n a ­
logon desselben für die Functionen C'^ix) bisher, mit Ausnahme
der P l a r r ’schen Ermittelung
des
ersteren,
meines W is s e n s
stets mit Hilfe der partiellen Differentialgleichung, w elch er die
Functionen P n (xxj — \ / x 2— 1\ / x \— 1 cos cp), beziehungsw eise
C'l\(xxl — \ / x l — l \ / x \— -1 cos cp)
genügen,
abgeleitet
wurde,
so will ich in den folgenden Zeilen einen neuen, äusserst ein­
fachen B ew eis desselben angeben, bei w elch em diese Gleichung
ausser Betracht bleibt. Der besseren Übersicht w e g e n mögen
die hierbei zur V e r w e n d u n g gelangenden Sätze und Relationen
aus der T h eo rie
der Functionen C',(x) zunächst zu sam m en­
gestellt werden.
I. E ntwickelt man die Determinante « ter Ordnung
i
i
2 (v + iy
o
2v+l
2 ( v + l ) ( v + 2)
,
0, 0,.
0
0
1, 0 , . .
0
0
Ar, 1,.
0
0
0, 0,
( n —
1 ) (7 7 - 1 - 2 v —
4 (n -+- v—
2 )
2 )
(n + v — 1)
»Ü b er einige bestimmte In tegra le«, A. a. 0 . S. 433— 443.
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er,
944
w e lc h e
bekanntlich
den
w ten
Näherungsnenner
erwähnten regulären Kettenbruchentwicklu ng
der
eben
vorstellt, nach
den Elementen der letzten Horizontalreihe, so findet man die
B eziehu n g
2 ( m + v — 1) * C , U ( # ) + ( « + 2 v— 2 ) Q _ 2( * ) =
n
0,
1)
w elche in Verbin dung mit der Relation
% (*) =
C l ( x) — 1
zu den Gleichungen
C " 'H - 1 ) — ( - h l ) » n (w + 2v — 1)
( d = i ; n ( w ) n ( 2 v — 1)
- [f]
V
Cn (x) =
Zj
. IJ (72 V—X—1)(2*)"-2X
( — 1y TU ),) II ( n — 2 X) Q (v— 1)
führt, aus deren letzter unmittelbar die Formeln
[c;;(*)]« -
c »+->-(*)
2)
2 v ( l — x * ) C ' ^ i ( x ) — (n + 2v — 1) C,;_ i ( x ) — n x C„ (x)
w ] = -
(i-
3)
x^ c ; , ( x )
folgen. Mit Hilfe der letzten von diesen Gleichungen kann man
für jede Function <p(#), w elche eine im Intervalle — 1 ... -{-1
stetige wte Ableitu ng besitzt, die Beziehu n g
_ 2"n(«+ v —i)n(« + 2 »—i)
_ n ( « ) n ( v — i ) n ( 2 « + 2 v — i ) J _ , ■ (' K
^
}
’
ableiten, aus w elcher sich die Gleichungen
n+ \
I
2v—1
X n~ s C ^ ( x ) (1 — -T2)
2
d X -
A'+l
2v—1
== I
x n+ 2s- } C j ' ( x ) ( l — x z) 2 d x — Q
5)
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945
Additionstheorem der Functionen CjJ (;v).
+1
2 v - l
x n~25 C,' (,r) (1 — x 2)
2 dx z=.
i
_ \l(n + 2s)YL(n — \) H( n + 2 v — 1)
2 " + 2 5 + 1 n ( 5 ) II (n) II (n + v + 5 )
2
ii
2v — 1
n (2v— 1 )
+ ( i - x * T r c'n( x ) c ; n( x )d x =
_
22v- 1II(M — 2 v — 1)
n
'2v— i \ y
II (n) (11 + v)
6)
(Pn,m — 0, 11^^111, Ö/(i ^ — 1)
und speciell w e g e n
__2 cos (n arccos x)
-
(« > 0 )
v= 0
=
1
V= 0
f cos
J
cos
0
dx — — ön m
rc ’
durch Specialisirung ergeben, deren letzte übrigens unmittelbar
aus einer bekannten
Eigenschaft
der Näherungsnenner
der
regulären Kettenbruchentwicklung des Integrales
Cb f ( y ) d y
n y~x
folgt.
II. Ist nun
>. = n
C K x x — s J x 2— ^ ^ 2— ! cos cp) =
)
2v—1
^4XCX 2 (cos cp),
X =0
so besteht auf Grund der Relation 6) die B eziehung
_
I I ( X ) ( 2 X + 2 v — 1)
11(2 v — 2)
x—
32v - ! Q ( x + 2 v — 2)
H(v — 1)
2 V— 1
Jo
Cj' ( x x t — 's / * 2~ * \ / x \— * cos r-f) Q 2 ( cos ?) s^n2 V_1 ? d
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,
946
w e lch e nach 2) und 4) übergeht in
( — l )\ H (2 v — 2) (2X + 2v
1)
22^ - 1|[I(v— l ) ] 2
C,'|3 ( x x {— \ J x z— l \ / x \ — 1 cos cp) sin2X_h2';_I cp dcp.
7)
i
Für v — — hat man nach der obigen Bemerkung
. sin 2>- cc d cc.
Bedenkt man, dass alle Glieder des auf der linken Seite der
Gleichung 7) stehenden Integrales, in denen \ / x z — 1 \ / x 'f— 1
zu einer ungeraden Potenz erhoben wird, nach 2) verschwinden,
so erkennt man, dass derselbe eine g a n ze symmetrische Function
von x und x x ist, w elch e in B e z u g auf je d e der Veränderlichen
den Grad n — X nicht übersteigt — dass dieser Grad wirklich
erreicht wird, kann sofort durch Bestimmung des Coefficienten
von ( x r j ) “ - x g e z e ig t werden — und daher lässt sich dasselbe
in eine nach den Functionen C'.^'ix) fortschreitende Reihe von
folgender Gestalt entwickeln
i
C'nX (xxy— s j x %— 1\/x'\— 1 cos cp) sin 2v+ 2X—! cp d v =
w o die Functionen f A( x \) g a n z e Functionen von x t von nicht
höherem als dem Grade u — X sind.
Berücksichtigt man, dass für x t =
±1
sich in die folgen de
v. — n—X
, , , v ,->.[2 v" - H (y +
v— J/
o
'i i Y o iX +
211(2
>— 1)1;
n
2v— 1)
diese Gleichung
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Additionstheorem
Functionen
Cjj (;v).
94/
verwandelt, so ersieht man, dass
/ ^ ± i ) = ( ± i r
lg
++ 2^
,/ .(± i)= o
und demnach
—\ J x 1—1V 'r ~i—1 cos ?) sin2X+2>-_1 cp d'O =
J
Cn"\ kx x \
— f n -) , ( Xl) C n -l ( X) + & i'— 1) G
)
ist, w o G ( x , x l ) eine ga n ze Function von x t von nicht höherem
als dem Grade n — X— 2 ist.
A us dieser Gleichung folgt sofort
(X = 11)
J
Co+'"'(xr( — \ J x l — 1\ /x\ — 1 cos cp) sin 2v+ 2”_1cp d v —
|2” +jri(7? + v — !)]•’
...
r^ »(x \
2 11 (2« + 2 v — 1)
(X = 11 — 1)
Setzt
I
Jo
0
C ' + ;,_1 ( x x { — \ / x z — 1 \ J x 2— 1 cos cp).
'
‘
. s in 2v+2" —acp dcp = ( a x t + ß) C ' l + ' ^ 1(x).
man
in dieser
Formel
x =
+ 1, so
entsteht
die
B eziehung
| 2 » + v — 1 n
(M +
v —
2 ) ] 2
,0 _ I *
ix \n -r~v
|
jc^j + i j —
o
rr/9„„ i o ,,
2IJ(27M-2
2)~ ^1
v— 9\
w elch e zeigt, dass ß =
q
'>+h- i
( i'>
0 und demnach
— v^/#2— \ \ J x '\— -1 cos cp) sin 2v+2,,-3cp d<& =
_
( 2 " + ,' - 1I I ( « + v — 2 ) ] 2
“
2 II (2 74+ 2 v — 2)
v+„ _ i
v+„ _ i
1
1
{l)
ist. A u f Grund dieser z w e i Relationen lässt sich aber sofort
die allgemeine B eziehung
f
C n - i ( x x i — \ A ' 2— 1 \ / x ] — 1 cos 'f) sin 2v+ 2>,—1 cp dcp =
-
—
beweisen.
[2 U vI I (X + v
1) ] 8I I (11
2 II (it + X + 2 v — 1)
X)
-
n~}'
x
}
1')
}
^
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n bau er,
948
N a ch 1) ist nämlich
J
C^
‘ ( x x t— \ J x * —
x\— 1 cos
= ~— j-| 2(7^h-v — 1) J '
cp)
s i n 2v+2x_1
cp
dv —
(x x x— \ f x 2— l \ / 'r i — 1 cos
. Cn-\—i ( x x t — \ / x z-— -\\Jx\— 1 cos
cp)
sin 2v+2x_1
cp).
dv—
cp
— (11 + X + 2 v — 2) £ C/i—l — 2 (x x {— \ J x %— 1\ J x \— 1 cos
. sin 2v+ 2>,_1
cp
cp).
d'
oder, falls die Relation 8) für alle n — X nicht erreichenden
ganzzahligen, nicht negativen W e rt h e des unteren Index (bei
beliebigen oberen) von Cy (x) besteht,
f
n
c;;ü :(x x L— \ / x 2 —
1 \ / x\—
1 cos
JO
cp)
i
sin 2M - 2v - i
i
i
(M+ V— 1)(W— x — 1 ) _ ^v+X
1
11— X
% d rr, —
,.A ^v+X
w + X + 2v— 2
1M ~
m+ X+ 2v — 2 _ v_(_x / v ^v+x
/_ s
2
Cn—\—2(x) Cn—)—2 (^ 1)
n («—x—2) [21-*-n (x+ v— 1)p
I I ( » + X + 2 v — 3)
1 +
;V :l
C„Jl x _ i ( x r , — \ / x 2— I
1V
'
— 1 cos 'S.) sin-id'D
Nun ist aber
c o s ,? =
2v + 2 X - l ° ' +>
2 ( c o s 'f)
und daher nach 4)
J
Ci'.t x _ i ( x r , — \ f x l — l \/%\— 1 cos
=
cp)
cos
cp
sin 2v+2x_1 v d v ~
(X‘2— 1) (x\ — 1) j f c ;; 5 ± 2 (xr, — \ / V — 1\JX *— 1 cos ® ) .
. s in 2v+2,'+1
cc
dv ,
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Additionstheorem
Functionen
C,](.t).
949
so dass also die letzte Gleichung auf Grund von 8) übergeht in
(
Cn—iXxXy — \ / x z-—- \ \ J x \— 1 cos cp) sin 2>-+2'^—1 cp dy =
Jo
__II ( n — X— 2 ) [ 2 x+ vH (X-i-v— l ) ] 2 ( (w + v — 1) ( n — X— 1)
( n — X )II(w + X 4 -2 v — 3)
(
n + X + 2v— 2
» , c’iL . (x) c,Ä -1 (*,) - ” + x+ 2v—2
c;;i;:_2(*) c,;±L2(*,)+
4(«+v-i)(x+v)*
{n
.
(,v! -
1) (x\ -
1) c„vi ö
X+ 2 v — 2) (n + X+ 2 v — 1)
(* ) c ’ t ö
(* , )
Da der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende
Ausdruck, w ie man mit Hilfe der Gleichungen 1) und 3) leicht
zeigt, für jed e W u r z e l £ der Gleichung
C ,S x (*) = 0
verschw indet,
so
(x) C ^ [(x ^ )
ist er durch das Product
theilbar, und demnach besteht, da derselbe in B e z u g auf x
und x { vom Grade n — X ist, die Beziehung
I
Jo
Ca—\(xxl — \ f x %— 1 \ / V f— 1 cos cp) s in 2x+ 2v_1 cp dcp =
-
ac;,tixx)c,i±;:o-,),
in welcher, w ie die Substitution x = 1 zeigt, die Constante a
den in der Form el 8) a ngegebenen W erth hat. Da nun diese
Formel für n — X =
0,1 gilt, so besteht sie allgemein.
Man hat denlnach die Relation
C;; (x x l — \ J x -1— 1\ J x \— 1 cos cp) =
).= »
n (2 V — 2 )
— ---- V
rruv—iyi
[H (v — 1)]
x
.
x 4l 11 (n — X) [ I I (v + X — 1 )]
V
Z ->1
’’
II (w -}-2 v + X— 1)
X
( * « - 1 ) 7
2 v— 1
C £ S ( » ) C £ S ( * , )
C ~
(co s
<p),
w elch e das Additionstheorem der Functionen C l ( x ) ausspricht.
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e g e n b ad.uWissenschaften
e r , Additionstheorein
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Functionen
950
Ich will bei dieser Gelegenheit noch bemerken, dass die
von Herrn R. F u j i s a w a in seiner Mittheilung » N o t e on a new
formula in spherical h a r m o n ic s « 1 abgeleitete Formel
C,[(cos x ) — C „l_ 2 (cos x) — 2 COS 1IX,
w elch e unmittelbar zur Relation
C,i(cosg) = sin sin
x
führt, als specieller Fall in der von mir aufgestellten Relation
.., i
,.,1
c t'(X )-C !+ \ (X ) = —
v
C ‘(X)
enthalten ist, aus welcher, falls x > l ist, die der F u j i s a w a ' schen analoge Gleichung
Cn (coshyp x ) — C/j—2 (coshyp x) — 2 coshyp nx
folgt.
1 Schriften der mathematischen Gesellschaft in T ok io, 4. Band, 1. Heft,
S. 7— 8.
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951
Über ein Theorem des Herrn Baker
L e o p o l d Gegenbauer,
c. M. k. Akad.
V ereinigt man in der Entwic klung der m ten Potenz des
Polynoms a y-\-az -\-
wo m
eine ga n ze positive Zahl
vorstellt, alle Glieder, in denen die Exponenten von 5 Grössen
a.t (% == 1, 2,
., r ) den W e rth 0 haben, für 5
0, 1, 2,
., r — 1,
so erhält dieselbe folgende Gestalt
{ü-^ H - CI2 +
.
. +
CLy)
wo die Summation bezüglich x p y.2,
.
s über alle Combi-
nationen ( r — s)tei- Classe ohne V ersetz u n g und ohne W i e d e r ­
holung
der
Elemente
1, 2,
r
symmetrische Function f . _ s( x v x z,
xx Q, — 1,2,
.
f r —s(x'\i X%,
•;
auszudehnen
ist
und
die
- , x r^ s) der r — 5 Grössen
r — 5 ) durch die Gleichung
-^r--s)
—
s —1 = m-r+s+l
V
X,!X2!... X,_s_ 1! (m—X, —X2— ... —X,-_s_ i ) !
definirt ist, welche zeigt, dass für s < r — m
wird.
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952
A u f G r u n d d i e s e r D a r s t e l l u n g le it e t m a n l e i c h t d i e R e l a t i o n
frif^x i
■) —
• • •>
.s' = r — 1
—
V
(— l)s (
^
(a*i + a*2+ • • + ^ x r_ s.),'''|
1
\y.],y..;,...,y.r _ s.
5 = 0
ab, w elch e für den speciellen Fall r > m
schon von Herrn
R. W . C h r i s t i e in seiner im 20. Bande der Proceedings o f the
London Mathematical Society (S. 119 — 121) enthaltenen M it­
theilung
»A
theorem
in
combinations«
aufgestellt
und
auf
specielle Fälle a n g ew en det w urde und von w elch er Herr H. F.
B a k e r 1 für
im 21. Bande derselben Zeitschrift zeigte,
dass sie ein specieller Fall des folgenden allgemeinen T h e o ­
rems ist:
Sind a v az, ..., a r irgendw elche Grössen und ist / r_ s(*,, xz,
. . . , x r- s) e ine symmetrische Function von x v x 2,
. . , x r_ s, sc
fo lg t aus der Beziehu n g
F { c i v a %, .
. , a r) =
s = r —1
—
y
f r - S (a -,S,
!
s= 0
\
y
, ^V.(. _ 5) j
.
„
in w elch er die Summation bezüglich %,,x2, .
Combinationen
( r — s)ter Classe
über alle
ohne V ersetzu n g
W ie d e r h o lu n g der Elemente 1,2,.
., r
+/o(0)>
/
und ohne
auszudehnen ist, die
Relation
•>
) —
.9 = r — 1
=
y
,s-•= 0
(-«)* (
y
f ( a , „ ^ . ; ) . . . , a Ir_ s)| + ( - l ) ' - F ( 0 ) .
y.y__^
1
N im m t man in diesen z w e i Gleichungen für a v av .
ay
die Primtheiler p v p.z, . . . , p r einer durch kein Quadrat (ausser 1)
1 »O n Euler’s <£>-function«. A. a. 0 . S. 30 — 32. Den Inhalt der an ge­
zogen en Arbeiten kenne ich nur durch die bezüglich en Referate im Jahrbuche
über die Fortschritte der Mathematik. Das B a k e r ’sche Theorem wurde von
mir etwas allgem einer gefasst als a. a. O. geschieht.
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Ein Theorem
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r.
95o
theilbaren ganzen Zahl 11 und für j e d e s f r_ s ( p v p 2, .
d ie s e lb e
beliebige
Function f ( p xp %.
. p ,—s)
. , p r- s)
des Productes
der Argumente, so erhält man die beiden in der Zahlentheorie
längst für ein allgemeines n aufgestellten correspondirenden
Beziehungen
*•(«)= y . m
d
d
in denen die Summation
über alle T h eiler d von
11 zu er­
strecken ist.
Das eben angeführte T h eo rem stellt daher, w ie übrigens
auch Herr B a k e r schon durch d e n T it e l seiner Arbeit andeutet,
ein A n a lo go n eines arithmetischen Satzes im Gebiete der sjnnm etrischen1 Functionen dar. In der Th a t liegt, da jede ga n ze
Zahl als ein Product von Primzahlpotenzen, also allgemeiner
als eine Function derselben dargestellt w erd en kann — dass
dieselbe symmetrisch ist, hat, w'ie sich zeigen wird, für die
beabsichtigte Untersuchung keine Bedeutung —
von vorne-
herein die Vermuthung nahe, dass ein grösser T h e il derjenigen
Th eo rem e der Zahlentheorie, w elch e in letzter Linie auf dei­
chen erwähnten Darstellung fussen, A n a lo g a im Gebiete der
Functionen von mehreren Veränderlichen haben werden. Zu
diesen Sätzen gehören u. A. alle jene, w elch e sich auf solche
nach den Theilern einer ganzen Zahl n fortschreitende Summen
beziehen, in denen w ed er die Grösse der einzelnen Elemente,
noch deren Form in B e z u g auf einen bestimmten Modul eine
Rolle spielt, und z w a r werden jedem von diesen Theorem en
z w e i allgemeinere im Gebiete der Functionen von mehreren V e r ­
änderlichen entsprechen, da die genannten Th eiler einerseits,
Dass die Symmetrie der vorkommenden Functionen keine nothwendige
Bedingung zum Bestehen der erwähnten Theorem e ist, ergibt sich schon daraus,
dass das im Anfänge angeführte Theorem bestehen bleibt, wenn in demselben
<r, durch cy a , und folglich x 7 durch cy x., (v.— 1 ,2 ,.
r ) ersetzt wird, obw ohl
die auftretenden Functionen in Bezug auf die ay (v. =
1
,
2
sämmtlich symmetrisch sind.
Sitzb. d. mathem.-naturw. CL; CIL Bd., Abth. II. a.
63
ni cht mehr
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954
falls n durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar ist, als aus einer
für jeden
einzelnen besonderen A nza h l
derselben Elemente
zusammengesetzt, anderseits als aus einer für alle gleichen
A nza h l von Elementen, die für jeden einzelnen besondere sind
( v e r s c h i e d e n e Potenzen der Primfactoren einschliesslich der
nullten), gebildet angesehen w erd en können.
In der vorliegenden Mittheilung m ag nun eine Reihe von
derartigen B eziehu ngen der beiden Kategorien ermittelt werden,
da dieselben nicht nur an sich interessant sind, sondern durch
sie auch die entsprechenden Sätze der Zahlentheorie an Durch­
sichtigkeit gewinnen.
§. 1. Mit xaj, %«„,
-jKaq m öge irgend eine der Combina-
tionen ßter Classe ohne W ie d e r h o lu n g der Zahlen 1,2,
. ., r
bezeichnet werden, in w elch er die Elemente der Grösse nach
aufeinanderfolgen, und es w erd e die über alle derartigen Combinationen der bezüglichen Classe ausgedehnte Summe
v
....
f l l— s + 1 >* r — s - f 2> ■
Kr—s -fl >Kr —s+2--- •
‘
in w elch er x,, x2, .
2 •■•
*r (a"*’r—s+1’ a''r—5+2’
., xr eine Permutation der Zahlen 1,2,
ist und w o unter den Functionen
’’
., r
(<zX], a ^ ,. . . ) ,
/ v _ s+i,v-s+2.---,*r(ö v - s+ 1» V
s+ 2 > - > ^ ) bei gleichen oberen
und verschiedenen unteren Indices auch gleiche Vorkommen
können, mit
gesetzt
( a v a2,
., a r) bezeichnet und zur Abkürzung
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Ein Theorem von B a k e r .
955
V ereinigt man nun in der Summe
s— r
X
Z_i
I
. V —s
2
’ a " '- ' ’ ■
' ’ a 'Ar — i ) •
y.j, ^ » ■* •j xr —6‘
, F ^ J’ ) ( ö z r_ 9+1, ^-/r_ 9_|_2’
’ ’ a *r) I ~
5=r
“
^ _i (
5=0
/—5
Zf
/=0
Z _j
/ * ,? * * • •
( a *> ’ a ' ^ ’
•’ U * r - )
•
S .* 2 ,--v V -S
Z
->a v - / ) -
y.,.—s_|_j, v-r _ s_i_2>- • •i V — t
1
* , — / + 2 , • • •, * r ( Ö V - / + 1 > ö V - / + 2 ’
•’ ^
alle Glieder, in denen t — /0 und x,-_/u+i, %,-_/u+2 , •
bestimmte W erth system
7 <0Tl
1—ty-i-o
das
. ,%(0
) ist, so erhält
1
man für das A g g r e g a t derselben den Ausdruck
^ (0 )
.,(0)
)•— /„+1
v (0 )(a x(0)
r — /„+2
»'
’ a .,(Q)
i'— /„+1
’•
- ’ a y(0) ) •
r — /„-f2
r
s = r — ty
V
•A
()l
/o_ s + 1, X r _ /o_ s + 2 , . . . , ) T _
/oK
'- V
- S+ P
a x r _ / , r ^ . h2’ • • ■> a r - 0 \
wo X,,
X,._/ü
n eine Permutation der von vJ0)
.-l„ %7
(°)—<o i ^
l X„,...,
ä
/—/.0-J
verschiedenen Elemente der Reihe 1,2,
., 7' ist, oder also
-Oo)
r — ^o+l
-(0)
,...,*(0)^*(0)
»'— ^o+2
>"
v — /»+1
, a *(0)
’
r
i
wenn mit X', X', .
1, 2,
.,a v
%
r
),
/„
., X'_/0 die natürliche Anord nu n g der Zahlen
., r — tQ) bezeichnet wird. Da sich auf demselben
W e g e bei der Ordnung nach den Functionen
(/ v _ / +
der Ausdruck
^'0)
-’ a y.(0))-
r — 10-\-2
. F ( p ’ ^ ( a }, , a }„
az (% =
>
1, V
- / + 2>- • •- V
/+1» a * r — t + 2 ’
‘»
)
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956
ergibt, so erhält man schliesslich die Gleichung
i= r
Z (
s ^X
|’
s=0 S , x , ...... xr ._s
• ^ (P’ ^ (ö V - s + l> axr-.s+2’ ’ • ' ’ a*r)) —
i
s—r
=Z(
S=0
•
Z
VV., , V..1, . .
f iX
V.y__s
.
s=r
—Z( Z
sk
s=0
_ 6.
•- ^ (3’
( a *r- S + l ’ ß V - s + 2 »
.^ .
,)
* * ’ UyT^ ) ’
^
1
durch w elch e fo lgender Satz ausgesprochen wird:
Ist xa),
. , x a8 eine der Combinationen ßter Classe ohne
W ied erh o lu n g der Elemente 1 , 2 , .
., r, in w elch er die E le ­
mente in der natürlichen Ordnung aufeinanderfolgen und sind
yit,, V..,, . . X) Ox, Jö-/.. J• •}
/ ,„ V.;, •••, •/) (^X, >
~^X|, •/.,.
• •) ^X) ) 1
^x.,) • • •> Öxx)
willkürliche Functionen von den angeführten X der Grössen
a , , a 2,.
. , ö r , von denen einige oder auch alle zu demselben
oberen Index gehörigen gleich sein können, so ist die Summe
. <*».>• -.«* _ )
Z( Z
/t = S
V I
t —0
V
x ;. _ s._|_j, x;. _ s _|_2 i- •
f*r-s + l’*r-s+2’-■■>*,—! (a*r-s+V a*r-s +2’ ’ ' ’ a* r - j '
\\\
‘ f * r - t + 1>V-/+2.-
( a '"-r—/+1 ’ ö *r-/+2»
-’’
in w elch er die auf die Zahlen xx bezüglichen Summationen
über alle genannten
Combinationen der bezüglichen
Classe
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auszudehnen sind und
x2,
eine Permutation der Zahlen 1 , 2 ,..
, r ist, eine symmetrische Function
von p, a, t.
Man erkennt sofort, dass man auf demselben W e g e auch allgem ein zeigen kann, dass
Z( X
5, = 0 '«„ X j, • •
V-s, >"%••••> )■
i 1
s .= 0
y
f(Pi)
—:
, xr _ Si_|_2 , - .., V —s»
‘ %r —st + 1 >* r —s(+2> • • •> xr —5 . ^ " 'V — s, + 1 ’
5,+2 ’ä .'
s., = ss
Ein Theorem
V f
von B a k e r.
y Z_j \
Z _ i ' ^ r - S j + l * V - 5 , + 2 ----. V - s , ^ V - s s+ 1 ’
s., = 0 nr— s?_|_j , y.,.._Sj_|_21 ■• •>V —s3
s.:+ 2 > - •’a * r - s ) ’
Z
— 1 — ® ''xr — st _ 2 + 1’ x> '- - s - _ 2 + 2 > - ->xr - s . _ j
Jf(?z-\)(a.A
^ V — S - ._ 2
.„ fl*
eine symmetrische Function von p,, p2, p3, .
5 : __ 2 + ^
.,<2-,
) / (p' ) ( ^
r — 5 r-f 17'— 5-
l + l
7'— s _ _ j + 2 ’
,o,-
?
J)
j^
., pt ist.
specielle Fälle a ngew endet werden.
957
Die in den vorstehenden Zeilen abgeleitete allgemeine Formel soll nun auf einige besonders interessante
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a) Die Function
a^ ,. . ., a* ) sei gleich + 1 oder — 1,
je nachdem die A n za h l X der Argum ente gerade oder ungerade
ist. A u s dieser Definition folgen sofort die Beziehungen:
s=r
s=r
!
5=0
/
/
( Ö X, 1
V.,, Xj, . . .,
,f
5=0
V*
a-f* a*r-.s)
5* 5
V 1
-------------
/
l ) r
r
'
5 (
V?'---- 5,
s-
Z
l
(
5=0
’ ö *-:> ■ • • ’ ‘ ' N —
5)
1
(V =
0)
0
(r >
0)
5 -f-l ’ a * , — s + 2 ’ • • • ’ ö * r ) j
'x„y..,, . . . , « r _ s
—
7
=
(-2 )r
und daher folgt aus I) der specielle Satz:
Ist
vtap irgend eine der Combinationen ßter Classe
ohne W ie d e r h o lu n g der Elemente 1,2,
in w elcher die
Zahlen in der natürlichen Ordnung aufeinanderfolgen und sind
(a*,> a *->-
•, ß*x) w illkürliche Functionen von den an­
geführten X unter den Grössen a v az,.
., ar , w elch e zum T h eile
oder sämmtlich gleich sein können, setzt man ferner
s=r
V /
V
\
/ ,f
s=0
f * - 1,vt2,..
'X |,x2) . . x }.—
s(
■
■’ a 'Ar—s) I “
^ ^ 1 ’ ^2’ ■
/
5
s=r
y ,f
5 = 0 V/,,
/ ,
(
. , x , . _ s ( ö * 1} ^ x , 5 • • • , # * , . _ < . ) ) =
. . ., * , - _ s
^
-- F(cLy,
w o die auf die Zahlen
. . . , tfr),
bezüglichen Summationen über alle
Combinationen ( r — s)ter Classe der genannten Art auszudehnen
sind, so bestehen die Relationen
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r.
959
,s = r
,s = 0
' v.,, v.,, . . .,y .r __ s
/
Der erste T h e il der vorletzten Relation ist die von den
nicht unumgänglich nothwendigen Voraussetzungen
befreite
B a k e r ’sche Formel,
ß) Es sei
to(öZ|, a-,2,
.,
alsdann wird
N=r
\V
V
./ ,
1
<0 ( « X
,
, «X., •
• Cl.,y_ s) ] =
(% +
1) ’
,S=0 w.,,-/., .-,y-r—s
/ :(
y .
w
.S-=0^X|,X2, ...,*r—s
’ • ••’ öltr-.s-) ^ (ö V - s + 1’ a*r—s+ 2’ ‘ ' ‘ ’ ö *i') j =
'
= ( x - l )'•
und daher fo lgt aus I) das specielle T h eo rem :
Ist xtti, xao, .
.,
irgend eine der Combinationen ßter Classe
ohne W ie d e r h o lu n g der Elemente 1,2,.
r, in w elcher die
Zahlen in der natürlichen Ordnung aufeinanderfolgen, und sind
X) (#*,,
) willkürliche Functionen von den an­
geführten X unter den Grössen a v a2, . . . , a r , w elch e zum T h e ile
oder sämmtlich gleich sein können, setzt man ferner
X
•s' = °
(f * " ** ■■■'
v
z_i 1
,s-=0
.
,
,
x
^ y->’ a'A'-’ ■
r -
•’ a*r-s )\ — F ( a v a v . . . , a , )
s
'
^
0 Äy*i,*2,-■
O2-/,,
• •j
—
.., xr_ s
'
— F ( c i y, &2, .
\V
./ |I
V
/ ,
y? f
. .,Hr_ s (^V-|)
•, #)•)
\
• ■) ö>()—s)|
i' = 0 ^ X,, X.;, . . . , V.J.__s.
f
—
•
•J
w o die auf die Zahlen %x bezüglichen Summationen über alle
Combinationen ( r — s)ter Classe der genannten Art auszudehnen
sind, so bestehen die Relationen
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960
Z(
Z
( * + l ) s/*„.
K
, a . A;r.
. , a * r_ s , j
*■=0
'
s—r
s= 0
V
'y.
.....x,r—5
6'=-;'
=
V /
V
2j
Li
i
F '-^
' ay-->• •’ V
* jJ
5=0 ' X , y . , . _v
=r
v
/
v
/
(
/_J
.s-— 0 'v.
-
,
*
1 Y ff-i, «i- ■• ■,
s
’ ay '. ’ ■' ’a ' r —s)
r __s
=ZW Z
s= 0
\
F ( a*t>a*,,-
a.
->~~r-s-
'■'t|,y-;, • • •, V _<;
^
^L_j
s=0
§. 2.
'y.,,y2, . .., xr _ s
Die willkürliche Function /(a'J1, a£,
r Grössen
cty,. . ., a]r
!
., a / )
m ö ge kurz mit / ( v ^ v g , .
der
. , v r) be­
zeichnet w erd en; es seien ferner die ganzen Zahlen
v} — r^a + c,
( 0 ^ s x^ a — 1; X = 1, 2,.. , , r ; a ganzzahlig, positiv)
und es w erde
=
p„ )., =
p j!, . . . , ) . . r =
Z
p ),
.... V ( W
- - . M -
,X,- = 0
. / (a)
Pi
(v,— X,a,v2— X2oc,.
P z ~ h a>
—
v
V'2»
— F-1 (p,0V
a
v'l»
P
— X,-a)
r- > r“
• )V,-)
»/
gesetzt, w o / ^ . . . ^ ( * P ^2>- •»
/>^L,...,xr (Xp x2>- •> Xr) und
> (X,,X2, . . . , X r),w e lc h e Functionen sofort benützt werden
sollen, willkürliche Functionen der Grössen a\>, alg, .
., a}'/ vor­
stellen, von denen selbstverständlich mehrere oder alle zu den ­
selben oberen und verschiedenen unteren Indexsystemen g e ­
hörige gleich sein können.
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V e r e i n i g t m a n nun in der S u m m e
A.
r., _= K|,
a„ A.. —•
= p...
|
f\X,-
^ F* 'Z) (Vl~ Xl*’ \ —
^
• •’ V»— V*) =
X,, - . ., >.j- = 0
X, = p „ X,
- p.,,. . . , X,- = pr ; n, = p,
„ i-s
ij.j = p,—
ii - X u
r - X2,
’ -i . .- .) , ,7 =
X
,p,—
/
••/
z
/ ,
>-), >'2,- •
-^>lx,,...,Xr(Xl’ X2’ ' ' ; 'kr ) f ^
(lXp !J'2;
Ixr)
IM-!«■;,• ■ !M- = o
• / ^ ( X , + , , ) « , v ;- ( > , + JUJ a , - ( X r + , r ) « ( V 1 -
(
Xl + h )
a > V2 —
(X2 +
\h) «» •
■> V»' —
(X r +
|V ) « )
1)
alle Glieder, in denen [xp [x2, . . ,jxr das bestimmte W erth system fx(°), [xj^,. .,|x^ ist, so erhält man für das
Ein Theorem
A g g r e g a t derselben den Ausdruck
>>1= Pi—
2
y
r
/$,. -. m -
/—
1
a 1?X:. ,.
von
1
h = P i-!^ 0), . . xr = P),
. . , X?- = 0
1
2
r
==
f t%1 ,»
(0 ), a(0r )
2
(X 1 +
( K 0)> P P ’ ■
« , V2 “
■> t 4 0)) ^
( X2 +
°} ( Vl —
f 4 ° }) '“ > * * ’ ’ V
{^i0)
V2 ~
~ (K+
|4 °> ) « )
* > ■ '■ > Vr ~
=
^
*)
B a k e r.
• / ^ - (X1 + p.(0)) a ) v , - (X,+ ! J (0)) a , . . . , v r - (Xr + f,( 0 ) ) a ( V l —
und daher hat man die Relation
'/t = hrh = Ps,
=
zL,
X„
• • •, Xj- =
f-EL
. . ., xr (X i > X* > • • • > Xr )
F*’
3) (v 1 — X 1 a > v 8 — x 2 a , .
. , V,.— Xr a ) =
0
X |= P i,X ; = pa, . . . , x J. = p,-
_/^L.
(X,, x2, ..., Xr) Fi1’3) (v, —X, a, V2—X2 a,
vr —X,. a),
X 1?X.,,. . ,,X r = 0
welche zeigt, dass die auf der linken Seite derselben stehende Summe eine symmetrische Function von
und x ist.
II)
961
=
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962
Vereinigt man ferner in 1) alle Glieder, in denen X, +
jJM,
X2-f-[x2, . . ., Xr + [Ar das bestimmte W erth system pt— ß(,0), p2— ß^0),
., pr — ß(?) ist, so ergibt sich für deren A g g r e g a t der Ausdruck
W *+ 'r).
W , . ? < « > « + . , .... •>
3(0)
Z
-C..
,x,. = 0
_?( 0 ) _ x„ p,— ?g>)—
Pf— p C p )- ^ (Pl
ß>0)
P*
K 0)
X2’ - ->Pr
^ 0)
K) =
= /?f).+ei>?(0)a+ea...,P(0).+ er® 0)a+ e«» ßl0)a+ e*>- •’ ßi0)a+ s'-)•
^ ? ’P) (Pi — ß(,0)> P2—
und daher hat man die Relation
>.1= p 1,X., = pi , . . . , X r = p
y
fA
AiX.....
„.A .V
•
-.V).
X,a, Vj— X2a , .
>•1
, , v , — >.,.<x) =
= Pi,
>-2
=
= P2>• • ■>V = P,z
X;, X.,f . . . , Xy =
«X,+ E,,. . «X,-+sr ( a ^ l + £1’ a X 2 + e 2> •
• ^ (t,p)(pL— *1»
Ist speciell a =
0
•>a V + s r ) .
P2— X2>-' - ,Pr— K)-
HD
1, so hat man das T h eo rem :
Sind
a 22’ ‘ * •’ a r, )>
i‘j
’ a^’ ) ’
/xfx,,.,.,xr ( a i'>
• •» ÖV ) (^x = 1,2,. ., vx; x = 1, 2,. ., r ) w i ll ­
kürliche Functionen der Grössen a\, a£*-,. ., a)/, unter denen
auch mehrere oder alle zu demselben oberen und verschiedenen
unteren Indexsystemen gehörige gleich sein können, bezeichnet
man ferner die Function f
/> >
>r (^i>^ 2>-
}_
(a\>, afy,. . ., aty') kurz mit
•> ^r) und setzt endlich
Xj — v„ X2 = v2, . . . , Xj- = Vj-
A ü , .....> , A > V
;K ).
X „X ,,...,X r = 0
• / v !- X fI vt- V
. .,vr -Ar
~
X «’ V
_ X *’ ‘
' ’ Vr ~ K )
=
^ ^ ( v , , V , , . . . Vr) ,
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er.
w o vp v2,.
963
.,v, beliebige ga n ze positive Zahlen sind, so ist die
Summe
>.,= V|,)» = V ä,...,).r = Vr
. .,xr = 0
• F i(p,0) (Vl — :K Vi ~ K
•> y'r — K )
eine symmetrische Function der Indices p, cs, z.
Nim mt
man
speciell
für
p v p z, . . . , p r der ga n zen
die Functionen
A^'x,
.xr (Xtj X2, . .
. a }f
av az,.
ar die
Zahl n — p'^p'^.
^ (X„ X2, . . ., Xr),
Primtheiler
.p'*/, sind ferner
. , Xr (X„ X2, .
l r) willkürliche Functionen
., Xr),
des Productes
und haben endlich alle Functionen mit demselben
oberen Index bei beliebigem unteren In dexsystem denselben
W erth f (p\x), bezieh u ngsw eise / (a)(.r), beziehungsw eise
so entsteht aus II) und III) die zahlentheoretische Relation
Z
f ir) (A„)
j Z /(a) (Ai) /w(
j=
\Tä
Ja
)
= Z ^ (Z / w « (^ )\ =
n
1 n
I
= z / wt e ) ( Z / ww / <,,& Y
\Aa
in w elch er die Summation nach A “ , bezieh u ngsw eise A7“ über
alle Th eiler der an das bezügliche Sum menzeichen angehängten
Zahl auszudehnen ist, w elch e oM Potenzen sind, während die
auf d bezügliche sich über alle T h e ile r von A a erstreckt. Diese
bemerkenswerthe Gleichung hat Herr E g o r o f 1 in einer im
16. Bande der Schriften der mathematischen Gesellschaft in
Moskau enthaltenen zahlentheoretischen A bhandlu ng aus dem
von
den Herren C e s a r o
und B u g a j e f schon früher a b g e ­
leiteten speciellen Fall derselben
1 M atem aticzki Swornik, 16. Bd., S. 236 — 255. (In russischer Sprache.)
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1)64
w o die Summationen sich auf alle T h eiler der an das betreffende
Summenzeichen angehängten Zahl beziehen, ermittelt.
Die aufgestellten allgemeinen Form eln sollen nun auf einige
interessante specielle Fälle a ngew en det werden.
a)
Die Function [x(vu v2, ..., vr ) der Grössen a]', a g , a ] r
habe den W e rt h 0, w en n auch nur einer der ga n zzah ligen , nicht
negativen Exponenten v,, v2, .
gleich ( —
., v,- grösser als 1 ist, und sie sei
•-’vr) in allen anderen Fällen, w o cÜ(v,, v2, ..., vr)
gleich der A n za h l derjenigen unter den Zahlen v,, v2, . . . ,v,- ist,
w elch e grösser als Null sind. Aus dieser Definition folgen sofort
die Beziehungen
;x (v,, v2, .
., v. _ y, 0, 0,.
., 0, vx, '/ + j ,.
=
•X(v,, V2, . . . , Vr) =
., vr) =
| x(V i,v2,.
V . _ y, vx, v>+ 1,.
|X(v, ) |X(v2) .
. , V (.)
. [j, (vf.)
und demnach ist die r-fache Summe
>-i=pi.>-2= r",- •■,h- = pr
|Xa(^p'^2j»
•>'■V) —
^
[^(^i >^2» •
>Xr)
,X,- = 0
r
=
[*1
i
+
w o yj* gleich 0 oder 1 ist, je nachdem p* gleich Null oder grösser
als Null ist; dieselbe hat also den W e rth 0, wenn auch nur eine
der Zahlen vt, v2,.
., vr a-— 1 überschreitet, während sie in allen
anderen Fällen gleich 1 ist. Nim mt man speciell a =
sieht man, dass die Summe
1, so er­
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r.
A,
V,, A., — V„, . .
Ky = v r
V
/' |
A„
stets
(x =
gleich
1,2,.
gleich
Null
., r )
ist,
(^p ^2’ ■ •}
= 0
ausser
wenn
sämmtliche
den W erth 0 haben,
1 wird.
(v,,v2,.
. . .,
Die
965
Zahlen
in w elchem
angegebene Definition
Falle sie
der Function [j.a
■, v,-) zeigt auch, dass
|Aa(v,, V2, .
. , vr) =
|X„ ( V , ) u.« ( V 2)
.
. |Aa (vr)
ist.
Berücksichtigt man ferner, dass
|j.(v-— A-a)
Xj = 0
den W erth + 1 , — 1 oder 0 besitzt, je nachdem v3 die Form p3a
,o3a + l oder pJa + s ( s > l ) hat, so erkennt man leicht, dass die
durch die Summe
A , = p | , ).s = p: , . .
> .) '= p,.
V
2,
A,,
!J-(V|— x,a, v2— Xga,.
definirte Function Xtt(v,,v2, .
nur eine der Zahlen v* (x =
von 0 oder
v,— Xra)
,) .r = 0
. , v r) gleich Null ist, wenn auch
1, 2,.
1 verschiedenen
., r ) nach dem M odul a einer
Zahl
congruent
ist,
und
den
W erth ( — 1)" in allen anderen Fällen hat, wenn t die Anzahl
der Zahlen v* von
der zuletzt genannten Form
ist.
Hieraus
folgt sofort, dass
(V1>v2’ • • ' ’
(^i)
(^z) ■ ' X,/-(Vr)
'ist.
Setzt man nun in II) und III) speciell
A t l . . . . , (Xi ’ X2’ • - X'') 311 1 ; ll (Xv K -
......
(Xp X2-----> xr) — p.(X,, X2, .
■>xr) (für j edes W erth system X,, X2. . ,Xr),
., Xr); 1,
so wird
F a ' 31 ( v , , V2, .
. , v r) m
X « ( v . , v2, . . . , V ,.); |A„ ( v , , v2, . . . , v r)
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966
und man erhält daher das T h eorem :
Sind f } x
} (a\'} av .
Grössen a\', atf,.
d r) willkürliche Functionen der
dy, w elch e selbstverständlich auch zum
T h e ile oder in ihrer Gesammtheit gleich sein können, bezeichnet
man dieselben ferner zur A b k ü rzu n g mit
x
^ (X,, X2, .
. ,Xr)
und setzt
X, = 3 , ,
= ao....... '/>,■ — ar
■ !x ( a i — ^ i a > a 2 — X2 a , .
. , <3r — X ,-a ) =
F a(av
a 2, .
.,
rjr),
so bestehen die Relationen
x„
xr = o
x, = p„ x., = p2l. . x,- = Pr
r
Ai — P i , — P:, ■■■,
X,, X.,,..
— Pr
Xr = 0
•
X, = p„ X3 = p2). .
( VI — ^1 a , v2—
X2a ,.
.,
V,—
X,-a) =r
Xr = pr
V
[x(Xj, X2, X r) X j O c , V g
./
\zct.,...yvr
Xra) —
x,, x.,,.. Xy= o
Ai = Pi» A.. = p2, . . . , X,- = p r
V
/
^ (P l
Pz
• •> Pr
^r)>
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r.
und speciell für a =
•V'rO’V '^2> '
X, = v „ X, = v.;,
—
•’
967
1
—
Xr = vj-
/
[-^(Xp Xg, . . ., X,.)F(Vj
XjjVg
Xg,. . . , Vr
Ar) —
x„x.,...,xr = o
X, — Vj. Xij
—
V.*, • • 4y
“ Vj*
^
-Fj (V|
Xj, Vg
Xg,
., Vy
X ,),
.., xr = o
eine Gleichung, deren erster T h e il das A n a lo g o n der B a k e r schen Form el
im Gebiete der Relationen zw eiter Kategorie
bildet.
ß)
A u f Grund der bisherigen Erörterungen hat man die
Gleichungen
X, -t v,.. x.: = v.., . . . , xr = v,-
%
L—>
[x(Xj, X2, .
., Xr) j-t(Vj
Xj, Vg
X2,
. ., v,-
Xr) —
X|. X.i. . . . y 'hy “ 0
r
Xj = va
1
X
Xj =
—0
X
~ Vj. X.. = v.., ■■■, X|* = Vj*
/ ,
}
X, — v, ,X, = v.,,
X
Xjj"= vj
Vj
xtt(x1,x2,...,x,) = f7| ^
X„ X„,...,Xr = 0
1
| x ( X 3) [ x ( v , — X , ) ,
xa(x0),
Xj = 0
- = vj-
V
/ ,
!-**(Xp X2, .
., Xr) .
X|, Xj, . .., Xj* = o
V Xj = Vj
• [J'a(Vi
Xj, Vg
Xg, .. , Vr
X,-) — |3j
| [A (X3) [Aa(va
X-j),
AI - Pli X.>— p3, . . •, X}- =
X!
X|, X.;,.
^ (X p X g ,.
., Xr) .
Xr = 0
J' Xj = pu
• X « (v , — X ,a , v2— X2a , .
. , v,—
Xra) =
]TJ
1
^
Xj — 0
^ ( X 3) X a ( v a — X 3a ) ,
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9G8
>.' = v „
= v. . , . .
— vr
^
!J-rx(X, , Xg, • • •>Xr) .
X , ) . r = 0
r
'^2
a,
= p „ >.., = p ,,. .
^2’ • ‘ '■>
),3 = v
-- |0| y
[J-a(^a)
('<*a
X3) ,
A r = P?.
/ |
Xr = 0
^20f’J• ■>'"V
—
r
},3 = p3
PJ Z
M v«— x*°0
1 >.J= 0
Nun ist aber
>•3 = vc
V
/0 (v 3> 2 )
^ ( X . ) ^ . ( v 0—
X ,) =
1
i^ o
(v. =
I— 2
2 ,0 ),
(v: =
1)
Xu = V j
V
Aj —
jx(X3) fi.«(v3— X3) =
n.(p3(p 3— l ) a + s, + 1)
0
)'II = Va
y
(
j- j x
Ä >
1
(v 3 =
( 0 (v, =
psa + s3, s3 >
i
A j --- p j
V
p 3a )
,) =
0)
0
(e3 >
1)
\
u (X3) X* (v3— X3a ) =
<
= po
(- i) "
x3= 0
1
y
Z_i
(3 .S 0 ,
u m
).J= 0
' ).3 = =3
\ }
1 X < * ( X a)
) x3= 0
Aj - Vj
2 ^
(v3 < a )
1
^
| A « ( X 3) X a ( v s — X 3) —
x3= o
'
\
I
).a—p3<*+ H3
y
XJl )
( h S : 1)
* A j = (pa— 1) « + S3 + 1
und daher
- V3
)
C ^ o
( 0
(v0 > 0 )
M X 3)Xa(v3- X 3) = '
'
1
(v, =
0)
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er.
969
X,j = P(J
y
X0 =
( v 3— X - a ) =
|Aa ( e 0) ,
0
und demnach hat man die Beziehungen
X , = Vo............X ,- = v
\ 'i
7
, Xr) |j,(v,
Xj,Vjj
X2,
v,-
X,)
x.v . . . , x r = o
=
je nachdem unter den Zahlen vx (% — 1,2,.
kommen,
!
0
((~ 2 )=
. , r ) solche
w elch e grösser als2 sindoder nicht, wenn
Vor­
z die A n ­
zahl derjenigen unter den genannten Zahlen ist, w elch e den
W erth 1 haben,
x . ^ . x , ^ . . ^ . ^
/ i
j
i
X«(X], Xg,. . ., Xr) —
••,v = 0
( o
je nachdem sämmtliche Zahlen v* (x =
1,2,
. , r ) V ielfache
von a sind oder nicht,
-=[>!.. X4= p.,.. ., x,- = p r
\
|x(X,, X,,..., X,.) Xa(vj — X,a, v2 - X2a,..., v,— Xra) =r
•, xr = 0
== |J.(vp V2,.
. , v r)
/ . , = • / , . A., -= V j. . . ., X ,- = Vr
lJj(Xp X2, .
, X,-)p,a(Vj
Xj,
v2
a
2,
.
v,
Xr) —
>.r = o
(n (Pl>P8>-
-»Pr)
0
je nachdem sämmtliche Zahlen v* (x =
1 ,2 ,..., r ) durch a theil­
bar sind oder nicht,
Sitzb. d. mathem.-naturw. C l.; CI1. Bd., Abth II. a.
64
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970
>i
X2 = v...
>.j' = v,-
^
Xg,..., X,-)Xa (Vj
Xj, Vg
Xg,
., v,
Xr) —
Ky = 0
j
o
j
[
( 2 „ > o )
\a = 1
1 (v3 =
1
0; a =
1, 2,..., r )
/-I — Pu L : = P:'.’ ■ ■ •> Kr — P r
^
|^a(Vi— Xja, v2— Xga , . . ., v,— X,-a) =
1.
>.r = o
Setzt man nun in II) und III) speciell der Reihe nach
f\
, v
O 'i’
• ••> Xi) — [x (Xt? X2, •• •, Xr);
1;
jx(Xj, Xg,. ., Xr),
|xa(Xj, Xg,.
(Xi j X2,-..,X,-) — |x(Xj, Xg,..., Xr),
X<x(Xj, X2, . . ., Xr),
|j,(Xt, X2, ..., Xr) ;
., Xr),
1,
Xa(Xj, Xg,..., Xr) ,
|j<a(Xj, X2, .
Xj-),
Xa(Xj, Xg,.
., Xr) ,
[-*"*(Xj_; X2, . . ., Xr) ,
so wird
r
......Vr) =
1
0
(irgend ein v.,_ > 2);
U - 2 ) * ( * . < 3 ; * = 1,2,
. , r ; t Anzahl
l
derjenigen v*, w elch e gleich 1 sind);
(s* := 0; % — 1, 2,. . ., r )
l
\
!J'( vi> v2>
• » v»-);
o I Z s* > o
\ x = l
j^ (p i»p 2»- -.Pr)
(£* = 0; x =
\
/ X= r
( 0
[ V
1, 2,..., r)
*
£X > 0 )
x=l
0 l^ ° )
1
(v, = 0; a = 1, 2.
r)
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r.
971
und daher hat man das T h eo rem :
Sind
}
, a\-,.
. , a ) r ) beliebige Functionen der
willkürlichen Grössen a\, a]g, . . ., a]:r , welche selbstverständ­
lich auch zum T h e ile oder in ihrer Gesammtheit gleich sein
können, bezeichnet man dieselben ferner zur A bkü rzu n g mit
X2’ - •’ X,‘) und setzt
X, = 3|, X« = Oo,. . ., X}' = 3j-
Zj
/>r
X2’ ' ' ‘ ’ X)^ —
(° p a2> 1• •) ar)J
X,, X;,. •■, Xr = 0
• ! •• I •
I:. ] ....
y i
f i „ x . , ., xr (Xi’ X2>
K )•
xr = o
. |j,(a,— X,a, a2— X2a , ..., o,— Xra)
Z
- F a (o ,, a2, ..., a,-),
A;;.- •••, >-r ^Xp X2’ " ' ’ X,‘) '
).lJX.,...,Xr = 0
• [J-p(*-^i
! ':l-
*^2
Aj-ä ) — .Z'1 |5(g,, a2, .
. , 3,-),
I.:,,.... * - [ ? ]
/
,
f K K
. . . , xr ( Xp X2> •••> M -
XII Xs,...,X r = 0
‘
(®J
^2
^'2®’ ' ' ' ’
ß(^p ®2’■' ' ’
so hat man die Beziehungen
X, = v „ Xi = v2, .. ., Xr = vr
£
s ( X „ X t , . . . , X , . ) ( - 2 ) ' <V >,......W
x„ x2, . ., xr = o
’f \ , X,, . .
Xr ( X1’ X2> •
•j
—
X, = v,, X, = v3,. . ., Xr = vr
—
^
P' (X|5 X2> '
‘ >^r)
••> Xr)j
X„ X,, . . , X , . = 0
w o t(X,, X2, . . ., Xr) die Anzahl derjenigen Zahlen X* ( % = 1,2,...,r)
vorstellt, w elch e gleich 1 sind, und s (X,, X2, .
., Xr) den W erth 0
oder 1 hat, je nachdem unter den genannten Zahlen Xx w elch e
Vorkommen, die 2 überschreiten oder nicht,
64*
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972
[ p-J>^-L p
' Kr - [ ß
X,
pX2, . . . , <JXr
(ß X l ’ ßXg,
• • • 5 ß ^ r)
—
X],X 2). . . , X r = 0
X, =■ Vj, X2= v2, . . •, \y ~ Vr
—
>Xp(X„ X2,..., \ ) F ( y { — x p v2— X2,..., V,— X,,>
z_i
X„ X., ..
X ,- = 0
Xj = V1( X> = V*>, ■•
^
—
AJ- := Vj'
X„ h . , , . . . , \ r = Q
— r,i-
m
.....
r:i
V
X,, x . , . . . , x,- = o
f / t—X,?, Vo—x„p,..
v —Xr?
'
X rß ) l X ( X P \ y
‘ ’ V'”
•) X,-
X, = v,. X2 = v.>,. . ., Xj- = Vj—
^
r * * ( X | > X 2 , ..., X r )
F\
p (V j
X p v ,
X g ,..., v ;
X j , V2
Xg, . . . , V , -
X ,)
x „ x 2, . . . , xr = o
X, = ■;„ X2 = v=, . . ., Xj- = v,—
^ ( ^ p X2,
^
...,
X r) F ( v ,
X
Xi, X2, . ■, Xr = 0
X, = p„ xs = p.,,. .., X,- = pr
/
|
- / ) M, X...........Xj- ( X l > X g , .
. , X j.) .
X,- = 0
.|x(Vj— X,a, V2— x2a,. . ., v,— X,.a)
X, = p „ x.» = po, . .. , x,- = p?-
=
!-*•( X p X 2, . . ., X r) F a;a( v L — X , a , v 2 — X 2 a , . . . , v r - X r a ) X„ X2, .. ., Xj- = 0
r
X, = p „ X2 = p , , . .., X,- = p»-
— jxJ
/
1
F (p i
Xp p2
X2, .
., (o,-
a
x,, x2, . . . , x,- = o
X, — p,, X.. = p2,. . ., Xr -- pj-
X
(Xl3X2’
X,-) —
X .,,.X j- = 0
.,,...,
Xr =
X] = Pl> X2= p
p;.,.
. Xj= pr
Pj-
^1
x „ x2, . . . , x,- = o
Fa, «. (v, — X, a, Vg— x2a,..., vf— X,.«
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r.
/
973
( V V * .............................Vf ) = :
X, =: v1; Xn = v2. . .
X;- = Vf'
—
(-’-vx(Xt, X2, . .., Xr)
(Vj — X|, v2 X2,...,Vr
X.) —
xr = o
'■i = vi,- X2= v.,. ., ).,- = v,-
zr
^ Aa (X,, X2, ..., Xr)
(Vj
X|, Vg
X2,..., V,-
X,-).
v = 0
Y) Die Function a ( a ’(', ß2;, • •
a'\r) der willkürlichen Grössen
a\', a'£,. . ., a'\r habe den W erth 0, wenn
ponenten
vy.(% =
1, 2,
r)
gleich 0
entweder
sind,
oder
alle E x ­
auch
einer derselben grösser als 2 ist, oder endlich w en n
als
zwei
von
ihnen
die
Einheit
überschreiten,
nur
mehr
sie
sei
gleich ( — l ) ll,(vi’ '^ ••■•''»')/(#*), wenn v., — 2 und alle anderen E x ­
ponenten kleiner
als
2 sind,
und
anderen Fällen den W e rth ( —
besitze
endlich
-->vr) +i
in
allen
wenn die
a= 1
Zahlen vX|, vx?)..., vK. gleich 1, die übrigen aber gleich Null sind.
N a ch dieser Definition ist
lr —'/r
— V, .
^
a(Xj, a2, • . •, Xr) —
>«»...., >.,- = o
= 2 / « » i 1- C t 1) + ( V ) — • •
5=1
+
Z /
P= i
w
! - i + C 7 ß) - C
wenn nur die Zahlen vX|, vx,,.
unter diesen vXj, v*.,, . . . ,
hat man die Relation
i+
7 p) + . . - ( ~ o -
., vXt grösser als Null sind und
die Einheit überschreiten, und daher
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974
Setzt man nun in II) und III)
a =
" >^
A , f x 2) . . Xy ( X l> X2’ '
r iX ..... V
1
—
^ , v - - . v ) =
‘>
a ( ^ P ^2’ 1
i,
so wird
( f(a j
( X „ X , ........... X ,-) =
<
(X , =
1;
Xp =
0, p ^
-/.)
/«='
(o
^ X ,^ l
W=i
und daher hat man den Satz:
Sind / }
x (^'> Ö2S> • • •> a rr) beliebige Functionen der
willkürlichen Grössen a\,a\-,. .,a).r, w elch e auch zum Th eile
oder insgesammt gleich sein können, bezeichnet man dieselben
ferner zur A b k ü rz u n g mit /
X|= Vl, X2= v2,. .
}
^ (X,, X2,. . ., Xr) und setzt
Xy = Vy
V
-^X,,X. . ,Xy(Xl’ X2’ -
/I
' >Xr)
—
F(vt,vz,
• ,vr)
X], X2t . . . , \y = 0
Xf = v„ X2= v:,,...,Xr = vr
/
X„ X2). .
I
Xy = 0
- ^ X . , . •., Xy
• a ( Vl —
X2’ ■ ' ■’
■
v2— X 2> * • ■>v »—
M
=
V2, .V,.),
so besteht die B eziehung
/ v , - l , v.,. . . , vr (v , — 1, v 2, . . . , vr) / ( f l , ) +
+ / » i , v . - l , v 1......vr ( v „ V2-----1, v 3>.
' f ( a 2) +
...... V _ j , Y y —l ( v , j Vg, .
V,.).
. , V r _ 1} V,-— 1)
X, = v,, X2= .........Xr = v,-
/ ( ßr)
^ ,
—
a (^1 >^2)
•••>^'r) •
X,, X2,. . Xy = 0
X ,= v„ X2 = v2,. .., X^ = vy
. ^ (y,
X,, y2
X2, ..., vr
Xr) —
Xj, x2l.. \r= 0
-P, (X,, X2, ..., Xr).
3) Man hat ferner
X] = '>U X2 = V2, . . . , Xy = Vy
£
X,, X2,. .
X ( X „ X2 , .
. , X , . ) 2 » A A ...... V > =
Xy = 0
r
— p|
X3 = vj
Z
1 x3=o
^ W ^ ()'a)
( X ( w ) = X 2( w ) )
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Ein Theorem von B a k e r .
= V,.
= Vj,
9/5
Kr = ')r
V
^
X(X,, X2, .
X , , . , . , Xj -
X,-)2Ä(';1
v.->,...... vj—v ) —
=0
y Xj = vj
V'
=
]T J
/
X ( X 3) 2 f i ( ^ -
1 Xj = 0
X,= V„ 1
.
Xr = vr
v
/
X (X,, X2, . . . j Xr) 2ÜJ
X„
V)+w(vt—
>.2,...,v»'—V) —
h- = 0
1'
X j =
Vj
= R Z )- (x=)2.
' OJ (Xj)-j-to ( V j—X j
1
Xj = 0
X ,= V,, X._. = Vo, . . . , Xr -:
2j
x„ Xj,..., X,-= 0
lJ'CAl» V
•,
X,.)
X,,. .., v,~Xr)
2 t7,Cv,—
5"
= R
/
X j = Vj
Z ! ^(^)2" (vj_xj)
1
X|— vr.- X:. — v. >
_
Xj = 0
, — ')r
i
^ ( X p X g ,.
, X r) .
X|, Xj, . . ., Xj' = 0
■X ( v , -
X p V2 — X 2 , . . . , v , . — x r ) 2 a ( ^ ^ - - - v - * r )
y
X j = VJ
1
Xj = 0
=R Z
3) 2 * (XJ-*-v<r)
Nun ist aber
X j =■ Vj
V/
ö>(Xj) _
=
/___
(— l ) 'a
x0= o
VJ
/
( 0
(va >
I 1
X j = Vj
^
X ( X 3) 2 “ (’^ - X a ) ~
1
jj . (
tx 2 ( v a)
Xj = 0
X j = Vj
Xj= 0
0)
X ( X 7) 2 tu (v j —Xg ) + tü (X j) —
x ^ o
X 3) 2 J j ^ - M
—
=
(va =
0)
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L. Gegen
b au
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97Ö
Xj =
v ,j
Z
fts(^)k(v« —:
= |i(v,)
Aj = 0
und demnach hat man die Beziehungen
X, = v „ >-2 = V.J,. . . , X r = v r
Z
..... V)2*<M.....W = X(*„»,......,r)
A |, X2 l . . . , X y = 0
>.| = V ,, X , = v2 (. . . , X y = V y
Z
Xr) 2a(v*->‘..''S-^---.v-V) : 1
X(X„ x2,.
X „ X , ...........Xr = 0
X| ^
V j, X *
V.»,.
•, X y := Vy
^
X ., X , , . . . , X , - =
X (X„X2,...,X r) 2 "
■■■, M + * (v,->,, v2-).2)...,vr -
—
0
/
i
<
(
\
y 1 v* —
oj
%=r
\
o (y ^ > 0
i s
/
X| — V j. Xo — V ,t . . •, X y — V y
V
x2, . ., X,-) 2*<vt-*„v,->-.,. ■wr-M —
).i,x „,...,» .r = 0
=
= V I ,),.. = V ., ,.. ■,
xr
[A2(v p v2,.
-, V,-)
= vr
V
/
1^2
• ’^ r) ‘
1> X 2) •
X|,X2,...,xr ■
0
■ ^ ( V 1— :K> V2 — x 2 ,
v r — X r ) 2 lT> ( v , - x „ v :;- x 2>. . . , v r - x r ) _
v 2, . . . V ,.),
auf Grund deren man aus II) und III) das folgende specielle
T h e o re m ableitet:
S ind/ X K
a\l) ar r) beliebige Functionen der w i l l ­
kürlichen Grössen a\, a)g,.
., a]r, von denen mehrere oder
auch alle zu verschiedenen Indexsystemen ge hö rige gleich sein
können, bezeichnet man dieselben ferner zur A bkü rzu n g mit
/a,.x2,...,xr (X p X 2 >*
X| = vi> X, =
•» X ’
-) u n d
setzt
X,- = vr
/ |
X„X3j...,).r = 0
,X.;,. ..,Xr (X l» X 2 ’■■• ’X,‘
) -- -^(v i > V2> •
•> vr)
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'/| - ■/,, Xo --
97 i
Ä(. -
V
A
• -A ,—>.„v.,
(X |, X2,. . ., X,-) .
X l> v 2■•5
.,v r —>T ( Vl
v »'
= v,. /.3= v.;, . • X}. = v;.
2*(x„)-,-..,V)
V
" x r =o
• X , - A „ v , - Ä , ...... V,.-),. ( Vl — X P V2 ~ X 2» •
A, =
A.. = v.,,. .
•>V r — K ) =
V2, .
V ,)
( V1’ v2> ■
- ) V' )
K , . = 'ir
V
•
’A
, - - A
. =
0
. . V
. . . . .
,
^Vl
Xl ’ V2
X2’ ■
V)
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978
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