Physik für Informatiker Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Physik für Informatiker
Vorlesung gehalten an der ETH Zürich
1 Einleitung
1.1
FS 2009
1.2
120
Physik, FS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.3
z
A
h
v=0
2R
B
N
mg
mg
1.4
N
mg
N
1.5
x
mg
Abbildung 4.8: Bei der Bewegung in einer Schleife auftretende Kräfte.
schwindigkeit, während er sich abwärts bewegt, und verliert Geschwindigkeit,
wenn er sich aufwärts bewegt.
1.6
In jedem Punkt der Bahn wirken zwei Kräfte auf den Ball (siehe Abb. 4.8):
Prof. Dr. André Rubbia
1. Die Gravitationskraft mg, die stets nach unten zeigt.
19. Februar 2009
2. Die von der Bahn ausgeübte Normalkraft N , deren Richtung von der
Position des Balls abhängt.
Wir bemerken:
Am höchsten Punkt der Schleife zeigen die Gravitationskraft und die Normalkraft in dieselbe Richtung und nach unten“.
”
Die Kreisbewegungsgleichung (Siehe Kap. 2.7.1) besagt, dass die Beschleunigung des Balls, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis bewegt, die
folgende sein muss:
v2
a=
(4.48)
R
wobei R der Radius der Kreisschleife ist. Damit ist die resultierende Kraft, die
auf den Ball wirkt, gleich
N + mg = ma = m
v2
r
1
1.1.1
Ziel der Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Die experimentelle Methode und die Einheiten . . . . . . . . . .
5
1.2.1
Das SI-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Einheit des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Der Raum und die Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.1
Der Raum = Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Die Zeit = Dauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1
N
(4.49)
1.7
1
Warum Physik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2
Die Kugelkoordinaten
1.4.3
Übergang zwischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1
Die Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1
Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.3
Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.4
Gleichungen für die Ableitung von Vektoren . . . . . . . 23
Basisvektoren und Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1
Die kartesischen Basisvektoren und die Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2
Lokales System in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . 26
3
4
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
2 Kinematik
2.1
2.3
31
3.5.1
Die Definition der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.2
Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung . . . . . . 70
Massenpunkte oder Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6
Das dritte Newtonsche Gesetz: Aktion = Reaktion . . . . . . . . 71
Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7
Anwendungen: Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . 71
2.2.1
Der Begriff der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7.1
2.2.2
Die momentane Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.2
Der Rückstoss von Eiskunstläufern . . . . . . . . . . . . 73
2.2.3
Der Begriff der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.3
Raketenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Integration der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1
2.4
2.5
Anwendungen: Kontaktkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8.1
Körper, die sich aufeinander befinden . . . . . . . . . . . 79
3.8.2
Ein hängendes Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Gleichförmige, geradlinige Bewegung . . . . . . 36
2.3.1.2
Gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8.3
Die schiefe Ebene: statischer Fall . . . . . . . . . . . . . 83
Beschleunigung durch die Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8.4
Eine Rückstellkraft: Die Federkraft . . . . . . . . . . . . 84
Bewegung in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8.5
Die Spannung: Fadenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Der Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9
Anwendung: Berechnung der Bewegungen . . . . . . . . . . . . 89
Der Verschiebungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9.1
Die reibungsfreie schiefe Ebene: dynamischer Fall . . . . 89
2.5.3
Der Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9.2
Bewegung mit Rollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.5.4
Der Beschleunigungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.3
Die Atwoodsche Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5.2
2.7
3.8
Einige spezielle Bewegungsvorgänge . . . . . . . . . . . . 36
Ein freier Körper im Weltraum . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.1.1
2.5.1
2.6
5
Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1
2.2
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Zerlegung und Integration der Bewegung . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Eine fundamentale Kraft: Das Newtonsche Gravitationsgesetz . 94
2.6.1
Demonstrationsexperiment: Wurf im bewegten System . 49
3.10.1 Die Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6.2
Demonstrationsexperiment: Schuss auf fallende Platte . . 52
3.11 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Die gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.11.1 Der Drehimpuls eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . 98
2.7.1
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11.2 Das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3 Dynamik
61
3.1
Die Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1
Die Definition der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.12.1 Anwendung: das Flächengesetz . . . . . . . . . . . . . . 104
Träge und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.13 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Der lineare Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.13.1 Eine sinusförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.1
3.1.2
3.2
3.11.3 Erhaltung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.12 Drehimpuls and Zentrale Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Definition des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.13.2 Die Periode der Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Die Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13.3 Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . 110
3.3.1
Das allgemeine Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13.4 Anfangsbedingung bei ber harmonischen Bewegung . . . 114
3.4
Das erste Newtonsche Gesetz: Trägheit . . . . . . . . . . . . . . 68
3.13.5 Die Kraft bei der harmonischen Bewegung . . . . . . . . 114
3.5
Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionsprinzip . . . . . . . . . . 68
3.13.6 Differentialgleichung der harmonischen Bewegung . . . . 115
3.3
6
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
4 Energie
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
7
119
5.2
Beschreibung der eindimensionalen Wellenausbreitung . . . . . . 163
4.1
Definition der Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3
Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2
Die relativistischen Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4
4.2.1
Die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit . . . . 121
4.2.2
Der Geschwindigkeitsparameter . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.3
Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 167
5.4.1
Beziehung zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit und
Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Der relativistische Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.2
Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3
Die Masse-Energie-Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.3
4.4
Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Anwendung: Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler
elastischer Seilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.5
Die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls . . . 131
4.6
Potentielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.7
Anwendung: Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.1
4.8
4.9
Bewegung in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . 140
4.8.3
Arbeit der Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.8.4
Arbeit der Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Allgemeine potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9.1
Konservative und nicht-konservative Kräfte . . . . . . . . 145
6.3
Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.3.1
Protonen, Neutronen und Elektronen . . . . . . . . . . . 188
6.3.2
Das Elektronvolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3.3
Das Atom und die Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3.4
Struktur der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3.5
Die Isotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.4
Die Avogadro-Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5
Die elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.14 Allgemeine potentielle Energie der Gravitationskraft . . . . . . . 157
159
Was sind Wellen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
185
Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.13 Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie: Der Gradient 152
5.1
Wellenfunktionen stehender Wellen . . . . . . . . . . . . 181
6.2
4.12.1 Die Fluchtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5 Mechanische Wellen
Eigenschwingungen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.7.2
Die Phasen der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.12 Anwendung: Arbeit-Energie-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.13.3 Die geometrische Interpretation des Gradienten . . . . . 156
5.7.1
6.1
4.11 Die mechanische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.13.2 Die Kraft als Gradient der potentiellen Energie . . . . . 153
Anwendung: Superposition harmonischer Wellen . . . . . 178
Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Materie, Atome und Moleküle
4.10 Das Arbeit-Energie-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.13.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Longitudinale elastische Welle im Festkörper . . . . . . . 174
Prinzip der Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.6.1
5.7
Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.8.2
Wellen im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.5.1
5.6
Bewegung eines Balles in einer Kreisschleife . . . . . . . 136
Die Arbeit, die eine Kraft leistet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.8.1
5.5
6.6
6.5.1
Elektrische Ladung der elementaren Teilchen . . . . . . . 194
6.5.2
Leiter und Nichtleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.5.3
Elektrostatische Aufladung von Körpern . . . . . . . . . 197
Das Coulombsche Gesetz: die elektrostatische Kraft . . . . . . . 200
5.1.1
Beispiel: Seilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6.1
Gravitation versus elektrische Kraft . . . . . . . . . . . . 203
5.1.2
Beispiel: Wellenausbreitung im Masse-Feder-System . . . 161
6.6.2
Die elektrische potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . 205
5.1.3
Beispiel: Wellenausbreitung in einem Gas . . . . . . . . . 162
6.7
Das klassische Atom-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
6.7.1
Die experimentelle Entdeckung des Kerns der Atome
(1910) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.7.2
Spektroskopie von isolierten Atomen . . . . . . . . . . . 207
6.7.3
Spektroskopie des atomaren Wasserstoffs . . . . . . . . . 209
8.4
6.7.4
Die Bohrsche Theorie des Wasserstoffatoms (1913)
8.5
7 Temperatur, Gase und das Konzept der Wärme
7.1
7.2
7.3
7.4
7.6
221
7.1.1
Das Gasthermometer und die Definition des Druckes . . 222
7.1.2
Gesetz von Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1.3
Gesetz von Boyle und Mariotte . . . . . . . . . . . . . . 223
Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala . . . . . . . . . . 224
7.2.1
Definition der Kelvin-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.2.2
Definition der Celsius-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.6
Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.3.1
Eigenschaften der Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . 228
7.3.2
Gesetze der Wärmestrahlung
7.3.3
Das Spektrum der Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . 233
7.3.4
Bedeutung der Planckschen Konstanten
7.3.5
Anwendung: die Thermographie . . . . . . . . . . . . . . 237
. . . . . . . . . . . . . . . 229
9.1
7.5.1
Definition der Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . 243
7.5.2
Wärmekapazität eines (einatomigen, idealen) Gases . . . 244
7.5.3
Wärmekapazität eines Festkörpers . . . . . . . . . . . . . 244
Isotherme Ausdehnung und Umwandlung von Wärme in
mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.3.3
Adiabatische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Wärmemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . 262
8.5.1
Der Carnotsche Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.5.2
Der Wirkungsgrad der Carnotschen Wärmemaschine . . 266
8.5.3
Wärmemaschine mit maximalem Wirkungsgrad . . . . . 267
8.5.4
Das Konzept der Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . 268
8.5.5
Thermische Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.5.6
Mechanische Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.5.7
Freie und isotherme Expansion des Gases . . . . . . . . . 273
Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.6.1
Die Definition der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.6.2
Entropie und Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . 276
279
Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.1.1
Transformation von einem Bezugssystem ins andere . . . 279
9.2
Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3
Die Galileische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Die Zustandsgleichung für ideale Gase . . . . . . . . . . 238
Wärmeenergie und Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9
8.3.2
9 Relativität
. . . . . . . . . 235
Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.3.1
Komponentendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.4
Das Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.5
Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle . . . . 286
9.6
Latente Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.6.1
Das Michelson-Morley Experiment . . . . . . . . . . . . 291
9.6.2
Das Postulat der konstanten Lichtgeschwindigkeit . . . . 293
249
9.7
Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . 249
9.8
Die spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8 Thermodynamik
8.1
. . . 213
Die Temperatur und das Gasthermometer . . . . . . . . . . . . 221
7.4.1
7.5
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Definition der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.8.1
Prinzip der Relativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.8.2
Die Einsteinschen Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.2
Mechanische Arbeit eines expandierenden Gases . . . . . . . . . 252
9.8.3
Invarianz des Raumzeit-Intervalls . . . . . . . . . . . . . 298
8.3
Thermische Prozesse des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . 253
9.8.4
Eigenzeit und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.3.1
9.8.5
Der ganze Weltraum gehört uns . . . . . . . . . . . . . . 303
8.1.1
8.1.2
Isobare Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11
9.8.6
Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.6.5 Das Theorem von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.8.7
Die Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . . . . . . 305
10.7 Die Ladungs- und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.8.8
Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.7.1 Die Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10 Elektromagnetismus
311
10.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.7.2 Die vektorielle Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.8 Die Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.9 Das Gausssche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.9.1 Der elektrische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.2.2 Elektrische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.9.2 Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Oberfläche,
die eine Punktladung umfasst . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.2.3 Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential 313
10.9.3 Gausssches Gesetz für das elektrische Feld . . . . . . . . 344
10.2.4 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.3 Das magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.9.4 Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe des
Gaussschen Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3.1 Der Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.10Divergenz des Magnetfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.3.2 Elektrische Ladung und magnetisches Feld . . . . . . . . 317
10.11Das Ampèresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.3.3 Magnetische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.11.1 Das Ampèresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.3.4 Magnetisches Feld eines Stroms durch einen langen Draht 318
10.12Gesetz von Faraday (Induktionsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . 348
10.3.5 Magnetisches Feld eines Stroms durch einen Ring . . . . 319
10.12.1 Die induzierte Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
10.3.6 Magnetisches Feld eines Solenoids . . . . . . . . . . . . . 319
10.12.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.3.7 Magnetisches Feld eines Torus . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.12.3 Induktion durch Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.4 Elektrische Ladung in elektrischen und magnetischen Feldern . . 321
10.13Die elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.4.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.13.1 Harmonische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.4.2 Beschleunigung durch ein elektrisches Potential . . . . . 322
10.13.2 Das elektromagnetische Spektrum . . . . . . . . . . . . . 359
10.4.3 Bewegung einer Punktladung in einem elektrischen Feld . 323
10.14Die Polarisation des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.4.4 Bewegung einer Punktladung in einem magnetischen Feld 323
10.14.1 Polarisationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5 Der elektrische Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.14.2 Polarisator und Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.5.2 Mikroskopische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . 326
11 Quantenmechanik
369
10.5.3 Kraft auf einen elektrischen Strom . . . . . . . . . . . . 327
11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.5.4 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern . . . . . . . . . . 327
11.2 Die Beugung einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.6 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.2.1 Das Prinzip von Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.6.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.2.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.6.2 Der Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.2.3 Position des ersten Minimums . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.6.3 Die Definition des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.6.4 Das Theorem von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.2.4 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.3 Licht als Welle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
12
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11.3.1 Youngsches Experiment: Interferenz der elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.3.2 Beugung des Lichts an einem Spalt . . . . . . . . . . . . 379
11.4 Die Quantisierung des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.4.1 Der photoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.4.2 Definition des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Abbildungsverzeichnis
11.4.3 Erklärung des photoelektrischen Effekts . . . . . . . . . . 384
11.4.4 Masse des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11.4.5 Spin des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
1.1
Computersimulation des Falls eines Zylinders. . . . . . . . . . .
3
11.5 Die Wellennatur der Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
1.2
Computersimulation
der
Raumverteilung
von
Atomen
in
SiliziumNanokristallen
(http://www.cscs.ch/about/RGP/Research/) für zwei bestimmte externe Drücke (links: kein externer Druck, rechts:
externer Druck gleich 22 Gigapascal). . . . . . . . . . . . . . . .
4
11.7 Elektronenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
1.3
Der Prototyp des Kilogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
11.8 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
1.4
Der ebene Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
11.8.1 Ein Elektron in einem Kasten . . . . . . . . . . . . . . . 396
1.5
Ein Gitter im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.8.2 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
1.6
Definition des kartesischen Koordinatensystems mit drei zueinander senkrechten Achsen und entsprechendem Gitter. . . . . . 12
1.7
Kartesische Koordinaten in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . 13
11.8.5 Die Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . 405
1.8
Kartesische Koordinaten in drei Dimensionen. . . . . . . . . . . 14
11.8.6 Reduktion der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 409
1.9
Kugelkoordinaten in drei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . 14
11.5.1 Die Hypothese von de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.5.2 Elektron durch Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 388
11.6 Röntgenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
11.8.3 Ein freies Teilchen in einer Dimension . . . . . . . . . . . 403
11.8.4 Die stationären Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11.9 Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
1.10 Übergang zwischen Kugel- und kartesischen Koordinaten. . . . . 15
11.10Der Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
1.11 Ein Vektor stellt eine Verschiebung im Raum dar. . . . . . . . . 16
11.11Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
1.12 Kommutativität der Vektoraddition. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11.11.1 Wasserstoffatom mit Schrödinger-Gleichung . . . . . . . 421
1.13 Assoziativität der Vektoraddition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11.11.2 Die stationären Zustände des Wasserstoffatoms . . . . . 425
1.14 Entgegengesetzter Vektor −a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11.11.3 Drehimpuls and magnetische Wechselwirkung . . . . . . 427
1.15 Subtraktion von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11.12Eigendrehimpuls (Spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
1.16 Skalarprodukt zweier Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11.12.1 Spin des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.12.2 Spin des Protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
1.17 Projektion von a auf b und Projektion von b auf a zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . 19
11.12.3 Spin und Mehrelektronenatome . . . . . . . . . . . . . . 431
1.18 Das Vektorprodukt und die Rechte-Hand-Regel. . . . . . . . . . 20
11.13Das EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
1.19 Zur Definition der Ableitung f ! (x). . . . . . . . . . . . . . . . . 22
!x
1.20 Zur Definition des Integrals x0n f (x) dx. . . . . . . . . . . . . . 22
11.14Eine weitere Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
1.21 Definition der kartesischen Einheitsvektoren. . . . . . . . . . . . 24
13
14
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.22 Geometrische Definition der lokalen Einheitsvektoren im Kugelkoordinatensystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
15
3.2
Ein Rückstossversuch: a) Anfangszustand b) Faden zerschnitten. 63
3.3
1.23 Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Waage. Wenn die zwei Massen gleich sind, wird der Stab stillstehen. Der Stab ist im Gleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4
1.24 Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Die Beschleunigung des Balles ist zum Zentrum des Kreises hin
gerichtet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5
Bahnkurve der künstlichen Satelliten Voyager 1 und 2. . . . . . 72
1.25 Zerlegung eines Vektors in seine kartesischen Komponenten. . . 29
3.6
Rückstoss der Eiskunstläufer. Der Gesamtimpuls wird erhalten.
Da die Masse des Mannes doppelt so gross ist wie die des Jungen, beträgt seine Geschwindigkeit nur die Hälfte derjenigen des
Jungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7
Prinzip des Raketenantriebs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.8
Rückstossexperiment: Durch den Rückstoss wird der Wagen und
der Mensch nach vorne getrieben. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9
Raketenantrieb: Geschwindigkeit der Rakete v als Funktion der
ausgestossenen Massen für 3 verschiedene Ausstossgeschwindigkeiten u = 50 m/s (obere gestrichelte Kurve), 100 m/s (kontinuierliche Kurve) und 200 m/s (untere gestrichelte Kurve). Die
horizontale Linie entspricht einer Geschwindigkeit von v =100 m/s. 76
2.1
Koordinatensystem mit Ursprung O für die Beschreibung der
Bewegung in einer Dimension. Die positive Richtung wurde nach
rechts gewählt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
Gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung: die Lage
x(t), die Geschwindigkeit v(t) und die (konstante) Beschleunigung a(t) = 3 m/s2 wurden im Plot aufgetragen (für t0 = x0 =
v0 = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3
Demonstrationsexperiment: Fallversuch. . . . . . . . . . . . . . 39
2.4
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: erwartete Fallzeit als
Funktion der Höhe für (a) g=9,81 m/s2 , (b) g=2 × 9, 81 m/s2 ,
(c) g = gM ond = 1,67 m/s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5
Bewegung eines Massenpunkts auf einer Bahnkurve Γ . . . . . . 41
3.10 Wasser fliesst durch das Rohr. Wir schauen die Auslenkung des
Glasrohrs an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6
Darstellung der Verschiebungsvektoren si und der Ortsvektoren
r i in den 2-dimensionalen kartesischen Koordinaten. . . . . . . . 42
3.11 Kugeln werden vom Wagen losgelassen. Wir beobachten die Bewegungsrichtung der Kugeln nachdem sie losgelassen wurden. . . 79
2.7
Definition der momentanen Geschwindigkeit v(t). Die ganze Bewegung auf der Parabel dauert 2 Sekunden. Die folgenden Zeitintervalle werden betrachtet: ∆t = 0,8 s, 0,4 s und 0,2 s. Je
kleiner ∆t ist, desto mehr nähert sich der mittlere Geschwindigkeitsvektor v 0 dem momentanen Geschwindigkeitsvektor v(t).
Der Grenzwert ∆t → 0 führt zur zeitlichen Ableitung dr/dt. . . 44
2.8
2.9
3.12 Aufeinander befindliche Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.13 Aufeinander befindliche Körper mit markierten Schwerpunkten
und Kräftediagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.14 Hängendes Gewicht und dazugehörige Kräfte. . . . . . . . . . . 82
3.15 Die schiefe Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
a) Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, b) lineare und c)
Kreisbeschleunigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.16 Demonstrationsexperiment: An einer Feder aufgehängte Massen. 85
Wurf im bewegten System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.18 Federkraft-Diagramm. Weil die Federkraft versucht, die Feder in
ihren ursprünglichen Zustand zurückzuführen, spricht man von
Rückstellkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.10 Wurf im bewegtem System: Bahnkurven der Kugel und des Wagens (Viereck) in der x, y-Ebene für 4 verschiedene horizontale
Anfangsgeschwindigkeiten v0x = 0, 2, 4, 6 m/s. . . . . . . . . . . 51
3.17 An einer Feder aufgehängte Massen. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.19 Fadenkraft. Zwei Menschen ziehen am Faden. . . . . . . . . . . 88
2.11 Schuss mit Kanone auf fallende Platte. . . . . . . . . . . . . . . 53
3.20 Beschleunigte Bewegung auf schiefer Ebene. . . . . . . . . . . . 90
2.12 Koordinatensystem beim Schuss mit der Kanone. . . . . . . . . 54
3.21 Messung der Beschleunigung mit Wagen. . . . . . . . . . . . . . 91
2.13 Die gleichförmige Kreisbewegung: r = konst., ϕ = ωt. . . . . . . 57
3.22 Kräftediagramm zur Messung der Beschleunigung mit Wagen. . 91
3.1
3.23 Eine Atwoodsche Maschine mit einem masselosen Faden und
einer reibungsfreien Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Demonstrationsexperiment: Wagen auf einer Luftkissenbahn. . . 63
16
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
17
3.24 Die Definition des Vektors r 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5
Freier Fall eines Wassersackes. Was passiert energetisch? . . . . 133
3.25 Die Gravitationskraft ist immer anziehend, und beide Körper
spüren dieselbe Anziehungskraft, aber mit entgegengesetztem
Vorzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6
Freier Fall eines Wassersackes. Wenn der Sack frei fällt, wird
seine kinetische Energie zunehmen. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.7
Bewegung in einer Schleife von Punkt A zum Punkt B. . . . . . 137
4.8
Bei der Bewegung in einer Schleife auftretende Kräfte. . . . . . 137
4.9
Die Arbeit W , die die Gravitationskraft an einem Körper leistet. 140
3.26 Eine Galaxie. Die Sterne werden durch die Gravitationskraft
zusammengehalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.27 Die Gravitationskraft der Erde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.28 Fallversuch: Die Fallzeit verschiedener Körper werden in Luft
oder im Vakuum beobachtet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.29 Die Definition des Drehimpulses. Der Drehimpulsvektor ist senkrecht zur Ebene, die durch den Ortsvektor und den Impulsvektor
definiert ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.30 Die Rechte-Hand-Regel für das Vektorprodukt r × p. . . . . . . 100
3.31 Zur Definition des Vektorprodukts L = r × p: L = r⊥ p = r p⊥ . . 101
3.32 Drehimpuls in z-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.10 Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Bahn in zwei Dimensionen, die zwei Punkte 1 und 2 verbindet. Die Kraft wird als eine
Funktion des Ortsvektors definiert. Die Arbeit wird berechnet
entlang der Bahn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.11 Zur Berechnung des Linienintegrals zwischen zwei Punkten r1
und r 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.12 Zur Wegunabhängigkeit der Arbeit im Gravitationsfeld. . . . . . 146
4.13 Arbeit bei der Gravitationskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.33 Zum Unterschied zwischen Kraft und Drehmoment. . . . . . . . 102
5.1
3.34 Flächengesetz: Vom Ortsvektor r in der Zeit dt überstrichene
Fläche dA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Seilwelle: Ein Seil wird durch den Hörsaal gespannt. Die anfängliche Auslenkung wandert als Wellenberg dem Seil entlang. . . . 160
5.2
Ausbreitung einer transversalen Seilwelle. Der Wellenberg wandert mit konstanter Geschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3
Ein Feder-Masse-System. Die erste Masse wurde transversal ausgelenkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4
Longitudinale Wellen im Masse-Feder-System. Die zweite und
dritte Masse von rechts sind aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. . . . 162
5.5
Transversale Wellen im Masse-Feder-System. . . . . . . . . . . . 163
5.6
Wellen in einem Gas (Schall). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7
Translation eines Wellenbergs um a nach links (oberes Bild) bzw.
um a nach rechts (unteres Bild). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8
Harmonische Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.9
Kräfte, die auf das Massenelement dm wirken. . . . . . . . . . . 170
3.35 Schwingwagen: Der Wagen ist mit zwei Federn verbunden. . . . 107
3.36 Das Pendel bewegt sich sinusförmig: Die Bewegung der aufgehängten Masse (Pendel) und die Projektion der Kugel auf die
Wand werden verglichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.37 Die Pendelbewegung ist gleich der Projektion einer Kreisbewegung. Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
auf dem Kreis. Der Radius ist gleich 1. . . . . . . . . . . . . . . 109
3.38 Die graphische Darstellung der ursprünglichen Phase. . . . . . . 109
3.39 Beziehung zwischen Sinus- und Kosinus-Funktionen. Die angegebene Phase δ entspricht der Phasenkonstante, die eine Sinusfunktion sin(ωt+δ) haben muss, um die entsprechende Funktion
zu liefern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Das Lichtsignal breitet sich
durch den Hörsaal nach links aus, und kommt wieder nach rechts
zurück, nachdem es von einem Spiegel reflektiert wurde. . . . . . 122
5.10 Seilwelle: Die Seilspannung wird mit Gewichten erzeugt. . . . . 172
5.11 Welle im Messingstab. Die Welle wird mit zwei Tonabnehmern
an den zwei Enden des Stabes gemessen. . . . . . . . . . . . . . 174
4.2
Im elektrischen Feld beschleunigtes Elektron. . . . . . . . . . . . 124
5.12 Lineare Verformung eines Stabes unter Normalbelastung. . . . . 175
4.3
Abhängigkeit des klassischen und des relativistischen Impulses
von der Geschwindigkeit v/c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.13 Zwei Wellen begegnen sich. In c) ist die resultierende Amplitude
gleich der Summe der Amplituden der beiden einlaufenden Wellen.176
4.4
Die Sonne. Wir wissen, dass die Sonne mit derselben Rate
während ungefähr 5 Milliarden Jahren gebrannt hat. . . . . . . 128
5.14 Prinzip der Superposition. Die resultierende Welle wird durch
Addition beider Wellen gefunden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
18
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5.15 Gangunterschied. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
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19
5.16 Eigenschwingung einer Saite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.20 Das in der Vorlesung beobachtete Spektrum im ZinkDemonstrationsexperiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.17 Eigenschwingungen einer Gitarrensaite. . . . . . . . . . . . . . . 182
6.21 Sichtbare Emissionslinien des Wasserstoffatoms (Balmer-Serie). . 212
6.1
Illustration der Wassermoleküle im Eis. . . . . . . . . . . . . . . 186
6.22 Klassisches Modell des Wasserstoffatoms. Das Elektron bewegt
sich um das Proton wie ein Planet um die Sonne. . . . . . . . . 213
6.2
Illustration der Wassermoleküle im Wasser. . . . . . . . . . . . . 186
6.3
Illustration der Wassermoleküle im Dampf. . . . . . . . . . . . . 187
6.4
Das Periodensystem der Elemente. . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5
(Helium, Neon, Argon und Krypton). Da die Elektronen nicht
wohldefinierten Bahnen folgen, zeigen die dunklen Bereiche diejenigen Zonen an, die mit grösserer Wahrscheinlichkeit mit Elektronen besetzt sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.6
6.23 Angenommene Kreisbahn des Elektrons um das Proton. Die
Kraft, die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind gezeigt. 214
6.24 Emission von Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.25 Graphische Darstellung der Übergänge von atomarem Wasserstoff. Die Zahl m entspricht dem Endzustandsniveau des Elektrons.218
6.26 Erlaubte Energieniveaus (d.h. Energie der stationären Zustände)
und Übergänge im Wasserstoffatom. . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Kerne von Wasserstoff- und Heliumisotopen. Die Protonen und
Neutronen werden als kleine Kugeln dargestellt. . . . . . . . . . 193
7.1
Eine Version des Gasthermometers mit konstantem Druck. . . . 222
6.7
Positiv und negativ geladene Körper. . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2
6.8
Anordnung für die Demonstration der Existenz der positiven
und negativen elektrischen Ladungen. . . . . . . . . . . . . . . . 198
Der Druck eines Gases ist zur Temperatur des Gases proportional. Der Ballon wird auf flüssigen Stickstoff gestellt. . . . . . . . 224
7.3
Anordnung für die Bestimmung des absoluten Nullpunkts. . . . 225
7.4
Der gemessene Druck als Funktion der Temperatur. . . . . . . . 226
7.5
Intensitätsverteilung. Das vom Lichtbogen emittierte Licht wird
mit einem Prisma zerlegt. Das zerlegte Licht wurde an die Wand
projiziert. Man misst die Intensität als Funktion der Wellenlänge
mit Hilfe eines Photodetektors, der sich in der horizontalen Richtung bewegen kann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.6
Die Wärmestrahlung hängt vom Material und von der Oberfläche des Körpers ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.7
Die vom warmen Glas emittierte Wärmestrahlung wird mit einem Parabolspiegel und einem Photodetektor gemessen. . . . . 230
7.8
Hohlraumstrahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.9
Vergleich zwischen Rayleigh-Jeans-Verteilung und PlanckscherVerteilung (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu). . . . . . . . . 234
6.9
Das in der Vorlesung verwendete Elektroskop. Der Zeiger zeigt,
ob die Kugel geladen ist oder nicht. . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.10 Prinzip des Elektroskops. Auslenkung des Zeigers unabhängig
vom Vorzeichen der Ladung. Gleichnamige Ladungen stossen
sich ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.11 Die verwendete Kelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.12 Zwei Kugeln werden geladen. Man misst die Auslenkung der vertikalen Achse als Funktion des Abstands der Kugeln. Die Auslenkung ist zur Stärke der Abstossung proportional. . . . . . . . 201
6.13 Zur Definition des Vektors r12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.14 Die elektrische Wechselwirkung zwischen den geladenen Elementarteilchen, Elektron und Proton. . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.15 Plot der elektrischen potentiellen Energie als Funktion des Abstands r für Ladungen mit entgegengesetztes Vorzeichen und
Ladungen die dasselbe Vorzeichen haben. . . . . . . . . . . . . . 206
6.16 Kontinuierliches Spektrum (weisses Licht). . . . . . . . . . . . . 207
6.17 Emissionsspektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.18 Absorptionsspektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.19 Das in der Vorlesung beobachtete Spektrum im Natrium- Demonstrationsexperiment. Der Pfeil zeigt die Absorptionslinie. . . 209
7.10 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T =
373 K und T = 310 K (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu). . 235
7.11 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T =
3000 K, 2500 K, 2000 K und 1500 K (http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.12 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen
T =3000K, 4000K, 5000K und 6000K (http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
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21
7.13 Ein praktisches Beispiel: die korrekte Installation einer Pumpe
kann mit Hilfe einer Thermographie kontrolliert werden. Das
Bild hier lässt vermuten, dass das untere Lager zu warm ist
(http:// www.infraredmechanical.com). . . . . . . . . . . . . 237
8.16 Die reversible (d.h., langsame) isotherme Expansion des idealen
Gases. Um die Temperatur konstant zu halten, muss während
der Expansion Wärme zugeführt werden. . . . . . . . . . . . . . 275
7.14 Thermische Anomalie bei Hochspannungs-Anschlüssen. . . . . . 238
9.1
Definition des Beobachters und seines Bezugssystems. . . . . . . 280
9.2
Definition von zwei Beobachtern, die die Bewegung eines
Körpers messen. Wir nehmen an: t = t! . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3
Beobachter O und O! mit der konstanten Relativgeschwindigkeit
V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.4
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. Die Zeit,
die die Welle benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen.
Beide Beobachter sind relativ zur Feder in Ruhe. . . . . . . . . . 287
9.5
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. In diesem
Fall bewegt sich der Beobachter relativ zur Feder nach rechts. . 287
7.15 pV = konst. bei konstanter Temperatur. . . . . . . . . . . . . . 240
7.16 Vergleich von verschiedenen Temperaturskalen. Der Siedepunkt
und der Gefrierpunkt von Wasser bei 1 atm sind angegeben.
Das erste Thermometer zeigt die zu der Temperatur korrespondierende Energie (1 zJ = 1 Zeptojoule = 10−21 J). . . . . . . . . 241
7.17 Bestimmung der Wärmekapazitäten von Blei und Aluminium. . 246
8.1
Das Hämmern von Blei erzeugt Wärme. . . . . . . . . . . . . . 251
8.2
Eine fallende Kugel erzeugt Wärme. . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.3
Die von einem Gas geleistete Arbeit während der Expansion um
dV . Der Druck des Gases ist als p bezeichnet. . . . . . . . . . . 252
9.6
8.4
Isotherme Expansion eines Gases. Um die Temperatur des Gases während der Expansion konstant zu halten, muss Wärme
zugeführt werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. In diesem
Fall bewegt sich der Beobachter relativ zur Feder nach links. . . 288
9.7
8.5
pV -Diagramm der isothermen Expansion. Der Betrag der geleisteten Arbeit ist gleich der getönten Fläche. . . . . . . . . . . . 256
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen. . . . . . . . 289
9.8
8.6
pV -Diagramm der adiabatischen Expansion des idealen Gases. . 257
8.7
Vergleich der isothermen und adiabatischen Expansion des idealen Gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen. Der Beobachter, der den Stab hält, bewegt sich in Richtung des Beobachters, der den Laser hält. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.9
8.8
Prinzip der Wärmemaschine und Wärmepumpe. Es gilt TW > TK .260
8.9
Demonstrationsexperiment: die Stirling-Maschine . . . . . . . . 260
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen. Der Beobachter, der den Stab hält, entfernt sich vom Beobachter, der den
Laser hält. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.10 Illustration des Kreislaufs der Wärmemaschine von Stirling. . . 261
8.11 Die Stirling-Maschine kann auch umgekehrt laufen. . . . . . . . 262
8.12 Das während der Vorlesung gemessene pV -Diagramm der
Stirling-Wärmemaschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.13 Das pV -Diagramm des Carnotschen Kreisprozesses. . . . . . . . 265
9.10 Das Michelson-Morley-Interferometer. . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.11 Eine Lichtquelle und ein Spiegel, die sich mit konstanter Geschwindigkeit V bewegen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.12 Eine ruhende Lichtquelle S, ein ruhender Beobachter O1 und
ein sich mit der Geschwindigkeit V in Richtung der Quelle bewegender Beobachter O2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.14 Geordneter Anfangszustand der Kugeln. Das Papier wird weggenommen und der Behälter wird geschüttelt. . . . . . . . . . . 270
9.13 Bewegung des Flugzeugs oder der Erde. . . . . . . . . . . . . . . 297
8.15 Die (irreversible) freie Expansion eines Gases im Vakuum. Die
Klappe wird zu einer bestimmten Zeit geöffnet und das Gas
expandiert. Die Temperatur des Gases ändert sich nicht während
der Expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.14 Das Raketenbezugssystem bewegt sich ohne Antrieb und frei
durch den Weltraum (es wirkt keine Gravitationskraft). Ein Beobachter O misst die Schwingungsperiode T der Masse, die an
der Feder angebunden ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
22
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9.15 Die Rakete bewegt sich relativ zum Beobachter O! mit einer Geschwindigkeit βc in die x! -Richtung. Der Beobachter O! misst die
Schwingungsperiode T ! der an der Feder aufgehängten Masse. . 301
9.16 Eine Anordnung, um die Gleichzeitigkeit von Ereignissen zu
prüfen. Da der Laserpuls sich in beide Richtungen mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, werden die grüne und rote Lampe
gleichzeitig eingeschaltet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
!
9.17 Der Tisch, wie er vom Beobachter O gesehen wird. Der Beobachter sieht, dass die rote Lampe sich vom Lichtstrahl entfernt,
und dass die grüne Lampe sich dem Lichtstrahl nähert. . . . . . 309
10.1 Die Beziehung zwischen der Kraft und dem elektrischen Feld. . . 312
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23
10.17Graphische Darstellung eines Vektorfeldes. In jedem Punkt des
Raums wird ein Vektor definiert. In der Abbildung werden die
Vektoren in verschiedenen Punkten des Raums mit Pfeilen gezeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.18Graphische Darstellung einer Funktion f (x, y). . . . . . . . . . . 331
10.19Graphische Darstellung des Gradienten der in Abb. 10.18 dargestellten Funktion f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.20Definition des Flusses durch eine infinitesimale Fläche dA. . . . 333
10.21Eine endliche Fläche wird in infinitesimale ebene Flächenelemente unterteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
10.2 Das elektrische Feld einer positiven und einer negativen Punktladung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.22Eine geschlossene Fläche. Die Flächen dA zeigen nach aussen. . 334
10.3 Die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Feldlinien. Die Feldlinien folgen in jedem Punkt des Raumes der
Richtung des Feldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.24Linienintegral über die Kurve C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.4 Elektrische Feldlinien eines Dipols. Die Linien gehen von der
positiven zur negativen Ladung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.5 Ein Voltmeter misst den Potentialunterschied zwischen zwei
Punkten. Die Kreise sind die Äquipotentiallinien, d.h. die Linien gleichen Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.6 Quelle der Felder: (Links) Magnetfeld eines Stabmagnets.
(Rechts) Elektrische Feldlinien einer Punktladung. . . . . . . . . 317
10.7 Feldlinien eines Stroms durch einen vertikalen Draht. . . . . . . 319
10.8 Feldlinien eines Stroms durch einen Ring. . . . . . . . . . . . . . 319
10.9 Magnetfeld eines Stroms durch ein Solenoid. . . . . . . . . . . . 320
10.10Magnetfeld eines Stroms durch einen Torus. . . . . . . . . . . . 320
10.11Die magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Ebene, die durch die
Geschwindigkeit und das Feld definiert ist. . . . . . . . . . . . . 322
10.12Die Ablenkung eines Elektrons in einem homogenen magnetischen Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.13Krümmung der Elektronenbahn im Magnetfeld. Die magnetische
Feldstärke beträgt ungefähr 27 Gauss. . . . . . . . . . . . . . . 325
10.14In einem Leiter wandern die Elektronen entgegengesetzt zur
Richtung des elektrischen Feldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.15Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
. . . . . . . . . . . . . . 328
10.16Stromwaage: Die Kraft zwischen zwei Strömen wird gemessen. . 329
10.23Ein infinitesimales Volumenelement. . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.25Eine Fläche A kann immer von einer geschlossenen Kurve C
eingeschlossen werden. Die Richtung der Fläche ist durch die
Rechte-Hand-Regel gegeben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.26Stromdichte in einem Leiter. Ein Strom der Stromstärke dI
fliesst durch den Leiter. Die Stromstärke durch die Fläche dA
wird als das Skalarprodukt der Stromdichte j und des Flächenvektors dA definiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.27Die elektrischen Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und
enden bei negativen Ladungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.28Der elektrische Fluss. Der Fluss ist proportional zur Zahl der
Linien, die die Oberfläche verlassen, minus der Zahl der Linien,
die in die Oberfläche eindringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.29Fluss durch zwei kugelförmige Oberflächen, die eine Punktladung umfassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.30Das Magnetfeld eines Solenoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.31Induktion in Drahtschleife durch bewegten Stabmagnet. . . . . . 349
10.32Induktion im Erdmagnetfeld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.33Die in der Schleife induzierte Spannung ist gleich dem Linienintegral des elektrischen Feldes über die Schleife. . . . . . . . . . . 351
10.34Die Richtung des induzierten Stromes (in Richtung des EFelds). Das Magnetfeld zeigt nach oben und nimmt mit der Zeit
zu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
24
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10.35Richtung der induzierten Spannung. Ein nach unten gerichtetes magnetisches Feld nimmt mit der Zeit ab. Seine zeitliche
Ableitung zeigt daher nach oben. Wegen des negativen Vorzeichens zeigt das induzierte elektrische Feld im Uhrzeigersinn. Im
Fall des Gesetzes von Ampère erzeugt ein nach oben gerichteter
Strom ein magnetisches Feld, das gegen den Uhrzeigersinn zeigt. 353
10.36Induktion durch Bewegung im Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . 353
10.37Induktion durch Bewegung: Wenn sich das Achse-Räder-System
im Magnetfeld bewegt, beobachten wir eine induzierte Spannung. 354
10.38Ein Stab bewegt sich in einem senkrecht in die Blattebene hinein
zeigenden Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.39Linkes Bild: Permanentmagnet mit leitendem Stab. Rechtes
Bild: Zeitabhängigkeit der induzierten Spannung . . . . . . . . . 356
10.40Ebene, harmonische elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . 359
10.41Das elektromagnetische Spektrum in Funktion der Wellenlänge
λ, der Frequenz ν und der Energie E. . . . . . . . . . . . . . . . 360
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25
11.11Photoelektrischer Effekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.12Photonenzähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.13Richtung des Photonenspins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.14Elektronenbeugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.15Beugungsmuster von Elektronen beim Doppelspaltexperiment . 390
11.16Ein einzelnes Elektron durch Doppelspalt. . . . . . . . . . . . . 390
11.17Beugungmuster mit 10 Elektronen. . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.18Simulation des Aufbaus der Interferenzstreifen für das Auftreffen
von Elektronen auf den photographischen Film. . . . . . . . . . 392
11.19Lichtbeugung am Kristall I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.20Lichtbeugung am Kristall II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.21Interferenzmuster von Photonen bei Beugung von Röntgenstrahlen an einem Kristall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.22Braggsche Reflexion mit 3 cm-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.42Die horizontale und vertikale Polarisation der elektromagnetischen Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.23Davisson-Germer-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.43Definition der Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
11.25Experimentelle Anordung für die Elektronenbeugung. . . . . . . 397
10.44Eine Polarisationsfolie erzeugt linear polarisiertes Licht aus unpolarisiertem: Z.B. eine vertikale Polarisation (oberes Bild) oder
eine horizontale Polarisation (unteres Bild). . . . . . . . . . . . 365
11.26Der Beugungsmuster der an einem Kristall gebeugten Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.45Polarisationsfolien als Polarisator und als Analysator . . . . . . 366
10.46Zwei Polaroidfolien (Polarisator-Analysator-System). . . . . . . 366
10.47Polarisation von Mikrowellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.1 Wasserwellen in Wasserwanne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
11.2 Interferenz von Wasserwellen in einer Wasserwanne . . . . . . . 372
11.3 Beugung von Wasserwellen am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . 373
11.4 Beugung am Einzelspalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.5 Bestimmung des Winkels eines Minimums bei der Beugung
durch einen Einzelspalt der Breite a. . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.24Das Beugungsmuster eines Elektronenstrahls. . . . . . . . . . . 397
11.27Zur Definition des eindimensionalen Kastenpotentials Epot (x). . 399
11.28Räumliche Abhängigkeit der stationären Wellenfunktionen und
die entsprechenden Energien eines Elektrons in einem Kasten . . 400
11.29Das Betragsquadrat der Wellenfunktionen, die die stationären
Zustände n des Elektrons im Kasten beschreiben. . . . . . . . . 408
11.30Reduktion der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.31Wellenpakete: Summe von 3 Wellenfunktionen . . . . . . . . . . 411
11.32Wellenpakete: Summe von 5 Wellenfunktionen . . . . . . . . . . 412
11.33Wellenpakete: Summe von 9 Wellenfunktionen . . . . . . . . . . 412
11.34Gauss-Verteilung mit Mittelwert k0 und Standardabweichung σk . 413
11.6 Beugungsmuster, wenn die Breite des Spalts viel grösser als die
Wellenlänge ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.35Wellenfunktion beim Tunneleffekt (Stationäre Zustände). . . . . 416
11.7 Beugung von Wasserwellen am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . 377
11.37Emission von Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.8 Bestimmung des Winkels des ersten Maximums. . . . . . . . . . 378
11.9 Beugung von Laserlicht an einem Spalt. . . . . . . . . . . . . . . 379
11.38Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms und die ersten 5
Lyman-Übergänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.10Gemessene Intensitätsverteilung bei der Einzelspaltbeugung. . . 380
11.39Elektronenzustände im Wasserstoffatom. . . . . . . . . . . . . . 424
11.36Oberfläche eines Kristalls mit Schweizer-Kreuz. . . . . . . . . . 420
26
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11.40Einige stationäre Zustände des Wasserstoffatoms. . . . . . . . . 426
11.41Wellenfunktionen und Drehimpuls der ersten angeregten Zustände.427
11.42Die Entartung der Niveaus wird mit einem Magnetfeld aufgehoben.428
11.43Ausrichtung der Elektronenspins im Magnetfeld . . . . . . . . . 429
11.44Das Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.45Emission eines Photonenpaars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Kapitel 1
11.46Nachweis korrelierter Photonenpaare . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.47Nachweis eines Photons des Sternenlichts . . . . . . . . . . . . . 437
Einleitung
1.1
Warum Physik?
Die Forschung und das daraus resultierende Wissen sind das konkrete Ergebnis
eines der fundamentalsten Instinkte des Menschen: der Neugier.
Die Neugier fördert die wissenschaftliche Entwicklung. Jede frühere Zivilisation
hat ihre Wissenschaft“ gehabt und heute sind wir glücklich, dass wir einige
”
Geheimnisse der Natur enthüllt haben.
Das Wort Physik“ kommt von einem griechischen Ausdruck für Natur. Die
”
Grundlagen-Physik“ sollte eine Wissenschaft sein, die alle natürlichen Phäno”
mene untersucht.
Die Arbeitsweise der Physik besteht im Allgemeinen in einem Zusammenspiel
experimenteller Methoden und theoretischer Modellbildung, welche weitgehend
Konzepte der Mathematik verwendet.
Heute hat sich die Wissenschaft hoch spezialisiert. Neue Wissenschaften, wie
die Chemie, die Biologie, die Erdwissenschaften, die Werkstoffwissenschaften, usw., haben sich so weit entwickelt, dass die Beziehung zwischen
ihnen und der grundlegenden, fundamentalen Physik nicht mehr sofort durchsichtig ist. Im weitesten Sinn sind aber alle Phänomene, die wir im Universum
beobachten, von den fundamentalen Gesetzen der Physik beherrscht.
Die Physik wird häufig als grundlegende oder fundamentale Naturwissenschaft
aufgefasst, die sich stärker als die anderen Naturwissenschaften mit den Grundprinzipien befasst, die die natürlichen Vorgänge bestimmen.
Die moderne Physik hat sich selbst auch in unterschiedliche Richtungen aufgeteilt. Im Physikdepartement der ETHZ gibt es z.B. die folgenden Institute“:
”
1. Das Institut für Astronomie und Astrophysik
2. Das Laboratorium für Festkörperphysik
1
2
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3. Das Institut für Quantenelektronik
4. Das Institut für Teilchenphysik
5. usw.
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
3
Anwesenheit zweier Körper im Weg des Zylinders) im Problem eingeführt werden. Die numerische Simulation kann deshalb in solch komplizierten Situationen helfen. In der Simulation wurden auch moderne Methoden zur graphischen
Darstellung der Bewegung verwendet. Ein 3-dimensionales Rendering“ kann
”
ein realistisches Aussehen bringen.
Auch die Spezialisierung der Physiker/innen ist hoch. Die Experimentalphysiker und die Theoretiker haben sich getrennt. Deshalb gibt es auch ein Institut
für theoretische Physik an der ETHZ.
Wir bemerken, dass wissenschaftliche Entwicklungen, unabhängig vom Bereich,
äusserst wichtig für die Entwicklung der Menschheit sind.
Der Mensch will etwas machen“, d.h. er will erfinden und bauen, für ihn selbst
”
und für die anderen Menschen. Um etwas Neues zu bauen, muss man wissen
und voraussagen! Hier ist die fundamentale Beziehung zwischen Wissen und
Erfindung. Hier ist die Beziehung zwischen Wissenschaft und Technologie.
Es ist heute schon sichtbar, dass
die wirtschaftliche Entwicklung in der Zukunft immer mehr von der wissenschaftlichen Entwicklung abhängen wird.
In diesem Fall spielen die angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle. Die
Anwendung des Wissens ist eine wichtige Phase der Entwicklung. Der grösste
Teil des wirtschaftlichen Gewinns“ wird in der Anwendung gemacht. Aber oh”
ne Grundlagen-Wissenschaften“ könnten die angewandten Wissenschaften“
”
”
nicht lang existieren!
Von Bedeutung ist aber nicht nur die Geschwindigkeit, mit welcher das Wissen
(oder die Information) sich ausbreitet, sondern auch seine Qualität. In den
exakten Wissenschaften, wie der Physik, gibt es nur ein Kriterium für die
Qualität des Wissens: ob es den Test der experimentellen Prüfung besteht:
Eine gültige wissenschaftliche Theorie muss übereinstimmend mit allen Experimenten und Beobachtungen sein.
Deshalb spielen die Experimente in der Physik eine sehr wichtige Rolle: die
Physik beruht auf Experimenten und Beobachtungen!
Der Physiker/in findet Modelle und Regeln, die diese Beobachtungen beschreiben. Diese Regeln sind in der mathematischen oder numerischen Sprache ausgedrückt, weil man versucht, diese in quantitativer Art auszudrücken.
Oft können komplexe Probleme nicht analytisch gelöst werden. In diesem Bereich spielt die Rechnergestützte Wissenschaft ( Computational Science“)
”
eine wachsende Rolle: mit der Verbesserung der Rechenfähigkeit von Computern werden mehr und mehr Probleme simulierbar“.
”
Die Computersimulation des Falls eines Zylinders ist z.B. in Abb. 1.1 gezeigt.
Dank der numerischen Lösung können komplizierte Bedingungen (wie z.B. die
Abbildung 1.1: Computersimulation des Falls eines Zylinders.
Wir haben dieses Beispiel betrachtet, um folgendes zu erwähnen: der Physiker
wird sich mit den grundlegenden Gesetzen der Bewegung beschäftigen und der
Informatiker wird sich mit der Implementierung der Gesetze im Computer und
der Darstellung der Ergebnisse beschäftigen:
Die moderne Forschung ist oft interdisziplinär.
Eine futuristische Formulierung der Physik könnte die folgende sein:
Die Physik beschreibt die grundlegenden Bestandteile der Materie (d.h. die sogenannten Elementarteilchen) und ihre Wechselwirkungen miteinander. Alle
Eigenschaften der Materie und andere natürliche Phänomene werden mittels
dieser Wechselwirkungen erklärt.
Die Materie besteht aus elementaren Teilchen, und wir können die Wechselwirkungen zwischen diesen Teilchen simulieren. Diese Wechselwirkungen schaffen
die Strukturen der Materie, die wir kennen. Durch numerische Simulationen
wäre es im Prinzip möglich, alle Beobachtungen zu reproduzieren und die Ergebnisse bei Veränderung von bestimmten Bedingungen vorauszusagen.
Als Beispiel erwähnen wir die Computersimulation der Raumverteilung von
Atomen in Silizium-Nanokristallen. Siehe Abb. 1.2. Die Existenz eines durch
die Theorie vorausgesagten Phasenübergangs wurde direkt mit Computersimulationen überprüft.
4
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
5
Hoffentlich werden Sie diese Konzepte auch in anderen wissenschaftlichen Gebieten anwenden. Die Konzepte werden durch die folgenden Lehrfächer eingeführt:
1. Die Mechanik
2. Die Theorie der Wärme
3. Die Relativitätstheorie
4. Die Wellen
5. Der Elektromagnetismus
6. Die Quantenmechanik
Abbildung 1.2: Computersimulation der Raumverteilung von Atomen in
Silizium- Nanokristallen (http://www.cscs.ch/about/RGP/Research/) für zwei
bestimmte externe Drücke (links: kein externer Druck, rechts: externer Druck
gleich 22 Gigapascal).
1.2
Es ist deshalb möglich, dass in Zukunft Computer-Simulationen eine wachsende
Rolle im Verständnis des Verhaltens sehr komplexer Systeme spielen werden.
Die Physik stützt sich auf Beobachtungen und Versuche:
1.1.1
Ziel der Vorlesung
Was ist das Ziel der Vorlesung?
In dieser Vorlesung werden wir versuchen, eine Übersicht über die wichtigsten Konzepte der modernen Physik zu geben. Wir werden Experimente (oder
Versuche) und ihre entsprechende Theorie diskutieren. Die Konzepte, die wir
diskutieren wollen, können so zusammengefasst werden:
1. Die Raumzeit
Die experimentelle Methode und die Einheiten
Wir verstehen unter Versuch ein Experiment, bei dem man ein Phänomen
beobachtet, das unter vorher festgelegten und kontrollierten Bedingungen
abläuft.
Wie wird man ein Phänomen beobachten? Die Beobachtungen müssen zu
einer quantitativen Information führen. Man spricht von Messungen.
Eine Messung ist eine Technik, mit deren Hilfe wir einer physikalischen Grösse
eine Zahl zuordnen können. Diese Zahl ist das Ergebnis eines Vergleichs mit
einer ähnlichen, standardisierten Grösse (der Einheit).
2. Die Bewegung
3. Die Erhaltungsgesetze
4. Die Relativität
Für jede Grösse, die wir messen wollen, müssen wir zuerst eine Einheit wählen.
SI-System: Gewöhnlich benutzt man das Internationale Einheitensystem
(SI-System oder “metrisches” System genannt).
5. Die Irreversibilität
6. Die Felder
7. Die Interferenz
8. Die Dualität zwischen Wellen und Teilchen
1.2.1
Das SI-System
Das Bureau International des Poids et Mesures“ bei Paris (Siehe
”
http://www.bipm.fr) hütet die Definitionen der Basisgrössen des Systems. Im
6
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
7
SI-System wurden die folgenden sieben fundamentalen, unabhängigen Basisgrössen gewählt:
Physikalische Grösse
Fundamentale Einheit Symbol
Länge
Meter
m
Zeit
Sekunde
s
Masse
Kilogramm
kg
Ekektrische Stromstärke
Ampère
A
Thermodynamische Temperatur Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
Alle anderen Grössen werden durch mathematische Beziehungen dieser sieben
Grössen ausgedrückt. Alle anderen physikalischen Grössen als die sieben Basisgrössen sind abgeleitete Grössen.
Historisch wurde das metrische System während der französischen Revolution
eingeführt. Die erste Definition des Meters und des Kilogramms wurden am
22. Juni 1799 gegeben.
Die Definitionen sind nicht langfristig festgelegt. Das Bureau versucht bessere
Definitionen zu finden, wenn eine grössere Genauigkeit gebraucht wird. Die
aktuellen Definitionen wurden 1971 festgelegt und sind die folgenden:
• Die Sekunde ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungsperioden der
Lichtstrahlung, die während des Übergangs zwischen den zwei Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandsniveaus eines Cäsium-133 Atoms
(133 Cs), emittiert wird.
• Der Meter ist die Länge des Weges, den das Licht in Vakuum im
299 792 458. Teil einer Sekunde zurücklegt.
• Das Kilogramm ist die Masse eines internationalen Prototyps des Kilogramms. Es ist ein Platin-Iridium-Zylinder, der im Bureau International
des Poids et Mesures in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird. Siehe Abb.
1.3.
• Durch zwei unendlich lange, gerade Leiter mit vernachlässigbarem Querschnitt fliesst ein konstanter Strom von einem Ampère, wenn er in einem
Abstand von einem Meter im Vakuum eine Kraft zwischen diesen Leitern
je 1 m Leiterlänge von 2 · 10−7 Newton hervorruft (Elektrische Ströme
und die elektromagnetische Kraft werden im Kap. 10 diskutiert).
• Das Kelvin ist gleich dem 273,16. Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts des Wassers (Diese Temperatur wird im Kap. 7
diskutiert).
• Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, die so viele elementare Einheiten enthält, wie die Anzahl von Atomen in 0,012 Kilogramm von
Kohlenstoff-12 (Das Konzept des Mols wird im Kap. 6 erklärt).
Abbildung 1.3: Der Prototyp des Kilogramms beim BIPM bei Paris, Frankreich.
• Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Quelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz emittiert, und die eine Intensität in dieser Richtung von 1/683 Watt pro
Steradiant hat (Elektromagnetische Wellen werden im Kap. 10 diskutiert).
Heute sind das Kilogramm und das Mol die einzigen Einheiten, die auf dem
Prototyp des Kilogramms basieren, der sich an einem bestimmten Ort (bei
Paris) befindet. Die anderen Definitionen hängen von irgendwelchen reproduzierbaren (im Prinzip auch auf anderen Planeten...) Eigenschaften der Natur
ab.
1.2.2
Einheit des Winkels
Als Einheit des Winkels verwenden wir üblicherweise nicht das Grad, sondern
rechnen im Bogenmass. Dessen Einheit ist 1 rad (Radiant). Der volle Winkel
8
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
beträgt dann
2π rad = 360◦
(1.1)
180◦
≈ 57,296◦ .
π
Für kleine Winkel gelten bequeme Näherungswerte (siehe Abb. 1.4):
Definition:
S
h
H
Näherung:
ϕ
O
R
Abschätzung:
1. Die Grösse des sichtbaren Universums ist ≈ 1010 parsec (pc), wobei
1 pc = 3,0857 · 1016 m ≈ 206 247 A.U.
S
R
H
= tan ϕ
ϕ ≈
R
≈ sin ϕ
H
h
≤ϕ≤
R
R
Der Raum und die Zeit
Es ist nicht möglich, genau zu erklären, was Raum und Zeit wirklich“ sind.
”
Wir akzeptieren, dass sie existieren, und die Physik wird sie studieren.
Es ist uns aus dem Alltag vertraut, dass
alle natürlichen Prozesse, die wir beobachten, im Raum geschehen und eine
gegebene Zeit dauern (Menschliche Erfahrung).
1.3.1
Wir erwähnen als Beispiele:
ϕ =
Abbildung 1.4: Definition des ebenen Winkels ϕ und Näherungswerte für kleine
Winkel.
1.3
9
Der Raum wird durch den Abstand zwischen bestimmten Orten definiert.
0,01745 rad ≈ 1◦
1 rad =
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Der Raum = Abstand
und 1 A.U. ( Astronomical Unit“) ≈ 1, 5 × 1011 m gleich dem mittleren
”
Abstand zwischen der Erde und der Sonne ist.
Die Grösse des sichtbaren Universums ist ungefähr 2 × 1015 (zwei Millionen Milliarden) Mal dem Abstand zwischen der Sonne und der Erde.
2. Die Grösse unserer Milchstrasse (unsere Galaxie) ist ungefähr 104 pc.
3. Im Vergleich dazu ist die Grösse eines Menschen ungefähr 6 × 10−17 pc
oder 1,8 m;
4. Die kleinste Grösse, die wir heute betrachten, ist die sogenannte Plancksche1 Länge: ≈ 3 × 10−52 pc ≈ 10−35 m.
Bei der Planckschen Länge wurde ein neuer Bereich angetroffen, bei dem es
möglich ist, dass unsere Beschreibung des Raums nicht mehr gültig ist: z.B.
wissen wir, dass die klassische Mechanik (die wir in Kap. 2 und folgenden
studieren werden) nicht die korrekte Bewegung der Elektronen in der Nähe der
Atomkerne beschreibt. In ähnlicher Weise erwarten wir, dass die allgemeine
Relativitätstheorie, die die Eigenschaften des Raums und der Zeit beschreibt,
die Physik bei Planckschen Längen nicht mehr richtig voraussagt.
1.3.2
Die Zeit = Dauer
Das Konzept der Zeit ist mit der Beobachtung korreliert, dass der Zustand
des Universums sich durch verschiedene Prozesse mit einer bestimmten Rate
verändert:
Wir beobachten experimentell, dass der Raum ausgedehnt und 3-dimensional
ist: wir kennen links, rechts, oben, unten, vorwärts und rückwärts, und wir
können uns in diese Richtungen bewegen. In der klassischen Mechanik ist
der Raum absolut, unveränderlich und unbeeinflusst von den physikalischen
Vorgängen, die sich in ihm abspielen.
Die Zeit wird durch die Dauer bestimmter, reproduzierbarer Prozesse definiert.
Aus der Ausdehnung des Raums folgt, dass es verschiedene, unterschiedliche
Orte im Universum gibt, die durch ihren Abstand unterschieden werden:
Wir betrachten die folgenden Beispiele:
Isaac Newton (1687) beschrieb die Zeit mit den folgenden Worten: “Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur
gleichförmig und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.”
1
Max Planck (1858-1947)
10
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11
1. Ein Umlauf der Erde um die Sonne dauert 1 Jahr;
2. Die Erde dreht sich in 24 Stunden um ihre Achse;
3. Die Fallzeit eines wegen der Erdbeschleunigung fallenden Körpers, der
aus einer Höhe von 10 Metern über der Erdoberfläche frei fallen gelassen
wird, ist ungefähr 1,5 Sekunden;
O!
4. Die Periode eines Fadenpendels mit einem 1 Meter langen Faden beträgt
ungefähr 2 Sekunden.
! !P
5. Die Schwingungsperiode des Lichts, das von Cäsium-133 Atomen
während eines bestimmten Übergangs zwischen zwei Hyperfeinstrukturniveaus emittiert wird, ist ungefähr 10−10 s (Siehe die Definition des
BIPMs in Kap. 1.2)
Die längste Zeitdauer, die wir kennen, ist das Alter des Universums. Die direkte
Beobachtung der Expansion des Universums und die modernen kosmologischen
Messungen ergeben
Abbildung 1.5: Ein Gitter im Raum: Der Punkt P wird bezüglich des Ursprungs
O definiert.
TUniversum = 14·109 a = 4,3·1017 s
Zum Vergleich:
1. das Alter der Erde ist ungefähr 5 Milliarden Jahre oder ≈ 1,4 · 1017 s;
2. die Lebensdauer eines Menschen ist ≈ 100 Jahre ≈ 3 · 109 s;
3. die kürzeste Dauer von Prozessen, die wir in der Natur beobachten,
tritt bei Wechselwirkungen von Elementarteilchen auf: die typische Dauer einer starken Wechselwirkung zwischen zwei Elementarteilchen ist
≈ 3 · 10−23 s (die starke Wechselwirkung bewirkt die Bindung der Protonen und Neutronen im Kern).
1.4
Der Ursprung des Gitters wird im Punkt O angenommen.
Wenn wir die Koordinaten eines Punktes P definieren, suchen wir Zahlen,
die den Punkt bezüglich des Ursprungs O darstellen. Wir bemerken, dass wir
die Koordinaten in verschiedener Weise wählen können. Die Anzahl von unabhängigen Koordinaten im 3-dimensionalen Raum ist aber immer drei. Wir
werden nun die kartesischen und die Kugel-Koordinaten diskutieren.
Koordinatensysteme
Der Raum wird mit Hilfe der euklidischen2 Geometrie beschrieben: ein Ort
im Raum wird durch einen geometrischen Punkt im Raum definiert. Der
Raum enthält eine unendliche Anzahl von solchen Punkten, die kontinuierlich
verteilt sind.
Wir stellen uns den Raum wie ein Gitter vor (siehe Abb. 1.5).
2
Weil kein ausgezeichneter (oder absoluter“) Punkt im Raum existiert,
”
muss ein Punkt P im Raum immer bezüglich einem anderen Punkt O (dem
Ursprung) definiert werden.
Euclid, & 300 BC.
1.4.1
Die kartesischen Koordinaten
Im kartesischen Koordinatensystem definiert man drei zueinander senkrechte, festgelegte Richtungen, die wir als x, y, z bezeichnen werden. Die xRichtung kann z.B. der hinten-vorne“ Richtung entsprechen; die y-Richtung
”
der rechts-links“- und die z-Richtung der oben-unten“-Richtung.
”
”
Die drei senkrechten Richtungen werden durch drei Achsen (die x-Achse,
die y-Achse und die z-Achse) definiert. Siehe Abb. 1.6. Der Abstand zweier
benachbarter Linien des Gitters ist konstant und muss in allen drei Richtungen
12
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
13
y-Achse
&
oben
&z
O!
hinten
links
O
"!$
""
x ""
"
"
#
B!
OP = (x, y)
= (OA, OB)
$$
vorne
! !P
$$ y
$
$
%
Linie mit
konstantem y
!
!P
! ! x-Achse
A
rechts
&
Linie mit
konstantem x
unten
Abbildung 1.7: Kartesische Koordinaten in zwei Dimensionen
Abbildung 1.6: Definition des kartesischen Koordinatensystems mit drei zueinander senkrechten Achsen und entsprechendem Gitter.
durch die folgenden Projektionen gewonnen:
OP = (x, y, z) = (OA, OB, OC)
gleich sein.
(1.4)
Dabei sind (siehe Abb. 1.8):
Der Punkt P wird bezüglich des Ursprungs O mit den drei kartesischen
Koordinaten lokalisiert:
OP = (x, y, z)
(1.2)
Die Koordinaten x,y,z sind Zahlen, die den Punkt P bezüglich O darstellen.
Die Koordinaten x,y,z werden durch die Projektionen auf die entsprechenden
Achsen gewonnen.
Wenn wir zuerst nur die x,y-Ebene betrachten, dann werden die x- und yKoordinaten so berechnet:
1. Der Punkt A entspricht der Projektion des Punkts P auf die x- Achse.
2. Der Punkt B entspricht der Projektion des Punkts P auf die y-Achse.
3. Die x- und y-Koordinaten sind gleich den Abständen OA und OB, (siehe
Abb. 1.7), d.h.
OP = (x, y) = (OA, OB)
(1.3)
In drei Dimensionen (siehe Abb. 1.8) projizieren wir zuerst den Punkt P auf die
!
x-y-Ebene und finden den entsprechenden Punkt P . Die Koordinaten werden
!
1. A die Projektion des Punkts P auf die x-Achse,
!
2. B die Projektion des Punkts P auf die y-Achse, und
3. C die Projektion des Punkts P auf die z-Achse.
1.4.2
Die Kugelkoordinaten
Im dreidimensionalen Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P im Raum
durch drei Koordinaten, die einem Abstand und zwei Winkeln entsprechen,
dargestellt: Dabei (siehe Abb. 1.9) sind:
1. r der Abstand zwischen O und P,
OP = (r, ϑ, ϕ)
(1.5)
2. ϑ der Winkel zwischen OP und der z-Achse. Es gilt im Bogenmass (Einheit 1 Radiant = 1 rad)):
0≤ϑ≤π
(1.6)
14
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
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1.4.3
&z
C "

 
r sin ϑ cos ϕ
x

 y =
 r sin ϑ sin ϕ 
z
r cos ϑ

'
'
"
x ""
"
#"
$
$$B
" y
$
$
%
"
!
P
Abbildung 1.8: Kartesische Koordinaten in drei Dimensionen.
!
3. ϕ der Winkel zwischen OP und der x-Achse. Es gilt (im Bogenmass):
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Übergang zwischen Koordinatensystemen
Durch direkte Beobachtung der Geometrie der kartesischen und KugelKoordinaten kann die Beziehung zwischen den zwei Systemen hergeleitet werden. Sie ist (siehe Abb. 1.10), r der Abstand zwischen O und P,
"P
'
(
'
"$
A "O"'
$$
""
"
$
15
Die Kugelkoordinaten werden als
gedrückt durch:


r





tan ϕ





cos ϑ
(1.7)
OA = r sin ϑ cos ϕ
(1.8)
Funktion der kartesischen Koordinaten aus=
,
x2 + y 2 + z 2
y
x
z
=
r
=
(1.9)
!z
C&
!P
PP = r cos ϑ
'
'
(
'
'
*
ϑ' '
*
*
)O '
!$
+ OB= r sin ϑ sin ϕ
A
! "
++
"
$
+
,
ϕ
"
$
$$B
x ""
'
(
! y
"
"
#
$
%
'
!! $
'
P
!
*
&z
"P
'
(
'
!
OP = r sin ϑ
)
ϑ '
"
O '
""$$$
"" ϕ
$
'
x
""
"
"
#"
(
Abbildung 1.10: Übergang zwischen Kugel- und kartesischen Koordinaten.
$$
"
$$ y
$
%
1.5
Vektoren
!
P
Abbildung 1.9: Kugelkoordinaten in drei Dimensionen.
Wenn ϑ bei ϑ ≡ π/2 festgelegt wird, wird die Bewegung des Punkts P auf
die x, y−Ebene beschränkt. Man wird in diesem Fall oft die zweidimensionalen
Polarkoordinaten (r, ϕ) verwenden.
Es gibt in der Physik Grössen, die sich durch eine reelle Zahl ausdrücken lassen,
wie z.B. Temperatur, Masse, Ladung, und die sich an bestimmten Punkten
im Raum lokalisieren lassen. Der Wert dieser Grössen hängt nicht von der
Wahl eines bestimmten Koordinatensystems ab, mit dem wir den Ort festlegen
können. Grössen dieser Art nennen wir Skalare.
Grössen wie Geschwindigkeit, Impuls oder Kraft sind dagegen kompliziertere
Objekte, welche man z.B. durch eine Länge und eine Richtung charakterisieren
16
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
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17
In mathematischer Sprache bildet die Vektoraddition eine Abelsche Gruppe“,
”
mit folgenden Eigenschaften:

a+b = b+a
Kommutativität






(a
+
b)
+
c
=
a
+
(b
+
c)
Assoziativität


b + (−b) = 0
Es existiert ein Nullvektor




und zu jedem Vektor b




ein inverser Vektor − b
Abbildung 1.11: Ein Vektor stellt eine Verschiebung im Raum dar.
Die Kommutativität kann graphisch dargestellt werden. Siehe Abb. 1.12. Wir
bemerken in der Abbildung, dass die Summe a + b derselben Verschiebung wie
b + a entspricht.
kann. Diese Grössen nennt man Vektoren. Wir betonen, dass der Vektor ein
physikalisches Objekt ist.
'
(* b
'
*
*
)
'
.
/
.
.
'....
a
+
b
.
'
.
'
(
'
a '
Ein Vektor lässt sich durch seine Komponenten beschreiben, deren Wert aber
von der Wahl des Koordinatensystems abhängen. Im Gegensatz zu seinen Komponenten hängt der Vektor nicht davon ab, welches Koordinatensystem wir
wählen.
a '
'
'
'
Man kann auch ohne Komponenten rechnen; das ist in der Vektor-Algebra
verwirklicht.
1.5.1
.
/
b + a...
'
(
'
..
...
'
*
'a
'
b **
)'
*
b **
)
Die Vektoralgebra
Ein Vektor A ist eine Grösse, die (1) einen Betrag und (2) eine Richtung
besitzt. Der Betrag des Vektors A wird als |A| bezeichnet. Ein Einheitsvektor
besitzt einen Betrag gleich 1. Man kann einen derartigen Vektor so bilden:
eA =
A
|A|
oder
A = |A| · eA
A = OP
Abbildung 1.12: Kommutativität der Vektoraddition.
In ähnlicher Weise finden wir für die Assoziativität:
'
(* b
'
*
*
)
'
.
/
.
'.....
.
(1.10)
Vektoren können verwendet werden, um Verschiebungen im Raum darzustellen,
wie z.B. (siehe Abb. 1.11):
a '
'
.
+
0
0c
0
01
(a + b)
(1.11)
Das Konzept des Vektors ist nützlich, weil wir eine Vektoralgebra definieren
können, ohne die tatsächlichen Koordinaten der Vektoren zu verwenden. Diese
Algebra gilt für eine beliebige Anzahl von Koordinaten, z.B. in 2D oder 3D.
'
'
(
'
a '
'
+
'
4* b
4 *
4 *
)
(b + c)44 00
c
4 0
45 01
.
/
(a + b)....
0
.
0c
..
.
222
=
222 0
2
3 01
(a + b) + c
'
(4
'
a '
=
'
'
'
222
4
4
4 (b + c)
4
222 4
2
345
a + (b + c)
Eine wichtige Operation ist die Vektoraddition, wobei wir einen Vektor als die
Summe zweier Vektoren durch die folgende vektorielle Gleichung definieren:
A=a+b
(1.12)
(1.13)
Abbildung 1.13: Assoziativität der Vektoraddition.
18
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Der entgegengesetzte Vektor wird graphisch so dargestellt:
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
19
Dabei ist b cos ϕ die Komponente von b in Richtung von a und a cos ϕ die
Komponente von a in Richtung von b. Das Skalarprodukt kann als das Produkt
zweier Grössen dargestellt werden: (1) der Betrag des ersten Vektors mal (2)
den Betrag der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.
'
(
'
'
a ''
''
' −a
'
''
'
-
Abbildung 1.14: Entgegengesetzter Vektor −a.
Mit dieser Eigenschaft kann die Vektorsubtraktion definiert werden (Siehe
Abb. 1.15):
D = a−b = a+(−b)
'
(4
'
a ' 4
4 ..
.
/
'
.45.
'ϕ
b
...
'. ...
.
.
.. a cos ϕ
'
'
*
6
'
( *
b cos ϕ ' '
*
' 'a
*
.
/
' '
...
.
ϕ
'
.
'
.
.
'.
.
b
(1.14)
Abbildung 1.17: Projektion von a auf b und Projektion von b auf a zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren.
'
(* −b
'
*
*
)
'
.
/
.
.
.
' ..
'.. a − b
.
'
(
'
a '
'
'
'
Wenn das Skalarprodukt verschwindet, muss entweder a = 0 oder b = 0
gelten, oder die beiden Vektoren müssen senkrecht zueinander stehen (a ⊥ b).
a '
*
6 * −b
*
b **
*
)
Wenn beide Vektoren parallel zueinander sind, ist das Skalarprodukt gleich
dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren.
Abbildung 1.15: Subtraktion von Vektoren.
1.5.2
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Betragsquadrat des Vektors:
Das Skalarprodukt
a · a = aa · cos 0 = a2 = |a|2
Das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren wird definiert als:
a · b = ab · cos ϕ = |a| · |b| cos ϕ
Das Kommutativgesetz gilt:
(1.15)
wobei ϕ der Winkel zwischen den Vektoren ist (siehe Abb. 1.16).
a·b=b·a
(1.18)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
(1.19)
Das Distributivgesetz gilt:
a
ϕ
b
Der Kosinussatz. Wir betrachten einen Vektor c, der als Summe zweier Vektoren a und b definiert ist:
c=a+b
(1.20)
Abbildung 1.16: Skalarprodukt zweier Vektoren.
Wir berechnen das Skalarprodukt von c mit sich selbst:
Das Skalarprodukt kann auf zwei Weisen dargestellt werden (siehe Abb. 1.17):
a · b = a · (b cos ϕ) = (a cos ϕ) · b
(1.17)
(1.16)
c · c = |c|2 = (a + b)2
= |a|2 + |b|2 + 2a · b
(1.21)
20
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
21
Damit erhalten wir
|c|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos ϕ
(1.22)
a×a=0
wobei ϕ der Winkel zwischen a und b ist.
1.5.3
Wenn die zwei Vektoren parallel zueinander sind, verschwindet das Vektorprodukt. Damit gilt
Das Vektorprodukt ist antikommutativ, d.h. wenn wir die Reihenfolge der Vektoren vertauschen, ändert sich das Vorzeichen:
Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) von zwei Vektoren a und b wird
als der Vektor c definiert, dessen Betrag gleich der Fläche des Parallelogramms
ist, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Richtung von c wird mit der
Rechte-Hand-Regel bestimmt und ist immer senkrecht auf a und b.
Das Produkt wird so bezeichnet (siehe Abb. 1.18):
c=a×b
(1.25)
a × b = −b × a
Das Vektorprodukt ist distributiv bezüglich der Vektoraddition:
a × (b + c) = a × b + a × c
1.6
(1.23)
(1.26)
1.6.1
(1.27)
Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung
Die Steigung f ! (x0 ) der Tangente im Punkt (x0 , y0 ) der Funktion y = f (x) ist
gegeben durch (siehe Abb. 1.19):
f (x0 ) − f (x1 )
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
x0 − x1
df (x)
|x=x0
=
dx
f ! (x0 ) ≡ lim
x1 →x0
1.6.2
(1.28)
Integralrechnung
Die Fläche A zwischen einer Funktion y = f (x) und der x-Achse lässt sich
näherungsweise durch eine Summe von Rechtecken mit konstanter Breite ∆x
berechnen (siehe Abb. 1.20):
A≈
Abbildung 1.18: Das Vektorprodukt und die Rechte-Hand-Regel.
∆x→0
c = |c| = ab sin ϕ
(1.24)
i=0
f (xi + ∆x/2) · ∆x
(1.29)
Für ∆x → 0 (und n → ∞, aber xn festgehalten) geht die Summe in das
bestimmte Integral über:
.xn
n−1
A = f (x) dx = lim
f (xi + ∆x/2) · ∆x = F (xn ) − F (x0 )
(1.30)
x0
Die Rechte-Hand-Regel betrachtet die kürzeste Drehung, die a in b überführt.
Wenn ϕ den Winkel einer solchen Drehung bezeichnet, gilt für den Betrag des
resultierenden Vektors:
n−1
-
i=0
wobei die Stammfunktion F (x) zu f (x) ist:
.
F (x) ≡ f (x! ) dx! + C
(C ist die Integrationskonstante).
(1.31)
22
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.6.3
y
y − y0
= f ! (x0 )
x − x0
y = f (x)
Partielle Ableitung
Es sei f (x, y, z, . . .) eine Funktion von mehreren Variablen. Die Ableitung von
f nach der Variablen x bei konstantgehaltenen y, z, .. nennt man die partielle
Ableitung ∂f /∂x von f nach x.
Beispiele:
dx
f (x, y, z) = xyz
y1
dy
∆y
y0
f (x, y) =
∆x
1.6.4
O
x0
23
x
x1
,
⇒
x2 + y 2
∂f
= yz;
∂x
⇒
∂f
= xy
∂z
x
1
1
∂f
= ,
· 2x = ,
∂x
2 x2 + y 2
x2 + y 2
(1.32)
(1.33)
Gleichungen für die Ableitung von Vektoren
Wenn ein Vektor a Funktion einer Variablen ist (wie z.B. Funktion der Zeit
a(t)), kann die Ableitung des Vektors bezüglich dieser Variablen betrachtet
werden:
a(t + ∆t) − a(t)
da(t)
a! (t) =
≡ lim
(1.34)
∆t→0
dt
∆t
Es gilt:
Abbildung 1.19: Zur Definition der Ableitung f ! (x).
1. Die Ableitung des Produkts mit einer Zahl:
/
0 /
0
d
dc
da
(c · a) =
·a + c·
dt
dt
dt
y
y = f (x)
2. Die Ableitung des Skalarprodukts:
/
0 /
0
da
db
d
(a · b) =
·b + a·
dt
dt
dt
3. Die Ableitung des Vektorprodukts:
/
0 /
0
da
db
d
(a × b) =
×b + a×
dt
dt
dt
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(Beachte die Reihenfolge der Ableitung!).
O
x0
x1
x2
xn
∆x
Abbildung 1.20: Zur Definition des Integrals
! xn
x0
x
f (x) dx.
Für a = b erhalten wir mit Gleichung 1.36:
d 1 22
da
d
a =
(a · a) = 2a ·
(1.38)
dt
dt
dt
Daraus folgt: Wenn die Ableitung eines Vektors senkrecht zum Vektor ist, dann
ist der Betrag des Vektors als Funktion der Variablen konstant:
1 2
da
da
d 1 22
a⊥
⇒a·
=0⇒
a = 0 ⇒ a2 = konst.
(1.39)
dt
dt
dt
24
1.7
1.7.1
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Basisvektoren und Vektorkomponenten
Die kartesischen Basisvektoren und die Vektorkomponenten
Wir haben in Kap. 1.4 gesehen, dass ein Punkt P im Raum durch seine
Komponenten bezüglich eines Ursprungs O definiert werden kann.
Wir können auch einen Punkt P im Raum mit Hilfe eines Vektors definieren,
der die Verschiebung zwischen dem Ursprung O und dem Punkt darstellt.
Dafür brauchen wir drei Richtungen, die die Achsen des Koordinatensystems
darstellen.
Wir definieren dazu Einheitsvektoren (wir bemerken, dass in diesem Fall
nur die Richtung und nicht der Betrag relevant ist), die die Basisvektoren
darstellen (siehe Abb. 1.21):
Kartesische Einheitsvektoren:
ex , ey , ez
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
25
Wir bemerken auch, dass sie über bestimmte Vektorprodukte korreliert sind:
ex × ey = ez ,
ey × ez = ex ,
ez × ex = ey ,
(1.43)
Mit Hilfe der Einheitsvektoren können die Komponenten der Vektoren direkt
berechnet werden:
Die Komponenten eines Vektors stellen die Projektionen des Vektors in die
Richtung der Einheitsvektoren dar. Z.B. für a = (ax , ay , az ) gilt:
ax ≡ a · ex , ay ≡ a · ey , az ≡ a · ez ,
Dabei werden wir einen Vektor durch seine Komponenten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems darstellen:
a = ax ex + ay ey + az ez
(1.44)
Man kann leicht überprüfen, dass gilt:
?
ax = a · ex = (ax ex + ay ey + az ez ) · ex
= ax (ex · ex ) + ay (ey · ex ) + az (ez · ex )
= ax
(1.40)
%z
und in ähnlicher Weise für die anderen Komponenten.
&
ez
Die Vektoralgebra kann mit Hilfe der Komponenten neu geschrieben werden.
Wenn
!#
O
"$
!!
##
$
!
$#
""
ey$
$
%
## y
#
$
a = ax ex + ay ey + az ez = (ax , ay , az )
" ex
x !
"
#!
!
!
"
Vektoraddition: a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )
Vektorsubtraktion: a − b = (ax − bx , ay − by , az − bz )
Skalarmultiplikation: λa = (λax , λay , λaz )
Da die Einheitsvektoren senkrecht zueinander sind, gilt:
(1.45)
(1.46)
(1.47)
(1.48)
Häufig wird auch das Skalarprodukt durch die Komponenten der Vektoren
ausgedrückt. Es gilt:
(1.41)
Da die Einheitsvektoren normiert sind, gilt auch:
ex · ex = ey · ey = ez · ez = 1
b = (bx , by , bz ) ,
dann können die Vektorgleichungen zu Komponentengleichungen umgeschrieben werden:
Abbildung 1.21: Definition der kartesischen Einheitsvektoren.
ex · ey = ex · ez = ey · ez = 0
und
a · b = (ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez )
Es ergibt sich:
(1.42)
a · b = ax bx + ay by + az bz
(1.49)
26
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
d.h., das Skalarprodukt ist (in kartesischen Koordinaten) gleich der Summe
der Produkte der einzelnen Komponenten der Vektoren.
&z
er'
'
(
7
8 eϕ
7
P !7
'
'
(* eϑ
'
*
*
)
ϑ)
'
Man kann auch das Vektorprodukt als Funktion der Komponenten der Vektoren ausdrücken:
a × b = (ax ex + ay ey + az ez ) × (bx ex + by ey + bz ez )
= ax ex × (bx ex + by ey + bz ez ) + ay ey × (bx ex + by ey + bz ez )
+ az ez × (bx ex + by ey + bz ez )
= 0 + (ax ex × by ey ) + (ax ex × bz ez ) + (ay ey × bx ex ) + 0
+ (ay ey × bz ez ) + (az ez × bx ex ) + (az ez × by ey ) + 0
= ax by ez − ax bz ey − ay bx ez + ay bz ex + az bx ey − az by ex
Schliesslich erhält man:
a × b = (ay bz − az by ) ex + (az bx − ax bz ) ey + (ax by − ay bx ) ez
1.7.2
(1.50)
Lokales System in Kugelkoordinaten
Wenn wir Kugelkoordinaten verwenden, können wir in jedem Punkt P eine
Menge zueinander senkrechter Einheitsvektoren definieren:
Lokale Einheitsvektoren:
er , eϑ , eϕ ,
27
!
'
O
"$
"" ϕ $$
$$
x ""
y
(
"
"
#
$
%
!! $
P
Abbildung 1.22: Geometrische Definition der lokalen Einheitsvektoren im Kugelkoordinatensystem.
wobei die Richtung des Vektors er im Raum von ϑ und ϕ abhängt. Die
anderen zwei Einheitsvektoren eϑ und eϕ sind immer zu er senkrecht.
Um diesen Unterschied besser zu illustrieren, betrachten wir im Moment zwei
Dimensionen (d.h. wir nehmen z.B. die x-y-Ebene, wo die z-Koordinate konstant ist) und vergleichen die kartesischen und die Kugel-Koordinaten (Siehe
Abb. 1.23 und 1.24): Wir bemerken, dass die Kugeleinheitsvektoren als Funk-
(1.51)
Kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
wobei
y
y
1. er radial ist,
&
&
2. eϑ in die Richtung zeigt, in die der Punkt sich bewegt, wenn ϑ zunimmt,
und
O!
3. eϕ in die Richtung zeigt, in die der Punkt sich bewegt, wenn ϕ zunimmt
(siehe Abb. 1.22).
!
Es gilt:
y = konst.
eϑ × eϕ = er ,
eϕ × er = eϑ ,
er × eϑ = eϕ
(1.52)
Im kartesischen System hängen die Einheitsvektoren nicht vom Punkt ab.
Im Gegensatz dazu hängen die Einheitsvektoren des Kugelkoordinatensystems
vom Punkt ab. In diesem Fall ist der Vektor r, der den Ursprung O und den
Punkt P verbindet, immer so gegeben:
r = OP = rer ,
(1.53)
#
*
!x
*
*
*r '
(
*
)'
! eϕ
e*r*
)
* r
*
&
* ey
*
)! !
ex
&
x = konst.
!x
(
'
'
r = konst.
&
ϕ = konst.
Abbildung 1.23: Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen.
28
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
29
y
y
y
&
&
eϕ
*
6 '
(
*!'er
'
(6
ey r'
&'
e ϕ
#' ! x
!x
*
6er
!
ϕ
eϕ*
'*
6
'
- * r ey
* & e
*# ! x
r
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
x
!x
Abbildung 1.25: Zerlegung eines Vektors in seine kartesischen Komponenten.
Manchmal finden die Studierenden die Beziehung
r = rer
Abbildung 1.24: Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen.
tion der kartesischen Einheitsvektoren so geschrieben werden können (Versuche
mit ϕ = 0, π/2, π, usw . . .):


er

eϕ
= cos ϕ · ex + sin ϕ · ey
= − sin ϕ · ex + cos ϕ · ey
(1.54)
Wir beweisen nun, dass beide, kartesische und Kugel-Einheitsvektoren, einen
beliebigen Vektor r in ähnlicher Weise beschreiben können (wir betrachten
zwei Dimensionen; die Herleitung kann für den dreidimensionalen Fall leicht
erweitert werden). Wir drücken den Vektor r mit Hilfe der kartesischen und
Kugel-Einheitsvektoren aus:
r(x, y) = xex + yey
und r(r, ϕ) = rer
(kartesische Koordinaten)
(Kugelkoordinaten)
(1.55)
(1.56)
Mit den Gl. 1.54 und 1.56 erhalten wir:
r(r, ϕ) = rer
= r · (cos ϕ · ex + sin ϕ · ey )
= (r cos ϕ)ex + (r sin ϕ)ey
= xex + yey = r(x, y)
(1.57)
wobei wir verwendet haben, dass x und y tatsächlich gleich r cos ϕ und r sin ϕ
sind (Siehe Abb. 1.25).
verwirrend. Wir wissen, dass wir zwei unabhängige Parameter brauchen, um
einen Punkt in der x-y-Ebene zu definieren (d.h. x und y in kartesischen Koordinaten). Die Gleichung in Kugelkoordinaten sieht so aus, als ob sie nur einen
Parameter besässe. Man muss natürlich sehen, dass er nicht fest ist, sondern
von ϕ abhängt:
r = rer (ϕ)
Oft wird diese ϕ-Abhängigkeit nicht explizit geschrieben.
Weil er und eϕ zueinander senkrechte Einheitsvektoren sind, kann das Skalarprodukt in diesem Koordinatensystem leicht berechnet werden. Wenn
a = ar er + aϕ eϕ
und
b = br er + bϕ eϕ ,
(1.58)
gilt
a · b = ar br + aϕ bϕ
(1.59)
In diesem Fall müssen natürlich beide Vektoren a und b bezüglich desselben
Punkts P definiert werden (Der Punkt P wird durch einen Vektor r definiert,
wobei r = rer ).
438
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)

Physik für Informatiker Inhaltsverzeichnis

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