Blatt 7 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
06.06.2014
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 7
Abgabe bis 20.06.2014, 15:00 s.t.
Aufgabe 7.1
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
ja
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ G
nein
unerfüllbar.
ja
Die Erfüllbarkeit von Hornformeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
nein
ja
Das Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln(SAT) lässt sich in
nein
polynomieller Zeit in ein semantisch äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem
in 3-KNF (3-SAT) umschreiben.
ja
Die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischer Formeln, die in DNF ist, lässt
nein
sich in linearer Zeit feststellen.
Aufgabe 7.2
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht und
begründen Sie Ihre Antwort kurz.
ja
Es gibt keine endliche, erfüllbare, aussagenlogische Klauselmenge, aus der
nein
man mit dem Resolutionsskalkül die leere Klausel herleiten kann.
Kurze Begründung:
Jede aussagenlogische Formel lässt sich in polynomieller Zeit in eine Hornformeln umschreiben.
Kurze Begründung:
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F unerfüllbar ist.
Kurze Begründung:
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F unerfüllbar und ¬F
tautologisch ist.
Kurze Begründung:
ja
nein
ja
nein
ja
nein
Aufgabe 7.3
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P → Q) ∧ (R ↔ Q)
a) Geben Sie eine Wahrheitstabelle an, in der Sie die Wahrheitswerte für F angeben.
b) Begründen Sie mit Hilfe der Wahrheitstabelle aus a) ob F erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch ist.
Aufgabe 7.4
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (¬P → Q) ↔ (R ∨ Q)
Geben Sie mit Hilfe von Umformungen eine zu F semantisch äquivalente Formel F 0 an,
die in KNF ist.
Aufgabe 7.5
Sei Π = {P, Q, R, S, T, U }. Gegeben seien die folgenden Formeln über Π:
I) F1 = Q ∧ ¬R ∧ (S ∨ ¬T ) ∧ (¬S ∨ R) ∧ (¬Q ∨ T ) ∧ (P ∨ ¬T ∨ ¬P ) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ P )
II) F2 = Q ∧ R ∧ (¬Q ∨ ¬R ∨ P ) ∧ (¬Q ∨ P ∨ T ) ∧ (¬Q ∨ T ∨ ¬P ) ∧ (S ∨ ¬T ∨ ¬P )
a) Welche der Formeln sind Horn-Formeln? Begründen Sie ihre Entscheidung kurz, vollständig und eindeutig.
b) Verwenden Sie, falls möglich, den Markierungsalgorithmus um die (Un-)Erfüllbarkeit
der gegebenen Formeln zu untersuchen. Schreiben Sie die Formeln dazu zuerst in die
bekannte Implikationsschreibweise.
Aufgabe 7.6
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{¬P, R, S}, {Q, ¬P, R}, {¬Q, ¬P, ¬R}, {¬R}, {P }, {¬P, R}}
a) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich die Klauselmenge M ? Begründen Sie kurz
Ihre Antwort.
b) Simplifizieren Sie die Klauselmenge M mit Hilfe der Subsumptionsregel und geben Sie
das Ergebnis der Simplifizierung, M 0 , an.
c) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich M 0 ? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
Aufgabe 7.7
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{¬P, ¬Q, ¬R}, {P, ¬S}, {Q, ¬R}, {R, ¬S}, {S}}
Untersuchen Sie mit Hilfe des Resolutionsskalküls, ob M erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch
ist.
Aufgabe 7.8
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P ∨ (¬P ∧ (¬Q ∧ R))) ∨ ((P ∨ R) → (Q ∧ R))
Zeigen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls dass die Formel F allgemeingültig ist.
Aufgabe 7.9
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P ↔ ¬Q) ∧ (P ↔ R) ∧ (Q → R) ∧ (Q ∨ ¬R)
a) Transformieren Sie die Formel F in eine äquivalente Klauselmenge M .
b) Zeigen Sie mit Hilfe eines Klauseltableau mit starker Konnektionsbedingung und Regularität (Modell-Elimination), dass M unerfüllbar ist.
c) Zeigen Sie mit Hilfe eines Klauseltableau mit schwacher Konnektionsbedingung, dass
M unerfüllbar ist. Das hier von Ihnen hergeleitete Tableau darf nicht mit dem Tableau
aus b) identisch sein.
Hinweis zu Notation: Bei den Klauseltableaux ist es ausreichend, wenn Sie kenntlich machen, was die Elternklausel eines Knotens war, d.h. die verwendeten Regeln müssen nicht
angegeben werden.
Aufgabe 7.10
Sei Π eine Menge von aussagenlogische Variablen und Π0 ⊆ Π . Seien weiterhin A, A0 : Π →
{0, 1} Valuationen mit der Eigenschaft, dass A(P ) = A0 (P ) für alle P ∈ Π0 .
Zeigen Sie mit Hilfe von struktureller Induktion über den Aufbau von aussagenlogischen
Formeln, dass für alle Formeln F , deren Aussagenvariablen alle aus Π0 sind, A(F ) = A0 (F )
gilt.
Hinweis: Die Valuation A0 verhält sich bei zusammengesetzten Formeln, wie in der Vorlesung definiert (aussagenlogik-02.pdf, Seiten 34,36,37).
∗1
∗2
B 225
B 224
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www.uni-koblenz.de/~sofronie
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Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss14logic.html einsehen können.