Technische Universität München, Zentrum Mathematik Algebra für

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Algebra für LG (MA 2103), Winter 2016/2017
Prof. Dr. Gerd Fischer | Dr. Andreas Alpers | Matthias Lehner
Übungsblatt 6
Tutoraufgaben:
Aufgabe 6.1 (Gaußsche Zahlen)
Die Mengen
Z[i] := Z + Zi = {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z} ,
Q(i) := Q + Qi = {a + bi ∈ C | a, b ∈ Q}
mit der gegebenen Addition und Multiplikation komplexer Zahlen sind Teilringe von C. Der Ring Z[i]
wird als Ring der Gaußschen Zahlen bezeichnet.
Zeigen Sie, dass:
(a) Z[i] tatsächlich ein Teilring von C ist.
(b) Q(i) der Quotientenkörper von Z[i] ist.
(c) die Einheitengruppe Z[i]× von Z[i] aus den Elementen ±1 und ±i besteht.
(d) der Restklassenring Z[X] (X 2 + 1) isomorph zu Z[i] ist.
Hausaufgaben:
Aufgabe 6.2 (Unterringe)
Im folgenden ist jeweils ein Ring R und eine Teilmenge S ⊆ R gegeben. Geben Sie jeweils mit kurzer
Begründung an, ob S ein Unterring ist.
(a) R = Z × Z, S = {(a, 0) ∈ R | a ∈ Z}.
(b) R = Z × Z, S = {(a, a) ∈ R | a ∈ Z}.
(
(c) Es sei R der Ring der oberen 2×2 Dreiecksmatrizen über Q, und S =
a 0
0 b
!
)
∈ R | a, b ∈ Q .
(d) R = C20×20 , S = {A ∈ R | Rang(A) < 20}.
(e) R = Q2×2 , S = {A ∈ R | Ax0 = 0} mit x0 := (1, 1)T ∈ Q2 .
(f) R = Z[X], S = {f ∈ R | f (1) + f (2) = 0}.
Aufgabe 6.3 (Ringe und Ringhomomorphismen)
Es seien R und S nicht-triviale (d.h. nicht Null-)Ringe und f : R → S ein surjektiver Ringhomomorphismus. Bestimmen Sie (durch Beweis oder Gegenbeispiel), welche der folgenden Aussagen wahr
oder falsch sind.
(a) Ist R abelsch, so auch S.
(b) Besitzt R ein Einselement, so auch S.
(c) Wenn R und S Einselemente besitzen, so ist f (1) = 1.
(d) Besitzt R Nullteiler, so auch S.
(e) Ist R ein Integritätsring, so auch S.
Bitte wenden!
Aufgabe 6.4 (Nullteilerfrei)
Zeigen Sie für m ≥ 2:
Z/mZ ist nullteilerfrei
⇔
m ist eine Primzahl.
Aufgabe 6.5 (Erzeuger zyklischer Gruppen)
(a) Bestimmen Sie erzeugende Elemente der zyklischen Gruppen Zp× , für p = 2, 3, 5, 7.
(b) Bestimmen Sie in der Gruppe Z7× die Werte ψ(d) für alle 1 ≤ d ≤ 6.
×
(c) Zeigen Sie, dass keines der Elemente aus {1, 2, 3, 4} Erzeuger von Z23
ist.
Aufgabe 6.6 (Polynomdivision)
Dividieren Sie in Q[X] mit Rest:
(a) X n − 1 durch X − 1, wobei n ∈ N.
(b) 2X 4 − 3X 3 − 4X 2 − 5X + 6 durch X 2 − 3X + 1.
(c) X 4 − 2X 3 + 4X 2 − 6X + 8 durch 2X − 1.
(d) 2X 6 − X 5 − 3X 4 − 10X 3 + 3X 2 − X + 10 durch X 3 − 2X − 5.
Aufgabe 6.7 (Nullstellen von Polynomen)
Bestimmen Sie die Nullstellen von X 2 − 1 in Z/8Z und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.
Hinweise:
• Homepage zur Lehrveranstaltung: http://www-m9.ma.tum.de/WS2016/AlgLG
• Abgabe der Hausaufgaben in der Vorlesung am 1.12.2016.