`Statistik IV fuer Statistiker` von Prof. Dr. Leonhard Held

Statistik IV im SoSe 2006, Leonhard Held, Michael Höhle
Lösungen zum 1. Übungsblatt
Aufgabe 1
Sei Xi ∼ N (0, 1), dann ist Yn =
n
P
i=1
Xi2 ∼ χ2 (n).
Also
E(Xi2 ) = 1
V ar(Xi2 ) = 2.
Durch Anwendung des ZGWS für Yn :
D
Yn → N (n · 1, n · 2) für n → ∞
Das heißt für n groß genug, kann die χ2 (n)-Verteilung mit einer N (n, 2n)-Verteilung approximiert werden.
Bemerkung:
Die Konvergenz ist langsam, die Schiefe von Yn ∼ χ2 (n) ist
q
8
n
und die Kurtosis
12
n.
Lösungsvorschlag von z.B. Fischer:
√
√
Betrachte die Zufallsvariable Z = 2 · Yn , die approximativ N ( 2n − 1, 1) verteilt ist.
Aufgabe 2
iid
X1 , . . . , Xn ∼ Exp(λ)
n
P
a) Sei X̄n = n1
Xi . Durch den ZGWS gilt
i=1
⇒ X̄n
b) Sei Y = g(X̄n ) =
1
,
X̄n
d.h. g(x) =
1
x
1
1
,n · 2
λ
λ
1 1 1
a
∼ N
, ·
λ n λ2
a
n · X̄n ∼ N
n·
und g 0 (x) = − x12 .
Da g 0 ( λ1 ) = −λ2 6= 0 kann die ∆-Methode benutzt werden.
1 0 1 2 1 1
a
Y ∼ N g( ), g ( ) · · 2
λ
λ
n λ
1
a
⇒ Y ∼ N λ, · λ2
n
Aufgabe 3
Sei X1 , . . . , Xn eine Folge von Zufallsvariablen mit Xn ∼ N (0, n1 ) und X = 0.
D
Zu zeigen: Xn → X.
Lösung: (mit charakteristischer Funktion)
1 1
PXn (t) = E(exp(itx)) = exp(− · · t2 )
2 n
Z
PX (t) = E(exp(itx)) = exp(itx) · fX (x) = 1
LaMo:
5. Mai 2006@11:47
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Statistik IV im SoSe 2006, Leonhard Held, Michael Höhle
Lösungen zum 1. Übungsblatt
Es gilt:
1 1
lim ϕn (t) = lim exp(− · · t2 ) = exp(0) = 1
n→∞
n→∞
2 n
D
und dies ist stetig an t = 0. Durch Stetigkeitssatz gilt: Xn → X.
P
Frage: Gilt Xn → 0? Ja, siehe Aufgabe 4.
Aufgabe 4
P
D
Zu zeigen: Xn → c mit c ∈ R ⇒ Xn → c.
Lösung:
Verteilungsfunktion von Y ≡ c.

0
FY (y) =
1
für y < c
für y ≥ c
D
Konvergenz in Verteilung Xn → c bedeutet

0 für x < c
FXn (x) →
1 für x ≥ c
für n → ∞
für x ∈ R \ {c}. D.h. für x < c : P (Xn ≤ x) → 0 für n → ∞
und für x > c : P (Xn ≤ x) → 1 für n → ∞
Um Konvergenz in Wahrscheinlichkeit zu zeigen:
P (|Xn − c| > ε) = P (Xn − c > ε) + P (Xn − c < −ε)
= P (Xn > c + ε) + P (Xn < c − ε)
Nun folgt
P (Xn < c − ε) ≤ P (Xn ≤ c − ε) → 0 für n → ∞
P (Xn > c + ε) = 1 − P (Xn ≤ c + ε) → 0 für n → ∞
Damit
P
P (|Xn − c| > ε) → 0 für n → ∞ und somit Xn → c
LaMo:
5. Mai 2006@11:47
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