Kombinatorik 1 Kombinatorik Permutationen Permutationen eines Kollektivs Die Funktion Pperm_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Anordnungen oder Permutationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente ergeben, wenn alle n Zahlen oder Elemente des Kollektivs an der Umordnung teilnehmen. Das Charakteristikum der Permutationen ist die Reihenfolge der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen bei der Umordnung. Alle Rechenvorgänge werden mit Hilfe des Rechenprogramms MathCad durchgeführt. Alle für die Rechnung notwendigen Parameter und Variable müssen örtlich vor der Auswertung mit Hilfe der entsprechenden Berechnungsformeln definiert sein. Nach Möglichkeit wird die MathCad-Syntax verwendet. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Auswertung Anzahl der Anordnungen Pperm_a := n! Pperm_a = 6 Berechnung der Anzahl der Anordnungen mit Hilfe von MathCad Pperm_a := permut ( n , n) MathCad-Syntax Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnungen der Elemente 123 132 Pperm_a = 6 213 231 312 321 Permutationen unterschiedlicher Gruppen von Elementen eines Kollektivs Die Funktion Pperm_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Anordnungen oder Permutationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente ergeben, wenn von den insgesamt n Zahlen oder Elementen p1 Zahlen oder Elemente von einer gleichen Art, p2 Zahlen oder Elemente von einer zweiten anderen Art und schließlich pk Zahlen oder Elemente von einer k -ten Art sind, wobei die Summe der Zahlen oder Elemente der Gruppen p1 , p2 bis pk wiederum gleich der Gesamtzahl n der Elemente ist. Das Charakteristikum der Permutationen ist die Reihenfolge der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der jeweils gleichartigen Elemente in den einzelnen Gruppen Die Nummerierung der Gruppen erfolgt mit dem Index i = 0, 1, 2 . . .k -1. Die Gruppenzahlen p sind sind in einer Matrix zusammengestellt. Bei Verwendung des Rechenprogramms MathCad beginnt die Indizierung der Feldelemente der Matrix bei der Einstellung ORIGIN = 0 (Startindex) mit Null. Durch die Verwendung der Matrix für die Gruppenzahlen p0 , p1 . . . pk-1 als Elemente wird die Anwendung der Rechenoperatoren der iterativen Addition Σ und Multiplikation Π ermöglicht. Anzahl der gleichen Elemente je Gruppe (Matrix nach MathCad) Anzahl der Gruppen mit jeweils gleichen Elementen Gesamtzahl der Elemente (Iterative Addition nach MathCad) 19.5.2004 1 2 p := p0 = 1 p1 = 2 ORIGIN = 0 k := 2 k −1 n := ∑ pi n=3 i = 0 Kombinatorik.mcd Kombinatorik Auswertung n! Pperm_b := Ausgangsmenge der Elemente Mögliche Anordnung der Elemente Pperm_b = 3 k −1 ∏ Anzahl der Permutationen (Iterative Multiplikation nach MathCad) 2 ORIGIN = 0 pi! i = 0 122 122 Rechenbeispiel 212 1 p := 2 1 Parameter und Variable Anzahl der gleichen Elemente je Gruppe Anzahl der Gruppen mit jeweils gleichen Elementen k := 3 Gesamtzahl der Elemente n := 221 p0 = 1 p1 = 2 p2 = 1 k −1 ∑ n=4 pi i = 0 Auswertung n! Pperm_b := Anzahl der Permutationen Pperm_b = 12 k −1 ∏ ORIGIN = 0 pi! i = 0 Ausgangsmenge der Elemente 1223 Mögliche Anordnung der Elemente 1223 3221 1322 3122 1232 2321 2231 2213 2123 2132 3212 2312 Kombinationen Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen Die Funktion Pkom_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen gleicher Größe zu p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen, d.h. jede Zahl oder Element darf in der Gruppe nur einmal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Anzahl der Elemente je Gruppe p := 2 n P kom _ a = p Binominalkoeffizient Auswertung Anzahl der Kombinationen 0≤p≤n=1 Boolescher Operator Pkom_a := n! p! ⋅ ( n − p)! Pkom_a = 3 Berechnung der Anzahl der Kombinationen mit Hilfe von MathCad MathCad-Syntax 19.5.2004 0≤p≤n=1 Boolescher Operator Pkom_a := combin ( n , p) Binominalkoeffizient Pkom_a = 3 Kombinatorik.mcd Kombinatorik Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnung der Elemente 12 13 3 23 Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen Die Funktion Pkom_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen gleicher Größe zu p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen, d.h. jede Zahl oder Element darf in der Gruppe bis zu p-mal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Anzahl der Elemente je Gruppe p := 2 Boolescher Operator n + p − 1 n + p − 1 Pkom _ b = = p n −1 Binominalkoeffizient 0≤p≤n=1 Auswertung Pkom_b := Anzahl der Kombinationen ( n + p − 1)! Pkom_b = 6 p! ⋅ ( n − 1)! Berechnung der Anzahl der Anordnungen mit Hilfe von MathCad 0≤p≤n=1 Boolescher Operator Anzahl der Kombinationen MathCad-Syntax Pkom_b := combin [ ( n + p − 1) , p] Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnungen der Elemente 11 12 13 23 Binominalkoeffizient 22 Pkom_b = 6 33 Bei der experimentellen Nachprüfung des Ergebnisses muss die Ausgangsmenge der Elemente wegen der Wiederholungen p-mal vorhanden sein. Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, mit variabler Gruppengröße und ohne Wiederholungen Die Funktion Pkom_c gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen variabler Größe von 1 bis p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen, d.h. jede Zahl oder Element darf in der Gruppe nur einmal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Auswertung Anzahl der Kombinationen n Pkom_c := 2 − 1 Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnung der Elemente 1 19.5.2004 2 3 12 Pkom_c = 7 13 23 123 Kombinatorik.mcd Kombinatorik 4 Variationen Variationen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung Die Funktion Pvar_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Variationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen zu je p Elementen ergeben. Das Charakteristikum der Variationen ist die Reihenfolge der Elemente in den einzelnen Gruppen der Ausgangsmenge bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Anzahl der Elemente je Gruppe p := 2 Auswertung Pvar_a := Anzahl der Variationen n! ( n − p)! n Pvar_a = p ! p Pvar_a := p! ⋅ combin ( n , p) Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnungen der Elemente 12 13 23 21 31 Pvar_a = 6 Pvar_a = 6 MathCad-Syntax 32 Soll die gesamte Ausgangsmenge variiert werden, handelt es sich um eine Permutation. Dann gilt n = p. Variationen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung Die Funktion Pvar_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Variationen an, die sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen gleicher Größe zu je p Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen, d.h. jede Zahl oder jedes Element darf in der Gruppe bis zu p-mal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der Variationen ist die Reihenfolge der Elemente in den einzelnen Gruppen der Ausgangsmenge bei der Umordnung. Rechenbeispiel Parameter und Variable Anzahl der Elemente n := 3 Anzahl der Elemente je Gruppe p := 2 Auswertung Anzahl der Variationen p Pvar_b := n Ausgangsmenge der Elemente 123 Mögliche Anordnungen der Elemente 11 12 Pvar_b = 9 13 22 23 33 21 31 32 Bei der experimentellen Nachprüfung des Ergebnisses muss die Ausgangsmenge der Elemente wegen der Wiederholungen p-mal vorhanden sein. Verteilungen Verteilung von gleichartigen Kugeln auf Kästen N gleiche Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen so verteilt, dass alle möglichen Verteilungen vorkommen. Jeder Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle verfügbaren Kugeln fassen kann. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln auf die Kästen zu verteilen, beträgt N + n − 1 N + n − 1 P vert _ a = = N n −1 P vert _ a = combinN ( + n − 1,N ) = combin(N + n − 1, n − 1) MathCad-Syntax 19.5.2004 Kombinatorik.mcd Kombinatorik Verteilung von N = 3 gleichartigen Kugeln auf n = 3 Kästen mit k = 10 Möglichkeiten der Umstellung Vorratsbehälter für N Kugeln n2 n3 k n1 1 3 0 0 2 0 3 0 3 0 0 3 4 2 1 0 5 1 2 0 6 2 0 1 7 1 0 2 8 0 2 1 9 0 1 2 10 1 1 1 5 Rechenbeispiel Variable und Parameter Auswertung N := 3 n := 3 MathCad-Syntax Pvert_a := combin ( N + n − 1 , N) Pvert_a = 10 Die Verteilung Pvert_a entspricht formelmäßig der Kombination Pkom_b. Verteilung von gekennzeichneten Kugeln auf Kästen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Verteilung von N = 3 gekennzeichneten Kugeln auf n = 3 Kästen mit P vert_b = 27 Möglichkeiten 1 1 2 1 2 3 3 Vorratsbehälter für N Kugeln 1 2 2 3 1 3 2 4 1 2 3 5 1 3 2 6 2 3 1 7 2 1 8 3 1 3 2 9 3 2 3 10 1 2 3 11 1 13 1 3 2 14 1 2 19.5.2004 2 Auswertung Pvert_b = 27 3 2 2 3 2 1 3 1 2 1 Anzahl der Kästen 3 3 26 27 2 2 2 n := 3 N 3 1 24 Anzahl der nummerierten Kugeln Pvert_b := n 1 23 N := 3 3 1 1 3 3 3 21 25 1 2 20 22 3 1 1 2 1 18 19 1 2 17 Variable und Parameter 2 1 3 2 Rechenbeispiel 2 15 16 Pv e r t _ b = n N 1 3 12 3 N gekennzeichnete (nummerierte) Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen so verteilt, dass alle Verteilungsmöglichkeiten ausgeschöpft werden. Die Reihenfolge der Kugeln innerhalb eines Kastens spielt keine Rolle. Jeder Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle Kugeln fassen kann. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln zu verteilen, beträgt 3 1 2 3 Kombinatorik.mcd Kombinatorik 6 Verteilung von gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit höchstens einer Kugel je Kasten N gleichartige Kugeln werden auf gruppenweise angeordnete Kästen so verteilt, dass auf jeden Kasten nur eine Kugel entfällt. Es existieren zwei Gruppen mit einer Anzahl von r bzw. w Kästen. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf die Kästen in der r-Gruppe k Kugeln entfallen beträgt Qvert_c. Der Zusammenhang mit der relativen Häufigkeit ist erkennbar. Rechenbeispiel Variable und Parameter N := 2 Anzahl der Kugeln r := 3 Anzahl der roten Kästen w := 2 Anzahl der weißen Kästen k := 0 .. N Zufallsvariable Auswertung Kombinatorische Anzahl Pvert_c := combin ( r + w , N) Pvert_c = 10 MathCad-Syntax Wahrscheinlichkeit Qvert_c ( k ) := combin ( r , k ) ⋅ combin ( w , N − k ) combin ( r + w , N) k = N≤r N≤w combin ( r + w , N) = 10 N≤r+ w combin ( r , k ) = combin ( w , N − k ) = Qvert_c ( k ) = 0 1 1 0.1 1 3 2 0.6 2 3 1 0.3 N ∑ N ∑ Qvert_c ( k ) = 1 k = 0 combin ( r , k ) ⋅ combin ( w , N − k ) = 10 k = 0 Es gibt also 10 Möglichkeiten die beiden Kastengruppen in der angegebenen Weise mit Kugeln zu füllen. In der folgenden Darstellung sind die 10 Möglichkeiten aufgeführt. Die Wahrscheinlchkeit dafür, dass auf die w-Gruppe k Kugeln entfallen, beträgt Qvert_g. Qvert_g ( k ) := combin ( w , k ) ⋅ combin ( r , N − k ) combin ( r + w , N) 1 N ∑ combin ( w , k ) = Qvert_g ( k ) = 1 k = 0 Qvert_g ( k ) = 0.3 2 1 0.6 0.1 19.5.2004 Kombinatorik.mcd Kombinatorik 7 Verteilung von N = 2 gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit einer Anzahl von r = 3 roten und w = 2 weißen Kästen mit höchstens einer Kugel je Kasten 3 rote Kästen 4 weiße Kästen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vorratsbehälter für N Kugeln x x Z.B. liegt in den roten Kästen 6 mal eine Kugel. x x x x Verteilung von gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit beliebiger Anzahl von Kugeln je Kasten N gleichartige Kugeln werden auf gruppenweise angeordnete Kästen so verteilt, dass alle Verteilungsmöglichkeiten ausgeschöpft werden. Es existieren zwei Gruppen von Kästen mit einer Anzahl von r bzw.w Kästen. Jeder Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle Kugeln erfassen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf die r-Gruppe (rote Kästen) k Kugeln entfallen und auf die w -Gruppe (weiße Kästen) N-k Kugeln, beträgt Qvert_d. Die Beziehung hat Ähnlichkeit mit der Binominalverteilung. Rechenbeispiel Variable und Parameter N := 3 Anzahl der Kugeln k := 0 .. N Zufallsvariable r := 3 Anzahl der roten Kästen w := 2 Anzahl der weißen Kästen Auswertung Kombinatorische Anzahl k N−k Pvert_d ( k ) := combin ( N , k ) ⋅ r ⋅ w k = MathCad-Syntax Pvert_d ( k ) = 0 8 1 36 2 54 3 27 N ∑ Pvert_d ( k ) = 125 ( r + w) k = 0 N = 125 Wahrscheinlichkeit k r ⋅ 1 − r r + w r + w Qvert_d ( k ) := combin ( N , k ) ⋅ 19.5.2004 N−k N MathCad-Syntax ∑ Qvert_d ( k ) = 1 k = 0 Kombinatorik.mcd Kombinatorik k = 8 Qvert_d ( k ) = 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 0.6 0.4 Qvert_d( k ) 0.2 0 2 4 k Verteilung von N = 3 gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit einer Anzahl von r = 3 roten und w = 2 weißen Kästen und beliebiger Anzahl von Kugeln je Kasten 3 rote Kästen 2 weiße Kästen 1 2 : 125 Vorratsbehälter für N Kugeln und so weiter Der Zusammenhang der Wahrscheinlichkeit mit der relativen Häufigkeit zeigt folgende Beziehung. Qvert _ d = N k N −k ⋅r ⋅w k (r + w ) N Verteilung von gekennzeichneten Kugeln in unterteilten Kästen N gekennzeichnete (nummerierte) Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen mit unterschiedlicher Anzahl von z 1 , z 2 , . . . Fächern so verteilt, dass auf den ersten Kasten N1 , auf den 2. Kasten N2 usw. Kugeln entfallen. Die Vielzahl der Verteilungsmöglichkeiten wird durch kombinatorische Anzahl Pvert_e angegeben. n Pvert _ e = N !∏ i =1 N zi i Ni ! n N = ∑ Ni i =1 n z = ∑ zi i =1 Rechnungsgang Variable und Parameter N1 := 1 Anzahl der Kugeln für den Kasten 1 N2 := 2 Anzahl der Kugeln für den Kasten 2 z 1 := 2 Anzahl der Fächer im Kasten 1 z 2 := 3 Anzahl der Fächer im Kasten 2 n := 2 Anzahl der Kästen Auswertung Die kombinatorische Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln in der vorgegebenen Weise in die Kästen einzufüllen, beträgt n Pvert_e := i = ∑ 19.5.2004 1 n Ni ! ⋅ i= ∏ 1 ( z i) Ni Ni! n Pvert_e = 54 ∑ .Ni = 3 i = 1 n i = ∑ 1 Ni ! = 6 n ∏ i = 1 ( z i) Ni Ni! =9 . Kombinatorik.mcd Kombinatorik 9 Verteilungen von gekennzeichneten Kugeln in unterteilten Kästen Kasten 1 mit z 1 = 2 Fächern und N 1 = 1 Kugeln Fach 1 Fach 2 Kasten 2 mit z 2 = 3 Fächern und N 2 = 2 Kugeln Fach 3 Fach 4 Fach 5 123 Vorratsbehälter für N=N 1+N 2 Kugeln 23 13 12 1 2 3 3 Umstellg. im Kasten 1 und 2 1 2 Umstellg. im Kasten 1 1 23 2 2 3 3 23 2 2 3 3 23 2 2 3 3 9 Umstellg. im Kasten 2 2 x 9 = 18 Umstellg. in den Kästen 1 und 2 3 x 18 = 54 Umstellg. insgesamt Die Umstellungen der Kugeln in den Kästen 1 und 2 sind von übergeordneter Art und die Umstellungen in den Fächern 1 bis 5 von untergeordneter Art. Diese Verteilung spielt in der Thermodynamik eine Rolle. Verteilung von gleichartigen Kugeln in unterteilten Kästen N gleichartige Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen mit unterschiedlicher Anzahl von z 1 , z 2 , . . . Fächern so verteilt, dass auf den ersten Kasten N1 , auf den 2. Kasten N2 usw. Kugeln entfallen. Die Vielzahl der Verteilungsmöglichkeiten wird durch kombinatorische Anzahl Pvert_f angegeben. n N i + z i − 1 Pvert _ f = ∏ Ni i =1 n N = ∑ Ni i =1 n z = ∑ zi i =1 Rechnungsgang Variable und Parameter N1 := 1 Anzahl der Kugeln für den Kasten 1 N2 := 2 Anzahl der Kugeln für den Kasten 2 z 1 := 2 Anzahl der Fächer im Kasten 1 z 2 := 3 Anzahl der Fächer im Kasten 2 n := 2 Anzahl der Kästen Auswertung Die kombinatorische Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln in der vorgegebenen Weise in die Kästen einzufüllen, beträgt 19.5.2004 Kombinatorik.mcd Kombinatorik n Pvert_f := ∏ ( combin Ni + z i − 1 , Ni ) Pvert_f = 12 . 10 MathCad-Syntax . i = 1 ( ) combin N1 + z 1 − 1 , N1 = 2 ( ) combin N2 + z 2 − 1 , N2 = 6 Verteilungen von gleichartigen Kugeln in unterteilten Kästen Kasten 1 mit z 1 = 2 Fächern und N 1 = 1 Kugeln Kasten 2 mit z 2 = 3 Fächern und N 2 = 2 Kugeln Vorratsbehälter für N =N 1 +N 2 Kugeln Fach 1 Fach 2 Fach 3 Fach 4 Fach 5 keine Umstellg. 2 Umstellg. im Kasten 1 6 Umstellg. im Kasten 2 2 x 6 = 12 Umstellg. in den Kästen 1 und 2 Diese Verteilung spielt in der Thermodynamik eine Rolle. 19.5.2004 Kombinatorik.mcd