dz. - Dr. Jim Otis

Technische
Hydro- und Aeromechanik
Von
W alther Kaufmann
Dr.-Ing. habil. Dr.-Ing. E. h.
em. o. Professor der Mechanik an der Technischen Hochschule
München
Dritte verbesserte und ergänzte Auflage
Mit 271 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1963
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten
Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet,
dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege
(Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielfältigen
Copyright 1954 by Springer-Verlag OHG., Berlin/GöttingenjHeidelberg
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1958 and 1963
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin/Gottingen/Heidelberg 1963
Library of Congress Catalog Card Number: 62-20469
ISBN 978-3-662-13101-5 (eBook)
ISBN 978-3-662-13102-2
DOI 10.1007/978-3-662-13101-5
Die Wiedergabe von Gebranchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen nsw.
in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zn der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher vonjedermann benutzt werden dürften
Vor\vort zur dritten Auflag·e
Der in der ersten und zweiten Auflage (1954 und 1958) gewählte Grundaufbau
dieses Buches sowie die darin getroffene Stoffauswahl scheinen sich im wesentlichen bewährt zu haben, was schon daraus hervorgehen dürfte, daß jetzt, nach
wiederum vier Jahren, eine Neuauflage erforderlich wurde. Außerdem ist inzwischen die zweite Auflage im Auftrag der "McGraw-Hill Book Company", New
York, von Herrn Professor Dr. E. G. CHILTON, Stanford Research Institute,
Menlo Park, California, auch in die englische Sprache übersetzt worden und
wird voraussichtlich in Kürze in den USA erscheinen. Für ein derartiges, sich
an einen relativ begrenzten Leserkreis wendendes Spezialwerk darf dieses wohl
als ein günstiges Zeichen gewertet werden. Ich habe deshalb bei der Bearbeitung
der dritten Auflage keinen Anlaß gesehen, von der Grundkonzeption des Buches
abzugehen. Freilich wird es dabei immer schwieriger, den Leser mit den neuesten
Forschungsergebnissen auf bestimmten Spezialgebieten hinreichend vertraut zu
machen. Es war also (besonders in der zweiten Hälfte des Buches) auch jetzt
wieder eine weitgehende Beschränkung auf das Wesentliche geboten, derart, daß
wenigstens die grundlegenden Ansätze der verschiedenen Probleme gebracht und
gegebenenfalls noch durch the.oretisch gewonnene Ergebnisse erläutert wurden.
In den ersten Abschnitt des Buches (Eigenschaften der Flüssigkeiten und
Gase) ist ein kurzer Abriß ,,Dimensionen und Maßsysteme'' aufgenommen worden,
da bei der immer enger werdenden Verknüpfung von "technischer" und "physikalischer" Strömungsmechanik das Nebeneinander vom technischen und physikalischen Maßsystem gerade den Ingenieuren mancherlei rechnerische Schwierigkeiten bereitet. Im übrigen ist dieser Abschnitt, ebenso wie der zweite, sowie
die Absätze I und IIA des dritten, abgesehen von einigen mehr formalen Änderungen, nahezu unverändert aus der zweiten Auflage übernommen worden.
Im Absatz IIB des dritten Abschnitts wurde im Anschluß an die Ableitung
der NAVIER-STOKESschen Bewegungsgleichen für zähe (viskose) Flüssigkeiten ein
kurzes Kapitel über die durch innere Reibung in Wärme umgesetzte Energie
(Dissipation) neu hinzugefügt, da diese Frage neuerdings bei gewissen Problemen
der Grenzschichttheorie (S. 250) und der Wirbeltheorie für zähe Flüssigkeiten
(S. 290) auch praktische Bedeutung erlangt hat.
In einem ebenfalls neu aufgenommenen, etwas umfangreicheren Kapitel wird
die Wirbelbewegung in zähen Flüssigkeiten behandelt, soweit man heute darübe.r
schon etwas Genaueres aussagen kann.
Einige Verbesserungen und Erweiterungen hat auch der Absatz III des
dritten Abschnitts (Gasdynamik) erfahren. Das gilt insbesondere hinsichtlich der
Ableitung der PorssoNschen Gleichung für isentrope Zustandsänderung und des
Wirbelsatzes von CRocco. In dem Kapitel "Tragflügel von endlicher Spannweite
bei Unterschallanströmi.mg" wurde die Karmansche Regel für den Grenzfall Ma-+ I
kurz besprochen und auf deren Bedeutung für die Berechnung der "Druck-
IV
Vorwort zur dritten Auflage
beiwerte" von Tragflügeln mit verschiedenem Dickenverhältnis hingewiesen.
Schließlich fand'noch das Kapitel "Strömungen mit Überschallgeschwindigkeit"
eine Ergänzung durch die Aufnahme des "Stoßpolarendiagramms" von BusEMANN und einige praktisch wichtige Bemerkungen zur Überschallströmung um
schlanke Profile.
Ich hoffe, daß die obengenannten Verbesserungen und Ergänzungen eine
Bereicherung des gebotenen Stoffes bedeuten und dem Buche auch in Zukunft
einen bescheidenen Platz in der umfangreichen Literatur über Strömungsmechanik sichern werden.
Abschließend habe ich allen Kollegen, Fachgenossen und auch Studierenden
zu danken, die mich auf Druckfehler in der zweiten Auflage aufmerksam gemacht
oder mir Anregungen für sonstige Verbesserungen gegeben haben. Herrn H. STEFARNIAK danke ich besonders für seine Hilfe beim Lesen der Bogenkorrektur
und dem Springer-Verlag für die bereitwillig erteilte Zustimmung zu der erforderlichen Vergrößerung des Buchumfanges sowie für die bekannt mustergültige
Ausstattung des Werkes.
München, im Juli 1962
W. Kaufmann
Inhaltsverzeichnis
Erster Abschnitt
Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
1.
2.
3.
4.
Ideale und natürliche Flüssigkeiten .
Dimensionen und Maßsysteme . . .
Die thermische Zustandsgleichung für
Der Flüssigkeitsdruck . . . . . . .
. . . . .
. . . . . .
vollkommene Gase
. .
Seite
1
2
4
6
Zweiter Abschnitt
Gleichgewicht
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(Hydro- bzw. Aerostatik)
Gleichgewichtsbedingungen von L. EuLER. . .
. . . . .
Der Druck in einer Flüssigkeit unter Einwirkung der Schwere .
a) Homogene Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Mehrere Flüssigkeiten von verschiedenem spezifischem Gewicht
c) Kommunizierende Gefäße . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flüssigkeit in gleichförmiger Drehung um eine feste Achse . . . . .
Druck in einer gepreßten Flüssigkeit bei Vernachlässigung der Schwere
Druck der ruhenden Flüssigkeit gegen Behälterwände
a) Druck auf ebene Flächen . . . . . . . .
b) Druck auf gekrümmte Flächen . . . . . .
Auftrieb einer ruhenden Flüssigkeit . . . . . .
Stabilität schwimmender Körper. Metazentrum
Oberflächenspannung . . . . . . . . . . .
Gleichgewicht der Atmosphäre (Aerostatik) .
a) Isothermer Zustand . .
. .
b) Adiabatischer Zustand . . . . . . . .
c) Normalatmosphäre . . . . . . . . .
8
ll
ll
12
12
13
16
17
17
20
22
24
26
29
30
31
32
Dritter Abschnitt
Bewegung der Flüssigkeiten
(Hydro- bzw. Aerodynamik)
Einführung: Begriff der strömenden Flüssigkeit . . . .
I. Eindimensionale Strömung (Stromfadentheorie)
A. Reibungsfreie Strömung . . . . . . . . .
1. Stromröhre und Kontinuitätsgleichung . . . . .
2. Die EuLERschen Bewegungsgleichungen. . . . .
.
.
3. Die BERNOULLische Druck- oder Energiegleichung .
4. Einige einfache Anwendungen der BERNOULLischen Gleichung
a) VENTURI-Rohr. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .
b) Ausfluß aus einem Gefäß mit kleiner Offnung unter der Wirkung der
Schwere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Ausfluß aus einem geschlossenen Gefäß, in dem ein innerer Überdruck
herrscht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Saugwirkung einer strömenden Flüssigkeit . . . .
5. Staudruck und Gesamtdruck . . . . . . . . . . .
6. Luft als inkompressible (raumbeständige) Flüssigkeit
7. Die Energiegleichung für instationäre Strömungen
8. Die Impulssätze der Hydrodynamik . . . . . . . .
33
37
37
37
39
40
41
41
42
44
45
46
49
50
55
VI
Inhaltsverzeichnis
Seite
9. Einige. Anwendungen der Impulssätze . . . . . . . . . .
a) Dr~ck der strömenden Flüssigkeit auf die Wandungen eines Rohrkrummers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Rückdruck austretender Strahlen ( Strahlreaktion)
e) Druck eines freien Strahles gegen eine Wand . .
. .
d) Druck der strömenden Flüssigkeit auf gleichförmig rotierende Kanäle
(EuLERsche Turbinengleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Strömung mit Energieverlusten. Einfluß der Zähigkeit
I 0. Verallgemeinerte BERNOULLrsche Gleichung für nichtideale Flüssigkeiten
11. Der NEWTONsehe Elementaransatz für die Flüssigkeitsreibung . . . .
12. Laminare Strömung. Gesetz von HAGEN-PorsEUILLE . . . .
13. Turbulente Strömung. REYNOLDssche Zahl . . . . . . . . .
14. Das REYNOLDSsche Ähnlichkeitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
15. Ansatz für die turbulente Strömung im Kreisrohr . . . . . . . . . .
16. Der PRANDTLsche Mischungsweg und die KARMANsche Ähnlichkeitshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17. Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Strömung längs einer ebenen
Wand . . . . . . . . . . . . . . . .
. ...
18. Turbulente Strömung in kreiszylindrischen Rohren . . . .
a) Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Die Widerstandsziffer der turbulenten Rohrströmung . .
c) Experimentelle Gesetze für das hydraulisch glatte Rohr
d) Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . .
e) Das Widerstandsgesetz für glatte Rohre . .
f) Rauhe Rohre . . . . . . . . . . . . . .
g) Rohre von nichtkreisförmigem Querschnitt.
19. Praktische Rohraufgaben . . . . . . . . .
a) Gegeben sind Q und d, gesucht J und v .
b) Gegeben sind dund J, gesucht v und Q . .
c) Gegeben sind J und Q, gesucht d und v .
20. Besondere Widerstände in geschlossenen Leitungen
a) Ausfluß aus Behältern durch Ansatzrohre
b) Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . .
c) Richtungsänderungen . . . . . . . . . . . .
21. Rohrverzweigung. . . . . . . . . . . . . . . .
22. Instationäre Strömung in geschlossenen Leitungen.
a) Die Reibung wird vollkommen vernachlässigt
b) Die Reibung ist proportional der Geschwindigkeit
c) Die Reibung ist proportional dem Geschwindigkeitsquadrat
23. Strömung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . .
a) Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Gleichförmige Bewegung in Gerinnen mit fester Sohle
c) Strömende und schießende Bewegung . . . . . . . .
d) Ungleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . .
II. Allgemeine Theorie der zwei- und dreidimensionalen Strömung
A. Grundbegriffe und Grundgesetze der idealen Strömung
Vorbemerkung. . . . . . . . . . . . . . .
1. Kontinuitätsgleichung. Satz von GAuss
2. Die EuLERschen Bewegungsgleichungen. .
3. Wirbelbewegung und wirbelfreie Bewegung
4. Zirkulation. Satz von THOMSON . .
5. Der Integralsatz von STOKES . . .
6. Die BERNOULLische Druckgleichung
7. Ebene Potentialströmung . . . . .
8. Konforme Abbildung . . . . . . .
9. Einige Anwendungen des komplexen Potentials .
a) Quell- bzw. Senkenströmung . . . . . . . .
b) Strömung in einem von zwei ebenen Wänden gebildeten Winkelraum
c) Quelle und Senke von gleicher Ergiebigkeit .
d) Parallelströmung um einen Kreiszylinder
e) Potentialströmung um eine rechteckige Platte
f) Überlagerung verschiedener Strömungsbilder .
57
57
57
58
59
60
60
61
61
66
69
70
73
77
78
78
79
81
82
87
89
94
95
96
97
97
99
99
101
104
106
108
109
110
111
114
114
116
119
121
128
128
128
129
130
132
134
138
140
142
147
149
149
151
152
155 ·
157
159
Inhaltsverzeichnis
VII
Seite
10. Strömung mit Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . .
161
a) Strömung in konzentrischen Kreisen . . . . . . . . . .
161
b) Parallelströmung und Zirkulation . . . . . . . . . . . .
162
c) Ebene Strömung um ein JoUKOWSKYsches Tragflügelprofil
163
11. Drehsymmetrische Potentialströmung .
166
12. Der hydrodynamische Auftrieb . . . . .
172
13. Oberflächenwellen . . . ·. . . . . . . .
175
a) Gerade, fortschreitende Schwerewellen.
176
b) Stehende Wellen . . . . . . . .
180
c) Wellengruppen . . . . . . . . . .
180
d) Einfluß der Oberflächenspannung . .
182
e) Schiffswellen . . . . . . . . . . .
183
f) Das F:aounEsche Ähnlichkeitsgesetz .
184
14. Wirbelbewegung . . . . . . . . . . .
185
a) Grundgesetze und Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
b) Das GeschwindigkeitsfeldeinerWirbelbewegung. BIOT·SAVARTsches Gesetz 188
c) Mehrere geradlinige, parallele Wirbelfäden in einer sonst drehungsfreien
Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
·
191
d) Wirbelschichten und Trennungsflächen. . .
193
e) Wirbelstraßen (KARMANsche Wirbel) . . . .
195
f) Die kinetische Energie ebener Wirbelfelder.
200
B. Bewegung zäher Flüssigkeiten . . . . . . . . .
206
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . · . .
206
15. Die NAVIER-STOKESschen Bewegungsgleichungen.
206
16. Die durch innere Reibung in Wärme umgesetzte Energie (Dissipation)
212
17. Strömungen mit sehr kleinen Re-Zahlen (Schleichende Bewegung) . . .
214
a) Stationäre Parallelströmung um eine ruhende Kugel . . . . . . . . 214
b) Strömung zwischen zwei nahe nebeneinander stehenden, parallelen ebenen
Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
c) Grundwasserbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
d) Hydrodynamische Theorie der Schmiermittelreibung . . . .
223
18. Die PRANDTLsche Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . .
232
a) Grundsätzliche Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
232
b) Die Differentialgleichungen der ebenen Grenzschichtströmung
233
c) Folgerungen aus den. Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . .
235
d) Einige Bemerkungen über die Integration der Grenzschichtgleichungen
238
e) Impulssatz für die Grenzschicht (v. KARMANs Integralbedingung) .
245
f) Der Energiesatz und seine Verbindung mit dem Impulssatz
249
19. Turbulente Grenzschichten . . . . . . . . . . .
254
a) Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . .
254
b) Die längsaugeströmte dünne Platte . . . . . .
255
c) Turbulente Grenzschichten mit Druckgradienten
258
20. Über die Entstehung der Turbulenz . . . . . . .
259
21. Flüssigkeitswiderstand und Widerstandsziffer . . . . . . . .
264
a) Allgemeine Bemerkungen über den Flüssigkeitswiderstand.
264
b) Die Widerstandsziffer . . . . . . . . . . . . . .
265
c) Experimentelle Bestimmung des Profilwiderstandes .
271
22. Maßnahmen zur Grenzschichtbeeinflussung . . . . . .
274
23. Freie Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
24. In ruhender Flüssigkeit rotierende Scheiben und Zylinder
281
a) Rotierende Scheibe in unendlich ausgedehnter Flüssigkeit .
281
b) Die in einem Gehäuse rotierende Scheibe . . . . . . . .
284
c) Strömung zwischen zwei konzentrischen, gegeneinander bewegten
Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
25. Wirbel in zähen, inkompressiblen Flüssigkeiten . . . . . . .
287
a) Die Wirbeldifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . .
287
b) Der ÜSEENsche Wirbel. . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
288
c) Kinetische Energie und Dissipation des ÜSEENschen Wirbels . . .
290
d) Die zeitliche .Änderung der Zirkulation beliebiger Wirbelströmungen 292
e) Der Anfangszustand des kreiszylindrischen Wirbels
295
f) Die zeitliche Wirbelausbreitung . . . . . . . . . .
298
VIII
Inhaltsverzeichnis
Seite
26. Der Tragflügel . . . . . . . . . . . . . .
a} Grundbegriffe und Bezeichnungen. . . .
b} Der Tragflügel in ebener Strömung . . .
c) Der Tragflügel von endlicher Spannweite
27. Flügelgitter . . . . . . . . . . . . . . .
a) Problemstellung und Bezeichnungen
..
b) Strömung durch eine gerade, unendlich lange Flügelreihe .
c) Kreisförmige Flügelgitter.
28. Schraubenpropeller . . . . .
a) Einführung . . . . . . .
b) Die einfache Strahltheorie
c) Die Flügelblatttheorie . .
301
301
306
321
342
342
343
350
352
352
352
355
III. Grundlagen der Dynamik kompressibler Flüssigkeiten (Gasdynamik).
1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Die Grundgleichungen der Gasdynamik . . . . . . . . . . . .
a) 'Kontinuitätsb~dingung und Bewegungsgleichungen. Dissipation .
b) Die zeitliche Änderung der Zirkulation . . . . . . . . . . .
c) Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Die BERNOULLische Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
e) Die Potentialgleichung für ebene und räumliche Strömungen
3. Fortpflanzung kleiner Störungen, Schallgeschwindigkeit . . . .
4. MACHScher Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Gasströmungen in eindimensionaler Behandlung (Stromfadentheorie}
a) Der Energiesatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b} Entropie. PoiSSONsche Gleichung. Wirbelsatz von CROcoo .
c) Strömung in Rohren mit veränderlichem Querschnitt. ·. . .
d) Der gerade, stationäre Verdichtungsstoß. . . . . . . . . .
e) Einige Bemerkungen über Rohrreibung und Grenzschichten .
6. Strömungen mit Unterschallgeschwindigkeit . . . . . . . . . .
a) Linearisierung der Potentialgleichung . . . . . . . . . . .
b) Ebene Unterschallströmung um schlanke Profile . . . . . .
7. Tragflügel von endlicher Spannweite bei Unterschallanströmung
8. Strömungen mit Überschallgeschwindigkeit . . . . . . . . . .
a) Lösung der Iinearisierten Potentialgleichung . . . . . . . . . . . .
b) Anwendung der vorstehenden Lösung auf ebene Strömungen längs einer
schwach geknickten Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Stetige Umlenkung an einer konvex geknickten Wand . . . . . . . .
d) Strömung längs einer konkav geknickten Wand. Schräger Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Das Charakteristikenverfahren von PRANDTL und BuBEMANN
f) Das BuSEMANNsche Stoßpolarendiagramm . . . . . .
g) Bewegung von Körpern mit Überschallgeschwindigkeit
401
403
406
408
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414
361
361
363
363
364
365
367
368
369
371
372
372
374
376
379
383
389
389
392
396
398
398
399
400
Erster Abschnitt
Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
1. Ideale und natürliche Flüssigkeiten
Hydromechanik ist die Lehre vom Gleichgewicht und von der Bewegung
der Flüssigkeiten. Unter einer "Flüssigkeit" versteht man einen materiellen,
stetig zusammenhängenden Körper, der durch leichte Verschieblichkeit seiner
Teilchen ausgezeichnet ist oder, anders ausgedrückt, der - im Gegensatz zum
"festen" Körper - einer Formänderung nur geringe Widerstände entgegensetzt!. Dieses Verhalten der Flüssigkeit läßt vermuten, daß zwischen den einzelnen
in Bewegung befindlichen Flüssigkeitselementen nur kleine Tangentialkräfte auftreten, so daß in erster Näherung die Annahme berechtigt erscheint, von solchen
Tangentialkräften überhaupt abzusehen. Die Erfahrung hat gelehrt, daß sich
auf Grund dieser Hypothese der Gleichgewichtszustand sowie gewisse Bewegungsvorgänge in guter Übereinstimmung mit der Wirklichkeit beschreiben lassen,
andere dagegen nicht. Das abweichende Verhalten im letzteren Falle führt man
darauf zurück, daß tatsächlich zwischen den sich berührenden, bewegten Flüssigkeitsschichten Tangentialkräfte (ähnlich den Schubspannungen der Elastizitätstheorie) auftreten, die man als Reibungsspannungen oder Reibungswiderstände
bezeichnet und die wesentlich von der Geschwindigkeitsänderung der strömenden
Flüssigkeit normal zur Bewegungsrichtung abhängig sind, Solche Reibungswiderstände treten z. B. auf bei der Bewegung des Wassers in Rohren, Flüssen
und Gerinnen, ebenso bei der Bewegung fester Körper in Flüssigkeiten. Aus der
Erfahrung ist ja bekannt, daß zur Bewegung eines solchen Körpers relativ zur
Flüssigkeit eine Kraft aufgewendet werden muß, um die dabei auftretenden Reibungswiderstände zu überwinden. Eine Flüssigkeit, welcher innere Reibung als
nicht zu vernachlässigende physikalische Eigenschaft beigelegt werden muß, heißt
eine zähe (viskose) oder reibende Flüssigkeit.
Tropfbar-flüssige Körper oder Flüssigkeiten im engeren Sinne erfahren in einem
entsprechend widerstandsfähigen Gefäß oder Behälter selbst unter sehr hohem
Druck nur eine verschwindend kleine Volumenänderung, so daß man bei fast
allen praktisch wichtigen Vorgängen der Hydromechanik die tropfbaren Flüssigkeiten als nicht zusammendrückbar (inkompressibel) ansehen kann. So beträgt
z. B. die Raumverminderung des Wassers bei 0 °Ü für je l kpfcm 2 Druck nur
etwa 0,050{00 des ursprünglichen Volumens, bei steigender Temperatur sogar
noch weniger 2 • Ein solcher Flüssigkeitskörper besitzt also praktisch ein unveränderliches Volumen und somit eine (nahezu) konstante Dichte (Masse: Volumen).
Eine Flüssigkeit, die in dem oben erläuterten Sinne als frei ·von inneren
Reibungen und außerdem als unzusammendrückbar oder raumbeständig an1 Das gilt für gewöhnliche Flüssigkeiten, wie Wasser, Alkohol, Quecksilber usw., dagegen
weniger für Öl und noch weniger für sehr "zähe" Stoffe, wie Teer, Asphalt und dergleichen.
Sollen bei solchen Stoffen die zur Formänderung notwendigen Kräfte klein bleiben, so muß
diesen Flüssigkeiten im weiteren Sinne genügend Zeit für ihre Formänderung zur Verfügung
stehen.
2 Über die Kompressibilität verschiedener Stoffe vgl. AuERBACH-HORT: Handb. d.
physik. u. techn. Mechanik Bd. 5 (1931) S. 2 u. f.
Kaufmimn, Hydro· und Aeromechanik, 3. Auf!.
1
2
Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
gesehen werden kann, wird im Gegensatz zur natürlichen (realen) als ideale oder
.
vollkommene Flüssigkeit bezeichnet.
Die oben beschriebene Eigenschaft der tropfbaren Flüssigkeiten, einer Formänderung nur geringe Widerstände entgegenzusetzen, besitzen auch die Gase,
von denen in dem vorliegenden Buche insbesondere die Luft interessiert. Im
Gegensatz zu ersteren sind letztere jedoch nicht raumbeständig. Sie suchen vielmehr jeden ihnen zur Verfügung stehenden Raum unter Änderung ihrer Dichte
gleichförmig zu erfüllen und können nur durch die Wirkung äußerer Druckkräfte
auf einen bestimmten Raum beschränkt werden. Außerdem ist ihr Volumen bei
konstant gehaltenem Druck wesentlich von der Temperatur abhängig.
Indessen hat die Erfahrung gelehrt, daß die Dichteänderungen, welche bei der
Bewegung eines Gases relativ gegen einen festen Körper bzw. bei der Bewegung eines
festen Körpers in einem an sich ruhenden Gase auftreten, nur gering sind, solange
es sich um Geschwindigkeiten handelt, die wesentlich kleiner sind als die SchaUgeschwindigkeit in dem betreffenden Gase. So ergibt sich z. B. für Luft bei
normalem Druck und normaler Temperatur bei einer Geschwindigkeit von
50 mfs = 180 kmfh in der Nähe der Erdoberfläche eine Dichteänderung von
wenig mehr als l %- Vernachlässigt man derartige Schwankungen der Dichte, so
können auch die Gase unter den obigen Voraussetzungen angenähert als raumbeständig angesehen werden (e ~ const), und die Bewegungsgesetze der Hydrodynamik gelten dann unverändert auch für Gase (Aerodynamik, vgl. S. 49).
2. Dimensionen und Maßsysteme
Alle in der Mechanik auftretenden dimensionsbehafteten Größen (Länge, Zeit,
Kraft, Masse, Arbeit usw.) lassen sich bekanntlich durch drei Grundeinheiten
ausdrücken, aus denen die übrigen abgeleitet werden können. Den Grundbegriffen Raum und Zeit entsprechen die Einheiten der Länge und der Zeit:
das Meter [m] bzw. die Sekunde [s], wobei die eckigen Klammern lediglieh zum
Ausdruck bringen sollen, daß es sich dabei um die Angabe der "Dimension"
für die betreffende mechanische Größe handelt.
Es erhebt sich nun die Frage, welche Einheit als dritte Grundeinheit eingeführt
werden soll. Bedingt durch die historische Entwicklung haben sich daraus zwei
verschiedene Maßsysteme eingebürgert: das technische, bei dem die Krafteinheit,
und das physikalische, bei dem die Masseneinheit als dritte Grundeinheit gewählt wird.
Als technische Krafteinheit l Kilopond [kp]* dient das "Gewicht" (d. h. der
Schweredruck) des im Internationalen Büro für Maß und Gewicht in Sevres bei
Paris aufbewahrten Kilogrammprototyps, das die "normale" Erdbeschleunigung (/n = 9,80665 m s- 2 erfährt. Mit großer Annäherung ist dies das Gewicht
eines Liters Wasser bei 4 cc. Aus dem Kraftgesetz Gewicht= Masse X Erdbeschleunigung folgt somit als Dimension der Masse [kp m- 1 s 2]. Daraus ergibt
sich folgerichtig als Dimension der Dichte(! (Masse: Volumen) der Wert [kps 2 m- 4 ).
Da nun die Masse eines Körpers eine vom Ort unabhängige Größe, sein Gewicht aber mit der Erdbeschleunigung veränderlich ist I, liegt es eigentlich näher,
die Masseneinheit als dritte Grundeinheit einzuführen und die Krafteinheit als
abgeleitete Einheit zu betrachten. Das geschieht im physikalischen Maßsystem
durch Wahl der Masse des oben genannten Kilogrammprototyps, die mit l kg
bezeichnet wird. Die Dichte (! erhält damit die Dimension [kg m- 3 ]. Dieser
*
Früher wurde hierfür die Bezeichnung "1 kg-Gewicht" verwendet.
Nach dem Gravitationsgesetz nimmt die Erdbeschleunigung g bekanntlich mit wachsendem Abstand vom Erdmittelpunkt ab.
1
3
Dimensionen und Maßsysteme
Definition entsprechend wird in diesem Buche das ,Maß l kg nur noch zur Bezeichnung derjenigen Masse (Stoffmenge) verwendet, welche das Gewicht l kp
besitzt, d. h. es ist
m
s
l kp = l kg X 9,81 -2
kgm
= 9,81 --s2-
(1)
,
wenn- wie in der Technik üblich - gn ~ 9,81 ~- gesetzt wird. Als (abgeleitete)
s
Krafteinheit gilt im physikalischen Maßsystem (ausgedrückt durch die im
"Internationalen Einheitensystem" vorgeschlagenen :Maßeinheiten) die Kraft
1 Newton [N], welche der Masse 1 kg die Beschleunigung 1; erteilt, d. h. es ist
s
1 N = l kg X 1 ~ = 1 k~~ .
(2)
Damit ergibt sich aus (1) und (2) sofort der zwischen kp und X bestehende Zusammenhang
l kp = 9,81 :N.
(2a)
Hinsichtlich der Dichte
e folgt
s2
1 kpm4
aus (I)
kg
kg
=9 SI ----.= 9 81 - - .
m
'
82
s2
m4
'
(3)
m3
Dieser Zusammenhang ermöglicht sofort die Umrechnung von tabellarisch
gegebenen Werten e [k~=2J in (![!~]und umgekehrt.
Bei Strömungen tropfbarer Flüssigkeiten (Wasser usf.), wo der Einfluß der
Schwerkraft gewöhnlich eine erhebliche Bedeutung besitzt, wird in der Technik
vielfach neben der Dichte e [k~~] noch das spezifische Gewicht y [~;] - auch
Wichte genannt - verwendet, worunter das auf die Raumeinheit bezogene Körpergewicht verstanden wird. Nach der dynamischen Grundgleichung gilt also
y = gg,
mit g als (örtlicher, s. oben) Erdbeschleunigung. Sofern es sich dabei um Vorgänge auf (oder in unmittelbarer :Nähe) der Erdoberfläche handelt, wird g in
der Technik als eine vom Ort unabhängige Größe angesehen und gleich 9,81 ~
s
gesetzt.
In der Strömungsmechanik wird der Druck p (d. h. die Druckkraft je Flächeneinheit) i. a. in ~ oder in kp2 gemessen. Bei Einführung des Newton [N] als
m
cm
Krafteinheit ist also wegen (2a)
kp_9 l X
l -2=
,8 2
m
m•
Entsprechend gilt für die "technische Atmosphäre"
I at = l
~
= 104 m2
~Jl = 9' 81 · J04 m2
X
cm2
.
In dem vorliegenden Buche wird vorerst das technische .Maßsystem mit der
Kraft [kp] als dritter Grundeinheit und der :Masse [kp s 2 m- 1] als abgeleiteter
Einheit beibehalten. Sofern von dieser Regel einmal abgewichen wird, und das
ist bei denjenigen Problemen der Fall, wo thermodynamische Größen eine Rolle
spielen - wird an diesen Stellen besonders darauf hingewiesen. Im übrigen
können erforderliche Umrechnungen von Zahlenwerten beim Übergang vom tech1*
4
Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
Disehen zum physikalischen Maßsystem mit Hilfe der obigen Gin. (I) bis (3)
ohne Schwierigkeit vollzogen werden 1 •
Die meisten Anwendungen der Hydromechanik beziehen sich - wie ja bereits
ihr Name sagt- auf das Wasser. Sein spezifisches Gewicht (Wichte) ist bekanntlich etwas mit dem Druck und der Temperatur veränderlich, indessen sind diese
Unterschiede so gering, daß sie für die meisten technischen Anwendungen unberücksichtigt bleiben dürfen. In dem vorliegenden Buche soll deshalb das
spezifische Gewicht des Wassers als eine konstante Größe angesehen und mit
dem Werte y = IOOO kpfm 3 eingeführt werden. Gleiches gilt von seiner Dichte eDie größte Dichte besitzt luftfreies Wasser bei 4 °0. Im übrigen gelten für y
und e bei Temperaturen zwischen 0° und IOO 0 0 folgende Werte2.
Temperatur
in °C
oo
100
I'
20°
400
y [kp/ma]
1000
1000
992
998
e [kps2fm4]
101,9
101,9
101,7 i 101,1
Bezüglich der lJmrechnung auf [kg/m 3] vgl. GI. (3).
0
0
60°
80°
100°
983
100,2
972
99,1
958
97,8
Das spezifische Gewicht und die Dichte der Luft haben bei einem Barometerstand von 760 mm Quecksilbersäule folgende Werte 2 • (Vgl. dazu im übrigen
Ziffer 3.)
Temperatur
in °C
y [kp/m3 ]
I
I
I
; 1,40 II 1,29 : 1,20 : 1,12 11,06 11,00 0,95 0,746 0,393
: 0,142 0,132 I 0,123 i O,ll5 I 0,108 0,102 0,096 0,076 ! 0,040
Bezüglich der Umrechnung auf [kg/m 3] vgl. GI. (3).
••..
r! [kps 2/m4 ]
•
•
•
3. Die thermische Zustandsgleichung für vollkommene Gase
Strömungsvorgänge von Gasen, die mit größeren Dichteänderungen verbunden
sind, können nicht mehr unter der Vorstellung einer inkompressiblen Flüssigkeit
(Ziffer I) behandelt werden. Vielmehr ist bei ihnen die Veränderlichkeit der Dichte
in Abhängigkeit vom Druck und der Temperatur in Betracht zu ziehen. Solche
Strömungen fallen in das Gebiet der sogenannten Gasdynamik und werden in
einem besonderen Kapitel dieses Buches behandelt (vgl. S. 36lff.). Der Zusammenhang zwischen den Größen Druck p, Dichte e und Temperatur T ist
durch die Zustandsgleichung der vollkommenen Gase
pv = RT
(4)
bestimmt (GAY-LussAc-MARIOTTEsches Gesetz). Darin stellt v das "spezifische"
Volumen und R die sogenannte Gaskonstante des betreffenden Gases dar.
T = 273°
t 0 0 ist die absolute Temperatur, mit -273° des absoluten Nullpunkts und t 0 als Temperatur über dem Nullpunkt der Celsius-Skala. Neuerdings wird dafür auch die Kelvin-Skala benutzt und einfacher T [°K] geschrieben
(Kelvingrade).
Unter einem vollkommenen Gase ist dabei ein Gas zu verstehen, für welches
Gl. (4) bei allen Drücken p erfüllt ist. Die wirklichen Gase zeigen ein von (4)
+
0
1 Anwendungsbeispiele über die Anwendung des kg (Masse) und kp (Kraft) in technischen Berechnungen sind zu finden bei W. HAEDER: kg-kp-Fibel, Berlin-Charlottenburg
1960.
2 Hütte Bd. I, 28. Aufl. (1955) S. 765.
5
Die thermische Zustandsgleichung für vollkommene Gase
etwas abweichendes Verhalten. Diese Abweichung ist jedoch um so geringer
je kleiner der Druck istl.
Je nachdem man nun als "spezifisches" Volumen den Rauminhalt der Ge-
wichtseinheit v = _!_ [:3] oder denjenigen der 21:fasseneinheit v
y
p
nimmt GI. (4) eine entsprechend verschiedene Form an.
Im technischen Maßsystem ist mit /' =
=
~ [ :3 ]
-
wählt,
g
eg [~]
_l!_=RT
(4a)
eu
und somit die Dimension der Gaskonstante R [k;g~J.
Im physikalischen Maßsystem dagegen ist
P=RT
mit
e[k~J.
(4b)
e
und die Gaskonstante hat jetzt die Dimension R[kkp ;]. Da nun
nach GL (3) der Zahlenwert von
e[~~J in
GI. (4b) das
9,81-fac:eg~on e[k~:]
der GI. (4a) ist- was offenbar mit dem Zahlenwert von y [~-] übereinstimmt -
so müssen bei gleichem Druck p auch die Zahlenwerte von Rinden beiden Gin. (4a)
-und (4b) übereinstimmen.
In diesem Buche soll bei gasdynamischen Betrachtungen -der neueren Entwicklung folgend - die Zustandsgleichung in der Form (4b) (d. h. unter Benutzung der Masseneinheit I kg) verwendet werden.
Für trockene Luft hat die Gaskonstante in (4b) den Wert R = 29,27, für
k:;d.
mittelfeuchte R
bzw. 29,4
k
=
29,4 _kkp md . In (4a) ist nach dem oben Gesagten R
g gr
=
29,27
Sie kann aus (4a) oder (4b) durch Messung der Größen p, g
und T bestimmt werden.
Im Falle konstant gehaltener Temperatur (isotherme Zustandsänderung) folgt
aus (4b) das BoYLE-MARIOTTEsche Gesetz
p_
e
=
const,
(5)
während bei konstant gehaltenem Druck das GAY-LussAcsche Gesetz
(6)
Te= const
gilt..
Bei den in diesem Buche durchgeführten Betrachtungen ist - neben der
isothermen - die adiabatische Zustandsänderung von besonderer Bedeutung. Man
versteht darunter einen Vorgang, der durch wärmedichten Abschluß einer bestimmten Gasmenge von ihrer Umgebung gekennzeichnet wird oder - anders
gesagt - bei welcher ein Wärmeaustausch mit der Umgebung nicht stattfinden
kann. Erfolgt dabei der Strömungsablauf bei konstanter Entropie, so nennt man
die Zustandsänderung isentrop (vgl. dazu S. 375), und es gilt die sogenannte
PorssoNsche Gleichung
-~- = const,
(7)
worin der Exponent
e"
Cp
X=Cv
1 Vgl. dazu E.
S. 38 und 43.
ScHMIDT:
(8)
Einführung in die Technische Thermodynamik, 8. Aufl. (1960)
6
Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
das Verhältnis der "spezifischen Wärmen" 1 bei konstantem Druck bzw. bei
konstantem Volumen bezeichnet. Für Luft von Atmosphärendruck ist X = 1,405.
In der Atmosphäre ist weder die isotherme noch die isentrope Zustandsänderung streng verwirklicht. 1\'fan hat deshalb eine zwischen beiden Zuständen
liegende, durch die Gleichung
E_ = const
gn
(9)
gekennzeichnete polytrope Zustandsänderung eingeführt, wobei für den Exponenten die Beziehung
l<n<-x
gilt. n = l entspricht der isothermen n = x der isentropen Zustandsänderung.
Im übrigen hängt n in der Atmosphäre wesentlich vom Temperaturgradienten ~.J
ab (Z
= Höhenkoordinate) 2 •
4. Der Flüssigkeitsdruck
Denkt man sich aus dem Innern einer raumbeständigen Flüssigkeit ein
Teilchen herausgeschnitten, so müssen auf dessen Oberfläche von der es umgebenden Flüssigkeit Kräfte ausgeübt werden, die in Verbindung mit den am
Teilehen außerdem wirksamen Massenkräften dessen Bewegungs- oder Ruhezustand bedingen. Diese an der Oberfläche des Teilchens angreifenden Kräfte
können bei reibungsfreier Flüssigkeit offenbar nur Normaldrücke sein, da Schubbzw. Reibungskräfte ausgeschlossen sein sollen und Zugkräfte im Innern der
Flüssigkeit i. allg. nicht übertragen werden können. Bezeichnet nun dF ein durch
einen beliebigen Punkt A der Oberfläche des Teilchens gehendes Flächendifferential und dD die auf dF entfallende Druckkraft (Abb.l), so heißt der Quotient
dD
p=dF
der auf die Flächeneinheit entfallende Flüssigkeitsdruck oder kurz der Druck
an der Stelle A. Er ist seinem Wesen nach eine Spannung (entsprechend der
Normalspannungader Festigkeitslehre) und hat wie diese die Dimension [kp/m 2].
Von ihm läßt sich zeigen, daß seine Größe in einem beliebigen Punkte A unabhängig von der durch A gelegten Schnittrichtung ist (man beachte dabei den
Unterschied gegenüber den Normalspannungen der Festigkeitslehre, die sich
i. allg. mit der Schnittrichtung ändern).
Um dieses zu beweisen, schneide man aus dem Innern der Flüssigkeit ein
unendlich kleines Tetraeder mit den Kantenlängen dx, dy, dz heraus, dessen
eine Ecke der Punkt A mit den Koordinaten x, y, z sei, bezogen auf ein festes.
rechtwinkliges Achsenkreuz mit dem Ursprung 0 (Abb. 2). Bezeichnen nun
pa;, py, Pz die Einheitsdrücke in Richtung der Koordinatenachsen und p denjenigen normal zur schiefen Tetraederfläche mit dem Inhalt dF, so ergeben sich
die aus Abb. 2 ersichtlichen, an der Tetraederoberfläche angreifenden Normaldrücke. Die auf das Flüssigkeitsteilchen außerdem wirkenden Massenkräfte,
z. B. die Schwere, sind proportional dem Tetraedervolumen und somit klein
von der dritten Ordnung. Demgegenüber sind die Normalkräfte .den Inhalten
1 Spezifische Wärme [k:~~d] ist die Wärmemenge, welche notwendig ist, um die Temperatur von 1 kg der betreffenden Gasmasse um l 0 0 zu erhöhen.
2 Weitere Einzelheiten über n sind zu finden in ScHLICHT"ßG-TRUCKESBRODT: Aerodynamik des Flugzeuges Bd. l (1959) A. 5ff.
7
Der Flüssigkeitsdruck
der Tetraederflächen proportional und demnach klein von der zweiten Ordnung.
Die Massenkräfte können somit gegenüber den Normalkräften als kleine Größen
gestrichen werden. Daraus folgt aber unter Anwendung des Prinzips von
D'ALEMBERT, daß die auf das unendlich kleine Tetraeder wirkenden Normalkräfte für sich allein die statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllen müssen.
Bezeichnen o:, ß, y die Winkel, welche die Normale zur Fläche dF mit den
Richtungen x, y, z bildet, dann bestehen gemäß Abb. 2 folgende Beziehungen :
dydz
dF coso: = - 2 - ;
dxd z
dF cosß = - 2 - ;
Abb. 1. Zur Definition des Flüssigkeltsdruckes
dD
P=d.F
dF COS (
= dxdy
- 2 -.
(10)
.Abb. 2. (Jleichgewicht am unendlich kleinen
Tetraeder
Andererseits folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen für die am Tetraeder angreifenden Oberflächenkräfte :
dydz
= 0,
dxdz
=
Px 2 - - pdFcoso:
py- - pdF cosß
2
0,
dxdy
Pz - 2 - - pdF cosy = 0.
Unter Beachtung der Ausdrücke (10) folgt daraus:
P = Pz = PY = Pz ·
Das heißt also: am Orte A herrscht in den durch die vier Tetraederflächen
bestimmten Schnittrichtungen der gleiche Druck p. Da aber die Richtung der
schiefen Tetraederfläche ganz beliebig wählbar ist, so folgt, daß p für jede
durch A gehende Richtung den gleichen Wert hat oder, mit andern Worten, in
der reibungsfreien Flüssigkeit ist der Druckeine reine Ortsfunktion p = p (x, y, z)
(hydrostatischer Spannungszustand). Bei strömenden Flüssigkeiten ist der Druck
i. allg. auch mit der Zeit veränderlich, also p = p (x, y, z, t).
Die vorstehenden Überlegungen gelten nicht nur für Flüssigkeitsteilchen, die
aus dem Innern eines stetig zusammenhängenden Flüssigkeitskörpers herausgeschnitten sind, sondern auch dann, wenn eine Flüssigkeit mit einem festen
Körper, etwa einer Gefäßwand, in unmittelbarer Berührung steht. Die Druckkraft, welche auf ein Flächenelement dF der Gefäßwand ausgeübt wird, ist unabhängig von der Wandrichtung, sie steht normal zu dieser und besitzt die Größe
pdF, wenn p den Einheitsdruck an der betreffenden Stelle bezeichnet.
8
Gleichgewicht
Das hier gefundene Ergebnis gilt für ideale Flüssigkeiten ganz allgemein,
gleichgültig, ob sie sich im Zustand der Ruhe oder der Bewegung befinden, für
zähe Flüssigkeiten dagegen nur dann, wenn keine Formänderungen des Flüssigkeitskörpers auftreten, da nur in diesem Falle die Tangentialkräfte verschwinden
(vgl. hierzu S. 61 ).
Zweiter Abschnitt
GIeichgewicht
(Hydro- bzw. Aerostatik)
1. Gleichgewichtsbedingungen von L. Euler 1
In einem ruhenden Gefäße oder Behälter mit festenWandungenbefinde sich eine
raumbeständige Flüssigkeit (e = y fg = const) in Ruhe. Aus dem Innern der Flüssigkeit trenne man ein unendlich kleines Parallelepiped von den Kantenlängen d x,
dy, dz heraus (Abb.3). Dann müssen
z
( p r dz) d .Xd.!f die an diesem Flüssigkeitselement angreifenden 0 herflächendrücke . mit den
auf das Teilchen wirkenden Massenkräften die statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. Der im Punkte A
(x, y, z) herrschende Druck ist nach
Ziffer 4 des ersten Abschnitts unabhängig von der Schnittrichtung durch A,
also lediglich eine Funktion des Ortes.
!/
Auf die untere Quaderfläche wirkt
0 ~-_.....-+1 - ,-/,.....--------;,. die Normalkraft p d x d y gleichmäßig
i~/ /X
über die Fläche d x d y verteilt, da die
Kantenlängen unendlich klein angenommen sind. Geht man in Richtung der
Abb. 3· Gleichge:~~/l;;' ~~~~~~~~gkleinen ParaUel·
z-Achse von der unteren zur oberen
Quaderfläche über, so ändert sich z
um dz, während x und y unverändert bleiben. Der Druck ändert sich also
jf
dz,
(P
dz)
weshalb an der· oberen Quaderfläche die Druckkraft
+ :~
d x d y wirksam ist. Entsprechende Ausdrücke gelten für die seitlichen Quaderflächen.
Außer diesen Oberflächenkräften greifen an dem betrachteten Flüssigkeitskörperehen noch Massenkräfte an, und zwar kommt dabei i. allg. nur die Schwere
in Frage. Hier soll indessen ganz allgemein zunächst eine beliebig gerichtete
Massenkraft (Trägheitskraft) angenommen werden, deren Komponenten nach
den Koordinatenrichtungen, bezogen auf die Masseneinheit, mit X, Y, Z bezeichnet seien. Mit d m = e d X d y d z als Masse des Körperchens ist dann die in die
Z-Richtung fallende Massenkraft
um :;
z
z
(11)
dm = edxdydz.
Im Gegensatz zu den Überlegungen in Ziffer 4 des ersten Abschnitts darf hier
die Massenkraft nicht vernachlässigt werden, da sie zwar gegenüber den am
1
EuLER, L. : Principes generaux de l'etat de I'equilibre des fluides. Hist. de l 'Acad. Bd. 11,
Berlin 1755.
Gleichgewichtsbedingungen von L.
9
EuLER
Flüssigkeitskörperehen wirkenden Oberflächendrücken immer noch beliebig klein
ist, dagegen von der gleichen Größenordnung wie deren Änderungen beim Übergang von einer Quaderfläche zur gegenüberliegenden.
Als Gleichgewichtsbedingung in Richtung der z-Achse ergibt sich somit
(Abb. 3):
pdxdy
+ Z edxdydz- (P + :; dz) dxdy =
oder
z edz =
0
:~ dz.
(12)
Entsprechend wird für die beiden übrigen Koordinatenrichtungen
X edx =
:=
dx,
(13)
Yedy= 0 Ydy.
(14)
iJp
Durch Addition der Gin. (12) bis (14) folgt
e(X dx
+ Y dy + Z dz) =
:: dx
+ ::dy + :~ dz.
Da aber die rechte Seite dieses Ausdrucks das totale Differential des Druckes ist,
so wird
(15)
d p = e(X dx + Y d y + Z d z) .
Kürzt man in den Gin. (12) bis (14) d x, d y und dz weg, so erkennt man, daß zwischen den Ableitungen der Massenkraftkomponenten nach den Koordinatenrichtungen folgende Beziehungen bestehen
ax
ay -
aY
ax
az
aY
az
ax-· a-z = iJX; az- = ay·
<16>
Das sind aber die drei notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß
sich X, Y, Z aus einem Potentiale U = U (x, y, z) ableiten lassen, d. h.
x_ au.
iJx'
Y= _au.
oy'
Z= _au.
i)z
(17)
Setzt man nämlich die Ausdrücke (17) in (16) ein, so sieht man, daß letztere damit
identisch befriedigt werden. Da· aber die Gin. (16) unmittelbar aus den Gleichgewichtsbedingungen (12) bis (14) folgen, so erhält man den wichtigen Satz, daß
in einer idealen Flüssigkeit nur dann Gleichgewicht bestehen kann, wenn die eingeprägten Kräfte X, Y, Z ein Potential U besitzen. Solche Kräfte heißen energieerhaltende oder konservative Kräfte.
Mit den Ausdrücken (17) lautet GI. (15)
au
dp = - f! (Tx"dx
au + az-dz
au ) =
+ Trjdy
-
edU,
woraus durch Integration folgt
p=-eU+O.
(18)
Dabei sind p (x, y, z) und U(x, y, z) zusammengehörige Werteam Orte A (x, y, z).
Bezeichnen p0 und U0 die entsprechenden Größen am Orte A0 , so folgt aus (18)
Po=
-e Uo + 0
Gleichgewicht
10
und somit
P =Po -
e(U -
U0 )
als Druck an der Stelle A (x, y, z).
Im allgemeinen sind die Drücke p an verschiedenen Stellen der Flüssigkeit
verschieden groß. Denkt man sich alle Punkte, für welche der gleiche Druck p
gilt, durch eine Fläche
f (x, y, z) =
const
verbunden und legt der Konstanten nacheinander verschiedene Werte bei, so
erhält man eine Schar sogenannter Niveauflächen oder Flächen gleichen
Drucks, die dadurch ausgezeichnet sind, daß in jeder von ihnen ein konstanter Druck p herrscht. Durch jeden Punkt
z
der Flüssigkeit geht immer nur eine Niveaufläche, was sofort aus der Definition dieser
Flächen folgt. Wegen der zwischen p und dem
Kräftepotential U bestehenden Beziehung (18)
sind die Niveauflächen identisch mit den
Flächen gleichen Potentials (Aquipotentialo,'P-_........__.__~---;!~ flächen).
.!/
/
I
Da beim Fortschreiten auf einer Niveau: /.x
fläche eine Anderung des Druckes nicht erfolgt,
~/
demnach d p = 0 ist, so gilt für eine solche
Fläche wegen (15)
Abb. 4. Die Massenkraft sr steh t normal
zu einer Fläche gleichen Druckes ( <p ~ 90°)
(19)
X dx + Y d y + Z dz = ~ d 5 = 0,
wenn SI die auf die Masseneinheit bezogene Massenkraft am Orte A (x, y, z) bezeichnet, deren Komponenten X, Y, Z sind, und d5 ein Längenelement der durch
den Punkt A gehenden Niveaufläche mit den Komponenten d x, d y, d z (Abb. 4).
Sl'd5 stellt das innere Produkt der Vektoren SI und d5 dar. Damit dieses zu Null
wird, muß Sf normal zu d 5 stehen (cp = 90°). Das heißt also, daß eine Niveaufläche
in jedem Punkte des Flüssigkeitsgebietes rechtwinklig zur Richtung der dort herrschenden Massenkraft steht.
Kürzt man in den Gin. (12) bis (14) die Längenelemente dx , dy, dz weg und bildet die geometrische flumme der so verbleibenden Ausdrücke, so erhält man
e (i x
+ i Y + f Z) =
i op
OX
_J_
I
i op
oy
_J_
I
f
op
()z'
wenn i, i, t die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen. Die linke
Seite der vorstehenden Gleichung stellt den Vektor e Sl' dar, die rechte Seite heißt der Gradient
des Druckes p. Man schreibt dafür "grad p" und erhält somit
e St = gradp .
Xun ist
dm=edxdydz
die Masse des in Abb. 3 betrachteten Flüssigkeitsteilchens.
vorstehenden Gleichung auch schreiben
~lan
R~
dxdyd z= % = gradp,
kann also an Stelle der
(
20 )
wobei jetzt S,ß die auf die Raumeinheit bezogene Massenkraft ist. GI. (20) sagt also auR :
Der Druckgradient ist an jeder Stelle gleich der auf die Raumeinheit bezogenen Massenkraft
und mit dieser gleichgerichtet. Als Betrag des Druckgradienten ergibt sich
I grarl p I =
v(:;r + (~~r + (:~r.
11
Der Druck in einer Flüssigkeit unter Einwirkung der Schwere
2. Der Druck in einer Flüssigkeit unter Einwirkung der Schwere
a) Homogene Flüssigkeit
In einem beliebig gestalteten, oben offenen Gefäße (Abb. 5) befinde sich
eine homogene Flüssigkeit in Ruhe. Die auf die Flüssigkeit wirkende Massenkraft, die Schwere, läßt sich aus einem Potentiale ableiten. Läßt man nämlich
die xy-Ebene mit der unteren Behälterwand zusammenfallen und legt die
z-Achse lotrecht nach aufwärts, so ist das Potential (oder die potent~elle Energie)
der Masseneinheit U = gz und somit wegen (17) X = Y = 0, Z = - g, d. h.
gleich dem Negativen der Schwerebeschleunigung. Dabei ist angenommen, daß
die Gefäßabmessungen klein gegenüber denjenigen der Erde sind, so daß die
Schwere als eine lotrecht nach abwärts gerichtete Kraft angesehen werden
darf. Daraus folgt aber (s. oben), daß die Niveauflächen sämtlich horizontale
Ebenen sind (genauer Kugelschalen), da sie normal zur Massenkraft stehen
müssen. Das gilt auch für die "freie Oberfläche" der Flüssigkeit, auf welche der
konstante atmosphärische Luftdruck p0 wirkt.
Für den Druck in d er Höhe z erhält man
I
aus (15)
I
I
(21)
dp = -egdz = - yd z
I
I
oder
I
I
(21a)
I
p=-yz+O.
tz
I
Nun ist p
=
p0 für z
= H (freie Oberfläche), also
C = Po + yH. Damit geht (21a) über in
P = Po + i' (H- z) =Po+ Y h ,
I
I
..
O l- -J - -~--------~
(22)
Abb. 5. Gleichgewichtsdruck der
,.schweren" F lüssigkeit
wenn H - z = h gesetzt wird. Man erkennt daraus, daß der Druck linear mit
der Tiefe h zunimmt. Alle Punkte, die sich in gleicher Tiefe unter der freien
Oberfläche befinden, erleiden denselben Druck p , bilden also eine NiYeaufläche 1 •
Im allgemeinen int PresRiert man sich nur für den Überdn tck übt>r den atmosphä rischen
Luftdruck
p;; = P - Po
und erhält dann
(23 )
D er Ausdruck
Pü
h = -P - - Po = y
y
(24 )
wird als " Druckhöhe" bezeichnet und liefert ein Maß für die Differenz der an den Grenzen
d er betreffenden Flüssigkeitssäule herrschenden Drücke.
Aus GI. (24) läßt sich sofort diejenige Wassersäule [W.S.] berechnen, deren Gewicht
gerade den Druck Pü = 1 kpjcm 2 = 1 at (eine " t echnische" Atmosphäre) 2 erzeugt. Mit
y = 1000 kp/ma = 10- 3 kpfcm 3 erhält man aus (24)
h* = l03 cm = 10m.
1 In dem einfachen Falle der Schwere läßt sich die GI. (22) sofort aus dem Gleichgewicht
einer Flüssigkeitssäule von der Höhe hund dem Querschnitt 1 cm 2 ableit en. Da das Gewicht
dieser Säule gleich yh ist , liefert das Gleichgewicht der vertikalen Kräfte sofort
P = Po + y h.
Die "physikalische" Atmosphäre beträgt 1 at m = 1,0333 at. Der Wert 1/760 atm
h eißt 1 T orr.
2